Изучение скалярных величин на примере объемов тел вращения

Курсовая работа

Изучение скалярных величин в старших классах с использованием презентаций (на примере объемов тел вращения)

Шадринск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Анализ учебников и программ на предмет изучения объёмов в старших классах……………………………………………………………………………..6

1.1. Анализ учебной программы по математике 10-11 класс....................7

1.2. Анализ учебников геометрии 10-11 класс…………………………….9

2. Использование презентаций при обучении геометрии в школе…………..12

2.1. Что такое презентация и как ее использовать……………………….12

2.2. Использование презентаций на уроках математики………………...17

3. Методические рекомендации обучения учащихся нахождению скалярных величин в старших классах с использованием презентаций…………………19

3.1. Общая методика изучения объёмов в школе………………………...19

3.2. Методические рекомендации по изучению данной темы...…...........22

Заключение………….……………………………………………………………32

Источник информации..…………………………………………………………34

ВВЕДЕНИЕ

Основной задачей модернизации российского образования является повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает точный и правильный подход ко всему образовательному процессу, приведение его в соответствие с требованиями времени. В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем образовании пересматривается и уточняется.

На уроках математики, как правило, готовится весь аппарат, необходимый для изучения смежных предметов на достаточно высоком уровне. Большой интерес представляют те понятия, которые находят применение в нескольких школьных предметах. Одним из таких понятий является понятие величины.

Величина - одно из основных математических понятий. Изучение в курсе математики средней школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности.

Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.

Несмотря на огромный потенциал, который содержит геометрия, в системе современного школьного математического образования ей отводится далеко не первое место. Отмечается также неудовлетворенность состоянием преподавания геометрии в школе. Упрощение базового курса геометрии приводит к методическому обеднению. Особенно остро встает этот вопрос при изучении скалярных величин. В стандарте базового курса геометрии скалярным величинам уделяется слишком мало внимания.

Таким образом, из опыта и анализа научно-методической литературы можно сделать вывод, что к изучению скалярных величин в школьном курсе геометрии подходят не должным образом.

Исходя из вышесказанного, встает проблема совершенствования методики обучения учащихся скалярным величинам.

Отсюда вытекает цель курсовой работы: подготовка методических рекомендаций для обучения учащихся скалярным величинам в старших классах с использованием презентаций Power Point.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести анализ научно-методической литературы и учебников.

2. Рассмотреть, как применять презентации Power Point на уроках геометрии в школе.

3. Подготовить методические рекомендации для обучения учащихся скалярным величинам в старших классах с использованием презентаций Power Point.

Именно поэтому объектом курсовой работы является процесс изучения скалярных величин в старших классах.

Рассмотрим процесс изучения скалярных величин в старших классах на примере объёмов тел вращения.

Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка, поэтому изучение темы «Объемы фигур» очень актуально, так как они необходимы для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

Тема «Объемы» - одна из центральных тем в курсе стереометрии средней школы. Проблема организации уроков по изучению объемов тел вращения одна из самых актуальных, так как она занимает значительную часть в курсе стереометрии.

Предмет исследования - изучение объемов тел вращения в курсе стереометрии с использованием презентаций Power Point.

Гипотеза исследования: изучение объемов тел вращения в курсе стереометрии в средней школе будет более эффективным, если:

· формировать понятие объема на наглядно-интуитивном уровне с привлечением жизненного опыта учащихся;

· систематически обращаться к задачам на объемы в старших классах;

· проводить факультативные курсы.

1. АНАЛИЗ УЧЕБНИКОВ И ПРОГРАММ НА ПРЕДМЕТ ИЗУЧЕНИЯ ОБЪЕМОВ В СТАРШИХ КЛАССАХ

Величина - это особое свойство реальных объектов или явлений, которое можно измерить, то есть назвать количество величины.

Понятие величины является одним из основных понятий, применяемых не только в математике, но и в физике, химии и других научных дисциплинах. Через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами являются основой для дальнейшего изучения математики.

Из различных вариантов определения величины наиболее удобным для современной школьной математики является то, которое предложено А.Н. Колмогоровым. Будем говорить, что множество S={a, b, c, …} является системой скалярных величин, если это есть аддитивная коммутативная группа, полностью упорядоченная, с делением на натуральное число, архимедова и удовлетворяющая аксиоме непрерывности.

Можно считать, что в школьном курсе математики изучение понятия величины осуществляется концентрически.

Первый этап - пропедевтический. На этом этапе развивается интуитивное представление о величинах и их практическом измерении (непосредственное измерение длин отрезков, взвешивание, определение температуры), упоминаются так называемые «именованные числа» и вводятся простейшие единицы измерения. Этот этап соответствует работе в 1-3 и 4-5 классах. Ученик 4 класса уже довольно твердо должен знать основные единицы измерения длин, площадей, объемов, масс и иметь некоторые навыки практического измерения этих величин. Вполне достаточно, если он умеет ими пользоваться на интуитивном уровне и сознательно может их применить при решении простейших задач. В курсе математики начальных классов представляется полезной пропедевтика изучения понятия величины посредством выполнения действий и преобразований над конкретными величинами.

Следующий этап можно условно назвать этапом изучения методов косвенного измерения величин и отнести его в основном к курсу геометрии 6-8 классов. Здесь развиваются умения и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса, изучаются многочисленные факты, позволяющие от непосредственного измерения величин перейти к вычислениям. На этом этапе появляются элементы пропедевтики строгого введения понятия величины и ее измерения. Измерить величину - это значит сравнить ее с другой, однородной ей величиной, принятой за единицу измерения.

Наконец, в старших классах вопрос об измерении площадей и объемов ставится на вполне современную основу, т.е. дается и удовлетворительное с точки зрения уровня строгости определение этих понятий, и достаточно общие (с помощью определенного интеграла) методы вычислений.

В старших классах можно ознакомить учащихся с аксиоматическим определением системы аддитивно-скалярных неотрицательных величин. Учащимся сообщается, что положительными скалярными величинами называются элементы всякого непустого множества S={a, b, c, …}, на котором определена алгебраическая операция - сложение и установлены соотношения сравнения.

1. 1. Анализ учебной программы по математике 10-11 классов

Проанализировав учебную программу по математике, можно заметить, что основной целью изучения свойств геометрических тел в пространстве является развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся.

Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе. При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического изложения соединяются с привлечением наглядности на всех этапах учебного процесса и постоянным обращением к опыту учащихся. Умения изображать важнейшие геометрические тела, вычислять их объемы имеют большую практическую значимость.

Изучение программного материала дает возможность учащимся:

• получить представление о широте применения геометрии в различных областях человеческой деятельности; познакомиться с некоторыми фактами истории геометрии;

• усвоить систематизированные сведения о пространственных формах;

• научиться проводить аналогию плоскими и пространственными конфигурациями, видеть общность и различие свойств аналогичных структур на плоскости и в пространстве, использовать планиметрические сведения для описания и исследования пространственных фигур;

• научиться иллюстрировать и моделировать проекционным чертежом пространственные формы, решать позиционные задачи (в частности, задачи на сечения) на проекционном чертеже;

• решать задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов тел, на вычисление линейных и угловых элементов пространственных конфигураций;

• решать задачи на доказательство;

• овладеть набором приемов, часто применяемых для решения стереометрических задач на вычисление и доказательство.

Уровень обязательной подготовки по теме «Объемы тел вращения» ограничивается следующими требованиями:

• уметь распознавать на моделях и по описанию основные тела вращения, указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах;

• уметь иллюстрировать условие стереометрической задачи либо чертежом, либо моделью;

• уметь вычислять значение геометрических величин (длин, площадей, объемов), применять изученные формулы;

• уметь решать несложные задачи на вычисление с использованием изученных свойств и формул (свойства параллельности прямых и плоскостей, многогранников и тел вращения).

1.2. Анализ учебников геометрии 10-11 классов

Исходя из требований программы, различные авторские коллективы предлагают ряд учебников геометрии 10-11 классов. Рассмотрим некоторые из них.

Атанасян Л.С.

Смирнова И.М.

Потоскуев Е.В.

Погорелов А.В.

Место темы в учебнике

Глава 7 «Объёмы тел», 11 класс

Глава 6 «Объём и площадь поверхности», 11 класс

Глава 3 «Фигуры вращения», 11 класс

§ 22 «Объёмы и поверхности тел вращения», 11 класс

Подход к построению темы

Является продолжением и развитием учебника для 7-9 классов

Гуманитарная направленность курса,

устранены

теоремы, играющие вспомогатель-ную роль.

Является продолжением учебника 10 класса, позволяет углубить знания по геометрии и связь с другими дисциплинами

Основная цель - продолжить ознакомление учеников с геометрическими величинами.

Рассмат-рива-емые

понятия

цилиндр

§ 2, п.66

§ 43

§ 17, п.17.5

§ 202

конус

§ 3, п.70

§ 46

§ 18, п.18.10

§ 203

шар

§4, п.71

§ 47

§ 19, п.19.8

§206

Введение формул

В виде теорем с доказа-тельством

В виде теорем с доказательством

в виде сравнения с многогранниками

В виде рассуждения с выводом

Коли-

чество

задач

Цилиндр

7

6

8

10

Конус/ ус. конус

7/2

14/6

13/5

8/6

Шар/сегмент

8/7

15/3

10/6

5/9

Дополнительные задачи

+

+

-

-

Задачи на комбинации

+

+

+

-

Наглядность

+

+

+

+

В учебнике Л. С. Атанасяна первым делом вводится понятие объема в целом, его свойства. Объемы тел вращения вводятся через теоремы с доказательством, в результате выводится формула для вычисления. После каждого параграфа дается система упражнений. Она последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, а также задачи, носящие практический характер. В конце главы имеются дополнительные задания и задания повышенной трудности. Для решения этих задач необходимо знать не только материал изученной главы, но и применить знания, полученные при изучении других тем. В процессе решения дополнительных задач у учащихся развиваются три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.

В учебнике И. М. Смирновой также как и в предыдущем изучение темы начинается с введения понятия объема и его свойств. Отличие состоит в том, что перед введением понятия объема тела вращения повторяется материал по теме тела вращения. К примеру, перед введением понятия объема цилиндра повторяется что такое цилиндр, что является его основаниями, высотой, понятие наклонного цилиндра и кругового сечения. А лишь затем вводится теорема, вследствие, которой выводится формула для вычисления объема цилиндра. После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи, используемые при решении других задач. Также имеются задачи практического характера. Глава заканчивается списком задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.

Учебник Е.В. Потоскуева является учебником для углубленного изучения математики. Отличие от предыдущих учебников заключается в том, что объемы тел вращения не выделены отдельной главой, а рассматриваются вместе со всей теорией по каждому отдельному телу вращения. Также отличие состоит в том, что ввод понятия объема тела вращения вводится через связь с объемом многогранника.

В настоящее время действующих учебников по геометрии для 10-11 классов очень много. Каждый авторский коллектив вносит в содержание своих учебников что-то новое, отличающее их от других. Школа и учителя вправе выбирать те из них, которые, по их мнению, дадут оптимальный уровень знаний по геометрии учащимся того или иного класса.

В общеобразовательных школах, где нет углубленного изучения отдельных предметов, чаще всего используют учебник Л.С. Атанасяна.

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕЗЕНТАЦИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ШКОЛЕ

2.1. Что такое презентация и как ее использовать

Современная школа с ее проблемами заставляет думать о том, как сделать процесс обучения более результативным. Как учить так, чтобы ребенок проявлял интерес к знанию. Процесс модернизации школы требует формирования у школьников компетентности, которая предполагает умение самостоятельно получать знания, используя различные источники. Формированию компетентности учащихся способствуют современные педагогические технологии, к их числу относятся компьютерные и проектные технологии. В современном обществе использование компьютерных технологий на уроках начинается уже с начальной школы. Мультимедийные технологии позволяют заменить почти все традиционные технические средства обучения. Во многих случаях такая замена оказывается более эффективной, дает возможность учителю оперативно сочетать разнообразные средства, способствующие более глубокому и осознанному усвоению изучаемого материала, экономит время урока, насыщает его информацией. Использование средств новых информационных технологий и возможностей компьютера как средства познания повышает уровень и сложность выполняемых задач, дает наглядное представление результата выполненных действий, возможность создавать интересные исследовательские работы, проекты.

Можно выделить три основных способа (или подхода) использования мультимедийных средств:

1) Иллюстративный (традиционный). Более или менее удачно подобранный визуальный ряд иллюстрирует традиционный рассказ учителя. Ученики на первых порах внимательно следят за меняющимися по мановению руки учителя «картинками», часто при этом «забывая» воспринимать (а то и просто слушать) этот самый рассказ. Как правило, дальше этого использование мультимедиа не идет. В лучшем случае этот же визуальный ряд затем используется при не менее традиционном опросе или обобщении. К тому же рано или поздно наступает привыкание и восприятие «картинок» тоже притупляется.

2) Схематичный (шаталовский). В основу обучения положено конструирование опорных конспектов или структурно-логических схем. Использование мультимедиа в данном случае лишь расширяет возможности построения таких схем. Они становятся более наглядными, яркими, дополняются движущимися элементами, все теми же «картинками». В общем, более или менее полно используются возможности программного обеспечения (как правило, Power Point).

3) Интерактивный. Наиболее сложный. Сочетает в себе элементы иллюстративного и схематичного подходов. Разница заключается в том, что использование разнообразного визуального материала, схем и анимаций сочетается, дополняется привлечением документов, отрывков из разнообразных источников. Как правило, использование такого подхода требует очень высокого уровня квалификации учителя. И документы, и «картинки» должны быть яркими, создавать определенный образ эпохи, должны отличаться определенной «символичностью». Но самое главное в таком подходе - высокий уровень методической обработки материала. Он и дается, собственно, в таком сочетании, чтобы вызвать активность учеников, спровоцировать их на сопоставление, размышление, дискуссию.

При работе с компьютерными технологиями меняется и роль педагога, основная задача которого - поддерживать и направлять развитие личности учащихся, их творческий поиск. Отношения с учениками строятся на принципах сотрудничества и совместного творчества. В этих условиях неизбежен пересмотр сложившихся сегодня организационных форм учебной работы: увеличение самостоятельной индивидуальной и групповой работы учащихся, отход от традиционного урока с преобладанием объяснительно-иллюстративного метода обучения, увеличение объема практических и творческих работ поискового и исследовательского характера.

Применение средств мультимедиа в обучении позволяет:

- решить задачи гуманизации образования;

- повысить эффективность учебного процесса;

- развить коммуникативные и социальные способности учащихся;

- определить учащегося в качестве активного субъекта познания;

-учесть субъективный опыт обучаемого, его индивидуальные особенности;

- осуществить самостоятельную учебную деятельность, в ходе которой обучаемый самообучается и саморазвивается;

- привить обучаемому навыки работы с современными технологиями.

В связи с модернизацией образования к техническому оснащению учебного процесса подходят серьезно, уже осознали, что важно не столько наличие компьютера в школе, сколько программное обеспечение, которое и дает, собственно, возможность использовать его именно в школе и именно для школьных потребностей.

В зависимости от дидактических целей и специфики курса учебных предметов можно выделить такие виды компьютерных программ: учебные, тренажёры, контролирующие, демонстрационные, имитационные, справочно-информационные, мультимедиа-учебники. Наиболее часто в своей работе учителя используют демонстрационные программы, к которым кроме картин, видеофрагментов, фотографий можно отнести и интерактивные атласы, и компьютерные лекции и уроки-презентации, разработанные при помощи Power Point.

Компьютерная лекция, разработанная средствами Power Point - это тематически и логически связанная последовательность информационных объектов, демонстрируемая на экране или мониторе. Это приложение позволяет учителю самостоятельно подготовить мультимедийное пособие к уроку по любому предмету с минимальными временными затратами. Формы и место использования презентации (или даже отдельного ее слайда) на уроке зависят от содержания этого урока и цели, которую ставит учитель.

Программа разработки презентаций Power Point позволяет подготовить материалы к уроку, комбинируя различные средства наглядности, максимально используя достоинства каждого и скрывая недостатки.

Типы уроков с использованием презентаций в программе Power Point:

• лекционные, которые имеют главной целью, не иллюстрировать, а зрительно дать сложный материал для записи учащимся в удобной форме;

• уроки - иллюстрации по темам, где существует необходимость ярких зрительных образов,

• уроки - наглядные пособия, помогающие как образцы, создавать учащимся подобные работы самостоятельно.

Изучение нового материала. Позволяет иллюстрировать разнообразными наглядными средствами. Применение особенно выгодно в тех случаях, когда необходимо показать динамику развития какого-либо процесса.

Проведение устных упражнений. Дает возможность оперативно предъявлять задания и корректировать результаты их выполнения.

Проверка фронтальных самостоятельных работ. Обеспечивает наряду с устным визуальный контроль результатов.

Проверка домашних работ. Методика аналогична методике, применяемой для самостоятельных работ.

Решение задач обучающего характера. Помогает выполнить рисунок, составить план решения и контролировать промежуточные и окончательный результаты самостоятельной работы по этому плану.

Рекомендации по созданию и оформлению презентаций в учебной литературе раскрыты не достаточно. Практика позволяет выделить некоторые общие, наиболее эффективные приемы применения таких пособий: оформление слайдов и представление информации на них.

Оформление слайдов:

стиль

• Соблюдайте единый стиль оформления;

• Избегайте стилей, которые будут отвлекать от самой презентации;

• Вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должна преобладать над основной информацией (текст, иллюстрации)

фон

Предпочтительней холодные тона

Использование цвета

• На одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один для фона, другой для заголовка, третий для текста;

• Для фона и текста используйте контрастные цвета;

• Обратите внимание на цвет гиперссылок (до и после использования).

Анимационные эффекты

• Используйте возможности компьютерной анимации для представления информации на слайде;

• Не стоит злоупотреблять различными анимационными эффектами, они не должны отвлекать внимание от содержания информации на слайде.

Представление информации:

Содержание информации

• Используйте короткие слова и предложения;

• Минимизируйте количество предлогов, прилагательных и наречий;

• Заголовки должны привлекать внимание аудитории.

Расположение информации на странице

• Предпочтительно горизонтальное расположение на странице;

• Наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана;

• Если на слайде располагается картинка, надпись должна быть под ней.

2.2. Использование презентаций на уроках математики

На уроках математики при помощи компьютера можно решить проблему дефицита подвижной наглядности, когда дети под руководством учителя на экране монитора сравнивают способом наложения геометрические фигуры, анализируют взаимоотношения множеств. Компьютер является и мощнейшим стимулом для творчества детей. Экран притягивает внимание, которого порой нельзя добиться при фронтальной работе с классом. На экране можно быстро выполнить преобразования в деформированном тексте, превратив разрозненные предложения в связный текст. Но для того, чтобы учащиеся могли в соответствии со своими желаниями использовать компьютер как помощник в учебе, надо позаботиться об универсальности их пользовательских навыков. Дети имеют право пользоваться современными средствами труда уже сегодня. С помощью современных технических и аудиовизуальных средств и интенсивных методов обучения можно заинтересовать учеников, облегчить усвоение материала. На уроках математики используются два вида информационных технологий: презентации и слайд-шоу. Они позволяют наглядно и доступно объяснить детям материал.

Презентация является информационным обеспечением фронтальной работы учителя с классом и состоит из слайдов. Основные формы данной информации - текст, рисунки, чертежи. Формы и место использования презентации на уроке зависят от содержания этого урока, от цели, которая ставится на уроке. При изучении нового материала использование презентации позволяет иллюстрировать учебный материал. При проведении устных упражнений презентация даёт возможность оперативно предъявлять задания. Учебная презентация может представлять собой конспект урока. В этом случае она состоит из основных составляющих традиционного урока: указывается тема, цель, план работы на уроке, ключевые понятия, домашнее задание. Для уроков математики важно применение анимированных чертежей, когда нужно организовать работу учащихся с графиками, чертежами к доказательству теорем и задач, выполнить схему, использовать таблицу и т.д.

Следует затронуть и другой аспект: проведение самого мультимедийного урока. Как бы ни был разработан урок, многое зависит от того, как учитель подготовится к нему. Учитель должен не только уверенно владеть компьютером, знать содержание урока, но вести его в хорошем темпе, непринужденно, постоянно вовлекая в познавательный процесс учеников. Необходимо продумать смену ритма, разнообразить формы учебной деятельности, подумать, как выдержать при необходимости паузу, как обеспечить положительный эмоциональный фон урока.

Общим недостатком большинства существующих мультимедийных средств обучения остается то, что после их разработки начинаются или продолжаются "исследования" сфер и придумываются все новые возможности их практического применения. Достаточно редкими являются случаи создания мультимедийных продуктов с заранее определенными свойствами для реализации определенной методики обучения и решения дидактических задач. При разработке мультимедийных средств обучения, как правило, акцент делается не на обучение, не на помощь ученику, а на технологию программной реализации.

Исходя, из выше сказанного можно сделать вывод, что нужно достаточно четко осознать ключевые преимущества мультимедиа и стремиться максимально использовать именно их, так как он облегчает работу учителя и вносит в учебный процесс, непосредственно новые возможности для обучения.

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ НАХОЖДЕНИЮ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН В СТАРШИХ КЛАССАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕЗЕНТАЦИЙ

3.1. Общая методика изучения объёмов в школе

При планировании данной темы следует предварительно разбить ее на логически законченные части. Это поможет учителю правильно организовать повторение, проводить систематически учет и контроль знаний учащихся, своевременно и постепенно готовить средства наглядности, сгруппировать умения и навыки в соответствии с указаниями программы, заблаговременно подобрать соответствующие задачи и упорядочить их, подготовить тематику и содержание самостоятельных и контрольных работ, а также другие дидактические материалы.

Тема «Объемы тел вращения» изучается в 11 классе. Подготовительной работой к началу изучения темы «Объемы тел вращения» может служить повторение темы «тела вращения», свойств и формул площадей тел вращения.

Необходимо напомнить известные учащимся понятия, подчеркнуть, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело и отделяет его от остальной части пространства. Если следовать строго дедуктивному пути изложения школьного курса стереометрии по учебнику Атанасяна, надо определить такие понятия как «геометрическое тело», «ограниченность тела», «простое тело», которые лежат в основе определения объема. Однако на любом этапе обучения в школе следует руководствоваться принципом педагогической целесообразности при введении понятия. В данном случае, как понятие геометрического тела, так и понятие ограниченности тела, педагогически целесообразно считать интуитивно ясным для учащихся из их опыта и не давать им формально-логических определений, которые окажутся недоступными для всех учащихся. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.

Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии.

Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, имеют определенную специфику. Так как для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести новое определение понятия объема для фигур вращения, уже не вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже применялся при вычислении площадей.

Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся, которое является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.

Существуют два подхода к определению объема:

1 подход. Понятие объема вводится аксиоматически. Объем - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

- объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Такой подход реализован в учебнике Л.С. Атанасяна.

2 подход. Понятие вводится конструктивно. Будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см³.

Дальнейшее изучение происходит по-разному.

Во всех учебниках первой формулой вводится объем прямоугольного параллелепипеда, как произведения трех его измерений. В учебниках для углубленного изучения математики материал построен таким образом, что сначала сформированные наглядные представления расширяются, причем отталкиваясь от реальности. Затем, переходя от наглядности, осуществляется точная словесная формулировка. Так, например, доказывается теорема об объеме прямого цилиндра. Призма рассматривается как частный случай - это цилиндр, но с другим основанием. Аналогичным образом вводится объем конуса, а отсюда получаем как следствие объем пирамиды. Представление объема интегралом доказывается в виде теоремы, но не в полном объеме, так как оно сложно и требует расширения понятия интеграла. Применение этот материал нашел при доказательстве формул объемов цилиндра, конуса (пирамиды) и шара. Для некоторых тел вращения дается общая формула объема через интеграл. Аналогично предлагается вывести самостоятельно формулы для шарового сегмента, шаровых пояса и сектора, определения которых даны в формулировке задач.

Проанализировав учебные пособия по данной теме, при дальнейшем рассмотрении учебников будем опираться только на учебник Л.С. Атанасяна, так как в нем изложение материала и построение курса более понятно для изучения школьниками.

3.2 Методические рекомендации по изучению данной темы

Основная цель изучения темы «Объемы тел вращения» в курсе стереометрии - развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся. На современном этапе обучения наиболее целесообразным является конструктивный способ введения понятия «Объем тела вращения».

Объем - это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет свойства.

Перед тем как начать изучение темы «Объемы тел вращения» повторим с учащимися понятия: тело вращения, объем, криволинейная трапеция, объемы многогранников.

Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox, как показано на рисунке, вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf ² (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения - через V.

Теорема: Объем тела вращения равен

Доказательство:

Придадим х приращение ∆х (х+∆хb). Построим два цилиндра с общей высотой ∆х. Меньший цилиндр имеет своим основанием круг, площадью S(x), а больший - круг площадью S(x+∆x). Если ∆V- прирост объёма тела вращения, то

,

откуда .

Поскольку функция f(x) непрерывна и функция следовательно

Переходя к пределу в двойном неравенстве имеем

, то есть .

Объем V(x) является первообразной для функции на промежутке [a;b].

Отсюда имеем

Теорема: объем шара равен , где R-радиус шара

Доказательство:

На рисунке изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R;0). Уравнение окружности этого круга , откуда . Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ох образуется полушар. Следовательно откуда .

Вывод формул геометрических тел на основе свойств объемов.

1. Для цилиндра и конуса.

Через систему вписанных и описанных правильных призм при условии, что . Общую величину к которой стремятся объемы вписанных и описанных правильных призм и принимают за объем цилиндра:

V_ц = S_оснH V_ц=r²H

У конуса аналогично с пирамидами: .

2. Для сферы, полушара: проводят сечения параллельные экватору и принимают их за основание цилиндра с высотой R. Получают «ступенчатое тело», состоящее из цилиндров. Число . Число к которому стремится объем цилиндров принимают за объем полушара. Следовательно, объем шара равен 2 умноженное на объем полушара, т.е. .

Для реализации основных целей изучения темы необходима тщательно продуманная система задач с практическим содержанием и задач на развитие логического мышления, так как именно такие задачи встречаются на ЕГЭ в части В.

Мной разработана следующая система задач:

1. Задачи на усвоение формул объема тел вращения.

• Дан цилиндр диаметром 26 см и длиной 12 см. Найти объем цилиндра.

Дано: цилиндр, АВ = 26 см,

АС = 12 см

Найти:

Решение:

, так как АВ - диаметр цилиндра, тогда

Следовательно,

Ответ:

• Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем конуса, если его высота равна 6см.

Дано: конус, АВ - диаметр,

SO - высота,

АВ = SO = 6 см.

Найти:

Решение:

, так как АВ - диаметр конуса, тогда

Следовательно,

Ответ: 56,52

• Площадь поверхности шара равна 225π . Найдите его объем.

Дано: шар,

Найти:

Решение:

, отсюда

Ответ:

Можно также предложить аналогичные задачи:

• Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной а.

• Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем цилиндра.

• Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объем цилиндра.

• Найдите объем конуса, если его образующая равна 13см, а площадь осевого сечения равна 60

• Найдите объем тела, получающегося при вращении равнобедренного треугольника вокруг катета, равного 3см.

• Равносторонний треугольник со стороной, равной 1, вращается вокруг оси, проходящей через вершину и параллельной высоте треугольника. Найдите объем тела вращения.

• Диаметр основания конуса равен 12см, а угол при вершине осевого сечения равен 90. Вычислите объем конуса.

• Найдите объем шара, диаметр которого равен 4см.

• Сколько нужно взять шаров радиуса 2см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6см?

2. Задачи на комбинации тел.

• В цилиндр вписана прямая призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Найдите объем цилиндра, если боковое ребро призмы равно .

Дано: цилиндр, F=ABCDEF-вписанная прямая призма,

- прямоугольный,

АВ = 4, ВС = 1, АЕ =

Найти:

Решение:

, так как АВ - диаметр цилиндра, тогда

Из найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

,

следовательно, , тогда

Ответ: 8,5

• Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.

Дано: ABCD-прямоугольный параллелепипед,

,

конус вписанный, R = 1.

Найти:

Решение:

ABCD - квадрат по условию, значит АВ = ВС, О - центр пересечения диагоналей. Рассмотрим ∆АOD-равнобедренный, прямоугольный, ОН - высота и биссектриса. ∆АНO - прямоугольный и ⦟АОН = 45, следовательно он равнобедренный, значит ОН = АН = 1, тогда АD = 2.

Ответ:

• Круговой сектор с углом 30⁰ и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела вращения.

Дано: круговой сектор, ⦟МОВ=30,

R-радиус вращения

Найти:

Решение:

При вращении получается сектор с углом 60⁰ и радиусом R. Посмотрим осевое сечение тела вращения. Очевидно, что высота шарового сегмента равна Н = МС. Из треугольника ВОС: ОС=ОВ, тогда

Н = МС = МО - ОС = R .

Объем шарового сектора равен: .

Ответ: .

Аналогичные задачи:

• Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

• Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 9,5. Найдите его объем.

• В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

• Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра,

• если объем конуса равен 18.

• Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

• Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 15. Найдите объем параллелепипеда.

• В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Боковые ребра равны 6. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

• Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3. задачи практического характера:

• При взрыве заряда взрывчатого вещества воронка действия имеет вид конуса, где ω - линия наименьшего сопротивления, а r-радиус воронки. Определить объем взорванной породы в пределах конуса разрыхления, если ω= r =1,5м.

Дано: конус, r - радиус,

ω = Н, ω = r = 1,5м

Найти:

Решение:

Объем конуса разрыхления найдем по формуле , тогда . Зная, что ω=1,5м, имеем

Ответ: объем взорванной породы

• Сколько железнодорожных платформ грузоподъемностью 25 т каждая нужно для перевозки кучи угля, имеющего форму конуса с высотой Н=7,5 м, если плотность угля ρ=1300 кг/см³, а уголь естественного откоса α=50⁰?

Дано: конус, Н=7,5 м,

ρ=1300 кг/см³ , α=50⁰ , грузоподъемность 25 тонн

Найти: количество платформ

Решение:

Объем кучи угля. Так как , то

, а масса кучи угля составляет: .

Число железнодорожных платформ определяем по формуле ;

=

Ответ: для перевозки угля нужно 16 платформ.

Аналогичным образом можно решить следующие задачи:

• В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 10 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

• В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2900 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 35 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в

• В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 13 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

• В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1600 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

• В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

• В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень жидкости оказался равным 19 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 8 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были решены все поставленные во введении задачи, а именно проанализирована научно-методическая литература и учебники, рассмотрено применение презентаций Power Point на уроках геометрии в школе, подготовлены методические рекомендации для обучения учащихся скалярным величинам в старших классах с использованием презентаций Power Point.

Используя информационные технологии можно сделать следующие выводы:

1. Какой бы сложной и скучной ни была тема урока, она станет, интересна школьнику, если учебный материал на экране представлен в красках, со звуком и другими эффектами.

2. Презентация по теме урока в процессе объяснения нового материала позволяет учителю не делать записей на доске, а значит остаётся больше времени на закрепление.

Использование информационных технологий на уроке способно преобразить учебный процесс, сделав его более эффективным и привлекательным для учащихся. Обучение с использованием информационных технологий становится для школьника творческим поиском, от которого можно получить удовлетворение и благодаря которому можно самоутвердится.

Также применение новых информационных технологий в образовании позволяет дифференцировать процесс обучения школьников с учетом их индивидуальных особенностей, дает возможность творчески работающему учителю расширить спектр способов предъявления учебной информации, позволяет осуществлять гибкое управление учебным процессом, является социально значимым и актуальным.

В результате применения презентаций на уроках:

· происходит переориентация на развитие мышления, воображения как основных процессов познания, необходимых для качественного обучения;

·обеспечивается эффективная организация познавательной и самостоятельной деятельности учащихся;

· проявляется способность к сотрудничеству.

Таким образом, из всего выше написанного можно сделать следующие выводы: в современный учебный процесс внедряются новые методы обучения, которые возрождают достижения экспериментальной педагогики прошедшего столетия, которые построены на принципе саморазвития, активности личности. К одному из важнейших методов относится внедрение информационных технологий в обучении школьников и использование их на таких предметах, как математика.

ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ

1. Атанасян Л.С., Геометрия 10-11: Учебник для 10-11 классов средней школы-М: Просвещение, 2002.

2. Бескин Н.М., Методика геометрии.- М.:Учпедгиз. 2007.

3. Богомолов С.А., Геометрия.-М.:Учпедгиз.2009.

4. Виленкин Н.Я., О понятии величины.// Математика в школе. №3 2003. Стр. 4-7.

5. Виноградова И.К., Методика преподавания математике в средней школе. Р-на-Д.: Феникс. 2005.

6. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 2000.-384с.

7. Гусев В.А., Методика обучения геометрии.- М.: ACADEMA. 2004.

8. Давидов А.Ю., Элементарная геометрия.- М.: 35 Дуленова. 2005.

9. Захарова И.Г., Информационные технологии в образовании: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 192 с.

10. Колягин Ю.М., Методика преподавания математики в средней школе.- М.: Просвещение. 2009.

11. Кручинина Г.А., Новые информационные технологии в учебном процессе. Мультимедийные обучающие программы. Нижний Новгород, 2000.

12. Кучугурова Н.Д., Методика преподавания математики. Частная методика.- Ставрополь: СТИ. 2004.

13. Ляпин С.Е., Методика преподавания математики. -М.:Просвещение. 2005.

14. Мишин В.И., Методика преподавания математики в средней школе. -М.: Просвещение. 2007.

15. Открытый банк задач ЕГЭ

16. Перепелкин Д.И., Курс элементарной геометрии. -М.: Гостехиздат.1948

17. Погорелов А.В., Геометрия 7-9-М: Просвещение, 2001.

18. Потоскуев Е.В., Геометри. 11кл. :учеб. Для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математике / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - 4-е изд., стереотип. - М. : Дрофа, 2006. - 68 с. : ил.

19. Саранцев Г.И., Методика обучения математики в средней школе.-М.: Просвещение. 2002.

20. Смирнова И.М., Геометрия 10-11: учеб. Для общеобр. Учреждений/ 2ое изд. Испр.-М: Мнемозина, 2006.-232с.

21. Чичигин В.Г., Методика преподавания геометрии. -М.:Учпедгиз. 2009.