Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Как показывает практика, геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у учащихся при сдаче ЕГЭ по математике. Итоги экзаменов показывают, что учащиеся плохо справляются с этими заданиями или вообще не приступают к ним. Можно выделить следующие недостатки в подготовке выпускников: формальное усвоение теоретического содержания курса геометрии, неумение использовать изученный материал в ситуации, которая отличается от стандартной. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные зн...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема: Применение теорем Чевы и Менелая

при решении геометрических задач

«Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». (Д.Пойа)

Введение

Как показывает практика, геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у учащихся при сдаче ЕГЭ по математике. Итоги экзаменов показывают, что учащиеся плохо справляются с этими заданиями или вообще не приступают к ним. Можно выделить следующие недостатки в подготовке выпускников: формальное усвоение теоретического содержания курса геометрии, неумение использовать изученный материал в ситуации, которая отличается от стандартной. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника, так как несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах - теореме Чевы и теореме Менелая. Обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

Поэтому цель нашей работы - сформулировать теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению геометрических задач.

Задачей работы стало сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения геометрических задач.

Представленная система заданий удовлетворяет следующим требованиям:

1) задачи разделены по видам: а) по характеру требования - задачи на доказательство, на вычисление или нахождение; б) по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;

2) включены задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении других разделов математики;

3) задачи с нестандартной постановкой вопроса, задачи, допускающие несколько способов решения;

Основная часть.

I. Теоремы Чевы и Менелая

1.1. Теорема Чевы.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаяи CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Поставим теперь общий вопрос: при каком расположении этих точек прямые AAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, BBМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и CCМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. (Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами)

Сформулируем теорему Чевы.

Теорема. Пусть в Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, CCМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и BBМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=1 (Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая)

Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.

Примечание 1: равенство (Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая) можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей.

Примечание 2: теорема Чевы остается справедливой для точек AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие - продолжениям сторон.

Примечание 3: процедура составления (Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая) не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, так как всегда будет получаться произведение, равное 1.

Примечание 4: и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие (Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая) Чевы можно записать также в виде Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=1(Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая)

Некоторые следствия из теоремы Чевы.

Следствие 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Следствие 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке

1.2.Теорема Менелая.

Теорема Менелая красива и проста; она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Название теорема получила в честь своего автора - древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (примерно 100 г. н.э.). Во многих случаях эта теорема помогает очень легко и изящно решать достаточно сложные геометрические задачи.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC взяты соответственно точки CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаяи BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, не совпадающие с вершинами Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC. Точки AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=1 (Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая)

Следует отметить, что формулировка теоремы Менелая так же содержит два взаимно обратных утверждения.

Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки). Необходимо помнить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Обозначим R= Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Замечаем, что утверждение R=1 имеет место и в теореме Чевы, и в теореме Менелая. Поэтому справедливо следующее утверждение:

Пусть в треугольнике ABC на прямых AB,BC и AC взяты точки CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3-k - на продолжениях сторон. Тогда

а) точки AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R=1 и k четно (теорема Менелая);

б) прямые AAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, BBМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и СС Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R=1 и k нечетно (теорема Чевы)

Примечание 5: можно вместо отношения Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и других рассматривать отношения направленных отрезков, оно положительно, если векторы Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаяи Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая одинаково направлены, и отрицательно, если они противоположно направлены

II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач.

Задача 1. ВМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC - точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Решение:Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

1 способ. Через точку B проведем прямую a ll AC

AKМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаяa=P;

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBKP ~ Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяCKAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая BP= Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAC.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBOP~Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяMOAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

В этом случае нужно увидеть подобные треугольники, для чего использовать дополнительное построение.

2 способ. Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяMBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяMC,OМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBM, KМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBC; A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Ответ: Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Следует отметить, что теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье.

Задача 2 На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,так,

что ACМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая: СМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяB= 2:1, BAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая:AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяC=1:3, BBМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая CCМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=O.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Найти CBМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая : BМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяA.

Решение:

Так как отрезки BBМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, CCМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, AAМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=1; Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=1; Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Ответ: 3:2

Задача 3 На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC - точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE - в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Дано:Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC; AP: PE: EC=CK: KM: MB=m:n:k

M, KМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBC, P, EМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAC; AMМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBP= O; AKМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBE= T

Доказать: O, T, CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая a

Доказательство.

Пусть луч CTМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAB=CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, COМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAB=CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Докажем, что точки CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.

Так как CTМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAB=CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, BEМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAKМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяCCМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая= T, то по теореме Чевы Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая;

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая(1)

Так как COМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAB=CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, AMМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBP= O, то ССМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBPМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAM=O, по теореме Чевы Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая (2)

Из (1) и (2) следует, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, то есть точки СМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, СМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и CМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.

Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Задача 4. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC - больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD - биссектриса треугольника ABC, то Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF - биссектриса треугольника ABC, то Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.

По теореме Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = 1, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Ответ: 11:7.

Задача 5. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC - точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка О пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Найдите длину стороны AB. Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Решение:

1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая= Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, тогда SМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая6 = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

2. Прямая KC пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = 1, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = 1, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, то есть BО = 4p, ОL = p.

3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит,

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая= Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, тогда SМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

4. SМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая KB = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, 3m = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, тогда m = Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая , AB=5m = 4.

Итак, AB = 4.

Ответ: 4.

Решение задач, связанных с нахождением площадей

Задача 6. В Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABC на сторонах AB и BC взяты точки K и L так, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Найти Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Решение: пусть Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

1) Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAOK и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAOC имеют равные высоты, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая;

2) Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяCAK и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяCBK имеют равные высоты, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая;

3) Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая; 4) Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая;

5) Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяKBC и секущую AL; AМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяKB, OМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяKC, LМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBC.

По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

x=6 : Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая - верно.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, D<0 - других действительных корней нет.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Ответ: 21.

Задача 7. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.

Решение: Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяALC и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяLCN , а также Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAML и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяALC имеют общие высоты, опущенные соответственно на стороны AN и MC. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся как соответствующие основания. Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяBMC и секущую AN.

По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая (1)

Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABN и секущую MC.

По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая (2)

Вычитая из (2) соотношение (1) , получим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Так как Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая то Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая откуда 3AM=MB, а значит,

AM=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая MB=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Отсюда следует, что SМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая составляет Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая часть площади треугольника ABC (они имеют общую высоту, проведенную из вершины С).

Тогда Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяSМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая= 4Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяSМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=(15+40)Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Ответ: 220

Комбинированные задачи.

Задача 8. На сторонах AС и BC Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая взяты точки М и L так, что AM:MC=4:1, CL:LB=3:1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке Q. Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

1) Найти Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая; 2) На АВ взяли точку N так, что CN - медиана ; Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Найти Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Решение:

1) а) Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, BM - секущая,

по теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

б) Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаяи Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая имеют равные высотыМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Так как Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

в)Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая имеют равные высотыМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

2) CN-медианаМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяAN=NB. Найдем Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

а)Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая; Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

б)Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая( имеют равные высоты),

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая; Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

в) Рассмотрим Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяABM и секущую NC.

По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Ответ: 11Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаякв.ед.

Задача 9. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая соответственно так, что отрезки Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р - точка пересечения отрезков Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Доказать, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Доказательство. Эта задача может быть решена несколькими способами, рассмотрим решение, использующее теоремы Менелая и Чевы. Если Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, то утверждение задачи может быть легко доказано. Рассмотрим случай, когда прямые Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая пересекаются в точке ММетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

По теореме Менелая для треугольников Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая имеем:

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, откуда Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая,

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Складывая эти равенства, получаем Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая (1)

По теореме Менелая для треугольников Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая и Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая имеем:

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Учитывая, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, и складывая уравнения, получаем:

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Поэтому Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая (2)

Сравнивая (1) и (2) , получаем требуемое.

III. Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.

Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?

Дано:DABC - правильная пирамида, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, BLK -

плоскость, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая - объем верхней части пирамиды, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая - объем нижней части пирамиды.

Найти: Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Решение: Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

1) Построим сечение пирамиды DABC плоскостью BLK.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаясоединяем, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаясоединяем,

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелаясоединяем, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяMLB - искомое сечение (рис.48).

2) Найдем Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, где Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая- объем всей пирамиды.

Пусть BH - высота пирамиды DABC, проведенная из вершины В, но она - высота и BMDL.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая; V=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, VМетодическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая=Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая;

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая;

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая - ?

3) Из Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяADC: Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

(или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней - 16, значит, 33-16=17 - частей

составляет Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая. Тогда Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая) Ответ: Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая.

Задача 2. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F - её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 - точки её пересечения со стороной AC, B1 - ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2E и B1F лежат на одной прямой.


Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяРешение

Пусть L и M - точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AB и BC соответственно. Тогда
AK = AL, BL = BM, CM = CK.
Из равенства прямоугольных треугольников OKB1, OKB2, OLE и OMF по катету и гипотенузе следует, что B1K = B2K = EL = FM. Поэтому
BE = BF, AE = AB2, CF = CB1.
Пусть отрезки B1F и B2E пересекают BK в точках P1 и P2 соответственно. Достаточно доказать, что точки P1 и P2 совпадают.

Рассмотрим треугольник ABK и прямую B2E. По теореме Менелая Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая
Аналогично, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Следовательно, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая то есть точки P1 и P2 совпадают.



IV. Методы решения задач ЕГЭ 2014-2015 года

Задача 1 (Тренировочная работа № 8 по математике 26.02.2014)

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M - середина AD, а BN : NC =1:3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.

Решение.

Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно. Пусть O - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM - медианы треугольника ABD, значит,

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи МенелаяИз подобия треугольников BPN и MPA находим, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Значит, Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Из доказанного следует, что Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

б) Пусть площадь параллелограмма равна S . Из подобия треугольников MRA и BRC с

коэффициентом Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC,

составляет Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно,

площадь треугольника BRC равна

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая Аналогично найдём площадь треугольника BNP . Его высота, проведённая к BN , составляет Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC , а сама

сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна

Методическая разработка по теме Теоремы Чевыи Менелая

Ответ: 14.

Задача 2 (18 задание КИМЫ ЕГЭ 2015 вариант 28)

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки K, L и M,

причем AK : KB = 2 : 3, BL : LC = 1 : 2, CM : MA = 3 : 1. В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?

Решение. Изобразим треугольник ABC, разделим стороны на соответствующие части и отметим на сторонах точки K, L и M

(рис. 1).

Отработаем пропорцию, задав на каждой из сторон некую условную единицу измерения

и выразив длины соответствующих отрезков в этих единицах. А именно, пусть AM = x,

CM = 3x, AK = 2y, BK = 3y, BL = z, CL = 2z.

Рис. 1.

Так как задано много отношений и есть отрезки в треугольнике, то для удобства через вершину B проведем прямую, параллельную AC, и через E обозначим точку пересечения прямой KL с этой прямой, а через F - точку пересечения прямой KL с прямой AC (рис. 2). Получаем набор подобных треугольников.

Запишем информацию, вытекающую из подобий треугольников через точки L, K и O, т. е. подобий △BEL ∼ △CFL, △AKF ∼△BEK и △FMO ∼ △EBO. Для краткости и

эффективности обозначим AF = a, BE = b. Имеем (a + 4x)/b= 2,a/b=2/3,MO/BO=

(a + x)/b=a/b+x/b

Рис. 2.

Первое равенство дает: a/b+ 4x/b= 2 ⇐⇒x/b=1/3, откуда получаем, что MO : BO = 1 : 1.

Ответ: 1:1.

Задача 3 (18 задание КИМЫ ЕГЭ 2015 вариант 5)

Дан треугольник со сторонами AB = 4, BC = 5 и AC = 6.

  1. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр

вписанной окружности, параллельна стороне BC.

(b) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведеннойиз вершины A.

Изобразим треугольник с указанными сторонами, и отметим центр вписанной окружности

как точку пересечения его биссектрис и точку пересечения медиан.

Так как придется искать длину биссектрисы из вершины A, удобнее расположить эту

вершину сверху. Отметим точку P пересечения медиан и точку O пересечения биссектрис

Рис. 1.

Что может обеспечить параллельность OP и BC? Либо признаки параллельности двух

прямых, связанные с пересечением ее третьей прямой, либо отрезки этих прямых как соответственные стороны подобных треугольников, и удобнее так как такие треугольники несложно просматриваются -это △AOP и △ADM, где AD и AM есть биссектриса и

медиана треугольника ABC.

Для доказательства параллельности OP и DM достаточно убедиться в подобии этих треугольников. Угол с вершиной A у них общий, стало быть, достаточно доказать

одинаковую пропорциональность сторон AO, AD и AP, AM. Так как M - точка\ пересечения медиан, имеем AP : PM = 2 : 1. Отношение AO : OD можно обнаружить в треугольнике

ABD, в котором BO - биссектриса. Для нахождения отношения надо знать длину AD.

Отрезок BD - биссектриса в треугольнике ABC, и по ее свойству получаем BD : DC =

AB : AC = 2 : 3. Но BC = 5, следовательно, BD = 2, CD = 3. Теперь из треугольника ABD находим, что AO : OD = 2 : 1.

Тем самым требуемое равенство отношений доказано, треугольники

AOP и ADM подобны и OP װ DM.

Длину биссектрисы AM находим из треугольника ABM по теореме косинусов. Найдем

угол ABC из треугольника ABC по теореме косинусов:

36 = 16 + 25 − 2 ・ 4 ・ 5 ・ cosےABC, значит cosےABC =1/8. и AM2 = 16 + 4 + 2 ・ 4 ・

2 ・1/8= 18, т.е. AM = 3√2.

Ответ: 3√2.

Заключение

Данная работа была посвящена двум таким теоремам - теореме Менелая и

теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные

математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того в рассмотренных

задачах использовались признаки подобия треугольников; свойства и признаки

параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике. Предложенный

материал дал возможность познакомиться с интересными, нестандартными

вопросами геометрии, еще одним методом решения геометрических задач.





© 2010-2020