Программа элективного курса по математике

Программа элективного курса по математике "Некоторые способы решения задач". Раз­работан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Госу­дарственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элек­тивный курс как компонент образования должен быть направ­лен на удовлетворение познавательных потребностей и инте­ресов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательно...
Раздел Математика
Класс -
Тип Рабочие программы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11 с углубленным изучением отдельных предметов» Нижнекамского муниципального района Республики Татарстан











Авторская программа элективного курса по математике

для учащихся 11 класса

«Некоторые способы решения геометрических задач»

учителя математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 11 с углубленным

изучением отдельных предметов»

Морозовой Татьяны Николаевны











Нижнекамск

2011 год.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Элективный курс "Некоторые методы решения геометрических задач" раз­работан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Госу­дарственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элек­тивный курс как компонент образования должен быть направ­лен на удовлетворение познавательных потребностей и инте­ресов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не ха­рактерны для традиционных учебных курсов.

Одной из самых важных целей преподавания геометрии является формирование и развитие у учащихся пространственных представлений, а также способности и умения производить операции над пространственными объектами. Достижение этой цели важно не только для тех учащихся, которые в дальнейшем посвятят себя техническим профессиям, но и для тех, кто выберет специальности архитектора, художника, дизайнера, модельера, конструктора, астронома и других.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это объясняется прежде всего тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, применение различных формул. Приобрести навык в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Знакомство учащихся с методами решения геометрических задач стимулирует анализ учащихся своей деятельности по решению задач, выделению в них общих подходов и методов, их теоретическое осмысление и обоснование, решение заданий несколькими способами. Знание методов решения геометрических задач позволяет решать, казалось бы, сложные математические задачи просто, понятно и красиво. Особая роль отводится рисунку, помогающему «развернуть» задачу, сделать ее наглядной.

Кроме того, предлагаемый курс позволяет создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, благодаря пониманию методов, приёмов решения задач.

Содержание курса «Некоторые методы решения геометрических задач» представляет собой расширенный, углубленный вариант базового курса стереометрии 10-11 классов, программа курса рассчитана на 34 часа (2 часа в неделю) для учащихся 11-го класса. Программа опробирована для классов с социально-гуманитарным и информационно-технологическим профилем.

Конструирование программного содержания на занятиях по курсу может быть проведено по алгоритму:

1. Обобщение первоначальных знаний;

2. Систематизация, конкретизация и углубление теоретических знаний;

3. Проектирование и организация практической деятельности учащихся по применению базисных знаний.

Такая конструкция программного материала, законченность блоков содержания, помогает ученику достигать поставленных перед ним дидактических задач и позволяет осуществлять интеграцию разных видов и форм обучения.

Технологии, используемые в системе курса, ориентированы на то, чтобы ученик получил такую практику, которая поможет ему лучше овладеть профильными умениями, успешно сдать экзамены по математике.

Цели курса:

- углубить теоретическое и практическое содержание курса стереометрии;

- развивать пространственные представления и логическое мышление;

- развивать умение применять знания на практике, приводить аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ решения.

Задачи курса:

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач;

- создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и доказательства истинности или ложности этих гипотез;

- применять знания алгебры и тригонометрии при решении задач;

- развивать интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создавать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Структура курса представляет собой шесть логически закон­ченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение кото­рых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический ма­териал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направ­лены на расширение и углубление базового курса. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успеш­ного усвоения материала планируются различные формы ра­боты с учащимися: лекционные и практические занятия, с использованием презентаций, группо­вые, индивидуальные формы работы. Для текущего контро­ля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия зада­ний, часть которых выполняется в классе, а часть - дома са­мостоятельно. Изучение данного курса заканчивается прове­дением итоговой контрольной работы.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- выполнять чертежи по тексту задачи; строить сечения многогранников; выделять проекции;

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения задач;

- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;

- уметь анализировать задачу и выбирать наиболее рациональный способ ее решения.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующими.

Оценка «отлично». Учащийся освоил теоретический мате­риал курса, получил навыки его применения при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать са­мостоятельно.

Оценка «хорошо». Учащийся освоил идеи и методы дан­ного курса в такой степени, что может справиться со стан­дартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свиде­тельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании об­щих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно». Учащийся освоил наибо­лее простые идеи и методы решений, что позволяет ему дос­таточно успешно решать простые задачи.



УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

1

Изображение пространственных фигур

3

1

2


2

Модели пространственных фигур. Позиционные построения

6

2

4

Самостоятельная работа

3

Координатный метод решения задач

6

1

5

Самостоятельная работа

4

Векторно-координатный метод решения задач

6

1

5

Самостоятельная работа

5

Метод ортогонального проектирования

6

1

5

Самостоятельная работа

6

Решение разнообразных задач по всему курсу. Итоговый контроль

5

2


5

2

Семинар, контрольная работа


Всего

34

6

28




СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ КУРСА

Тема 1. Изображение пространственных фигур (3 часа).

Пропедевтический материал. Введение в тему. Повторение свойств параллельного проектирования. Правила изображения пространственных фигур. Выполнение чертежа. Взаимное расположение фигур и их элементов с использованием наглядности и готовых чертежей.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: опрос, проверка самостоятельно выполненных упражнений.

Тема 2. Модели пространственных фигур. Позиционные построения (6 часов).

Склеивание моделей из разверток. Построение сечений многогранников (аксиоматический метод). Построение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости. Построение сечения, проходящего через заданную прямую, параллельно другой заданной прямой. Построение сечения, проходящего через заданную точку, параллельно двум заданным скрещивающимся прямым. Построение линии пересечения заданных плоскостей.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение моделей, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: опрос, проверка самостоятельно выполненных упражнений и моделей. Самостоятельная работа.

Тема 3. Координатный метод решения задач (6 часов).

Прямоугольная система координат в пространстве. Применение метода координат к решению задач на нахождение расстояния между точками, расстояния от точки до прямой, площади треугольника.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельно выполненных упражнений. Самостоятельная работа.

Тема 4. Векторно-координатный метод решения задач (6 часов).

Векторы в пространстве. Координаты векторов. Применение векторно-координатного метода решения задач на вычисление расстояния между точками, расстояния от точки до плоскости, угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельно выполненных упражнений. Самостоятельная работа.

Тема 5. Метод ортогонального проектирования (6 часов).

Свойства ортогонального проектирования. Нахождение расстояний и углов между скрещивающимися прямыми методом ортогонального проектирования. Применение свойств прямого трехгранного угла в задачах на многогранники.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельно выполненных упражнений. Самостоятельная работа.

Тема 6. Решение разнообразных задач по всему курсу (5 часов).

Итоговый контроль (2 часа).









Методическое обеспечение:

Курс «Некоторые способы решения геометрических задач» является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты. Программа мобильна, то есть дает возможность уменьшать количество задач по данной теме (так как многие задания предназначены для отработки навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.

В курсе заложена возможность вести дифференцированное обучение. Ученику нужно давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы и версии.

Учащиеся могут самостоятельно выбирать темы для групповой работы, задачи для презентации темы, задачи, методы решения для самостоятельного проведения занятий как в групповой, так и в индивидуальной форме. На занятиях круглого стола каждая группа «защищает» свой метод решения задачи.

В кабинете имеется электронное пособие, которое содержит готовые чертежи к задачам и презентации; литература:

-учебники за 7, 8,9, 10-11 классы;

- справочники для поступающих в вузы;

- сборники вариантов ЕГЭ за последние годы;

-периодические издания «Квант», «1сентября» и другие.

Внешние условия:

Работа по программе предполагает сотрудничество педагогов и учащихся:

- со школами и высшими учебными заведениями;

- родителями учащихся

Теоретические и практические занятия проводятся в оборудованном кабинете математики. Для проведения занятий в кабинете имеется ноутбук и компьютер, проектор, интерактивная доска.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Работа с рекомендованной литературой.

Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения.

Самостоятельный подбор задач по теме элективного курса с использованием дополнительной математической литературы.

Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.































Рекомендуемая литература

Литература для учителя

  1. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. - М.: АСТ: Астрель, 2010.

  2. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. - М.: АСТ: Астрель, 2011.

  3. Куканов М.А. Математика.9-11 классы: решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы - Волгоград: Учитель, 2009.

  4. Кочагин В.В., Кочагина М.Н. ЕГЭ2010.Сборник заданий. - М.: Эксмо,2009.

  5. Литвиненко В.Н. Сборник задач по стереометрии с методами решений: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1998.

  6. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010 - Ростов-на-Дону: Легион-М,2009.

  7. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011 - Ростов-на-Дону: Легион-М,2010.

  8. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012 - Ростов-на-Дону: Легион-М,2011.

  9. Сагателова Л.С., Студенецкая В.Н. Практическая геометрия. Комбинации геометрических тел. 10-11 классы : методическое пособие с электронным приложением - М.: Планета, 2011.

  10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие. - М.: Экзамен, 2009.

  11. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие. - М.: Дрофа, 2006.



Литература для учащихся

  1. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. - М.: АСТ: Астрель, 2011.

  2. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012 - Ростов-на-Дону: Легион-М,2011.

  3. Математика. Большой энциклопедический словарь. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2000.





























Приложение

Модели пространственных фигур.

Перерисуйте развертки пространственных фигур, подобных заданным на рисунках (с коэффициентом подобия k=3-5), на плотную бумагу и вырежьте их. Сделайте сгибы по штриховым линиям, нанесите клей на имеющиеся выступы и склейте модели этих фигур.

Программа элективного курса по математикеПрограмма элективного курса по математике





Рисунок 1





Рисунок 2

Программа элективного курса по математикеПрограмма элективного курса по математике







Рисунок 3



Рисунок 4



Программа элективного курса по математикеПрограмма элективного курса по математике













Рисунок 5





Рисунок 6





Программа элективного курса по математике











Рисунок 7





Программа элективного курса по математике



















Рисунок 8





Программа элективного курса по математике

Рисунок 9























Нахождение расстояний и углов между скрещивающимися прямыми методом ортогонального проектирования.

Использование этого метода основано на следующем утверждении: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. Угол между второй прямой и указанной ее проекцией дополняет до 90º угол между данными скрещивающимися прямыми.

Программа элективного курса по математике

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Пусть плоскость α перпендикулярна прямой a и пересекает ее в точке A. Тогда A - Программа элективного курса по математике (рис. 1). Построим Программа элективного курса по математике - проекцию прямой b на a: Программа элективного курса по математике. В плоскости a расстояние от точки A до прямой Программа элективного курса по математике является искомым. Пусть AHПрограмма элективного курса по математике. Докажем, что длина AH равна длине общего перпендикуляра данных скрещивающихся прямых. Так как H Программа элективного курса по математике, то H - проекция некоторой точки P прямой b: HP Программа элективного курса по математике. P Программа элективного курса по математике. В плоскости AHP проведем PQ Программа элективного курса по математике Программа элективного курса по математике PQПрограмма элективного курса по математикеAH, то PQПрограмма элективного курса по математикеa, PQПрограмма элективного курса по математикеb, т.е. PQ - общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Так как угол HPB является углом между скрещивающимися прямыми a и b, то угол между b и Программа элективного курса по математике дополняет Программа элективного курса по математике HPB до 90º. Таким образом утверждение полностью доказано.

Свойства ортогонального проектирования, предполагая, что рассматриваемые в них отрезки и прямые не перпендикуляры плоскости проекции:

  1. Проекцией фигуры, лежащей на плоскости проекции, является сама эта фигура.

  2. Проекцией прямой (отрезка) является прямая (отрезок).

  3. Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их проекций.

  4. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади этого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Программа элективного курса по математике.

Задача 1

Дан куб ABCDПрограмма элективного курса по математике с ребром a. Точка K - середина BC. Найдите расстояние между прямыми AC и Программа элективного курса по математике.

Программа элективного курса по математике

Решение.

Построим плоскость, перпендикулярную прямой AC - плоскость BDПрограмма элективного курса по математике. Пусть O - точка пересечения BD и AC, Программа элективного курса по математике- точка пересечения Программа элективного курса по математике- точка на прямой BD такая, что KПрограмма элективного курса по математике. Тогда O - ортогональная проекция прямой AC, Программа элективного курса по математике- ортогональная проекция Программа элективного курса по математике на плоскость Программа элективного курса по математике Следовательно, расстояние от точки O до Программа элективного курса по математике, то есть высота треугольника OПрограмма элективного курса по математике, опущенная на сторону Программа элективного курса по математике будет искомым расстоянием h.

Программа элективного курса по математике

Программа элективного курса по математике

Ответ: Программа элективного курса по математике

Задача 2

К диагонали Программа элективного курса по математике куба ABCDПрограмма элективного курса по математике провели перпендикуляры из вершин A и B. Найдите угол между этими перпендикулярами.


Программа элективного курса по математике
Решение.

Проведем плоскость α, αПрограмма элективного курса по математике. Проекция куба на плоскость α - правильный шестиугольник Программа элективного курса по математике Перпендикуляры к Программа элективного курса по математике параллельны плоскости α, поэтому угол между их проекциями равен искомому углу Программа элективного курса по математике

Ответ: 60 Программа элективного курса по математике

Задача 3

Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями соседних граней куба с ребром 1.

Программа элективного курса по математике

Решение.

Рассмотрим куб Программа элективного курса по математике. Будем искать расстояние между прямыми Программа элективного курса по математике. Спроектируем куб на плоскость, проходящую через точку B и перпендикулярно диагонали Программа элективного курса по математике (проекции куба на этом рисунке обозначены также, как и его соответствующие вершины, но с добавлением «штриха»). Задача сводится к нахождению расстояния от точки Программа элективного курса по математике. Поскольку плоскость Программа элективного курса по математике перпендикулярна прямой Программа элективного курса по математике, то прямоугольник Программа элективного курса по математике равен прямоугольнику Программа элективного курса по математике. Но Программа элективного курса по математике - середина отрезка Программа элективного курса по математике, следовательно, в прямоугольном треугольнике Программа элективного курса по математике равны соответственно Программа элективного курса по математике и 1, Программа элективного курса по математике Если Программа элективного курса по математике- высота, проведенная к гипотенузе Программа элективного курса по математике, то Программа элективного курса по математике.

Ответ: Программа элективного курса по математике

Задачи для самостоятельного решения

1)В правильной шестиугольной призме Программа элективного курса по математике с высотой H и стороной основания a найти расстояние и угол между прямыми: a)Программа элективного курса по математике

Ответ: Программа элективного курса по математике

2)Точка E - середина Программа элективного курса по математикекуба Программа элективного курса по математике. Найти угол между прямыми Программа элективного курса по математике

Ответ: Программа элективного курса по математике

3)В кубе Программа элективного курса по математике найти угол:

а)между диагональю основания BD и диагональю куба Программа элективного курса по математике

б)между Программа элективного курса по математикегде M - середина ребра Программа элективного курса по математике

Ответ: а)90º; б)acrcosПрограмма элективного курса по математике

4)В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания a и боковым ребром Программа элективного курса по математикеa найти расстояние и угол между апофемой и диагональю основания.

Ответ: Программа элективного курса по математике

5)Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна a, высота SA равна h. Найти расстояние между BD и SA.

Ответ: Программа элективного курса по математике



6)Основание прямого параллелепипеда ABCDПрограмма элективного курса по математике - квадрат со стороной a, боковое ребро равно b. Найти расстояние между прямыми Программа элективного курса по математике.

Ответ: Программа элективного курса по математике

7)Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Ответ: а)Программа элективного курса по математике, б)Программа элективного курса по математике

8)К диагонали Программа элективного курса по математике провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Ответ: 60º

9)Найти расстояние между диагональю Программа элективного курса по математике куба Программа элективного курса по математике и диагональю Программа элективного курса по математике грани, если ребро куба равно a.

Ответ: Программа элективного курса по математике

10)В пирамиде DABC известны длины ребер: BC=DA=12. AB=AC=DB=DC=10. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.

Ответ: 2Программа элективного курса по математике



















Векторно-координатный метод решения задач.

Угол между скрещивающимися прямыми

Применяя векторно-координатный метод, следует иметь ввиду, что если Программа элективного курса по математике - угол между скрещивающимися прямыми, то Программа элективного курса по математике, где Программа элективного курса по математике - векторы, коллинеарные заданным скрещивающимся прямым.

Задача 1.

Все боковые грани призмы Программа элективного курса по математике - квадраты. На ее ребрах AB, Программа элективного курса по математике, Программа элективного курса по математике и Программа элективного курса по математике взяты соответственно точки P, Q, R и Программа элективного курса по математике- середины этих ребер. Найдем угол между прямыми PQ и RПрограмма элективного курса по математике

Программа элективного курса по математике

Решение.

Введем в пространстве прямоугольную призму координат. Точка P - начало, Программа элективного курса по математике В этой системе координат P(0;0;0), A(1;0;0), C(0;Программа элективного курса по математике;0), R(0;0;2).

Находим координаты точек Q, Программа элективного курса по математике и вектора Программа элективного курса по математике и Программа элективного курса по математике. Получаем:

Программа элективного курса по математике-1).

Тогда Программа элективного курса по математике

Ответ: Программа элективного курса по математике



Задачи для самостоятельного решения

1)В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания, и MA=AC=BC. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки D, E и F - середины этих ребер. Найдите углы между следующими прямыми: a) BD и CE; б) BD и AF; в) CE и AF.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) 90º

2)В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Ребро MC перпендикулярно плоскости основания, и MC=AC=BC. На ребрах MC, MB и MA взяты соответственно точки D, E и F - середины этих ребер. Точка O - центр тяжести треугольника ABC. Найдите углы между следующими прямыми: a) MO и AE; б) AE и CF; в) OD и CF.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.

3)В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и MB=AB. На ребре MC взята точка P - середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая DP со следующими прямыми: a) AC; б) MA; в)MO, где точка O - центроид основания.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.



4)В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Высота MO пирамиды равна диагонали основания и проектируется в точку пересечения диагоналей. На ребрах MC и MB пирамиды взяты соответственно точки K и L - середины этих ребер. Найдите углы между следующими прямыми: a) DL и AC; б) BK и DL; в) DK и MA.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.



5) 4)В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Высота MO пирамиды проектируется в точку O - середину ребра BC, и MO=AB, на ребре MA взята точка P - середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая DP со следующими прямыми: a) MO; б) AC; в) MC.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.

6)На диагонали Программа элективного курса по математике куба Программа элективного курса по математике взяты точки P и Q, такие, что DP=PQ=QПрограмма элективного курса по математике. Найдите углы, которые образует прямая Программа элективного курса по математике со следующими прямыми: a) Программа элективного курса по математике; б) BQ; в)CQ.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) 90º.



7)Боковое ребро правильной призмы Программа элективного курса по математике в два раза больше стороны ее основания. В гранях ABCD и Программа элективного курса по математике взяты соответственно точки O и P - центры этих граней. Найдите углы, которые образует прямая OP со следующими прямыми: a) BПрограмма элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.

8)На ребрах AB, AC, MB и MC правильной пирамиды MABC, все плоские углы при вершине M которой прямые, взяты соответственно точки D, E, F, K - середины этих ребер. Точка O - точка пересечения медиан основания пирамиды. Найдите углы между следующими прямыми: a) BE и MD; б) BE и AF; в) AF и OK.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.

9)В основании пирамиды MABC лежит правильный треугольник ABC, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и MB=AB. На ребрах MC и AC взяты соответственно точки D и E - середины этих ребер, а точка O - точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите углы, которые образует прямая BD со следующими прямыми: a) MA; б) ME; в) MO.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.

10)Прямоугольник ABCD с отношением сторон AB:BC=3:1 согнут по прямой PQ, параллельной прямой BC, так, что прямая AP перпендикулярна прямой PB и AP:PB=2:1. Найдите углы между следующими прямыми: a) BD и AQ; б) BQ и DP; в) BD и AR, где точка R - середина отрезка DQ.

Ответ: а) arccosПрограмма элективного курса по математике; б) arccosПрограмма элективного курса по математике; в) arccosПрограмма элективного курса по математике.

Контрольная работа

Вариант 1

№1

В правильном тетраэдре MABC на ребре AC взята точка P - его середина, а на апофеме MD грани MAB - точка K - середина апофемы. Считая ребро тетраэдра равным 2, найдите расстояния до KP от следующих точек: а) A; б) B; в) M.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

№2

Высота MO правильной пирамиды MABCравна стороне ее основания. На отрезке OB взята точка P - середина этого отрезка. Найдите угол, который образует с плоскостью MAB прямая MO.

Ответ: Программа элективного курса по математике

№3

Основанием прямой треугольной призмы Программа элективного курса по математике является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=20, AC=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру Программа элективного курса по математике причем BP:Программа элективного курса по математике. Найдите тангенс угла между плоскостями Программа элективного курса по математике и ACP.

Ответ: 0,5

№4

Точка O лежит на ребре Программа элективного курса по математике куба Программа элективного курса по математике, точка P является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO:DПрограмма элективного курса по математике=1:5. Найдите косинус угла между прямой OP и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины C.

Ответ: Программа элективного курса по математике

Вариант 2

№1

Основанием прямой призмы Программа элективного курса по математике является трапеция, основание AD которой равно боковой стороне AB и боковому ребру призмы, а основание BC равно 2. На сторонах AD и CD взяты соответственно точки P и Q - середины этих сторон. Считая AD=1, найдите расстояния от точки Программа элективного курса по математике до следующих прямых: а) AПрограмма элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

№2

Высота MO правильной пирамиды MABCравна стороне ее основания. На отрезке OB взята точка P - середина этого отрезка. Найдите угол, который образует с плоскостью MAB прямая MP.

Ответ: 30º

№3

Основание прямой треугольной призмы Программа элективного курса по математике - треугольник ABC, в котором AB=AC=8, а один из углов равен 60º. На ребре Программа элективного курса по математикеотмечена точка P так, что AP:Программа элективного курса по математике=2:1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CPB, если расстоянии между прямыми AB и Программа элективного курса по математике равно 18Программа элективного курса по математике.

Ответ: 3

№4

В кубе Программа элективного курса по математике точка K лежит на ребре Программа элективного курса по математике, точка M лежит на ребре Программа элективного курса по математике, длина ребра BC=10. Найдите косинус угла между прямой KM и диагональю куба, которая выходит из вершины B, если AK:KПрограмма элективного курса по математике, Программа элективного курса по математике

Ответ: Программа элективного курса по математике





































Угол между прямой и плоскостью.

Решение задач векторно-координатным методом состоит в следующем. Используя особенности заданной фигуры, задают в пространстве прямоугольную систему координат. В этой системе находят координаты какого-нибудь вектора Программа элективного курса по математике, коллинеарного заданной прямой, и вектора Программа элективного курса по математике - нормального вектора заданной плоскости. Далее находят косинус угла между векторами Программа элективного курса по математике и Программа элективного курса по математике.

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле Программа элективного курса по математике.

Задача 1.

На ребрах Программа элективного курса по математике и Программа элективного курса по математике куба Программа элективного курса по математике взяты соответственно точки P и Q- середины этих ребер. Найдем угол, который образует прямая Программа элективного курса по математике с плоскостью Программа элективного курса по математикепроходящей через вершину Программа элективного курса по математике перпендикулярно прямой PQ.

Программа элективного курса по математике

Решение.

Воспользовавшись тем, что ребра BA, BC и Программа элективного курса по математике попарно перпендикулярны и равны, зададим в пространстве прямоугольную систему координат Программа элективного курса по математике.

В этой системе координат B(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), Программа элективного курса по математике(0;0;1).

Найдем координаты точек D, P, Q и векторов Программа элективного курса по математике коллинеарного заданной прямой Программа элективного курса по математике, и Программа элективного курса по математике - нормального вектора плоскости α. Получаем: D(1;1;0), P(Программа элективного курса по математике;0;1), Q(1;1;Программа элективного курса по математике), Программа элективного курса по математике(1;1;-1), Программа элективного курса по математике(Программа элективного курса по математике;1;-Программа элективного курса по математике).

Пусть Программа элективного курса по математике - это искомый угол. Тогда Программа элективного курса по математике

Ответ: угол между прямой Программа элективного курса по математике и заданной плоскостью Программа элективного курса по математике равен Программа элективного курса по математике

1)В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а ее вершина M проектируется в точку B, и MB=AB. На ребре MD взяты точки Программа элективного курса по математике такие, что Программа элективного курса по математикеНайдите углы, которые образуют с плоскостью MAD следующие прямые: а) CПрограмма элективного курса по математике б) CПрограмма элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике



2)В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребре MC взяты точки Программа элективного курса по математике, Программа элективного курса по математике, и Программа элективного курса по математике, такие, что CПрограмма элективного курса по математике=Программа элективного курса по математике=Программа элективного курса по математике=Программа элективного курса по математике Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAB следующие прямые: а) DПрограмма элективного курса по математике б) DПрограмма элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

3)Диагональ Программа элективного курса по математике правильной призмы Программа элективного курса по математике образует с плоскостью ее основания угол, равный 45°. Найдите углы, которые образует прямая Программа элективного курса по математике со следующими плоскостями: а) Программа элективного курса по математике; б)Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике, где M - середина ребра Программа элективного курса по математике.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

4)Отношение высоты MO правильной пирамиды MABCD к стороне ее основания равно Программа элективного курса по математике. Через диагональ BD основания и точку K - середину ребра MC проведена плоскость. Найдите углы, которые образуют с плоскостью BDK следующие прямые: а) MO; б)MC; в)MB.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

5)На ребрах Программа элективного курса по математике, Программа элективного курса по математике и AD куба Программа элективного курса по математике взяты соответственно точки P, Q и R - середины этих ребер. Найдите углы, которые образуют с плоскостью PQR следующие прямые: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

6)В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник, у которого AC=BC. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, а угол между прямыми MC и MB равен 60°. На ребре MB взяты точки Программа элективного курса по математике, Программа элективного курса по математике и Программа элективного курса по математике, такие, что BПрограмма элективного курса по математике=Программа элективного курса по математике=Программа элективного курса по математике. Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAB следующие прямые: а) CПрограмма элективного курса по математике б) CПрограмма элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

7)Основанием пирамиды является правильный треугольник ABC, а ее вершина M проектируется в точку O, симметричную точке C относительно прямой AB. На ребре MC, образующем с плоскостью основания угол, равный 45°, взята точка K - середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая AL со следующими плоскостями: а) MOC; б)MBC; в) MAB.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

8)В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным 60°. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки P, Q и R - середины этих ребер. Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAC следующие прямые: а) DP; б)DQ; в) DR

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

9) В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 30°. На высоте MO пирамиды взята точка P - середина высоты. Найдите углы, которые образует прямая DP со следующими плоскостями: а) MAC; в) MAD; б) MCD.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

10)В правильной пирамиде MABCD боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. На высоте MO пирамиды взята точка K - середина MO. Найдите углы, которые образует прямая DK со следующими плоскостями: а)MAD; б) MBC; в) ACP, где точка P - точка пересечения прямых DK и MB.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике; б) Программа элективного курса по математике; в) Программа элективного курса по математике

Координатный метод решения задач.

  1. В пространстве введена прямоугольная система координат, за начало которой принята вершина В прямоугольного параллелепипеда Программа элективного курса по математике с отношением ребер АВ:АD:AA1=1:3:1. За единицу измерения принят отрезок, равный ВА, а за координатные оси приняты соответственно прямые ВА, ВС и ВВ1 с направлениями на них от точки В к точкам А, В, С1. Какие из шести точек Р1(4;4;1), Р2(-2;3;3), Р3(1;3;-2),Р4(4;1;-3), Р5(-3;-9;1), Р6(-1;-1;7) лежат: а) в плоскости АDC1; б) в плоскости ВВ1Р, где точка Р на ребре АD, такая, что АР:АD=1:3; в) в плоскости ВВ1D?

Ответ: а) Р2 и Р4, б)Р1 и Р6, в)Р3 и Р5.

  1. Высота правильной пирамиды МАВСD равна диагонали ее основания. Отрезки АD, МС и ВО (точка О- точка пересечения диагоналей основания) разделены каждый на 4 равные части таким образом, что АК11К22К33D, СС11С22С33М и ВВ11В22В33о. Считая АВ= 2а, найдите расстояние, наибольшее из следующих пар расстояний: а) К1С1 и К3С3; б) В1С1 и В3С3; в) К2С2 и ВС2.

Ответ: а) К1С1=Программа элективного курса по математике, б) В3С3=Программа элективного курса по математике, в)К2С2=ВС2=Программа элективного курса по математике.

  1. Боковое ребро правильной призмы АВСА1В1С1 в два раза меньше стороны ее основания и равно 1. На ребре АС взята точка Р - середина этого ребра, а в грани АВВ1А1 взята точка О - центр этой грани. Найдите расстояния до прямой РО от следующих точек: а) А1, б) С, в) В1.

Ответ: а) Программа элективного курса по математике, б) Программа элективного курса по математике, в) Программа элективного курса по математике.

  1. Все плоские углы при вершине М правильной пирамиды МАВС прямые. На стороне ВС основания взяты точки Р1, Р2, Р3, такие, что ВР11Р22Р33С, а на боковом ребре МС взяты точки О1, О2, О3, такие, что МО11О22О33С. Считая боковое ребро равным 1, найдите площади следующих треугольников: а) АР3О1; б) АР1О2; в) АР2О3.

Ответ: а )Программа элективного курса по математике , б)Программа элективного курса по математике, в)Программа элективного курса по математике.

  1. В основании призмы Программа элективного курса по математикележит квадрат АВСD, от вершин которого одинаково удалена вершина А1.Боковое ребро призмы наклонено под углом600 к плоскости ее основания. На ребре АА1 взята точка Р - середина этого ребра, а на диагонали А1С взята точка О - середина диагонали. Считая АВ = 2, найдите площади следующих треугольников: а) СDР; б) СРО; в) В1РО.

Ответ: а)Программа элективного курса по математике, б)Программа элективного курса по математике, в)Программа элективного курса по математике.



























Решение разнообразных задач по всему курсу.

  1. В кубе Программа элективного курса по математикеточка М - середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АМ и ВD1.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 , все ребра которой равны 1, точка D - середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АD и ВС1.

Ответ:Программа элективного курса по математике.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точка G- середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АG и ВD1.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точка G- середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АG и плоскостью ВСС1.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точка G- середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АG и плоскостью ВDD1.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. В кубе Программа элективного курса по математике точки Е, F - середины ребер соответственно А1В1 и А1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями АЕF и ВСС1.

Ответ:Программа элективного курса по математике.

  1. В кубе Программа элективного курса по математике точки Е, F - середины ребер соответственно А1В1 и А1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями АЕF и ВDD1.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. Найдите отношение расстояния между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра к радиусу описанного вокруг него шара.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. Найдите отношение расстояния между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра к радиусу вписанного в него шара.

Ответ: Программа элективного курса по математике.

  1. В прямоугольном параллелепипеде Программа элективного курса по математике АВ=5, АD=3, АА1=4. Точка N лежит на отрезке ВD , точка М лежит на отрезке ВС1. Прямые А1N и АМ пересекаются. Определите тангенс угла наклона прямой АМ к плоскости АDD1, если известно, что ВN : ND = 2:5.

Ответ : Программа элективного курса по математике.




© 2010-2022