- Преподавателю
- Математика
- Конспект по математике на тему Частные случаи квадратных уравнений
Конспект по математике на тему Частные случаи квадратных уравнений
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Романова Т.П. |
Дата | 11.08.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное
здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.
Уравнение вида 2++=0 ,
где x -переменная, a, b, c - некоторые числа,
≠0 , называется квадратным уравнением.
Примеры: 52 −14+17=0; 32+5=0; 32−5=0.
Из школьного курса нам известны формулы:
.
.
И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:
2++=0,
Если числа m и n таковы,
что m+n=-p,
а mn=q, то: 1=, 2=.
Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.
Мы заметили, что
1) Еслиа+в+с=0, то 1=; 2=
Доказательство:
Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .
В уравнение ах2+вх+с=0 подставим
в = -(а + с), получим
а 2-(а+с) +с=0,преобразуем:
(а 2-а ) - (с -с)=0 ,
а ( -1)-с( -1)=0,
( -1)(а -с)=0,
-1=0 или а -с=0,
откуда =1 или =
2) Если а + с = в, то = −; = −
Доказательство.
В уравнение аx2+в +с=0 подставим
в = а + с, получим
а 2+(а + с) +с=0 , преобразуем:
(а 2+а) + (с +с)=0 ,
а ( +1)+с( +1)=0,
(+1)(а +с)=0,
+1=0 или а +с=0,
откуда =-1 или =-
Назвали это:
Приѐмом «Коэффициентов»:
Например:
3192 + 1988 + 1669 = 0, 1 = −1; 2 =;
3192 − 4 − 315 = 0, 1 = 1; 2 = −.
Уравнение вида
2 + (2 + ) + =
имеет корни : = − ; =
Доказательство:
По формуле I найдем:
;
1= -a; 2=
Например:
Уравнение вида
2 -(2+1) + = , имеет корни: = ; =
Доказательство:
По формуле I найдем: ;; 1 = a; 2=
Например:
Уравнение вида
ах2 +( а2 - 1 )х - а = 0
Доказательство:
По формуле I найдём :
; 1= -а; 2=
Например:
Уравнение вида
2 - (2 - ) − = , имеет корни: = ; = −.
Доказательство:
По формуле I найдем:
; ; 1= а; 2=
Например:
Но это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.
Пусть в уравнении ах2+вх+с=0
свободный член c = m·n.
Тогда его можно записать в виде:
ах2+вх+mn = 0 (1)
Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения аmх2+вх+n=0 (2)
Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть D=b2-4mn= b2-4ac.
Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:
, а уравнения (2) по формуле:
.
Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.
Например, уравнение имеет корни х1=1 , х2=12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение имеет корни: х1=; х2= 2
Уравнение имеет корни х1=; х2=4
Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.
Например, возьмем уравнение: , корни которого мы уже
нашли: 1 и 12.
Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Отсюда уравнения:
x2-13x +12=0, 1=12; 2=1,
12х2-13х+1=0, 1=1/12; 2=1,
2x2-13x+6=0, x1=1/2; 2=6,
6x2 -13x +2 =0, 1=1/6; 2=2,
3x2-13x+4=0, 1=1/3; 2=4,
4x2 -13x +3=0, 1=1/4; 2=3,
переброска
Решим уравнение: 4x2-21x+5 =0 (1)
Получим уравнение:х2-21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.
Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : 1=1/4; 2=5.
Проверь себя!
Вывод:
данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;
овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;
потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.
Приложение.
1) Если а+в+с=0, то = ; =
2) Если а + с = в, то = −; = −
3)Уравнение вида
2 + (2 + )2 + =
имеет корни: = −; =
4)Уравнение вида
2 -( 2+1)x + =
имеет корни: = ; =
5)Уравнение вида
2 - (2 - ) − =
имеет корни: = ; = −.
6)Уравнение вида
+( - ) − = 0
имеет корни: = −; =