Конспект по математике на тему Частные случаи квадратных уравнений

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

Уравнение вида ²++=0 ,

где x -переменная, a, b, c - некоторые числа,

≠0 , называется квадратным уравнением.

Примеры: 5² −14+17=0; 3²+5=0; 3²−5=0.

Из школьного курса нам известны формулы:

.

.

И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

²++=0,

Если числа m и n таковы,

что m+n=-p,

а mn=q, то: ₁=, ₂=.

Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

Мы заметили, что

1) Еслиа+в+с=0, то ₁=; ₂=

Доказательство:

Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

В уравнение ах²+вх+с=0 подставим

в = -(а + с), получим

а ²-(а+с) +с=0,преобразуем:

(а ²-а ) - (с -с)=0 ,

а ( -1)-с( -1)=0,

( -1)(а -с)=0,

-1=0 или а -с=0,

откуда =1 или =

2) Если а + с = в, то = −; = −

Доказательство.

В уравнение аx²+в +с=0 подставим

в = а + с, получим

а ²+(а + с) +с=0 , преобразуем:

(а ²+а) + (с +с)=0 ,

а ( +1)+с( +1)=0,

(+1)(а +с)=0,

+1=0 или а +с=0,

откуда =-1 или =-

Назвали это:

Приѐмом «Коэффициентов»:

Например:

3192 + 1988 + 1669 = 0, ₁ = −1; ₂ =;

3192 − 4 − 315 = 0, ₁ = 1; ₂ = −.

Уравнение вида

² + (² + ) + =

имеет корни : = − ; =

Доказательство:

По формуле I найдем:

;

₁₌ -a; ₂=

Например:

Уравнение вида

² -(²+1) + = , имеет корни: = ; =

Доказательство:

По формуле I найдем: ;; _{1 =} a; ₂=

Например:

_{Уравнение вида}

_ах² _{+( а}² _{- 1 )х - а = 0}

_{Доказательство:}

_{По формуле I найдём :}

; ₁₌ -а; ₂₌

Например:

Уравнение вида

² - (² - ) − = , имеет корни: = ; = −.

Доказательство:

По формуле I найдем:

; ; ₁₌ а; ₂₌

Например:

^{Но это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.}

^{Пусть в уравнении} ах²+вх+с=0

^{свободный член c = m·n}.

Тогда его можно записать в виде:

ах²+вх+mn = 0 (1)

Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения аmх²+вх+n=0 (2)

^{Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть D=b2-4mn= b2-4ac.}

Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

, а уравнения (2) по формуле:

.

Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.

Например, уравнение имеет корни х_{1=1 ,} х₂=12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение имеет корни: х₁=; х₂= 2

У^{равнение имеет корни х}₁^{=; х}₂⁼⁴

Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например, возьмем уравнение: ^, корни которого мы уже

нашли: 1 и 12.

Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Отсюда уравнения:

x²-13x +12=0, ₁₌12; ₂=1_,

12х²-13х+1=0, ₁₌1/12; ₂=1_,

2x²-13x+6=0, x₁=1/2; ₂=6_,

6x² -13x +2 =0, ₁₌1/6; ₂=2_,

3x²-13x+4=0, ₁₌1/3; ₂=4_,

4x² -13x +3=0, ₁₌1/4; ₂=3_,

переброска

Решим уравнение: 4x²-21x+5 =0 (1)

Получим уравнение:х²-21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : ₁₌1/4; ₂=5.

Проверь себя!

Вывод:

данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

Приложение.

1) Если а+в+с=0, то = ; =

2) Если а + с = в, то = −; = −

3)Уравнение вида

² + (² + )² + =

имеет корни: = −; =

4)Уравнение вида

² -( ²+1)x ₊ =

имеет корни: = ; =

5)Уравнение вида

² - (² - ) − =

имеет корни: = ; = −.

6)Уравнение вида

+( - ) − = 0

имеет корни: = −; =