Урок по теме Логарифмическая функция, ее свойства и график

«Логарифмическая функция, её свойства и график».

Бывалина Л.Л., учитель математики МБОУ СОШ с.Киселевка Ульчского района Хабаровского края

Алгебра 10 класс

Тема урока: «Логарифмическая функция, её свойства и график».

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• сформировать представление о логарифмической функции, ее основных свойствах;

• сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции;

• содействовать развитию умений выявлять свойства логарифмической функции по графику;

• развитие навыков работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать;

• развитие умений работать в парах, микрогруппах (навыки общения, диалога, принятие совместного решения)

Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве

Используемые приемы: верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, синквейн

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,

Ход урока:

Стадия вызова:

Вступление учителя. Мы работаем над освоением темы «Логарифмы». Что на данный момент мы знаем и умеем?

Ответы учащихся.

Знаем: определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов.

Умеем: вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов.

С каким понятием тесно связано понятие логарифма? (с понятием степени, т.к. логарифм - показатель степени)

Задание учащимся. Используя понятие логарифма, заполните две любые таблицы при

а > 1 и при 0 < a < 1(Приложение №1)

х

1

2

4

8

16

х

1

2

4

8

16

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

х

1

3

9

х

1

3

9

-2

-1

0

1

2

2

1

0

-1

-2

Проверка работы групп.

Что представляют собой представленные выражения? (показательные уравнения, показательные функции)

, , ,

Задание учащимся. Решите показательные уравнения с помощью выражения переменной х через переменную у.

В результате этой работы получаются формулы:

_{, , ,}

В полученных выражениях поменяем местами х и у. Что получилось у нас?

_{, , ,}

Как бы вы назвали эти функции? (логарифмические, так как переменная стоит под знаком логарифма). Как записать эту функцию в общем виде? .

Тема нашего урока «Логарифмическая функция, её свойства и график».

Логарифмическая функция - это функция вида , где а - заданное число, а>0, а≠1.

Наша задача - научиться строить и исследовать графики логарифмических функций, применять их свойства.

На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»

Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если «нет», то знак «-». Если сомневаетесь - поставьте знак «?».

Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)

№ п/п

Вопросы:

А

Б

В

Верите ли вы, что…

1.

Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.

+

2.

Показательная и логарифмическая функции взаимно обратные функции

+

3.

Графики показательной у=а^х и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.

+

4.

Область определения логарифмической функции - вся числовая прямаях (-∞, +∞)

-

5.

Область значений логарифмической функции- промежуток у (0, +∞)

-

6.

Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма

+

7.

Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0).

-

8.

Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по-другому расположенная в координатной плоскости.

+

9.

Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма.

-

10.

Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

+

11.

Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при а > 1 и наоборот при 0 < a < 1

-

После окончания работы учитель предлагает поделиться своим мнением с классом (2 мин).

Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.

Стадия осмысления содержания (10 мин).

Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.

Задание группам. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §4 стр.240-242. Но предлагаю не просто читать текст, а выбрать одну из четырёх ранее полученных функций:,, , , построить её график и выявить по графику свойства логарифмической функции. Каждый член группы это делает в тетради. А затем на большом листе в клетку строят график функции. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.

Задание группам. Обобщите свойства функции для а > 1 и 0 < a < 1 (Приложение №3)

Свойства функции у = log_a x при a > 1.

1. область определения: х (0; +∞);

2. множество значений: у (-∞, +∞);

3. возрастает на (0; +∞ );

4. не является ни четной, ни нечетной;

5. не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);

6. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7. непрерывна;

8. выпукла вверх;

9. у>0 при х>1, у<0 при 0<х<1.

Свойства функции у = log_a x , при 0 < a < 1.

1. область определения: х (0; +∞);

2. множество значений: у (-∞, +∞);

3. убывает на (0; +∞ );

4. не является ни четной, ни нечетной;

5. не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);

6. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7. непрерывна;

8. выпукла вниз;

9. у<0 при х>1, у>0 при 0<х<1.

Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1, и в случае, когда 0.

График функции у = log_a x проходит через точку с координатами (1;0)

Задание группам. Докажите, что показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.

Ученики в одной системе координат изображают график логарифмической и показательной функции

Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а^х и логарифмическую у = log_a х.

На рис.2 схематически изображены графики функций у = а^x и у = log_a х в случае, когда a>1.

На рис.3 схематически изображены графики функций у = а^x и у = log_a х в случае, когда 0 < a < 1.

рис.3.

рис.2.

Справедливы следующие утверждения.

• График функции у = log_a х симметричен графику функции у = а^x относительно прямой у = х.

• Множеством значения функции у = а^xявляется множество у>0 , а областью определения функции у = log_a х является множество х>0.

• Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = а^x, а ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = log_a х.

• Функция у = а^xвозрастает при а>1 и функция у = log_a х также возрастает при а>1. Функция у = а^xубывает при 0<а<1 и функция у = log_a х также убывает при 0<а<1