Урок на тему Геометрический смысл производной

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Урок на тему Геометрический смысл производнойУрок на тему Геометрический смысл производнойУрок на тему Геометрический смысл производнойУрок на тему Геометрический смысл производнойУрок на тему Геометрический смысл производнойУрок на тему Геометрический смысл производнойУрок на тему Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производной

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «производная степенной функции», «Правила дифференцирования», «Производные некоторых элементарных функций», «Геометрический смысл производной», уметь составлять уравнения касательной.

Цели урока:

1) образовательная: повторение определения углового коэффициента прямой, угла прямой и осью Ох; геометрического смысла производной, проверка знаний об уравнении касательной к графику функции;

2) воспитательная: воспитание познавательного интереса;

3) развивающая: развитие внимания и умения применять теоретические знания на практике.

Оборудование: записи на доске, проектор, тест.

Тип урока: урок-смотр знаний.


















Ход урока

I. Организационный момент.

(Сообщение темы и целей урока).

II. Повторение.

Задание 1. Тест.

Задания этого типа предусматривают индивидуальную работу с последующей взаимопроверкой.

На слайдах отображаются задания с перечнем ответов для выбора, но на них не отмечаются правильные ответы, так как они будут представлены позже общим списком на отдельном слайде, чтобы ученики смогли самостоятельно осуществить взаимопроверку.

Слайд 1. - 1. Если k - угловой коэффициент касательной к графику функции y = (x) в точке (х0; (х0)) и α - угол между касательной и осью Ох, то геометрический смысл производной состоит в том, что:

а) k = '(x);

б) k = '(x0);

в) k = α;

г) tg α = (x).

Слайд 2. - 2. Уравнение касательной к графику функции y = (x) в точке (х0; (х0)) имеет вид:

а) y = '(x) + '(x0)(x - x0);

б) y = (x0) - '(x)(x - x0);

в) y = (x0) + '(x0)(x - x0);

г) y = '(x0)(x - x0) - (x0).

Слайд 3. - 3. Угол между касательной к графику функции y = cos x в точке (0;1) и осью Ох равен:

а) Урок на тему Геометрический смысл производной;

б) Урок на тему Геометрический смысл производной;

в) Урок на тему Геометрический смысл производной;

г) 0.

Слайд 4. - 4. Если y = kx + b и k = tg α, то α - это угол:

а) между прямой y = kx + b и осью Ох;

б) между прямой y = kx + b и осью Оу;

в) между осями Ох и Оу;

г) между прямой y = kx + b и прямой y = kx.

Слайд 5. - 5. Угловой коэффициент касательной к графику функции (х) = lnх в точке с абсциссой х0 = 2 равен:

а) 1;

б) 2;

в) Урок на тему Геометрический смысл производной;

г) Урок на тему Геометрический смысл производной.

Слайд 6. - 6. Угол между прямой и осью Ох отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки к прямой. Если угловой коэффициент касательной k < 0, то угол между касательной и осью Ох:

а) прямой;

б) развернутый;

в) острый;

г) тупой.

Слайд 7. - 7. Если графики функций у = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны, то:

а) k1 = k2;

б) k1 > k2;

в) b1 = b2;

г) k1 < k2.

Слайд 8.

1. Б

2. В

3. Г

4. А

5. В

6. Г

7. А.

Задание 2. Запишите алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = (x) в точке с абсциссой х0.

Алгоритм:

Текст указывается на слайде.

1) общий вид уравнения касательной: y = (x0) + '(x0)(x - x0);

2) найти (x);

3) найти '(x);

4) найти '(x0);

5) подставить в уравнение касательной числовые значения (x0), '(x0), х0;

6) упростить полученное выражение.

- Проведем взаимопроверку. Проверяем тест.

- Оцените тест.

III. Практическая работа.

Задание 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с данной абсциссой х0.

(Выполняется самостоятельно по вариантам).

Вариант I

y = x - 5x2, x0 = 2.

Вариант II

y = ex, x0 =1.

Вариант III

(x) = cos x, x0 = Урок на тему Геометрический смысл производной.

Все решения с ответами находятся на слайдах.

- Проверяем решение I варианта. Один ученик читает ответ;

Аналогичным способом проверяются ответы I и II вариантов.

Задание 4. Найдите абсциссы точек графика функции y = 2x3 + Урок на тему Геометрический смысл производнойx + Урок на тему Геометрический смысл производной, в которой касательные, проведенные к нему, параллельны прямой у = 2х.

Данное задание выполняется у доски.

Решение этой задачи отображается на слайде.

Пусть k1 - угловой коэффициент касательных, k2 - угловой коэффициент прямой у = 2х. Так как касательные параллельны прямой, то k1 = k2.

k1 = '(х) =Урок на тему Геометрический смысл производной= 6х2 +Урок на тему Геометрический смысл производной; k2 = 2;

2 + Урок на тему Геометрический смысл производной = 2 6х2 Урок на тему Геометрический смысл производной х2 Урок на тему Геометрический смысл производной х2 Урок на тему Геометрический смысл производной х1,2

Ответ: Урок на тему Геометрический смысл производной, - Урок на тему Геометрический смысл производной.

Задание 5. Найдите абсциссы точек графика функции у = (х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = рх.

а) (х) = Урок на тему Геометрический смысл производной р = 2.

На слайде - Решение: Находим производную: '(х) = (Урок на тему Геометрический смысл производной)' = 2Урок на тему Геометрический смысл производной. Так как касательная параллельна прямой у = рх, то 2Урок на тему Геометрический смысл производной = р = 2. Отсюда Урок на тему Геометрический смысл производной = 1, или 2х = 2πn, n ϵ Z.

Ответ: х = πn, n ϵ Z.

б) (х) = Урок на тему Геометрический смысл производной3х+1; р = Урок на тему Геометрический смысл производной.

На слайде - Решение: Находим производную: '(х) = (Урок на тему Геометрический смысл производной3х+1)' = Урок на тему Геометрический смысл производной. Так касательная параллельна прямой у = рх, то Урок на тему Геометрический смысл производной = р = Урок на тему Геометрический смысл производной.

Отсюда Урок на тему Геометрический смысл производной3х+1 = 2, или х = 1.

Ответ: х =1.

в) (х) = х + Урок на тему Геометрический смысл производной; р = 0.

На слайде - Решение: Находим производную: '(х) = (х + Урок на тему Геометрический смысл производной)' = 1 + Урок на тему Геометрический смысл производной. Так как касательная параллельной прямой у = 0, то 1 + Урок на тему Геометрический смысл производной = 0, или Урок на тему Геометрический смысл производной = -1.

Ответ: х = π + 2πn, n ϵ Z.

Задание 6. Выясните, при каких значениях а касательная, проведенная к графику функции у = х3 - ах в точке с абсциссой х0 = 1, проходит через точку М(2;3).

Задание выполняется у доски. См. слайд.

Задание 7. Прямая касается гиперболы у = Урок на тему Геометрический смысл производной в точке (1;4). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Дополнительное задание. См. слайд.

IV. Подведение итогов урока.

Учащиеся оценивают свои знания, умения по данной теме и работу на уроке.

Творческое домашнее задание.

Составь кроссворд по теме «Производная».


Приложение для работы на уроке


Все приложения отображаются на слайдах презентации и непосредственно используются по ходу работы учителя с заданиями.

Решения

Задание 3.

Вариант I.

Решение.

у = (х0) + '(х)(х - х0),

'(х) = (х - 5х2)' = 1 - 10х,

0) = (2) = 2 - 5Урок на тему Геометрический смысл производной 22 = 2 - 20 = - 18,

'(х0) = '(2) = 1 - 10 Урок на тему Геометрический смысл производной 2 = - 19.

Итак, уравнение касательной у = - 18 - 19(х -2), у = 20 - 19х.

Ответ: у = 20 - 19х.

Вариант II.

Решение.

у = (х0) + '(х)(х - х0),

'(х) = (ех)' = ех,

0) = (1) = е,

'(х0) = '(1) = е.

Итак, уравнение касательной у = е + е(х - 1), или у = ех.

Ответ: у = ех.

Вариант III.

Решение.

у = (х0) + '(х)(х - х0),

'(х) = (сosx)' = - sin x,

0) = (Урок на тему Геометрический смысл производной = 0,

'(х0) = '(Урок на тему Геометрический смысл производной = -1.

Итак, уравнение касательной у = 0 - 1(х - Урок на тему Геометрический смысл производной), или у = - х + Урок на тему Геометрический смысл производной.

Ответ: у = - х + Урок на тему Геометрический смысл производной.

Задание 6.

Решение. Напишем уравнение касательной к графику функции (х) = х3 - ах в точке с абсциссой х0 = 1. Общий вид касательной у = (х0) + '(х)(х - х0). Находим

0) + (1) = 1 - а. Вычисляем производную '(х) = (х3 - ах)' = 3х3 - а, а в точке х0 = 1 получим '(1) = 3·12 - а = 3 - а. Итак, уравнение касательной имеет вид

у = 1 - а + (3 - а)(х - 1), или у = - 2 + (3 - а)х.

Так как касательная проходит через точку М(2;3), то верно равенство:

3 = - 2 + (3 - а) · 2, откуда 5 = 6 - 2а, т.е. а = Урок на тему Геометрический смысл производной.

Ответ: а = Урок на тему Геометрический смысл производной.

Задание 7.

Решение. Составим уравнение касательной. Для функции (х) = Урок на тему Геометрический смысл производной уравнение касательной в точке с абсциссой х0 = 1 имеет вид (1) + '(1)(х - 1).

Вычисляем производную: '(х) = (Урок на тему Геометрический смысл производной- Урок на тему Геометрический смысл производной.

Имеем (1) = 4 и '(1) = -4.

Значит, уравнение касательной имеет вид у = 4 - 4(х - 1), т.е. у = 8 - 4х.

Чтобы найти пересечение прямой с осями координат, надо в уравнение касательной подставить сначала х = 0, а потом у = 0. Получим, что касательная пересекается с осями координат в точках А(0;8) и В(2;0). Поэтому искомая площадь равна:

SAOB = Урок на тему Геометрический смысл производнойOB · OA = Урок на тему Геометрический смысл производной · 8 · 2 = 8 (кв. ед.).

Ответ: S = 8 (кв. ед.).



© 2010-2022