- Преподавателю
- Математика
- Урок на тему Геометрический смысл производной
Урок на тему Геометрический смысл производной
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Шорникова С.П. |
Дата | 25.08.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Геометрический смысл производной
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «производная степенной функции», «Правила дифференцирования», «Производные некоторых элементарных функций», «Геометрический смысл производной», уметь составлять уравнения касательной.
Цели урока:
1) образовательная: повторение определения углового коэффициента прямой, угла прямой и осью Ох; геометрического смысла производной, проверка знаний об уравнении касательной к графику функции;
2) воспитательная: воспитание познавательного интереса;
3) развивающая: развитие внимания и умения применять теоретические знания на практике.
Оборудование: записи на доске, проектор, тест.
Тип урока: урок-смотр знаний.
Ход урока
I. Организационный момент.
(Сообщение темы и целей урока).
II. Повторение.
Задание 1. Тест.
Задания этого типа предусматривают индивидуальную работу с последующей взаимопроверкой.
На слайдах отображаются задания с перечнем ответов для выбора, но на них не отмечаются правильные ответы, так как они будут представлены позже общим списком на отдельном слайде, чтобы ученики смогли самостоятельно осуществить взаимопроверку.
Слайд 1. - 1. Если k - угловой коэффициент касательной к графику функции y = (x) в точке (х0; (х0)) и α - угол между касательной и осью Ох, то геометрический смысл производной состоит в том, что:
а) k = '(x);
б) k = '(x0);
в) k = α;
г) tg α = (x).
Слайд 2. - 2. Уравнение касательной к графику функции y = (x) в точке (х0; (х0)) имеет вид:
а) y = '(x) + '(x0)(x - x0);
б) y = (x0) - '(x)(x - x0);
в) y = (x0) + '(x0)(x - x0);
г) y = '(x0)(x - x0) - (x0).
Слайд 3. - 3. Угол между касательной к графику функции y = cos x в точке (0;1) и осью Ох равен:
а) ;
б) ;
в) ;
г) 0.
Слайд 4. - 4. Если y = kx + b и k = tg α, то α - это угол:
а) между прямой y = kx + b и осью Ох;
б) между прямой y = kx + b и осью Оу;
в) между осями Ох и Оу;
г) между прямой y = kx + b и прямой y = kx.
Слайд 5. - 5. Угловой коэффициент касательной к графику функции (х) = lnх в точке с абсциссой х0 = 2 равен:
а) 1;
б) 2;
в) ;
г) .
Слайд 6. - 6. Угол между прямой и осью Ох отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки к прямой. Если угловой коэффициент касательной k < 0, то угол между касательной и осью Ох:
а) прямой;
б) развернутый;
в) острый;
г) тупой.
Слайд 7. - 7. Если графики функций у = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны, то:
а) k1 = k2;
б) k1 > k2;
в) b1 = b2;
г) k1 < k2.
Слайд 8.
1. Б
2. В
3. Г
4. А
5. В
6. Г
7. А.
Задание 2. Запишите алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = (x) в точке с абсциссой х0.
Алгоритм:
Текст указывается на слайде.
1) общий вид уравнения касательной: y = (x0) + '(x0)(x - x0);
2) найти (x);
3) найти '(x);
4) найти '(x0);
5) подставить в уравнение касательной числовые значения (x0), '(x0), х0;
6) упростить полученное выражение.
- Проведем взаимопроверку. Проверяем тест.
- Оцените тест.
III. Практическая работа.
Задание 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с данной абсциссой х0.
(Выполняется самостоятельно по вариантам).
Вариант I
y = x - 5x2, x0 = 2.
Вариант II
y = ex, x0 =1.
Вариант III
(x) = cos x, x0 = .
Все решения с ответами находятся на слайдах.
- Проверяем решение I варианта. Один ученик читает ответ;
Аналогичным способом проверяются ответы I и II вариантов.
Задание 4. Найдите абсциссы точек графика функции y = 2x3 + x + , в которой касательные, проведенные к нему, параллельны прямой у = 2х.
Данное задание выполняется у доски.
Решение этой задачи отображается на слайде.
Пусть k1 - угловой коэффициент касательных, k2 - угловой коэффициент прямой у = 2х. Так как касательные параллельны прямой, то k1 = k2.
k1 = '(х) == 6х2 +; k2 = 2;
6х2 + = 2 6х2 х2 х2 х1,2
Ответ: , - .
Задание 5. Найдите абсциссы точек графика функции у = (х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = рх.
а) (х) = р = 2.
На слайде - Решение: Находим производную: '(х) = ()' = 2. Так как касательная параллельна прямой у = рх, то 2 = р = 2. Отсюда = 1, или 2х = 2πn, n ϵ Z.
Ответ: х = πn, n ϵ Z.
б) (х) = 3х+1; р = .
На слайде - Решение: Находим производную: '(х) = (3х+1)' = . Так касательная параллельна прямой у = рх, то = р = .
Отсюда 3х+1 = 2, или х = 1.
Ответ: х =1.
в) (х) = х + ; р = 0.
На слайде - Решение: Находим производную: '(х) = (х + )' = 1 + . Так как касательная параллельной прямой у = 0, то 1 + = 0, или = -1.
Ответ: х = π + 2πn, n ϵ Z.
Задание 6. Выясните, при каких значениях а касательная, проведенная к графику функции у = х3 - ах в точке с абсциссой х0 = 1, проходит через точку М(2;3).
Задание выполняется у доски. См. слайд.
Задание 7. Прямая касается гиперболы у = в точке (1;4). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.
Дополнительное задание. См. слайд.
IV. Подведение итогов урока.
Учащиеся оценивают свои знания, умения по данной теме и работу на уроке.
Творческое домашнее задание.
Составь кроссворд по теме «Производная».
Приложение для работы на уроке
Все приложения отображаются на слайдах презентации и непосредственно используются по ходу работы учителя с заданиями.
Решения
Задание 3.
Вариант I.
Решение.
у = (х0) + '(х)(х - х0),
'(х) = (х - 5х2)' = 1 - 10х,
(х0) = (2) = 2 - 5 22 = 2 - 20 = - 18,
'(х0) = '(2) = 1 - 10 2 = - 19.
Итак, уравнение касательной у = - 18 - 19(х -2), у = 20 - 19х.
Ответ: у = 20 - 19х.
Вариант II.
Решение.
у = (х0) + '(х)(х - х0),
'(х) = (ех)' = ех,
(х0) = (1) = е,
'(х0) = '(1) = е.
Итак, уравнение касательной у = е + е(х - 1), или у = ех.
Ответ: у = ех.
Вариант III.
Решение.
у = (х0) + '(х)(х - х0),
'(х) = (сosx)' = - sin x,
(х0) = ( = 0,
'(х0) = '( = -1.
Итак, уравнение касательной у = 0 - 1(х - ), или у = - х + .
Ответ: у = - х + .
Задание 6.
Решение. Напишем уравнение касательной к графику функции (х) = х3 - ах в точке с абсциссой х0 = 1. Общий вид касательной у = (х0) + '(х)(х - х0). Находим
(х0) + (1) = 1 - а. Вычисляем производную '(х) = (х3 - ах)' = 3х3 - а, а в точке х0 = 1 получим '(1) = 3·12 - а = 3 - а. Итак, уравнение касательной имеет вид
у = 1 - а + (3 - а)(х - 1), или у = - 2 + (3 - а)х.
Так как касательная проходит через точку М(2;3), то верно равенство:
3 = - 2 + (3 - а) · 2, откуда 5 = 6 - 2а, т.е. а = .
Ответ: а = .
Задание 7.
Решение. Составим уравнение касательной. Для функции (х) = уравнение касательной в точке с абсциссой х0 = 1 имеет вид (1) + '(1)(х - 1).
Вычисляем производную: '(х) = (- .
Имеем (1) = 4 и '(1) = -4.
Значит, уравнение касательной имеет вид у = 4 - 4(х - 1), т.е. у = 8 - 4х.
Чтобы найти пересечение прямой с осями координат, надо в уравнение касательной подставить сначала х = 0, а потом у = 0. Получим, что касательная пересекается с осями координат в точках А(0;8) и В(2;0). Поэтому искомая площадь равна:
SAOB = OB · OA = · 8 · 2 = 8 (кв. ед.).
Ответ: S = 8 (кв. ед.).