Проект по теме: «Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых»

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального

образования МО «Академия социального управления»

Дополнительное профессиональное образование

Кафедра математических дисциплин

Проект

по теме:

«Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых»

Выполнил

слушатель учебного курса

г. Сергиева Посада

«Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы»

учитель математики

МБОУ «Хотьковская основная общеобразовательная школа № 4»

Сергиево - Посадского района

Волуй Татьяна Юрьевна

Руководитель курса:

Кузнецова Марина Вячеславовна

Москва

2014г.

Содержание

1. Уравнение прямой ……………………………… стр. 3

2. Угловой коэффициент……………………………… стр. 5

3. Условие параллельности прямых…………………. стр. 10

4. Примеры решения задач …………………………... стр. 11

5. Список литературы ……………………………….... стр. 13

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой.

Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.

Определение. Уравнение вида

F(x,y)=0 (1)

называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Определение. Уравнение вида

Ах+Ву+С=0 (2)

при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой.

Уравнение (2) есть уравнение первой степени, таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение (2) является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1) Если С=0, то уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат т.к. координаты (0,0) удовлетворяют данному уравнению.

2) Если В=0 (А≠0), то уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси ординат. Разрешив это уравнение относительно переменной х получим уравнение вида х=а, гдеа=-С/А, а- величина отрезка, который отсекает прямая на оси абсцисс. Если а=0 (С=0), то прямая совпадает с осью Оу (рис.1а). Таким образом, прямая х=0 определяет ось ординат.

3) Если А=0 (В≠0), то уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Разрешив это уравнение относительно переменной у получим уравнение вида у=b, где b=-С/В, b- величина отрезка, который отсекает прямая на оси ординат. Если b=0 (С=0), то прямая совпадает с осью Ох (рис.1б). Таким образом, прямая у=0 определяет ось абсцисс.

а) б)

Рис.1

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С в правую часть и разделим на -С обе части.

Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках»:

(3)

Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Пример. Прямая задана общим уравнением 2х-3у+6=0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить эту прямую.

Решение. Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:

Чтобы построить эту прямую, отложим на оси Ох отрезок а=-3, а на оси Оу отрезок b=2. Через полученные точки проведем прямую (рис.2).

Рис.2

Угловой коэффициент прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициент В не равен нулю. Выполним следующие преобразования

,

(4)

Уравнение (4), где k=-A/B, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Определение. Углом наклона данной прямой к оси Ох назовем угол α, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений прямой.

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции - арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс.

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры - «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры - «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример - «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), угловой коэффициент не определён. В данной ситуации , а тангенса угла 90 градусов не существует.

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой.

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту, т.е k=tgα.

Докажем, что -А/В действительно равно k. Из прямоугольного треугольника ΔОАВ (рис.3) выразим tgα, выполним необходимые преобразования и получим:

, что и требовалось доказать.

Рис.3

Если k=0, то прямая параллельна оси Ох, и её уравнение имеет вид у=b.

Пример. Прямая задана общим уравнением 4х+2у-2=0. Составить для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.

Решение. Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:

где k=-2, b=1.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с данным угловым коэффициентом.

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение: Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ:

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод: уравнение найдено правильно.

Пусть задана точка М₀(х₀,у₀) прямой и её угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде (4), где b-пока неизвестное число. Так как точка М₀ принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (4): . Подставляя выражение для b в (4), получаем искомое уравнение прямой:

(5)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и под наклоном к оси Ох под углом 45⁰.

Решение. К = tgα = tg45⁰ = 1. Отсюда: .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М₂ принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:

Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:

(6)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М₁(1,2) и М₂(-2,3)

Решение. . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l₁ и l₂:

l₁ : , , и

l₂ : , ,

φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .

Рис.4

Отсюда , или

(7)

С помощью формулы (7) можно определить один из углов между прямыми. Второй угол равен .

Пример. Две прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими прямыми.

Решение. Из уравнений видно, что k₁=2, а k₂=-3. подставляя данные значения в формулу (7), находим

. Таким образом, угол между данными прямыми равен .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то φ=0 и tgφ=0. из формулы (7) следует, что , откуда k₂=k₁.

Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то φ=π/2, α₂= π/2+ α₁ .

.

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить угловой коэффициент примой, проходящей через точки
M₁(3; -5) и М₂(5; -7).

Подставляя координаты точек M₁ и М₂ в формулу (2), получим

или k = - 1 ^

Задача 2. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M₁(3; 5) и M₂(3; -2).

Так как x₂ - x₁= 0, то равенство (2) теряет смысл. Для этой прямой угловой коэффициент не существует. Прямая M₁M₂ параллельна оси Оу.

Задача 3. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку M₁(3; -5)

В этом случае точка M₂ совпадает с началом координат. Применяя формулу (2), получим

***

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку
M₁(x₁; у₁). По формуле (2) угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек. В нашем случае точка M₁ задана, а в качестве второй точки можно взять любую точку М(х; у) искомой прямой.

Если точка М лежит на прямой, которая проходит через точку M₁ и имеет угловой коэффициент k, то в силу формулы (2) имеем

Если же точка М не лежит на прямой, то равенство (3) не выполняется. Следовательно, равенствo (3) и есть уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; у₁) с угловым коэффициентом k; это уравнение обычно записывают в виде

y - y₁ = k (x - x₁). (4)

Если прямая пересекает ось Оу в некоторой точке (0; b), то уравнение (4) принимает вид

у - b = k (х- 0),

т.е.

y = kx + b. (5)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.

Задача 4. Найти угол наклона прямой √3 х + 3у - 7 = 0.

Приведем данное уравнение к виду

Следовательно, k = tg α = - ¹/_√3 , откуда α = 150° ^

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; -4), с угловым коэффициентом k = ²/₅

Подставив k = ²/₅ , x₁ = 3, y₁ = - 4 в уравнение (4), получим

у - (- 4) = ²/₅ (х - 3) или 2х - 5у - 26 = 0.

Задача 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q (-3; 4) и составляющей с положительным направлением оси Ох угол 30°.

Если α = 30°, то k = tg 30° = ^√3/₃. Подставив в уравнение (4) значения x₁, y₁ и k, получим

у -4 = ^√3/₃ (x + 3) или √3 x -3y + 12 + 3√3 = 0.

Список литературы

Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука,

Физматлит, 1998.

Кирилл Кравченко, a-geometry.narod.ru/.

unicyb.kiev.ua/Library/Algebra/Kletenik/kletenik_12.do

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия

Учебные пособия:

1. В.Г. Болтянский. Элементарная геометрия.

Москва, «Просвещение», 1985.

2. В.В.Зайцев, В.В.Рыжков, М.И.Сканави. Элементарная математика.

Москва, «Наука», 1974.

3. В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович. Краткий курс высшей математики.

Москва, «Наука», 1975.

4. Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей.

Москва, «Наука», 1969.

Справочники:

1. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике.

Москва, «Наука», 1979.

2. С.С.Белявский. Весь курс математики.

Минск, «Современный литератор», 2001.

3. А.Г.Цыпкин, Г.Г.Цыпкин. Математические формулы.

Москва, «Наука», 1985.

Задачники:

1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы.

Под ред. М.И.Сканави. Москва, «Высшая школа», 1980.

2. Сборник задач по математике для поступающих в вузы.

Под ред. А.И.Прилепко. Москва, «Высшая школа», 1983.

3. Е.Б.Ваховский, А.А.Рывкин. Задачи по элементарной математике

повышенной трудности. Москва, «Наука», 1969.