Конспекты уроков по геометрии 8 класс

8 класс

ПОЧАСОВОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА (по учеб. Атанасян и др.)

Номер параграфа

Название темы

Кол-во

часов

Номер урока

Сроки

провед.

Глава V. Четырехугольники

14

§1

Многоугольники

2

1-2

§2

Параллелограмм и трапеция

6

3-8

§3

Прямоугольник. Ромб. Квадрат

4

9-12

Решение задач

1

13

Контрольная работа № 1

1

14

Глава VI. Площадь

14

Площадь многоугольника

2

15-16

§2

Площадь параллелограмма и трапеции

6

17-22

§3

Теорема Пифагора

3

23-25

Решение задач

2

26-27

Контрольная работа № 2

1

28

Глава VII. Подобные треугольники

19

Определение подобных треугольников

2

29-30

§2

Признаки подобия треугольников

5

31-35

Контрольная работа № 3

1

36

§3

Применение к доказательству теорем и решению задач подобия треугольников

7

37-43

§4

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треуг-ника

3

45-47

Контрольная работа № 4

1

48

Глава VIII. Окружность

17

§1

Касательная к окружности

3

49-51

§2

Центральные и вписанные углы

4

52-55

§3

Четыре замечательные точки треугольника

3

56-58

§4

Вписанная и описанная окружности

4

59-62

Решение задач

1

63

Контрольная работа № 5

1

64

Повторение. Решение задач

4

65-68

Всего

68

Глава V. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

(14 часов)

Основная цель - дать учащимся систематические сведения о четырехугольниках и их свойствах; сформулировать представления о фигурах, симметричных относительно точки или прямой.

МНОГОУГОЛЬНИКИ (§ 1)

(2 часа)

Урок I

Цели: ввести понятия многоугольника и выпуклого много­угольника и рассмотреть четырехугольник как частный вид много­угольника; научить объяснять, какая фигура называется много­угольником, и называть его элементы; повторить в ходе решения задач признаки равенства треугольников.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол).

Что общего у этих геометрических фигур?

3. Вводится понятие многоугольника.

4. Рассматриваются элементы многоугольника (вершины, сто­роны, диагонали, утлы).

5. Отмечается, что каждый многоугольник разделяет плоское п

на две области - внутреннюю и внешнюю,

6. Дается понятие выпуклого многоугольника.

\II. Закрепление изученного материала.

1. Ответить на вопросы (устно):

Какие фигуры, изображенные на доске, являются многоуголь­никами?

Какие многоугольники являются выпуклыми?

2. Задание для каждого ряда:

Начертите выпуклый семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и проведите все диагонали из какой-нибудь его вершины. Сколько получилось треугольников?

III. Повторение.

Найти пары равных треугольников и доказать их равенство: на рис. 1-9.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 111; № 366, 363; найти па­ры равных треугольников и доказать их равенство на рис. 10-12.

Урок 2

МНОГОУГОЛЬНИКИ (§ 1)

Цели: вывести формулу суммы углов выпуклого много­угольника; научить решать задачи с помощью этой формулы; при решении задач повторить признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Ход урока

I. Устные упражнения.

1. Назовите многоугольник, все виды которого являются вы­пуклыми многоугольниками. (Треугольник.) 2. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины п-угольника, если п = 4, п = 5, п - 6, п - произвольное число, боль­ше 2?

3. Из одной вершины выпуклого n-угольника проводятся все его диагонали. Сколько при этом образуется треугольников, если п = 4, п = 5, п= 6, п - произвольное натуральное число, больше 2?

4. С помощью разбивки на треугольники найдите суммы углов выпуклых девятиугольника и одиннадцатиугольника.

II. Объяснение нового материала.

Сформулировать и доказать теорему о сумме углов выпуклого

п-угольника.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи № 364 (а), 365 (а, г), 370.

IV. Повторение.

Параллельны ли прямые а и в

d

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 3-5, с. 111; № 365 (б, в), 368, 369.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ (§ 2)

(6 часов)

Урок 3

Цели: ввести определение параллелограмма, рассмотреть его свойства.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Обсудить решения домашних задач, ответить на вопросы уча­щихся.

П. Самостоятельная работа.

Вариант I.

1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.

2. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найди­те число сторон этого многоугольника.

Вариант П.

1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

2. Сумма углов выпуклого многоугольника с равными друг другу углами равна 1260°. Найдите число сторон этого много­угольника.

Вариант III (для более подготовленных учащихся).

Каждый угол данного выпуклого многоугольника равен 150°. Найдите сумму углов выпуклого многоугольника, число сторон

которого в два раза меньше, чем число сторон данного много­угольника.

III. Изучение нового материала.

1. Дать определение параллелограмма. Воспроизвести рисунок 157 из учебного пособия на доске (учащиеся - в тетрадях) и запи­сать: «Параллелограмм АВСД». Предложить учащимся записать пары параллельных сторон: АВ \\ СД, ВС \\ АД.

Обратить внимание учащихся на то, что определение паралле­лограмма позволяет сделать два вывода:

1) Если известно, что некоторый четырехугольник является па­раллелограммом, то можно сделать вывод о том, что его противо­положные стороны параллельны.

2) Если известно, что у некоторого четырехугольника противо­положные стороны попарно параллельны, то он является паралле­лограммом.

2. На закрепление определения параллелограмма можно предложить учащимся устные задания:

1) Дан АВС. Параллельно сто­ронам АВ и АС проведены прямые EF и ДЕ. Определите вид четырехуголь­ника АДЕ.

2) В параллелограмме АВСД проведена диагональ ВД. Докажи­те, что АВД = СДВ.

3) Прямая EF параллельна стороне АВ параллелограмма АВСД. Докажите, что ABEF - параллелограмм.

3. Рассмотреть свойства параллелограмма.

4. Доказать, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

IV. Закрепление изученного материала.

Решить задачи № 376 (а) - устно; № 376 (б), 372 (а).

V. Итоги урока.

Если в условии задачи дано, что АВСД - параллелограмм, то можно использовать его свойства:

АВСД-параллелограмм

Домашнее задание: вопросы 6-8, с. 374. 372 (б), 376 (в, г),

Для желающих - индивидуальное задание:

1. В параллелограмме АВСД на сторонах АД и ВС взяты точки К и Е соответственно так, что /LKBE = 90° и отрезок ЕК проходит через точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО = ОЕ.

2. На сторонах АС и ВС треугольника ABC отмечены точки Д и Е соответственно, а внутри треугольника - точка М так, что че­тырехугольник ДСЕМ является параллелограммом и ДЕ \\ АВ. Пря­мая ДМ пересекает отрезок АВ в точке К, а прямая ЕМ- в точке Н. Докажите, что АК = НВ.

2. В параллелограммах АДЕН и КДЕВ, АН = ДЕ и KB - ДЕ. Значит, АН = КВ. Следовательно, АК = НВ.

Урок 4 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ (§ 2)

Цели: доказать признаки параллелограмма и рассмотреть

решение задач

.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнить задания (устно):

1) На рисунке: a) 1 = А, 2 = 3. Является ли четырех­угольник АВСД параллелограммом?

2) На рисунке б) 1 = 2 = 3. Докажите, что четырехуголь­ник АВСД- параллелограмм.

3) На рисунке в) MM \\ PQ, M= Р Докажите, что MNPO -параллелограмм.

4) Является ли четырехугольник АВСД, изображенный на ри­сунке г), параллелограммом, если a) 1 = 70°; 3 = 110°; 2 + 3 = 180°; 6) 1 = 2, 2 = 4?

2. Анализ самостоятельной работы.

3. Изучение нового материала.

1. Перед тем как приступить к изучению признаков параллело­грамма, следует напомнить учащимся, что означает слово «при­знак» и что такое обратная теорема.

2. Предложить учащимся самим сформулировать теоремы, об­ратные утверждениям о свойствах параллелограмма.

3. Подчеркнуть, что некоторое утверждение верно, но отсюда еще не следует, что верно и обратное ему утверждение.

4. Доказательство признаков можно провести силами учащихся.

4. Закрепление изученного материала.

Решить задачи № 379, 382.

Решение.

1) Так как ВК= АС и ДМ=АС, то ВК || ДМ.

2) Прямоугольные треугольники АВК и С ДМ равны по острому уг­лу и гипотенузе (BAK = ДСМ как внутренние накрест лежащие при АВ || СД и секущей АС, АВ=ДС по свойству параллелограмма).

3) Тогда ВК =ДМ.

4) Четырехугольник ВМДК является параллелограммом, так как

ВК||ДМ, ВК = ДМ.

№382. Решение.

1) По свойству параллелограмма

2) По условию ВВ\ = В_ХО АО

= OC₁ = C ₁C 3) Четырехугольник A ₁B ₁C ₁ - параллелограмм, так как его диагонали пере­секаются и точкой пересече­ния делятся пополам.

IV. Итоги урока

Домашнее задание: вопросы 6-9, с. 111; № 380, 373, 377,

Урок 5 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ (§ 2)

Цели: закрепить навыки в решении задач на применение признаков и свойств параллелограмма; проверить знания учащихся по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

АВСД- параллелограмм:

а) Найти все углы АВД, если A = 42°.

б) Сумма двух из них равна 112°

в) Найти периметр треугольника BOA, если ДС= 10 см, ВД = 18 см, АС = 20 см.

г) В окружности проведены диаметры АВ и СД. Докажите, что АВСД- параллелограмм.

П. Решение задач. №372(6). Решение.

Пусть АВ = х см, а ВС = (х + 7) см. Так как периметр параллелограмма 48 см, имеем уравнение: х + х + 7 = 48/2

2х + 1 = 24, 2х= 14,

АВ = 7 см, ВС = 14 см.

Решение. С

по свойству параллелограмма.

1) A = C

2) АВН - прямоугольный; ка­тет ВН лежит против угла в 30°, поэтому гипотенуза АВ в два раза больше его. Итак, АВ = 13 см

ВС = (50-13-2):2 = 12 см. Ответ: 12, 13 см.

№ 374. Решение.

1) l = 2, так как АК - бис­сектриса, 2 = 3 как внутренние накрест лежащие углы при ВС \\ АД и секущей АК.

Имеем l = 2 = 3.

2. АВК - равнобедренный, так какl = 3.

3. Получили АВ - ВК= 15 см.

4)ВС = ВК + КС=15+9 = 24 (см).

Ответ: 78 см.

III. Самостоятельная работа.

Вариант I.

1. В параллелограмме АВСД диагонали равны 8 см и 5 см, сторо­на ВС равна 3 см, О - точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОД?

2. В параллелограмме АВСД проведена биссектриса утла А, ко­торая пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите, что ДЕС равно­бедренный.

3. АС и ВД - диаметры окружности с центром О. Докажите, что

А, В_у С и Д- вершины параллелограмма.

Вариант П.

1. Определите стороны параллелограмма, если его периметр ра­вен 38 дм, а одна из сторон на 11 дм больше другой.

2. В параллелограмме ВСДЕ диагонали пересекаются в точке М. Найдите периметр АВМС, если ДЕ = 7 см, ВД= 12 см, СЕ = 16 см.

3. В параллелограмме BДEF на сторонах BF и ДЕ отложены равные отрезки ВО и ДИ. Докажите, что четырехугольник ONEF также является параллелограммом.

Домашнее задание: вопросы 6-9, с. 111; № 420, 425; повторить п. 25,29.

Урок 6 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ (§ 2)

Цели: ввести понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; рассмотреть решение задач, в которых раскрываются свойства трапеции.

Ход урока

I. Анализ ошибок, сделанных в самостоятельной работе.

Устно: определите х, у, z.

110°+ 70°= 180° ==> а || в, тогда х + у+ 20° = 180°, х = 80°

2)

3)

140°+ 40°= 180° =>

а || в, тогда 120° + 1 + 2= 180°

l + 2=60^0, l =2 = 30°, 1=30°, так как а//в

И. Изучение нового материала.

1. Вспомнить с учащимися определение параллелограмма.

2. Рассмотреть такой четырехугольник, у которого две проти­волежащие стороны параллельны, а две другие - непараллельны.

3. Определение трапеции и ее элементов (рис. 161 из учебника).

4. Виды трапеции (рис. 162 из учебника).

5. Какие четырехугольники на рисунке являются трапециями? На­зовите их основания и боковые стороны.

III. Решение задач.

№ 385 (решена в учебнике), № 386 (по теореме Фалеса). Можно по­сле решения этой задачи дать определение средней линии трапеции.

IV. Итоги урока.

1. АВСД, BEFC - трапеции.

2. Частные виды трапеции: прямоугольная трапеция

равнобокая трапеция (равнобедренная).

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 111; № 384, 387. Дана трапеция МРОК с основаниями МК и ОР.

1) Найти углы трапеции, если M= 72°, O = 105°.

2) Найти OPK и POM, если OMK= 38°, PKM= 48°.

Урок 7

Цель: рассмотреть свойства и признаки равнобокой трапе­ции при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

18

2. Выполнить задание (устно).

АВСД - квадрат

Вид четырехугольника АОКВ опре­делить.

Найти его углы. Решение. OAB = 45° по свойству квадрата

OKB = 90°

3. АВС - равносторонний. Опреде­лить вид четырехугольника MNCA. Найти его углы.

Решение.

A=C = 60°, M = N= 180° - 60° = 120°.

II. Решение задач.

№ 388 (а). План решения.

1) Проведем СЕ \\АВ.

2) Докажем, что АВСЕ - паралле­лограмм, тогда АВ = СЕ.

3) Докажем, что АСДЕ - равно­бедренный, тогда l = 2.

4) Докажем, что A = 2. (Ис­пользуя, что АВ || СЕ, A и 1 - соответственные.)

№ 389 (признаки равнобокой трапеции; обратная теорема №388 (а; б).

А Д

А Д

Проведем СЕ || АВ, тогда / A = / E

АСЕД - равнобедренный, поэто­му СД = СЕ", а так как АВСЕ -параллелограмм, то АВ = СЕ. Имеем АВ = СЕ= СД

АВСД- равнобокая трапеция.

АСД = ДВА по I признаку ра­венства треугольников, тогда АВ =

№ 389 - на доске

№ 390 (устно).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I. Найдите боковые стороны равнобедренной трапе­ции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

Вариант II. Найдите меньшее основание равнобедренной тра­пеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона -10 см, а один из углов равен 60°.

Вариант III. Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСД делит пополам угол В АД. Найти периметр трапеции, если основа­ние АД равно 12 см, а угол АДС равен 60°.

IV. Итоги урока

Свойства равнобокой трапеции.

АВСД - равнобокая трапеция

Признаки равнобокой трапеции. АВСД- трапеция.

АВСД - равнобокая трапеция

АВСД - равнобокая трапеция

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 111; № 392 (а, б), 438; повторить § 4 и № 222, п. 38, задача 1; принести циркуль.

Для желающих.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых ра­вен полусумме оснований, а другой - полуразности оснований.

Урок 8 Решение задач по теме «Трапеция»

Цели: продолжить знакомить учащихся с задачами на по­строение. Научить делить отрезок на п равных частей.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Трое учащихся на доске готовят решение домашних задач. № 392 (а). В С

А Н Д

АД-АК= 15-10 = 5 (см)

так как АК = МД АД-ВС=2МД

2) АД + ВС =АМ+ МД, АД + ВС = AM + КД, так как AM = КД

АД + ВС = 2AM, АМ= 0,5 (АД + ВС).

В это время остальные решают устно задачу:

Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой

стороне и в 2 раза меньше другого основания.

Найти углы трапеции. Решение. АЕ = ЕД, проведем СЕ \)АВСЕ~ параллелограмм,

так как ВС \\ АЕ ВС = АЕ. Имеем АВ - СЕ = ЕД = СД.

2) АСЕД равносторонний => А.Д = 60°.

3) A = 60°, B = C= 180° - 60° = 120°.

II. Решение задач.

Напомнить основные этапы решения задач на построение:

1) Анализ задачи.

2) Выполнение построения по намеченному плану.

3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4) Исследование задачи.

№ 393 (в) (решение в учебнике).

№ 394. Пусть А Д С- данные точки.

Соединим попарно эти точки и через каждую вершину треугольника ABC проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Четырехугольники ВВАС, САСВ, ВАВС - параллело­граммы по определению.

С

Задача имеет только эти три решения, так как не суще­ствует других прямых, прохо­дящих через точки А, В, С и параллельных прямых ВС, АС, АВ соответственно.

№395. Дано:

Построение.

l

A Д

Построить АВСД- параллелограмм. A = kh, AB=P_]Q₁ P₂Q - расстояние между АВ и СД.

Устно провести анализ, доказательство и исследование, в тет­радях - только построение:

1) построить A, равный данному hk;

2) отложить на его стороне отрезок P ₁Q= АВ и отметить точ­ку В;

3) через точку В провести прямую, перпендикулярную прямой АВ и отложить отрезок ВК = P ₁Q ₁,

4) через точку В провести прямую, параллельную другой сто­роне угла;

5) через точку К провести прямую, параллельную стороне АВ,

6) АВСД- параллелограмм по определению.

№ 397 (а). Дано: h

Построить трапецию АВСД: АД || ВС, АВ = СД , АД = MN, АВ = M ₁N₁ , A =hk.

Построение: 1) Строим треуг-к АВД так, чтобы АД = MN, АВ = MN, A = hk.

2) Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АД. Для этого проведем две окружности: окружность с центром В радиуса ВД и окружность с центром Д радиуса АВ. Пусть С - точка пересечения этих окружностей, лежащая по ту сторону от прямой АД, что и точка В. Тогда

ВС \\ АД.

2. Окружность со₂ пересекает прямую ВС еще в одной точке -точке С. Соединив эту точку с точкой Д, получаем искомую трапе­цию АВСД. Если hk = 90°, то задача не имеет решения.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: № 393 (в), 396, 398, 397 (б); повторить свойства и признаки параллелограмма.

ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ

(4 часа)

Урок 9

Цели: дать определение прямоугольника, изучить свойства прямоугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся.

АВС - равнобедренный.

ВАС = BCA = х°, BCA = ДАС = х°, как внутренние накрест лежащие при ВС || АД и секущей АС,

В трапеции А = Д= 60°, В =/С = 120°.

2. Выполнить задания (устно):

1) Найдите углы выпуклого четырехугольника, если их градусные меры пропорциональны числам 1, 2, 3, 4.

2) Докажите, что расстояния AM и CN от вершин А и С параллело­грамма АВСД до прямой ВД равны.

3) Найдите углы параллелограм­ма АВСД, если A =3B.

II. Изучение нового материала.

1. Определение прямоугольника.

2. Так как прямоугольник- параллелограмм, то какими свойст­вами он обладает?

3. Каким особенным свойством обладает прямоугольник?

4. Доказательство теоремы о равенстве диагоналей прямо­угольника.

5. Будет ли верно обратное утверждение? Докажите.

6. В параллелограмме АВСД A = 90°. Докажите, что АВСД -прямоугольник.

7. АС - диагональ прямоугольника АВСД, CAU = 35°. Чему равен АСД

8. Определите периметр прямоугольника, если две его стороны 5 см и 8 см.

9. АВСД - прямоугольник. Докажите, что АОВ равнобедрен­ный.

III. Решение задач.

№ 400.

1. В прямоугольнике АВСД биссектриса угла Д пересекает сто­рону АВ в точке М.

1) Докажите, что АДМ - равнобедренный.

2) Найдите периметр прямоугольника, если сторона АВ оказа­лась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений име­ет задача?

Решение.

АД=3, Р_АВСд =22 АД = 5, Р_АВСД =26

IV. Итоги урока.

Свойства прямоугольника

Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами:АВСД- прямоугольник

Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:

АВСД - прямоугольник

а) A=B =C =Д= 90° (все углы прямые)

б) АС = ВД (диагонали равны)

Признаки прямоугольника

АВСД - параллелограмм A = B = C = Д= 90°

АВСД - прямоугольник, АВСД - параллелограмм

АВСД - прямоугольник

Домашнее задание: вопросы 12, 13, с. 111; задачи № 403, 413 (а), 401 (а). Доказать признак прямоугольника: четырехугольник, у которо­го есть три прямых угла, является прямоугольником.

Урок 10 ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ

Цели: ввести понятие ромба и квадрата; изучить их свойства.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. АД AB, ВСAB (по условию), тогда АД || ВС (как два перпендикуляра к одной прямой).

2. AB BC, СД ВС (по условию), тогда АВ \\ СД (как два перпендикуляра к одной прямой).

3. Так как АД || ВС и АВ \\ СД, тогда АВСД - параллелограмм (по определению).

4. Д = B (как противолежащие углы параллелограмма).

5. В параллелограмме АВСД. A = B = C = Д = 90°, зна­чит, АВСД- прямоугольник (по определению).

Выполнить задания (устно):

1) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, высота которого равна 6 см, а угол при вершине равен 120°. A= 30°, АВ = 2ВД= 12 (см).

2) Диагонали параллело­грамма взаимно перпендику­лярны.

Докажите, что все его сто­роны равны.

ВОС = ДОС = ВОА = ДОА по двум катетам.

Имеем АВ=ВС=ДС= АД

П. Изучение нового материала.

1. Определение ромба.

2. Так как ромб - параллелограмм, то какими свойствами он обладает?

3. Какими особыми свойствами обладает ромб?

А В

Д С

А В

Д

4. Доказательство свойств ромба:

а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

б) диагонали являются биссектрисами углов.

5. Будут ли верны обратные утверждения? Докажите.

6. Определение квадрата как прямоугольника, у которого все стороны равны.

7. Определение квадрата как ромба, у которого все углы прямые.

8. Так как квадрат является ромбом и прямоугольником, то он обладает их свойствами. Перечислите их.

III. Решение задач. № 405 (а).

а) АВ = ВС = АС, АВС - равно­сторонний, АА = АВ = АС, в ромбе АВС = 60°, ВАД = 120°.

№ 410 (а, б) признаки квадрата.

IV. Итоги урока.

Свойства ромба.

АС-биссектриса АВД- биссектриса АВ свойства параллелограмма

все стороны равны диагонали перпен­дикулярны каждая диагональ-биссектриса углов ромба.

Свойства квадрата

В С

АВ\\СД ВС\\АД, АВ=ВС = 90°

АО = ВО = СО= ДО, ДВ -биссектриса угла

все стороны равны все углы прямые отрезки диагоналей равны диагонали перпендикулярны каждая диагональ является биссектрисой угла.

Признаки квадрата

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник являет­ся квадратом, можно:

доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами;

доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми уг­лами.

Домашнее задание: вопросы 14-15, с. 111; № 405 (б), 409.

Урок 11 ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ

Цель: закрепить изученный материал о прямоугольнике, ромбе, квадрате в процессе решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

1. I. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол?

И. Обязательно ли является прямоугольником четырехуголь­ник, у которого есть прямой угол?

2. I. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллело­граммом?

И. Верно ли, что каждый параллелограмм является прямо­угольником?

3.1. Диагонали прямоугольника АЕКМ пересекаются в точке О. Отрезок АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ.

II. Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?

4. I. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник прямоугольник?

II. Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали.

5.1. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон.

II. Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом?

6.1. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом?

II. Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны.

7. I. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Най­дите углы каждого треугольника, если один из углов ромба 30°.

II. Ромб АВСД имеет прямой угол. Является ли этот ромб квад­ратом?

8. I. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм?

II. Диагонали квадрата делят его на четыре треугольника. Най­дите углы каждого треугольника.

II. Решение задач. № 404, 407 (устно). №412.

1. АВС - прямоугольный и рав­нобедренный => l = 4 = 45°.

2. СДFE - прямоугольный.

1 = 45° =>3 = 45° => ДВ =ДЕ.

3. ДВЕ - прямоугольный.

4 = 45° => 2 = 45° => AF = FE.

4. С ДЕ - квадрат =>

5.АС=12см. AF = CF = 6 см.

№ 414 (а) наметить план решения.

III. Самостоятельная работа обучающего характера с про­веркой в классе.

Вариант I.

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. №413 (б).

Вариант II

1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найди­те углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

2. №414(6).

Вариант ///(для более подготовленных учащихся).

1. В ромбе АВСД биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВД соответственно в точках М и N. Найдите ANB, если AMC = 120°.

2. Постройте прямоугольник АВСД по стороне АВ и углу АОВ, где О - точка пересечения диагоналей.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 14-15, с. 111; № 406, 411, 413 (а), 415(6).

Урок 12 ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ

Цели: дать определение симметричных точек и фигур отно­сительно точки и прямой, научить строить симметричные точки;

рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства неко­торых геометрических фигур.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

II. Изучение нового материала.

Объяснение нового материала по теме «Осевая и центральная симметрии» целесообразно построить в виде лекции, сопровож­дающейся показом большого иллюстративного материала: черте­жей, рисунков, орнаментов и т.

III. Решение задач.

№416, 417, 418 (устно). № 420. Решение.

Пусть ABC - данный равнобедренный треугольник с основани­ем АС и ВД- его биссектриса.

1. По теореме о биссектрисе равнобедренного треугольника ВДАС и АД=ДС. Следова­тельно, точки А и С симметричны относительно прямой ВД.

2. Возьмем произвольную точ­ку М на основании АС. Пусть, например, точка М лежит между точками А и Д. Отметим точку М\ между точками Д и С так, что ДМ_{=ДМ.

Точка М ₁ симметрична точке М относительно прямой ВД. Имеем для каждой точки на основании АС симметричная ей относительно ВД точка также лежит на основании АС.

3. Возьмем теперь произвольную точку N на одной из боковых сторон АВС, например на стороне АВ. Отложим от вершины В на луче ВС отрезок BN ₁ равный BN. Так как BN < АВ, то BN ₁ ле­жит на стороне ВС. Треугольник BNN ₁ равнобедренный, ВК - его биссектриса, следовательно, NN ₁ ВК, NK = N ₁K ₁ а поэтому точки u N и N ₁ симметричны относительно прямой ВД.

Мы доказали, что для каждой точки АВС точка, симметричная ей относительно прямой ВД, также принадлежит этому треугольнику. Это значит ВД- ось симметрии треуг-ка АВС

А Д/з: №421, 419, 423

Урок 13 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (1 час)

Цели: закрепить в процессе решения задач полученные зна­ния и навыки, подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Устно:

1. Определите вид четырехугольника АВСД, если АС и ВД -диаметры одной окружности.

Ответ: АВСД - параллелограмм, так как его диагонали пере­секаются и делятся точкой пересечения пополам. Из равенства диа­гоналей делаем вывод о том, что он является прямоугольником.

2. Верно ли, что четырехугольник, у которого диагонали вза­имно перпендикулярны, является ромбом.

Ответ: нет. Посмотрите на чертеж. Какое еще условие долж­но выполняться?

3. Дан четырехугольник, у ко­торого два противоположных угла прямые. Можно ли утверждать, что такой четырехугольник всегда будет прямоугольником?

Ответ: Нет. Смотрите на рису­нок. Какое еще условие должно вы­полняться?

Вывод:

- Если по условию задачи дано, что четырехугольник является параллелограммом (или прямоугольником, или ромбом, или квад­ратом), то можно использовать в решении любое его свойство;

- Признаки используются, когда нужно доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом (прямоугольником, квадратом или ромбом). При этом нужно привести определенный набор фактов, достаточный для того, чтобы сделать вывод о виде

четырехугольника.

4. Всякий ли четырехугольник, у которого есть две параллель­ные стороны, является трапецией?

Ответ: Нет. Параллелограмм, у которого есть две параллель­ные стороны, не является трапецией.

5. Является ли данный четырехугольник трапецией? Ответ: Да, ВС\\АД,

II. Решение задач. № 428, 434, 438.

№ 428.

Решение.

1) РД - биссектриса => / l = / 2.

2) / 1 = / 3, как внутренние на­крест лежащие при ВС \\ АД и секу­щей РД. Имеем / l = / 2 = / 3.

3) Аналогично для биссектрисы угла В имеем / 4 = / 5 = / 6.

4) Ho ABC = AДC, поэтому l = 2 = 3 = 4 = 5 = 6. 5 и 3 соответственные при прямых РД и ВК и секущей

5) Аналогично доказывается, что АМ\\ NC.

6) STQR - параллелограмм по определению.

7) ДРСД - равнобедренный, так как 3 = 2,

8) В параллелограмме STQK один угол прямой => он является прямоугольником.

№438. Решение.

1) / 2 =/ 3 как накрест лежащие при ВС || АД и секущей АС.

2)/ 1 =/ 2 = / 3 = 30°,

/ l + / 2 = 60° => АВСД - равнобокая трапеция.

3) ААВС - равнобедренный тре­угольник, так как / 1 =/ 3.

4) СД против угла 30°, поэтому АД = 2С Д.

5) По условию АВ + ВС + СД + АД= 20

ЗСД+2СД=20, СД=4, АД =2СД=8 (см).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I.

1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВСД проведена прямая, пересекающая стороны АД и ВС соответственно в точках Е и F. Найдите стороны параллелограмма, если его пери­метр равен 28 см. АЕ = 5 см, BF = 3 см.

Ответ: 6и8 см.

2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°.

Ответ: 4 см.

3. Разделите данный отрезок на 5 равных частей.

Вариант II.

1. Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересека­ются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны парал­лелограмма, если его периметр равен 36 см.

Ответ: 6 и12 см

2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, осно­вания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен.

Ответ: 6 см.

3. Разделите данный отрезок на 6 равных частей.

Ответ: 35 см.

Домашнее задание: вопросы 1-20, с. 111-112; готовиться к

контрольной работе.

1. В ромбе АВСД АД = 140°. Определите углы треугольника АОД (О - точка пересечения диагоналей).

2. На диагонали МР прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что ANBQ - параллелограмм.

3. Найти ВС

Урок 14 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

(1 час)

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по ус­воению и применению изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если ABO = 30°.

2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону MN в точке Е.

а) Докажите, что треугольник КМЕ равнобедренный.

б) Найдите сторону КР, если ME = 10 см, а периметр паралле­лограмма равен 52 см.

Вариант II.

1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол MNP равен 80°.

2. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что

АВ = ВМ.

а) Докажите, что AM- биссектриса угла ВАД.

б) Найдите периметр параллелограмма, если СД= 8 см, СМ= 4 см.

Вариант III

1. Через вершину С прямоугольника АВСД проведена прямая, параллельная диагонали ВД и пересекающая прямую АВ в точке М Через точку М проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая прямую ВС в точке N. Найдите периметр четырех­угольника ACMN, если диагональ ВД равна 8 см.

2. Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересека­ются в точке М, лежащей на стороне ВС. Луч ДМ пересекает пря­мую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если AN

= 10 см.

.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал главы V, гл. I, § 4,

Глава VI.

ПЛОЩАДЬ

(14 часов)

Основная цель - сформировать у учащихся понятие площади многоугольника, развить умение вычислять площади фигур, приме­няя изученные свойства и формулы, применять теорему Пифагора.

Вычисление площадей многоугольников является составной частью решения задач на многогранники в курсе стереометрии.

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА

(2 часа)

Урок 15

Цели: дать представление об измерении площадей много­угольников, рассмотреть основные свойства площадей и вывести формулу для вычисления площади квадрата.

Ход урока

I. Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе.

П. Выполнить задания (устно).

1. Через точку во внутренней области равностороннего тре­угольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми дан­ный треугольник?

2. АВСД - параллелограмм, АД = 2АВ, AM - биссектриса угла ВАД. Докажите, что часть отрезка AM, лежащая во внутренней об­ласти параллелограмма АВСД, равна части, лежащей во внешней области.

3. Точка Д между точками А и С на. прямой АС. Найти длину АС, если АД = 5 см, ДС = 5,6 см.

Вспомнить способы измерения отрезков.

III. Изучение нового материала.

Ввести понятие площади многоугольника и основные свойства площадей можно в форме короткой лекции с использованием ил­люстративного материала. При этом полезно отметить, что вывод формул для вычисления площадей различных многоугольников будет основан на двух свойствах площадей, аналогичных свойст­вам длин отрезков:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольни­ков, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Эти свойства принимаются на основе наглядных представлений об измерении площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Материал этого пункта не является обязательным. Следует на конкретных примерах разъяснить свойство 3, а более подготовлен­ным учащимся можно предложить изучить доказательство само­стоятельно по учебнику.

Полезно привести ряд примеров, связанных с практической не­обходимостью измерения площадей. Так, площадь зеркала водо­хранилища нужно знать его проектировщикам, в частности, чтобы определить, как станет испаряться из заполненного водохранилища вода. Площадь поверхности стен в помещении нужно знать, на­пример, для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев или кафеля. Площадь поверхности доро­ги нужно знать, например, при расчете необходимого для ее по­крытия количества асфальта.

IV. Закрепление изученного материала.

1. № 445, 449 (а, в), 450 (а, б), 451 (устно).

2. Р всд = 40. Найти S_ABC

3. S_AВС = 64. Найти Рлвсд-

4. BE = ЕС. Найти S_ABCJl * S_ABE.

5.ВЕ = ЕС. Найти S_ABE : S_ABC)l.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 129; № 447, 449 (б), 450 (в), 451; привести свои примеры необходимости вычисления площадей многоугольников.

Урок 16 ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА

Цели: вывести формулу площади прямоугольника, научить находить площадь прямоугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Выполнить задания (устно):

1) Площадь параллелограмма АВСД равна S. Найдите площади треугольников ABC и АВД.

2) Площадь прямоугольника АВСД равна Q. Найдите площадь

треугольника АМД.

II. Изучение нового материала.

Выполнить задание:

1. Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

2. АВДС - квадрат, МN//АВ, ЕF//BC

Найдите площадь четырехугольника AFKM, если АМ= СЕ=3см. ДЕ=6см.

III. Закрепление изученного материала.

№ 452 (а, в), 453 (а, б).

2. АВСД - квадрат, MN\\AB, EF || ВС. Найдите площадь четырех­угольника AFKM, если АМ=СЕ = 3 см. ДЕ = 6 см.

3. Доказать теорему о площади прямоугольника. (Заготовить чертеж заранее из учебного пособия, рис. 181.)

1) Равсд= 40, АД =ЗСД. Найти: площадь авсд-

2) АД = 20, S_/l0C=60. Найти: СД. Решение.

Проведем через точку О прямые, параллельные сторонам прямоуголь­ника, и получим 8 равных прямоугольных треугольников, с площа­дью дос.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 3, с. 129; № 452 (б, г), 453 (в), 448. 1. Периметр прямоугольника равен 44 см, а ДС : АД =7:4.

Найдите площадь треугольника АВК, если ДЕ = FC = 0,5EF.

2. S_AQl = 28 АВ=АД+1. Найти Р_АВСД.

3. Вырезать из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составить из них:

1) равнобедренный треугольник;

2) прямоугольник;

3) параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ

(6 часов)

Урок 17

Цели: вывести формулу для вычисления площади паралле­лограмма; научить применять формулы при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить задания (устно):

В С s_АВСД=?

3.

Площадь прямоугольника АВСД = 20 см². Найти площадь па­раллелограмма МВСК.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие «высота параллелограмма к данной стороне».

2. При выведении формулы площади параллелограмма целесо­образно написать на доске формулу S = а • h_a и продемонстриро­вать соответствующий рисунок, а затем провести силами учащихся доказательство формулы.

III. Закрепление изученного материала.

№ 459 (а) (устно), 459 (б, в), 464 (в).

АВ : ВС = 3 : 7, Р_АВСД = 120, ZA = 45°.

Найти: Sabcm=?

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

Стороны параллелограмма 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами 150°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Вариант II

Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведен­ные из вершины тупого угла, равны 4 см и 3 см.

Вариант III

Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см.

Проверить решение с помощью закрытой доски:

Вариант I

ВЕС \.ZB= 180°-150°-30°.

2. Катет АЕ лежит против угла

30°, поэтому АЕ = 0,5 АВ = 3 см.

3. Sabcm ⁼ ВС* АЕ= 10 *3 = 30 см².

Вариант II В

1. Катет ВМ лежит против угла в 30°, поэтому АВ = 2ВМ= 6 см.

2. S_ABCM = ВК ДС = 8 • 6 = 48 см².

Вариант III

Е В

Д

Использовать задание 3 из до­машней работы. ВО = ОД = 4 см,

АО =ОС = 3 см.

S_ABO1 = 12 *2 = 24.

Подвести учащихся к выводу, что площадь ромба равна половине про­изведения его диагоналей.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: § 2, вопрос 4, с. 129; № 459 (г), 460, 464 (б).

Для желающих.

Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см², а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сто­рон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.

Ответ: 45°; 135°.

2. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они имеют одинаковые основания и одинаковые периметры.

Ответ: Площадь прямоугольника больше площади паралле­лограмма.

Урок 18

Цели: вывести формулу для вычисления площади треуголь­ника; познакомить учащихся с методами решения задач по этой

теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Дан параллелограмм АВСД с основанием АД и высотой БД. Постройте другой параллелограмм с тем же основанием АД, равно­великий заданному параллелограмму. Сколько таких параллело­граммов можно построить? (Две другие вершины такого паралле­лограмма будут лежать на прямой ВС. Бесконечное множество.)

2. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40 см², а стороны 10 см, 8 см.

II. Изучение нового материала.

1. Нарисовать параллелограмм АВСД.

АВСД- параллелограмм.

АВ = 8 см, АД= 12 см, ZA = 30°. Найти: S_Abo, Sадо

Решение.

Sabcji ⁼ 4 • 12 = 48 (см²). Так как АВС равен АДС, то S_Abc = 24 см²

2. Доказательство теоремы о площади треугольника и следст­вий из нее можно предложить учащимся провести самостоятельно.

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 468 (а, г), 471 (а), 475.

Дано: АВС, Sаbc = 49 см² АД:ДС = 4:3 Найти: S АВД

Решение.

то S АВД• Sbch =4:3. Имеем 4х + Зх = 49,

S = 28 см², S = 21 см².

IV. Итоги урока.

В

S=0,5 h_a.a.

В

Домашнее задание: § 2, вопрос 5, с. 129; № 467, 468 (б, в), 471 (б), 477 (устно).

Для желающих.

1. Внутри параллелограмма АВСД отмечена точка М. Докажи­те, что сумма площадей треугольников АМД и ВМС равна половине площади параллелограмма.

Решение.

2. В треугольнике ABC /C = 90°. На сторонах АС, АВ, ВС соот­ветственно взяты точки М, Р, К так, что четырехугольник СМРК является квадратом АС = 6 см, ВС = 14 см. Найдите сторону МС.

Решение.

\)Smbc=0,5 AC*CB =0,5*6*14 = 42 (cm²)

.

Урок 19

Цели: доказать теорему об отношении площадей треуголь­ников, имеющих по равному углу; познакомить учащихся с реше­нием задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы об отношении площадей треугольни­ков, имеющих по равному углу, рекомендуется провести самому учителю.

III. Закрепление изученного материала.

1. Д а н о : A = K, АС = 5 см, АВ = 3 см, KN = 7 см, КМ = = 2 см.

Найти:

А В

Дано : АО= 8 см ОВ = 6 см ОС = 5 см

3. Площадь одного равностороннего треугольника в три раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Най­дите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

№ 479 (б).

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I.

АО = ОВ, ОС = 2ОД S aoc = 12 см². Найти: Площадь треуг-ка ВОД

Вариант II.

В

с

ОВ = ОС; ОД=ЗОА, S aoc = 16 см^. Найти: S треуг ВОД

Вариант 111

АО =АВ; АС\\ВД. Докажите, что

S obc = S _ОАД

V. Итоги урока.

Домашнее задание: § 2, вопросы 6, с. 129; № 469, 472, 479 (а).

Для желающих.

1. В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и пересе­каются под углом 30° друг к другу. Найдите площадь этого четы­рехугольника.

А Д

2. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой, содержащей одну из сторон на 1,5 см. Периметр треуголь­ника равен 16 см. Найдите его площадь.

Решение.

1. Расстояние от точки пересече­ния биссектрис до прямых, содержа­щих стороны треугольника, равны как радиусы вписанной окружности.

Урок 20

Цели: доказать теорему о площади трапеции; познакомить учащихся с методами решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 469.

А

II. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы о площади трапеции можно предло­жить учащимся разобрать самостоятельно.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачу. Дано: S = 18 см², а = 2 см, в = 1 см.

Найти: h.

Ответ: h = 4 см.

№ 480 (в) - на доске

№481

Дано: S = 18 см², а = 2 см, в = 1см Найти: h.

Ответ: h = 4 см.

№ 480 (в) - на доске

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: § 2, вопрос 7, с. 129; № 480 (8), 518 (а). Для желающих.

В трапеции АВСД, АД- большее основание, ZД = 60°. Биссек­трисы углов С и Д пересекаются в точке 0, ОД = а, ВС = в, АД = с. Найдите площадь трапеции.

Урок 21

Цель: познакомить учащихся с методами решения задач по теме «Площадь многоугольников».

Ход урока I. Проверка домашнего задания.

1. Обсудить решение домашних задач.

АВСД- равнобокая трапеция.

Найти: S_ABCд.

II. Решение задач.

№ 477.

Решение.

Пусть АС = х, тогда ВД= 1,5х

Задача 1. В трапеции АВСД АД - большее основание, АД = 60°. Биссектрисы углов С и Д пересекаются в точке О, ОД = а, 2?С = в, АД = с. Найдите площадь трапеции.

_{м с}

Решение.

1) Проведем 0М1ВС, ОК1СД и ОР1АД.

2) Из равенства прямоугольных тре­угольников МСО и КСО следует, что ОМ=ОК.

3) Из равенства прямоугольных тре­угольников ОРД и ОКД следует, что ОК=ОР.

4) Имеем ОМ = ОР = ОК

5) В прямоугольном треугольнике КОД катет лежит против

угла в 30° и равен половине гипотенузы, т. е. ОК=а:2

6) S = ½ (ВС*АД)*МР

Задача 2. Четырехугольник, у которого диагонали пересекают­ся под прямым углом, имеет площадь 250 см². Найдите его диаго­нали, если известно, что одна больше другой в 5 раз. Ответ: 10и50 см.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-7, с. 129; № 476(6), 470, 466.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (§ 3)

(3 часа)

Урок 22

Цели: доказать теорему Пифагора и обратную ей теорему, рассмотреть решение задач с применением этих теорем.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 466.

Решение.

1) BE - высота в равнобедренном треугольнике и медиана АЕ = ЕД = = 7,6 см.

2) АВЕ - прямоугольный и рав­нобедренный АЕ = BE = 7,6 см.

S = (15,2 * 7,6) =115,52

Решить задачи (устно):

Найти площадь четырехугольника

II. Изучение нового материала.

1. Доказательство теоремы провести с помощью учащихся.

2. Для закрепления теоремы можно предложить учащимся уст-

ные задачи на вычисление: а) я = 6 см; в = 8 см. Найти: с.

б) с = 5 см, в = 3 см. Найти а.

3. Напомнить учащимся понятие обратной теоремы. Всегда ли она верна? Разобрать вопросы из домашнего задания.

4. Сформулировать с помощью учащихся теорему, обратную теореме Пифагора.

5. Доказательство теоремы Пифагора.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи: № 483 (г), 484 (а, в), 498 (в, д) - на доске

Домашнее задание: § 3, п. 54, 55, вопросы 8-10, с. 130; № 483 (в), 484 (б, г), 498 (б, г, ж)..

Урок 23

Цель: рассмотреть решение задач с помощью теоремы Пи­фагора.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Записать теорему Пифагора для треугольников АВД и ВДС

А Д С

В С

А Д

АВСД- прямоугольник. В

В С

ДЕ - высота.

II. Решение задач.

№ 485.

2) СВ =с/2, как катет, лежащий против

угла в 30°.

3) По теореме Пифагора

АВ² = АС² + СВ², АС² = АВ² - СВ²

Решить устно:

На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний ко­нец лестницы длиною 17 м, чтобы верхний конец ее достал до слу­хового окна, находящегося на высоте 15 м от поверхности земли.

Решение. А АВС прямоугольный. По теореме Пифагора

ВС² = АВ²-АС²,

ВС= Vl7²-15²

№ 488 (а).

В1) ВД - высота и медиана равностороннего треугольника, поэтому ДС = 3 см.

2) ВСД - прямоугольный. По теореме Пифагора имеем

ВД² = ВС²-ДС² ВД= /б²-3²

Решение.

1) По свойству диагоналей ромба ВО = ОД= 12 см, АО = ОС= 5 см.

2) По свойству ромба ZBOC = 90°.

3) По теореме Пифагора в АВОС имеем ВС² = ВО² + ОС²

ВС² =12²+5² =144 + 25 = 169 (см)

ВС=13 см

S = 120 (см²)

№ 495 (а).

1) BE - высота трапеции. АВСЕ- прямоугольный.

2) По теореме Пифагора имеем в АВСЕ: ВС² = ЕС² + BE²,

BE² = ВС² - ЕС²

._ ДС-АВ 20-10

3) EС = ------------ по свойству равнобокой трапеции ЕС = -------= 5

2 2

ВЕ = 12 см

III. Итоги урока.

При решении задач с применением теоремы Пифагора нужно:

1) указать прямоугольный треугольник;

2) записать для него теорему Пифагора;

3) выразить неизвестную сторону через две другие;

4) подставив известные значения, вычислить неизвестную сто

рону.

Домашнее задание: № 486 (а), 487, 494, 495 (б).

Для желающих.

Задачи древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау, 1250 лет до н. э.

1. Бамбуковый ствол 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение. В а + с = 9 футов, в = 3 фута

АВС - прямоугольный. По теореме Пифагора

²²²

С = а +в 18а = 72

2. В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на 1 фут над поверх­ностью воды. Если его пригнуть к бе­регу, к середине стороны пруда, то он достигнет своей верхушкой берега. Какова глубина пруда? Решение.

АО = 5 футов - расстояние от центра квадрата до середины стороны.

АВ = О_ХВ , ОАВ ~ прямоугольный.

По теореме Пифагора

Пусть ОВ = х футов, тогда АВ = (1 + х) футов. Имеем

^{2 2 2}

(1+х)= 5 +х

ОВ= 12 футов.

Урок 25

Цели: продолжить рассматривать решение задач с помощью теоремы Пифагора и проверить навыки решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения о других доказательствах теоремы Пифагора.

2. Ответить на возможные вопросы по домашнему заданию.

II. Решение задач.

№ 517 (разобрать решение без записи в тетрадь). Решение.

1) Рассмотрим ААВС. Сторона ВС - наи­большая. Проверим, не выполняется ли в нем условие ВС²=АВ²+АС²

169= 144 + 25, 169= 169.

АВС - прямоугольный по теореме, обрат­ной теореме Пифагора.

2) Аналогично доказывается, что АДС - прямоугольный с прямым углом ДСА.

3) S = S_ABC+S_ДАС- = ½АВ * АС+½АС * ДС = ½АС (АВ+ДС) = ½*12(5+ 9) = 84 (см²).

Решение.

1) Пусть АД = ВС - х. Тогда ВД = 3 - х.

ВС = 2 см.

№ 497 (без записи в тетрадь).

№ 489.- на доске

III. Самостоятельная работа.

Вариант I.

В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона - 20 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант II.

В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7 см и 25 см, а меньшее основание равно 2 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант ///(для более подготовленных учащихся).

Диагональ АС прямоугольной трапеции АВСД перпендикуляр на боковой стороне СД и составляет угол 60° с основанием АД. Найдите площадь трапеции, если АД =24 см.

68

IV. Итоги урока.

.

Домашнее задание: № 490, 491 (а).

Для желающих.

Рассмотреть самостоятельно решение № 524 (вывод формулы Герона).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

(2 часа)

Урок 26

Цели: вывести формулу Герона, рассмотреть применение ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

По готовым на доске чертежам проверить решение задач. № 490

№ 490 (в).

АС = СД²+АД

СД- высота, биссектриса, медиана.

II. Изучение нового материала.

Рассмотреть решение задачи № 524. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть A и B - острые углы тре­угольника ABC. Тогда основание высоты СД лежит на стороне АВ. Положим АД = х, тогда ВД = с - х.

Применяя теорему Пифагора к тре­угольникам АСД и ВСД, получаем уравнения

в² - х² = а² - (с - х)^2, в² = а² - с² + 2сх х= ½(в² +с^г -а²⁾

h² = в² - х² = (в - х) (в +х)

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 499 (а).

IV. Итоги урока.

S_A = /{p - a)(p - в)(р - с) р

Домашнее задание: № 499 (б), 491 (б), 492, 495 (в); подгото­виться к самостоятельной работе; выучить формулы площадей

Урок 27

Цель: закрепить умения учащихся в применении формул пло­щадей многоугольников и теоремы Пифагора при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на возможные вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Фронтально проверить, знают ли учащиеся формулы площа­дей многоугольников.

В результате на доске должна получиться запись: 1

Треугольник S=

Прямоугольный треугольник -S=.

Равносторонний треугольник - S .

Прямоугольник - S =

Квадрат S = а²

Параллелограмм -S = а • h.

Ромб - S = ½ d\,d₂- диагонали ромба.

Т рапеция -S = а, в- основания трапеции.

Кроме того, необходимо напомнить учащимся свойства:

1) Если высоты двух треугольников равны, то их площади от­носятся как основания.

2) Если угол одного треугольника равен углу другого треуголь­ника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

II. Решение задач.

№ 509. Решение.

1) Пусть О - произвольная точка, лежащая внутри равностороннего тре­угольника АВС (АВ = ВС = АС = а) и ОК, ОМ и ON перпендикуляры к сторо­нам этого треугольника.

2) Sabc ⁼ Sлов ⁺Sboc ⁺Scoa

S_AВC =½а{ОК + ОМ + ON)

т. е. сумма ОК + ОМ + ON не зависит от выбора точки О.

№516.

Решение.

1) ВД- высота, так как

2) ВД || MN, ВМ= МС\ то по теореме

3) АВСД- прямоугольный, по теореме Пифагора ВС² = ВД² + ДС²

ВД = /34² - 30² = 16(см)

S = 320 (см²).

№ 518 (б) (без записи в тетрадь).

1) В прямоугольных треугольниках ВОС и АОД имеем по теореме Пифагора

АД²=АО+ОД² АС = ВД =23 /2 .

2) ВДЕ - прямоугольный, по теореме Пифагора

ВД² = ВЕ²+ДЕ², ВЕ = /ВД²-ДЕ² = /1058-529 =23 (см).

S_АВСД =½(ВС +АД)*ВЕ = 529

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. В треугольнике ABC ZA = 45°, ВС = 13, а высота ВД отсекает на стороне АС отрезок ДС, равный 12 см. Найти площадь ААВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

2. В параллелограмме АВСД ВК делит сторону АД на отрезки АК и КД. Найдите стороны параллелограмма, если ВК = 12, АК = 5, ВД= 15.

Вариант II.

1. В треугольнике ABC ZB - 45°, высота делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см, NC = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону ,4 С.

2. Диагональ прямоугольника равна 52 мм, а стороны относятся как 5:12. Найти его периметр.

2. Высота ВК ромба АВСД делит сторону АД на отрезки АК - 6 см, КД= 4 см. Найдите площадь ромба и его диагонали.

IV. Итоги урока. Домашнее задание: №518 (а), 519, 521.

Урок 28 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

(1 час)

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся решать задачи по теме «Площадь. Теорема Пифагора».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I.

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.

3. На стороне АС данного треугольника ABC постройте точку Д так, чтобы площадь треугольника АВД составила одну треть пло­щади треугольника ABC.

Вариант II

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см².

2. Найдите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АВ = 12см,ВС = 14 см, АД = 30 см, B = 150°.

3. На продолжении стороны KN данного треугольника KMN по­стройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить свойства пропорций.

Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

(19 часов)

Основная цель - сформировать понятие подобных треуголь­ников, выработать умение применять признаки подобия треуголь­ников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольни­ков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (§ 1)

(2 часа)

Урок 29

Цели: дать определение пропорциональных отрезков, рас­смотреть свойство биссектрисы треугольника и применение этого свойства при решении задач.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщение итогов контрольной работы.

2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

2. Решить устно № 533, 534 (а, б).

3. Разобрать решение задачи № 535 (свойство биссектрисы тре­угольника).

III. Закрепление изученного материала.

№ 536 а.

№538

Задача. Из одной вершины треугольника проведены биссек­триса, высота и медиана, причем высота равна 12 см и делит сто­рону на отрезки, равные 9 см и 16 см. Найдите стороны треуголь­ника и отрезки, на которые данную сторону делят основания биссектрисы и медианы.

А Д Е N С

Пусть АЕ = х, тогда ЕС = 25 - х

4) По свойству биссектрисы треугольника АВ _ ВС ; _ 15 _ 20

АЕ ЁС х 25- х

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1 и 2, с. 153; № 534 (в), 535, 536 (б),

Урок 30

Цели: ввести определение подобных треугольников; дока­зать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение их при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести определение подобных треугольников.

2. Решить задачи устно:

Треугольники АВС и АВС подобны, / A = 30°, / В=85°, / C=65°.

Чему равны A_{1 ,} B _{1 ,} C ?

б) АВС~ С₁А₁В₁ АВ = Зсм, ВС = 4 см, АС = 6 см, АВ = 12 см. Вычислите В ₁С ₁ и А ₁С ₁. Ответ: В₁С₁ = 18 см, А ₁С ₁= 9см.

3. Доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

№ 544, 545, 548. (на доске)

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 3 и 4 с. 153; № 543, 546, 549.

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (§ 2)

(5 часов)

Урок 31

Цели: доказать первый признак подобия треугольников.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1.№543.

2. Выполнить устно: СВ 4 = 12 S(А ₄В ₄С ₄) = 32 Найти В1В2,

В ₄В ₄, S(А ₃В ₃С)

А Д

Sabc ⁼ 36 см².

II. Изучение нового материала.

Доказательство первого признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

№ 550. а) Решение.

Данные прямоугольные треуголь­ники подобны (по двум углам).

1) FBA FCE (по двум уг­лам), т. к. FCД = CВА как соответственные при СД // АВ и секущей СД.

/CFE- общий TF _ CF

BF АВ

№ 553 (a), 561 -устно.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 1-5, с. 153; № 551 (б), 552 (а), 553 (б).

Урок 32 ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач.

Ход урока I. Проверка домашнего задания.

Устно: Найти пары подобных треугольников: а)

В С

А Д

По этому же чертежу можно проверить решение домашней за­дачи № 552 (а).

АВСД - трапеция.

Ответ:

\) BEF~ CMF, т. к.

/EFB = /CFM и / EBF = / FCM.

2)/ FCM~ HCM,t.k. / FMC = /ДМН и /FCM = /МДН

3) BEF~ ДМН, т. к.

С Д Н

/EFB =/ МНД и / BEF = /ДМН

АВСД- параллелограмм.

в) 1) АВД ~ АСВ

2) АВС ~ ВДС

АВД ~ ВДС.

АДОтвет: АВС~ ДСА.

II. Решение задач.

1. № 556 (решена в учебном пособии).

2. № 557 (а, б). Решение.a) l = 2 как соответственные при

ВС || ДЕ и секущей АД. A - общий для треугольников ABC и АДЕ. АВС ~ АДЕ (по двум углам)

Вариант I

ВС = 12 см, СМ= 6 см, СИ=4cm. Найдите АС.

А В

Вариант II.

А

С В

ВС =12 см, АЕ= 10 см, ЕF=6cm. Найдите АВ.

Вариант III. С

А В

3 = 1 +2, Найдите АС.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-5, с. 153; № 557 (в), 558.

Урок 33 ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать второй признак подобия треугольников, рас­смотреть решение задач с применением изученных признаков по­добия.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания (и анализ самостоятельной работы, если не успели на предыдущем уроке).

Выполнить устно:АВСД- параллелограмм

ДМ=2 ВЕ : ЕС= 1 :4.

Найти: В Д.

Решение.

ВС = АВ _, тогда BE : АД=1: 5.

ВЕМ~ ДМА по двум углам. BE ВМ ; 1 ВМ

АД МД 5 2

ВМ =0,4

В

II. Объяснение нового материала.

Доказательство второго признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

Решение задач.

1. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

2. ОА = 6 см, АС = 15 см, ОВ = 9 см, ВД = 5 см, АВ = 12 см. Найдите С Д.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 6, с. 153; № 559. № 559.

В треугольнике ABC точка Д лежит на стороне АС, ДС = а,

AC = e, BC= ae . Докажите, что BAC =ДBC

Урок 34 ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать третий признак подобия треугольников, рас­смотреть решение задач с применением изученных признаков по­добия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить устно:

В Подобны ли треугольники ABC и МРК.

В

10

А С

М К

2. Подобны ли треугольники ABC и FEG

3. Найти подобные треугольники.

В

С F G

А 7 Д 9 С

Ответ: АВС~ ВДС

4. Можно ли утверждать:

1) Что все равнобедренные треугольники подобны?

2) Все прямоугольные равнобедренные треугольники подобны?

3) Все равносторонние треугольники подобны?

II. Изучение нового материала.

Доказательство третьего признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить задание

1. Найти подобные треугольники:

Решение. С В

А Д

Рассмотрим АВС и АСД АС _ 18 2

АД 27 3

ВС _ 8 _ 2

СД 12 3

АВС ~ АСД

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-6, с. 153; № 560 (а), 613.

Для желающих.

Сторона СД параллелограмма АВСД продолжена за точку Д на отрезок ДР, равный стороне СД, и точка F соединена отрезком с серединой Е стороны АВ. Доказать, что отрезок РЕ отсекает от диагонали АС пятую часть, а от стороны АД- третью часть.

Решение.

1)

АЕ = 0,5АВ, АЕ = 1/4CF

2) AEN ~CFN.

АЕ AN 1

-----=-----= -, т. е. AN-

FС NC 4

пятая часть диагонали АС.

3) АЕК~ ДРК

АЕ АК 1

-----=-----=-, т.е. АК - третья часть стороны АД

ДF КД 2

Урок 35 ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: закрепить изученный материал в ходе решения задач, проверить навыки решения задач с помощью признаков подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 613 (а) (по готовому чертежу проверить решение).

А Н С А С

Решение. 1) АВН ~ А₁В₁Н₁ по первому признаку подо­бия треугольников.

3) АВС ~ А ₁В₁С₁ по второму признаку подобия треуг.

II. Решение задач.

№ 554 (устно).

№555 (а). В

А Р С

1) Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда MN =АР = 3х, а АМ = NР = 2х

MN = АС = 3 • 2,5 = 7,5 (см), AM = NP = 2 • 2,5 = 5 (см).

№ 562 (без записи в тетрадь по готовому чертежу). С

2) CFN~СВА по I призна­ку подобия треугольников.

3) Воспользоваться решением задачи № 543, т. е. утверждением: в подобных треугольниках сход­ственные стороны пропорцио­нальны сходственным высотам.

III. Самостоятельная работа (проверочная).

Вариант I.

1. Высота СД прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу АВ на части АД = 16 см и ВД = 9 см. Докажите, что

АСД ~СВД и найдите высоту СД.

2. Точки М и N лежат на сторонах АС и ВС треугольника ABC соответственно, АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ= 12 см, CN = 9 см. Докажите, что MN 11 ВС

Вариант II.

1. Высота СД прямоугольного треугольника ABC отсекает от гипотенузу АВ, равной 9 см, отрезок АД, равный 4 см. Докажите, что АВС~ АСД и найдите АС.

2. Диагонали АС и БД четырехугольника АВСД пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОБ = 15 см, ОС = 12 см, ОД = 10 см. Докажите, что АВСД-трапеция.

Вариант III (для более подготовленных учащихся).

1. Диагональ АС трапеции АВСД (АВ 11 СД) делит ее на два подобных треугольника. Найдите SabcД ^еслиАВ⁼ 25 см,

ВС = 20 см АС = 15 см.

2. Угол В треугольника ABC и два раза больше угла А. Биссектриса угла Б делит сторону АС на части АД =6 см и СД = 3 см. Найдите стороны треугольника ABC.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе;

№ 555(6), 605; вопросы 1-7, с. 153-154. Для желающих: №611,563.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 урок 36

(1 час)

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала.

Ход урока

I. Краткий анализ самостоятельной работы и ее резуль­таты.

II. Организация учащихся на выполнение работы.

2. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I.

1. На рисунке 1 АВ 11 С Д. а) Докажите, что АО : ОС = ВО : ОД. б) Найдите АВ, если ОД = 15 см, ОВ = 9 см, СД= 25 см.

2. Найдите отношение площадей треугольников ABC и KMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ= 10 см, MN= 15 см,

NК =20см.

Вариант II

1. На рисунке 2 MN11 АС а) Докажите, что АВ BN=CB - ВМ. б) Найдите MN, если АМ= 6 см, ВM= 8 см, АС = 21 см.

2. Даны стороны треугольников PQR и ABC: PQ = 16 см, QR = 20 см, РR = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Вариант III (для более подготовленных учащихся).

1. Докажите, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон.

2. Даны отрезок АВ и параллельная ему прямая а. Вос­пользовавшись утверждением, доказанным в задаче 1, разделите отрезок АВ пополам при помощи одной линейки.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить § 2, главы VII и теорему Фа-леса

ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ (§ 3)

(7 часов)

Урок 37

Цели: ввести определение средней линии треугольника, сформулировать и доказать теорему о средней линии треугольника; рассмотреть решение задач на применение этой теоремы и задачу о свойстве медиан треугольника.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

II. Решение задач.

Решите устно:

I. АО: ОС = ВО: ОД. Докажите,

что АВСД-трапеция или паралле­лограмм.

Решение.

По второму признаку подобия треугольников АВО~ СОД, поэто­му BAO =ОСД, тогда АВ 11ДС. АВСД - трапеция.

А В

Д С

N N

2. М и N - середины сторон АВ и ВС. Докажите, что MN1I АС.

Решение.

По второму признаку подобия треугольников АВС~ MBN, поэто­му BMN =ABC, тогда MN11 АС.

III. Объяснение нового материала.

1. Дать определение средней линии треугольника.

2. Сформулировать теорему о средней линии треугольника.

3. Доказательство теоремы можно предложить учащимся провести самостоятельно.

IV. Закрепление изученного материала.

1. № 564 (устно).

2. №567. А

А N В

Решение.

1) MN- средняя линия АВД.

МN \ \ДВ и ММ = ½ДВ.

2) PQ - средняя линия СВД. PQ \\ДВ, PQ = ½ДВ,

3) Имеем MN \\ДВ и PQ \\ДВ, поэтому MN\ \PQ.

4) Получили MN 11PQ и MN = РQ = ½ДВ, следовательно,

четырехугольник MNPQ - параллелограмм.

3. Задача 1 из § 3, с. 141 учебного пособия.

4. № 570.

Решение.

1. АМО~СДО (по двум углам МАО = ДСО и АОМ= СОД).

2. АО AM _ 1

ОС ДС 2

В

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 8, 9, с. 154; № 565, 566, 571. №571.

Урок 38 ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ (§ 3)

Цель: закрепить изученный материал в ходе решения задач. Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Три человека готовят решение задач № 565, № 566, № 571.

2. Остальные работают в это время устно:

1) Какие из отрезков являются средними линиями треугольника?

Е

2) Сколько средних линий можно провести в треугольнике? Чему равен периметр полученного с помощью средних линий треугольника?

II. Решение задач.

№ 568 (а).

№617.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Площадь ромба 48 см². Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

Вариант II.

Площадь прямоугольника равна 36 см². Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

данной трапеции.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 568 (б), 618.

Урок 39 ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ (§ 3)

Цель: рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Один ученик у доски записывает решение № 618:

1) MN - средняя линия АВСД,

МN\\ВД и МЫ=½ВД.

2) ВМК~ ДАК (по двум углам)

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие среднего геометрического (среднего пропор­ционального) двух отрезков.

2. Решить устно задачи:

а) Найти длину среднего геометрического отрезков АВ и СД, если АВ = 8 см, СД - 50 см.

б) Найти длины отрезков KL и MV, если один из них в четыре раза больше другого, а длина их среднего пропорционального равна 12 см.

3. Устно: доказать, что

а) АВС~ АСД;б) АВС~ СВД в) СВД~ АСД.

А Д В

4. Из доказанного обосновать

III. Закрепление изученного материала.

№ 572 (а, в),.

№ 573 (устно).

№ 574 (а),

№ 575.

№ 578. (Решена в учебнике.) Законспектировать в тетрадях

Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 154; 572 (б), 574 (б) 576

Урок 40 ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ (§ 3)

Цел ь : закрепить изученный материал при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

. Рассмотреть решение задачи № 576.

II. Решение задач.

1.№577.

Р е ш ение.

Треугольник является прямоуголь­ным, т. к. в нем выполняется теорема Пифагора: 13²= 12² + 5²

2) Пусть ДВ = х см. тогда

СВ² = ДВ • АВ, 25 = х: • 13, х = 1 - (см).

АД = АВ -ДВ = 13 -1 - = 11 - (см).

А Д В

2. Решить (устно): АА\ || ВВ\ \\ СС\. Найти х и у.

С

О 2 А 3 В у С

3. № 384. 4. № 585 (а).

5. №614.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: № 585 (в), 607, 623

Урок 41 ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ (§ 3)

Цели: проверить степень усвоения учащимися изученного материала и умения применять его к решению задач; рассмотреть решение задач на построение методом подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Проверочная самостоятельная работа.

Скомпоновать для каждого ученика вариант из таблицы.

Эле-

менты

прямо-

уголь-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

ного

треугол

ьника

а

6

5

1

12

в

8

24

40

5

с

13

25

100

29

10

3

144

4.8

а_с

36

3

108

7,2

5

в_с

13

Можно организовать тесты с выбором ответа. Второе или третье задание самостоятельной работы может быть таким: начер­тите отрезок и разделите его в отношении а : в.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

а

2

4

3

5

2

3

5

4

2

3

6

5

в

7

5

8

3

6

7

6

3

5

6

4

2

III. Объяснение нового материала.

1. Вспомнить с учащимися задачи на построение.

Начертите остроугольный треугольник ABC. Постройте а) ме­диану AM, биссектрису АД и высоту АН треугольника ABC; б) пря­мую ВN, параллельную медиане AM. (2. Задача 3 из п. 64.)

IV. Решение задач.

№ 589.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 12, с. 154; № 586, 587

Урок 42 ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ (§ 3)

Цель: закрепить умение решения задач на построение мето­дом подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Рассмотреть решение задач № 586, № 587.

3. Анализ самостоятельной работы.

III. Решение задач.

№ 590.

№ 622. на доске

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I

Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и ме­диане, проведенной из вершины этого угла.

Вариант II

Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и бис­сектрисе прямого угла.

Вариант III (для наиболее подготовленных учащихся).

Постройте ромб по стороне и данному отношению 3 : 4 его диа­гоналей.

4. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 8-12; № 588, прочитать п. 65. № 588.

.

Урок 43

Практическое занятие по проведению измерительных работ на местности можно провести в удобное время в конце учебного года.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 4)

Урок 44

Цели: ввести понятия синуса, косинуса, тангенса острого уг­ла прямоугольного треугольника; вывести формулу тангенса угла как отношения синуса к косинусу этого угла и основное тригоно­метрическое тождество.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания и анализ самостоятельной работы.

II. Объяснение нового материала.

Изложить в виде лекции содержание пункта 66.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 591 (а", б), 592 (а, в, д), 593 (а).

5. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 15, 16, 17, с. 154; № 591 (в, г), 592 (б, г, е), 539 (б).

Для желающих.

Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов

2 : 3 и по его периметру.

У к а з а н и е , Отрезок, равный периметру, разделить в отноше­нии 2:3: и построить треугольник по трем сторонам.

Урок 45 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 4)

Цель: найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° и других углов.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Катеты треугольника равны 3 см и 4 см. Чему равны синусы его острых углов.

2. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника равна 10 см, а катет ВС равен 8 см. Чему равны тангенсы его острых углов?

II. Объяснение нового материала.

1. Выполнить устно: АВСД - трапеция. Найти: S_AВСД

А С

2. Вычислить значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° и занести их в таблицу.

3. Показать, как пользоваться микрокалькулятором для вычис­ления значений других углов.

III. Закрепление изученного материала.

№ 593 (а) - для значения а = 30°, № 593 (б) - для значений а = 45° (устно), № 601, 594, 597 (б), 598 (а).

№ 594. на доске

№ 598.

IV. Итоги урока..

Домашнее задание: вопрос 18, с. 154; № 595, 596, 598 (б), 600; подготовиться к самостоятельной работе по § 3.

Урок 46 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 4)

Цели: повторить и обобщить изученный материал, вырабо­тать умение учащихся применять изученный материал при реше­нии задач; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить задания устно: найти х. 1)

3 см

х см

Хдм х м

II. Решение задач.

№ 601.

№ 602 на доске

III. Самостоятельная работа.

Вариант I.

В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, бо­ковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.

Вариант II.

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание:

№ 603, 621, 626

Урок № 47 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Цель: проверить знания и умения учащихся в решении задач и применении изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнения работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. В прямоугольном треугольнике ABC A - 90°, АВ = 20 см; АД = 12 см.

Найдите АС и cos С.

2. Диагональ ВД параллелограмма АВСД перпендикулярна к стороне АД. Найдите площадь параллелограмма АВСД, если АВ= 12 см, A = 41°.

Вариант II.

1. Высота ВД прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок ДС, равный 18 см. Найдите АВ и cos A.

2. Диагональ АС прямоугольника АВСД равна 3 см и составляет со стороной АД угол 37°. Найдите площадь прямоугольника АВСД.

Вариант III (для более подготовленных учащихся).

1. Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСД перпендику­лярна к боковой стороне СД. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 10 см и 8 см,

2. Найдите отношение высот BN и AM равнобедренного тре­угольника ABC, в котором угол при основании ВС равен а.

2. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить п. 21 «Окружность», п. 37 «Рас­стояние между двумя точками и от точки до прямой»

Глава VIII. ОКРУЖНОСТЬ

(17 часов)

Основная цель - расширить сведения об окружностях и ввести новые важные понятия, связанные с окружностью. Рассматривае­мая глава содержит большое число важных задач, которые широко используются в дальнейшем. Им следует уделить особое внимание: №659,664,670,704,716.

Урок 48

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ (§ 1)

Цель: рассмотреть возможные случаи взаимного располо­жения прямой и окружности.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

II. Решение задач.

Решить устно:

1. Радиус окружности 5 см. Найдите расстояние от центра ок­ружности до прямой, содержащей хорду, равную 8 см.

d = V5²-4²=3(cm)

2. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности с центром О радиуса г, если а) ОА = 12 см, г = 8 см; б) АО = 6 см, г = 8 см. б)

= ОА - r, АВ= 12-8 = 4 (см)

= 8 - 6 = 2 (см)

III. Изучение нового материала.

Изложить весь материал п. 68 в виде небольшой лекции. При обосновании утверждения о том, что прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек, полезно сделать рисунок.

IV. Закрепление изученного материала.

Решить № 631 (а, г, д) - устно,

№ 632. Решение.

Дано: окружность с центром в точке О и радиусом г, ОА < г. Доказать: любая прямая р, проходящая через точку А - се­кущая.

1) Через точку А проведем произволь­ную прямую р, найдем расстояние от точки О до прямой р. Для этого прове­дем OP1 p.

2) АОР, P = 90°.

Катет ОР меньше гипотенузы АО, АО < г по условию, значит

ОР < r, следова­тельно прямая р - секущая. В случае, если AO 1 p, но АО < г, поэтому прямая р также является секущей.

V. Итоги урока.

d < г, прямая а - секущая.

d = г, прямая а имеет с окружностью одну общую точку.

d> r, прямая а не имеет общих точек с окружностью.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 178; № 631 (б, в) -устно, 633;

Урок 49 КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ (§ 1)

Цели: ввести определение касательной к окружности; рас­смотреть свойство касательной и свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Ход урока

Проверка домашнего задания.

С

АВ

Выполнить устно:

1) По данным рисунка укажите взаимное расположение:

а) прямой АВ и окружности радиуса 1 с центром С;

б) прямой ВС и окружности радиуса 2 с центром А;

в) прямой АС и окружности радиуса ВС с центром В.

II. Изучение нового материала.

1. Определение касательной к окружности.

2. Свойство касательной к окружности. (Доказывают учащиеся самостоятельно.)

3. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точ­ки. (Доказывают учащиеся самостоятельно.)

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 635 (устно), № 639, 646, 636, 645 - на доске.

6. Итоги урока.

Домашнее задачи: вопросы 3-7, с. 179; № 634, 638, 640; само­стоятельно доказать признак касательной

Урок 50 КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ (§ 1)

Цели: способствовать применению учащимися полученных знаний при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Привести доказательства признака касательной к окружности.

П. Решение задач.

1. Две окружности разных радиусов внешне касаются. Докажи­те, что отрезок их общей касательной, заключенный между точка­ми касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами этих окружностей.

ОО₁С, /C = 90°

А В

СО² = ОО ² -СО²

СО² = r² +2rR + R² -R² +2rR-r² CO²=4rR, CO_]= \/2r*2R

2. Через концы диаметра АВ окружности проведены две каса­тельные к ней. Третья касательная пересекает первые две в точках С и Д. Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен про­изведению отрезков СА и ВД.

III. Самостоятельная работа.

Вариант I.

1. КМ и KN - отрезки касательных, проведенных из точки К к окружности с центром О. Найдите КМ и KN, если ОК = 12 см, /MON = 120°.

2. Диагонали ромба АВСД пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ВД касается окружности с центром А и радиусом, рав­ным ОС.

Вариант II.

1. Найдите отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точ­ки А к окружности радиуса г, если г = 9 см. BAC = 120°.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС про­ведена медиана ВД . Докажите, что прямая ВД касается окружности с центром С и радиусом, равным АД.

Вариант III (для более подготовленных учащихся).

1. Прямые АВ, AC, MN - касательные к окружности. Найдите отрезки касательных АВ и АС, если периметр треугольника AMN равен 24 см.

2. Отрезок СД - высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла С. Найдите радиус окруж­ности с центром А, которая касается прямой СД, если СД = 4 см, АВ= 12 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-7, с. 179; № 648.

Две окружности разных диаметров внешне касаются. К ним проведены две общие касательные АС и ВД, где А и В - точки каса­ния с первой окружностью, а С и Д- со второй. Докажите АСДВ - равнобокая трапеция.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ (§ 2)

Урок 51

Цель: рассмотреть градусную меру дуги окружности.

Ход урока

1. Анализ самостоятельной работы.

II. Объяснение нового материала.

Материал лучше дать в виде короткой лекции. Желательно, чтобы в тетрадях учащихся остался конспект этой лекции.

AOC, BOC, AOB - центральные углы;

AB и ACB - полуокружности; AC и BC меньше полуокружно­сти;

BAC и АВС больше полуокружно­сти;

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 650 (а, в) - устно, № 651 (а), № 716.

7. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 8, 9, 10, с. 179; № 650 (б), 651 (б), 652.

Для желающих.

1. Из точки, кратчайшее расстояние которой до окружности равно 25 мм, проведена к окружности касательная. Отрезок этой касательной между данной точкой и точкой касания равен 35 мм. Найти длину диаметра окружности.

Решение. АОВ, /B = 90°. По теореме Пифагора ОА² = ОВ²+АВ² (R+AC)² = R² + АВ²

R² + 50R +625 =R²+1225 R = 12

Длина диаметра равна 24 мм.

Урок 52 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ (§ 2)

Цели: ввести понятие вписанный угол; доказать теорему об измерении вписанных углов и следствие из нее.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить устно: 1. ВС = 70°. Найти углы АВО.

2. КМ- биссектриса угла АКБ. Доказать: ОМ биссектриса угла АОВ.

И. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие о вписанном угле. На закрепление этого по­нятия рассмотреть задание:

1) Какие углы являются вписанными на рисунках?

М

Д Е К S R А

2) На какую дугу опирается вписанный угол? 2. Разобрать только первый случай возможного расположения центра окружности относительно сторон угла.

3. Обсудить доказательство двух других случаев и оставить на самостоятельное рассмотрение.

4. Обсудить идею, на которой основано доказательство двух следствий из теоремы, и предложить учащимся самостоятельно провести его.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 653 (устно), 654 (устно),

№ 655, 656, 658 - на доске

№ 659 (уст­но), № 661.

Домашнее задание: № 657, 660, 663.

Урок 53 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ (§ 2)

Цели: рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд и применение изученного материала при решении задач.

Ход урока I. Проверка домашнего задания.

1. Найти градусную меру угла АВС (устно):

2. Рассмотреть решение задачи № 664.

II. Изучение нового материала.

Докажите, что АМС ~ ДМВ.

2. Доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 666 (а; б), 668, 670, 671 (а), 673.

Итоги урока.

Домашнее задание:

№ 666 (б), 667, 671.

Урок 54 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ (§ 2)

Цели: учить применять полученные знания при решении за­дач; способствовать развитию навыка решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

№ 667 рассмотреть решение на доске.

П. Решение задач (устно).

Найти: BE и а. После решения задачи обратить вни­мание: угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусум­мой двух дуг, одна из которых за­ключена между его сторонами, а дру­гая - между продолжениями сторон.

2)SN=4, SP = 9, SK=3

Найти: SR,SQ а. После решения задачи обратить вни­мание: угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

3) Окружность проходит через вер­шины В, С, Д трапеции АВСД {АД и ВС - основания) и касается стороны АВ в точке В.

Докажите, что ВД=\/ВС*АД.

III. Самостоятельная работа.Вариант I.

1. Точки Д В, С лежат на окружности с центром О, ZAOB = 80°, kjAC : u£C = 2:3. Найдите углы треугольника А ВС.

2, Хорды А В и СД пересекаются в точке К, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка А" делит хорду СД, если СД> АВ на 3 см?

Вариант II.

1. Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром О (см. рис. к задаче 1 I варианта), .ABC = 80°, и ВС : АВ = 3:2. Найдите углы треугольника АОВ.

2. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN. Домашнее задание: № 665, 669

ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 3)

Урок 55

Цели: рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и следствие.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. № 669 вынести решение на доску.

2. Решить устно:

1) Докажите, что S _АОС ⁼Sboc

2) Прямая т пересекает отрезок АВ в его середине. Докажите, что концы отрезка АВ равноудалены от прямой т.

II. Изучение нового материала.

1) Доказательство теоремы.

2) Доказательство следствия из теоремы.

Изложить лучше самому учителю в виде небольшой лекции.

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 674, 675, 676 (а).

.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание:

вопросы 15, 16, с. 179; № 676 (б), 778 (а).

Урок 56 ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 3)

Цели: ввести понятие серединного перпендикуляра к отрез­ку; рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре и следствие из него.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания. 1. № 778 (а) вынести решение на доску.

II. Изучение нового материала.

1. Прямая КМ перпендикулярна к стороне АВ треугольника ABC и делит ее пополам. Точка М лежит на стороне АС.

Докажите, что АС > ВС.

2. Ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку.

3. Доказать теорему о свойстве серединного перпендикуляра.

4. Доказать следствие из этой теоремы.

Доказательство теоремы о серединном перпендикуляре к от­резку и следствия из нее также желательно изложить учителю самому.

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 679 (б), 680, 682.

IV. Итоги урока.

АО = ОВ = ОС

А С

Домашнее задание: вопросы 17-19, с. 179; № 679 (а), 681, 686 (решена в учебном пособии, с. 173).

Урок 57 ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 3)

Цел и: рассмотреть теорему о точке пересечения высот тре­угольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Решить устно: В 1.Найти: периметры треугольников ВКО и АВС

Д

С

2. FK, FN серединные перпен­дикуляры АВ = 16, CF=10

Найти расстояние от точки F до стороны АВ.

II. Изучение нового материала.

Теорему о точке пересечения высот треугольника учителю же­лательно прокомментировать по заранее заготовленному чертежу, а детальное доказательство предложить учащимся провести дома самостоятельно или с помощью учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить устно:

Дуга, АД- полуокружность. Доказать MN АД.

2. Решить № 677, 684, 687.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1- 20, с. 179; № 688, 720.

Рекомендовать решать № 720 методом от противного.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ (§ 3)

(4 часа)

Урок № 58

Цели: ввести понятие вписанной окружности и описанного около окружности многоугольника; рассмотреть теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить устно 1) В а) Докажите, что /ABM = /MCA.

АС

2) Найдите MKN и расстояние MN, если ОМ= , КМ =3.

3) Найти углы треуг. АВС,

если OAC = 20° и AOC = 120°

4) стороны угла А касаются окружно­сти радиуса г с центром О.

а) Найдите О А, если г = 5 см , А = 60°.

б) Найдите г, если ОА = 14 дм, A = 90°.

II. Изучение нового материала.

Изложить в виде лекции п. 74 до замечания 2.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 701 (для остроугольного треугольника), 689, 691.

IV. Итоги урока.

N

К

1) Центр вписанной в треугольник окружности в точке пересечения бис­сектрис;

2) ОМ = ON = OK - радиусы вписан­ной окружности;

3) окружность единственная для дан­ного треугольника.

Домашнее задание: вопросы 21, 22, с. 179; № 701 (для прямо­угольного и тупоугольного треугольников), 637, 690, 693 (а), 693 (б) - по желанию

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 8кл.

Урок №59

Цели: доказать свойство описанного четырехугольника и научить применять его при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. № 690 и 693 (а) вынести решение на доску.

2. Решить устно. В

С

1) Найдите радиус окружности, впи­санной в равносторонний треугольник, если сторона треугольника 2

2) Найдите радиус окружности, впи­санной в треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см. Решение.

= 10²-6² =8

АВМ ~ ОВК (угол В - общий)

8-г r

------= -; r = 3.

10 6

3) Найти периметр треугольника АВС.

4) АВСД - равнобедренная трапеция. Найти ДС и АВ.

II. Изучение нового материала.

1. Рассмотреть свойство описанного четырехугольника.

2. Решение задачи № 697.

S = рr. Где р - полупериметр многоугольника.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 695 (устно), № 698.

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Вариант II.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найдите периметр тре­угольника и его площадь..

Вариант I. Используя решение задачи № 693,

имеем Р_АВС = 2(АС + г) = 2(10 + 2) =

= 24 (см)

S_АВС = 12*2 = 24 (см²).

Вариант II.

Используя решение задачи № 693, имеем AB + BC = AN+NB + MB + CM = AK + r + r + KC, АВ + ВС=АС + 2r, АС=АВ + ВС-2r

Р_АВС = 2 (АС + г) = 2 (АВ + ВС- 2г + г) = 2(17-2) = 30 (см)

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 23, с. 180; № 641, 696, повторить решение задачи № 697.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 8кл.

Урок №60

Цели: ввести понятие описанной около многоугольника окружности; рассмотреть теорему об окружности, описанной около треугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Решить устно:

1. АВСД-ромб, СД= 32, ВС = 20 Найти: r.

Решение.

1) Из треуг.ВОС по теореме Пифагора ОС² = ВС² - ОВ² = 400 - 256 = 144, ОС= 12

2)S_АВСД = 0,5ВД•АС = 32•12 = 384

3) S_АВСД = ВС • NM = 20 • MN, 384 = 20MN; MN= 19,2

4) 2r = MN, r = 9,6.

2. АВСД- трапеция СО = 6, ОД = 8 Найти: Sabcд. Решение.

II. Изучение нового материала.

Изложить в виде лекции материал п. 75 до замечания 2.

III. Закрепление изученного материала.

Решить № 711 (для тупоугольного треугольника), 702 (а), 704 (а, б),

IV. Итоги урока.

1) Центр описанной около треуголь­ника окружности в точке пересече­ния серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2) ОВ = ОС = ОА - радиусы описан­ной окружности.

3) Окружность единственная для дан­ного треугольника.

Домашнее задание: вопросы 24, 25, с. 180; № 711 (для прямо­угольного) и равностороннего треугольников), 702 (б), 705 (б).

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 8кл.

Урок №61

Цели: рассмотреть свойство вписанного четырехугольника; учить решать задачи на применение изученного материала.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Решить устно: 1. ОК = 5, АВ = 24. Найти : R.

Решение.

1) АОВ - равнобедренный, т.к. АО = OB = R, тогда АК = КВ. 2) В АКО, K= 90°, АО= l2²+5² =13.

2. № 705 (а).

3. Вершины треугольника ABC лежат на окружности, причем

АВ : BC : СА = 2 : 3 : 4. Найдите углы треугольника ABC.

4. Найти углы вписанного четы­рехугольника ABC Д.

И. Изучение нового материала.

Доказательство свойства вписанного четырехугольника можно предложить учащимся разобрать самостоятельно по учебнику (хо­рошо успевающим - без помощи учебника).

III. Закрепление изученного материала.

Решить №708 (а), 710.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I.

Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренно­го треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13 см. Найдите площадь этого треугольника.

Вариант П.

Меньший из отрезков, на которые центр описанной окружности равнобедренного треугольника делит его высоту, равен 8 см, а ос­нование треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого тре­угольника.

V. Итоги урока..

Домашнее задание: вопрос 1-26, с. 180; № 708 (б), 709. Для желающих № 729.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

(2 часа)

Урок №62

Цель: продолжить отработку навыков решения задач по те­ме «Окружность».

Ход урока

I. Анализ самостоятельной работы и проверка домашнего задания.

Выполнить устно:

1.№642.

АВ и АС - касательные к окружности

ОВ = 3, ОА = 6 . Найти: АС, АВ, /3, /4.

С

2. № 643. Использовать чертеж к задаче № 642 OAB = 30°,

АВ = 5 см. Найти: ВС.

З.№644. Доказать

АМС = 3BMC.

4. №683, № 685, № 694

III. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-26, с. 179-180; № 707, 721, 728.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок №63

Цели: продолжить отработку навыков решения задач по те­ме «Окружность» и подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1.№ 730 (устно).

.

II. Решение задач.

1).№727.

2). Найти радиус описанной окружности равнобедренного тре­угольника с основанием 16 и боковой стороной 10.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1-26, с. 179-180; № 732, 725, 726; подготовиться к контрольной работе.

Урок №64

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

(1 час)

Цель: выяснить степень усвоения учащимися изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы.

Вариант I.

1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хор­ды АВ и АД, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четы­рехугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а бо­ковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в тре­угольник и описанной около треугольника окружностей.

Вариант II

1. Отрезок ВД - диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите уг­лы четырехугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.

2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного тре­угольника, равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите ра­диусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Вариант ///(для более подготовленных учащихся).

1. МА и MB - секущие, АС и ВД -хорды окружности с центром О. Докажите, что

АОВ = AKB +AMB.

2. Площадь равнобедренной тра­пеции АВСД с основаниями ВС и АД, описанной около окружности с центром О и радиусом 3 см, рав­на 60 см². Найдите радиус окруж­ности, описанной около треуголь­ника ОСД.

ПОВТОРЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

(4 часа)

При повторении курса геометрии необходимо сконцентриро­вать внимание учащихся на узловых вопросах программы. Основ­ные факты планеметрии и применяемые в ней методы можно сгруппировать по следующим темам: «Четырехугольники, много­угольники» (1 час), «Треугольники» (1 час), «Окружность» (1 час).