• Преподавателю
  • Математика
  • Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Практическое занятие

«Построение графика разрывной функции»


Цель работы: научиться исследовать функцию по схеме и строить график функции на его основе.

Схема исследования функции:

  1. Найти область определения функции D(f).

  2. Если область определения симметрична относительно ОУ, то исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.

3.Найти промежутки знакопостоянства (если это не вызывает затруднений), решив уравнение

у = 0 и исследовать функцию на концах каждого промежутка.

4.Найти асимптоты графика.

5.Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.

  1. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

На основе исследования построить график.

Разбор трех вариантов.

Пример 1: Исследовать функцию Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции и построить график.

Решение: Исследуем по схеме:

  1. Найдем область определения функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции , решив уравнение Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции.

  1. Так как Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции симметрична относительно оси ОУ, то исследуем функцию на четность, нечетность: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции функция нечетная, график симметричен относительно точки (0; 0).

Непериодична.

  1. Найдем промежутки знакопостоянства, решив уравнение у = 0.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

у

-

+

-

+

График расположен

ниже оси ОХ

выше оси ОХ

ниже оси ОХ

выше оси ОХ


  1. Найдем асимптоты графика:

а) вертикальные будем искать там, где функция неопределенна,

т.е. в точках x=1; x=Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции. Для этого найдем односторонние пределы в этих точках.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функциивертикальные асимптоты

б) наклонная асимптота: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции; Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции, следовательно Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции - наклонная асимптота.

  1. Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

-1

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

1

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

не

сущ.

0

не

сущ

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

т.

max

экст.

нет

экст.

нет

экст.

нет

т.

min

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции.

7) Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

=Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

=Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции; Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

-1

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

1

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

не сущ.

0

не сущ.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

перег. нет

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

перег.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

перег. нет

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Построим график по нашему исследованию.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Пример 2. Построить график функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции .

1) Найдем область определения функции:Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции, кроме Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции ;

т. е. Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции.

2) Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, то исследуем на четность/ нечетность:Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции - функция четна, график симметричен относительно ОУ.

3) Найдем промежутки знакопостоянства. Решим уравнение у = 0.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

-3

(-3; -2)

-2

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

2

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

3

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

Не существует

Не существует

0

График располо-

жен

Выше оси ОХ

Нуль функ-ции

Ниже оси Ох


Выше оси ОХ


Ниже оси Ох

Нуль функции

Выше оси ОХ

4) Найдем асимптоты:

а) вертикальные:

  • Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции;

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции- вертикальная асимптота.


  • Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции- вертикальная асимптота.

б) наклонную Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции(старшая степень в знаменателе). Следовательно наклонной асимптоты нет.

В) горизонтальную

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции( коэффициенты при старших степенях одинаковы)

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функциигоризонтальная асимптота.

Графики асимптот нанесем на чертеж, а также поведение графика левее и правее асимптот.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

5) Исследуем функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума. Вычислим производную, используя правило дифференцирования частного: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Найдем критические точки первой производной: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

-2

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

2

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Не существует

0

Не существует

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


разрыв

max

2,25


разрыв

Найдем значение функции в точке максимума: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точку перегиба.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функциивынесем общий множитель числителя за скобки и сократим на него = Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции. Найдем критические точки второй производной: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции , так как числитель не обращается в 0, то Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции .

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

-2

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

2

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Не существует

Не существует

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Перегиба нет

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Перегиба нет

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

7) Используя данные исследования, строим схематический график поведения функции.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Пример 3. Построить график функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции .

Решение:

1) Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции , Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции .

2) Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции ни четна, ни нечетна.

3) Непериодическая.

Нули функции: Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции не пересекает ОУ.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

(0; 2)

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Это промежутки знакопостоянства.

4) Найти асимптоты:

а) Найдем вертикальную асимптоту Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции вертикальная асимптота.

б) Найдем наклонную асимптоту Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции наклонной асимптоты нет.

в) Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции горизонтальная асимптота.

5) Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции.

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

4

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

не сущ.

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

экстр. нет

m.max Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

6) Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функцииМетодические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

6

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

не сущ.

0

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

перег. нет

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

т. перег. Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Задание.

Исследовать по схеме и построить график функции.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

Вариант 16


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 17

Вариант 18

Вариант 19

Вариант 20


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 21

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

Вариант 28


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции

Вариант 29

Вариант 30

Вариант 31

Вариант 32


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


Методические указания по выполнению практического задания по теме Построение графика разрывной функции


© 2010-2022