Сборник задач Экономика и жизнь

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 3

Экономика

и жизнь

Сборник задач с решениями

Мыски

2009

Составители: Аверьянова Н.Б., Жгут Н.И., Ростовцева Ю.В., Солопова А.М., Шабалова О.Ю.

Экономика и жизнь. Сборник задач с решениями.

В сборник вошли задачи, предложенные для решения на городском физико-математическом турнире обучающихся 10-11 классов. Сборник адресован школьникам, учителям, всем любителям математики.

Задачи, стоимостью 5 баллов

1. Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счет 13 000 руб., вкладчик через 2 года получил 15 730 руб.?

Решение. A₂ = А₀(1 + 0,01x)²,

15730= 13000(1 + 0,01x)²,

(1 + 0,01x)² = 1,21,

1+0,01x =1,1 или 1 + 0,01x = -1,1;

x₁ = 10, x₂ = -210 - не подходит по смыслу задачи.

Ответ: банк давал 10% годового дохода.

2. В 2008 г. производство упало на 19%, а в 2009 г. Прогнозируется спад еще на 16%. На сколько процентов упадет производство за два года?

Решение: Составим пропорцию 0,81х - 100%

у - 84%

Вычислив, получаем у=68,04х. Т.о. спад производства составил примерно 32%

3. Экономический кризис накладывает свой отпечаток и на поведение животных. Теперь, когда идет дождь кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно

А) кошка в комнате

Б) мышка в норке

В) кошка в комнате или мышка в норке

Г) кошка в подвале, а мышка в комнате

Д) такая ситуация невозможна - кризис!

Ответ: Г

4. В целях экономии средств Коля, Леня и Миша сложились и купили футбольный мяч. Сумма денег, вложенных каждым из них, не превосходит половины суммы, вложенной остальными. Сколько денег вложил Миша, если мяч стоил 6 шекелей.

Решение: Согласно условию удвоенная сумма денег, вложенных каждым мальчиком, не превосходит суммы, вложенной двумя остальными. Если бы один из мальчиков дал больше двух шекелей, то двое остальных дали бы не меньше четырех, то есть меньше удвоенной суммы денег первого. Итак, каждый дал не больше двух шекелей. Так как мяч стоил 6 шекелей, то каждый дал 2 шекеля

5. Во время предвыборной кампании социологический центр «ЗЕВС» поднял цену социологических исследований на 300%. Но отсутствие спроса заставило вернуться к прежнему уровню цен. На сколько процентов была снижена цена?

Решение. Пусть а - первоначальная цена социологических исследований. Тогда цена после повышения станет равна (1+300/100)·а = 4а

Процент последующего снижения цены окажется равен (4а-а)/4а*100%=75%

6. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

Решение. А₂ = A₀ • (1 - 0,01x)²,

80 = 125(1 - 0,01x)²,

(1 - 0,01x)² = 0,64,

1 - 0,01x = 0,8 или 1 - 0,01x = -0,8;

x₁ = 20, x₂ = 180 - не подходит по смыслу задачи.

Ответ: цена снижалась два раза на 20%.

7. В гостинице остановился купец. У него для расплаты за проживание лишь одна серебряная цепочка, состоящая из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивается одним звеном цепочки. Какое звено цепочки надо распилить, чтобы прожить в гостинице 7 дней и ежедневно расплачиваться с хозяином. (Хозяин может давать сдачу звеньями, полученными им ранее).

Решение: Отсоединить третье звено. Тогда цепочка распадется на три части: 1, 2 и 4 звена. В первый день купец отдаст 1 звено, во второй 2 звена (обратно получит 1 звено), в третий - отдаст вновь 1 звено, в четвертый отдаст 4 звена (обратно получит 1 и 2 звена), в пятый отдаст 1 звено, в шестой отдаст 2 звена (обратно получит 1 звено), в седьмой отдаст 1 звено.

8. Первый банк меняет рубли на доллары по 30 рублей за доллар, и еще берет 70 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Второй банк берет за доллар 30 рублей 20 копеек, а за право обмена берет 1 доллар (независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять?

Решение: Если у туриста было х рублей, то в первом банке он получит за них (х - 70) : 30 долларов, а во втором х : 30,2 - 1 долларов. Составляем и решаем уравнение, из которого получаем х = 6040 рублей.

9. Однажды Черт предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки». Бездельник согласился и ... после третьего перехода остался без гроша. Кризис есть кризис. Сколько денег у него было сначала?

Решение: Задача решается с конца. Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 копейки, а до перехода третьего моста - 12 копеек. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (копеек), а до перехода второго моста - 36 : 2 = 18 (копеек). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (копейки), а перед переходом первого моста - 42 : 2 = 21 (копейка). Таким образом, у бездельника сначала была 21 копейка.

10. Еще не зная о наступающем кризисе, предприятие купило компьютер, факс, сейф и телефон за 41950 р. Факс, сейф и телефон вместе стоят 18950 р., компьютер, сейф и телефон - 39450 р., факс и сейф вместе стоят 17700 р. Сколько стоят в отдельности компьютер, факс, сейф и телефон?

Ответ: 23 000 р., 2 500 р., 15 200 р., 1 200 р.

11. Из лампочек для карманного фонаря собрана гирлянда, рассчитанная на включение в сеть 220 В. На каждую из лампочек приходится напряжение всего около 3 В, однако если вывинтить одну из лампочек из патрона и сунуть туда палец, то сильно «дёрнет». Объясните почему.

Ответ: Палец имеет очень большое сопротивление по сравнению с сопротивлением лампочек. При «включении» его последовательно с лампочками через палец и через лампочки течёт одинаковый ток, поэтому падение напряжения на пальце будет значительно больше падения напряжения на лампочках, то есть практически все напряжение - 220 В - будет приложено к пальцу.

12. Имеется пять электрических лампочек на 110В с мощностью 40, 40, 40, 60, 60 Вт . Как следует включить их в сеть с напряжением 220 В, чтобы все они горели нормальным накалом?

Ответ: Лампочки нужно включить следующим образом: последовательно три параллельно включённых лампочки по 40 Вт и параллельно включённых две лампы по 60 Вт. В этом случае напряжение поровну распределится между двумя группами ламп, на каждой лампочке будет напряжение 110 В.

13. Двое в столовой взяли на третье чай. Первый сразу растворил в стакане сахар, второй сначала съел первое и второе, а потом положил в стакан сахар и растворил его. Кто будет пить более горячий чай?

Ответ: При растворении сахара происходит поглощение некоторого количества тепла, температура чая при этом падает. Потери тепла в окружающее пространство тем меньше, чем меньше разность температур чая и окружающего пространства. Это значит, что чай с растворённым в нём сахаром потеряет за данное время меньшее количество тепла, чем более горячий чай без сахара. Поэтому тот, кто растворил сахар сразу, будет пить более горячий чай.

14. В двух одинаковых чайниках, поставленных на одинаковые горелки, кипит вода. У одного из них крышка часто подпрыгивает, а у другого остаётся на своём месте. Почему?

Ответ: Крышка останется на месте у того чайника, в котором меньше воды, и пар, образовавшийся над поверхностью кипятка, уходит через носик чайника. В другом чайнике воды больше и пар накапливается между поверхностью воды и крышкой. При достаточном давлении пара крышка поднимается и из чайника выходит порция пара.

15. Можно ли заставить кипеть воду, не нагревая её?

Ответ: Можно. Для этого достаточно понизить давление воздуха над поверхностью воды, поместив её под колокол воздушного насоса и откачав из него воздух.

Задачи, стоимостью 10 баллов

1. 9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок - дороже 11 рублей. Сколько стоит 1кг ирисок?

Решение: Первое условие равносильно тому, что 1 кг ирисок стоит дешевле, чем

руб.=1 руб. 11коп. Аналогично, второе условие равносильно тому, что 1 кг ирисок стоит дороже, чем руб.=1 руб. 10 коп. Поэтому ответом в задаче является любая сумма, большая 1 руб. 10 коп., и меньшая 1 руб. 11коп. Естественно, что цена килограмма ирисок выражается целым числом копеек. Поэтому ответ однозначен: 1 руб. 11 коп.

2. В кошельке лежали купюры в 1, 3, 5 и 10 рублей, причем рублевые купюры составляли половину общей суммы денег. Когда я покупал газету за 16 рублей, ветром унесло 5 купюр. Докажите, что оставшихся денег хватит на покупку.

Решение: Поскольку в кошельке было хотя бы по одной купюре в 3, 5 и 10 рублей, то рублевых купюр было не меньше восемнадцати, а всего - не меньше двадцати одной купюры. Из них осталось не меньше шестнадцати, а следовательно, осталось не меньше шестнадцати рублей.

3. Школьников кризис не коснулся. Девять учеников за месяц съели 130 порций мороженого, причем никакие два из них не съели порций поровну. Докажите, что есть четыре ученика, съевших не менее 70 порций (вместе).

Решение: Рассмотрим тех учеников, которые съели наибольшее количество порций. Если четвертый по количеству съеденных порций Д съел не меньше 16, то они съели не менее чем 16+17+18+19=70 порций. Предположим, что Д съел менее 16 порций, но тогда остальные пять съели не более 14+13+12+11+10=60 порций. На долю остальных не менее 70 (130-60).

4. В ящике у Карлсона лежат конфеты трех сортов: с ромом, с кофе, с орехами. Карлсон утверждает, что, какие бы сто конфет ни вынуть из ящика, среди них обязательно встретятся конфеты с ромом и с кофе. Какое наибольшее число конфет может быть у Карлсона в столе?

Решение: Заметим, что если сложить число конфет без рома с числом конфет без кофе, то полученная сумма будет больше числа всех конфет в ящике (поскольку конфеты с орехами - это конфеты и без рома, и без кофе). Число конфет без рома не превосходит 99; это же можно утверждать и про число конфет без кофе. Поэтому число конфет в ящике меньше, чем 99+99=198, то есть не превосходит 197.

В то же время утверждение Карлсона справедливо, если в ящике по 98 конфет с ромом и с кофе и одна с орехами, то есть всего 98+98+1=197 конфет.

Итак, искомое наибольшее число равно 197.

5. Али-Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором он может их унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов - 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов - 60 динаров. Чтобы не «обвалить» рынок сокровищ Али-Баба может унести за 1 раз не более 100 кг. Сколько денег он может получить за сокровища, которые он принесет из пещеры за один раз?

Решение: Предположим, что Али-Баба смог унести из пещеры х кг золота и у кг алмазов. В этом случае он сможет получить 20х+60у динаров. Поскольку Али-Баба может поднять не более 100 кг, то 20х+60у100 (*). Кроме того, 1 кг золота занимает часть сундука, а 1 кг алмазов - часть сундука. Значит, взятые Али-Бабой сокровища займут или, умножив последнее неравенство на 200: х+5у200 (**).

Сложим неравенства (*) и (**): 2х+6у300.

Умножим обе части последнего неравенства на 10:

20х+60у3 000. Значит, Али-Баба сможет унести сокровища не более 3 000 динаров.

Осталось показать, что Али-Баба сможет унести сокровища на 3 000 динаров. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах (*) и (**) были выполнены равенства. Решим соответствующую систему двух уравнений, найдем х=75, у=25. Итак, Али-Баба сможет получить 3000 динаров, взяв 75 кг золота и 25 кг алмазов.

6. Кризис заставил железнодорожников решать задачи оптимизации перевозок. Груз погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но один вагон оказался загружен не полностью. Если бы весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 т, то понадобилось бы на 8 вагонов больше и при этом все равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, если переложить груз в вагоны вместимостью по 50 т, то понадобилось на 5 вагонов больше, причем все вагоны были бы загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Решение: Пусть n - количество 50-тонных вагонов, тогда вес груза равен 50n тоннам. Так как в них был размещен весь груз и один вагон оказался неполностью загруженным, то 60(n-5)>50n и 60(n-6)<50n. Из этих неравенств следует, что 30<n<36. Поскольку n - целое, то 31 n35 (1). 80-тонных вагонов использовано n-13. Подобно предыдущему получаем, что 80(n-13)>50n и 80(n-14)>50n, откуда . Так как

n-целое, то 35n 37 (2). Из (1) и (2) следует, что n=35

Ответ: 1 750 т.

7. Если первый автомобиль сделает 4 рейса, а второй 3 рейса, то они перевезут вместе меньше 21 т груза, если же первый сделает 7 рейсов, а второй 4 рейса, то они перевезут больше 33 т груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъемность?

Решение: Если x и y - грузоподъемности первого и второго автомобилей соответственно, то условие задачи записывается в виде системы неравенств:.

Умножая первое неравенство на 11, второе неравенство на 7, затем, вычитая из первого неравенства второе, получим , откуда x > y.

8. При одном из видов кредитования (как правило, краткосрочном) заем в 6 000 руб. погашается в течение года по 500 руб. ежемесячно, вносимых в последний день месяца одновременно с уплатой 5% в месяц, начисляемых по формуле сложных процентов на совершаемый платеж. Найти размер всей платы за кредит.

Решение: В первый месяц заемщик уплачивает 500 • 1,05 = 525 руб. Следующими пятью сотнями он пользовался уже 2 месяца, и за это придется заплатить больше: 500•(1,05)². Получается геометрическая прогрессия с первым членом 525 и знаменателем q = 1,05, а нас интересует сумма ее 12 членов. По формуле для суммы получаем:

S₁₂ = 500 • 1,05((1,05)² -1)/ (1,05 - 1) = 2 356,3.

Плата за кредит составляет 2 356,3 руб. Заметим, что методика предыдущей задачи привела бы к 1 950 руб., т. е. к сопоставимому результату.

9. Имеется 10 монет, из них 9 настоящих, одинаковой массы, одна фальшивая, легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Решение: Занумеруем монеты. На левую чашку весов положили монеты с номерами 1,2,3, а на правую - с номерами 4,5,6.

Возможны два случая.

1) Весы в равновесии. Тогда фальшивая монета

находится в оставшейся четверке. На четыре монеты требуется еще два взвешивания.

2) Весы в неравновесии. В этом случае фальшивая монета находится в той из двух первых троек, которая легче. Тогда для ее определения нужно еще одно взвешивание. Следовательно, необходимо три взвешивания.

Ответ: Три взвешивания.

10. Управдом собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Сергей Петров из 104-й квартиры поинтересовался, почему во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. На это управдом ответил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные - втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?

Решение: Рассмотрим два случая: трехзначных квартир нет в первом подъезде, и трехзначные квартиры есть в первом подъезде.

Первый случай. Обозначим стоимость однозначного номера за х, тогда стоимость двузначных и трехзначных номеров будет равна 2х и 3х соответственно.

Пусть в первом подъезде квартир с двузначными номерами будет К, тогда всего в первом подъезде будет (9 + К) квартир. Так как число квартир в первом и втором подъездах одинаково, и число квартир с двузначными номерами равно 90, то во втором подъезде квартир с двузначными номерами будет (90 - К), а с трехзначными - 21К - 81 . Найдем стоимость номеров в первом и втором подъездах. 9х + 2хК - стоимость номеров для первого подъезда, 2х(90 - К) + 3х(21К - 81) - стоимость номеров для второго подъезда. Так как стоимость номеров во втором подъезде дороже стоимости номеров в первом подъезде на 40%, то получим уравнение: 1,4(9х + 2хК) = 2х(90 - К) + 3х(2К - 81).

Решением данного уравнения будет К = 63. Значит, квартир в каждом подъезде в этом случае будет по 72.

Второй случай. Обозначим соответственно за х и К стоимость однозначного номера и число квартир с трехзначным номером. Тогда, рассуждая аналогично первому случаю, приходим к уравнению 1,4(9х + 90 • 2х + 3х • К) = 3х(99 + К), решением которого является К = 27. Тогда в каждом подъезде будет по 126 квартир. Если бы Сергей Петров жил во втором подъезде, то этот случай не удовлетворял бы условию задачи, так как во втором подъезде квартиры начинаются с 127 номера. Таким образом, решением задачи будет 72 или 126 квартир.

11. Теплотворность сосновых дров несколько выше, чем берёзовых. Почему же выгоднее купить кубометр берёзовых дров, а не сосновых? (Цена дров одинакова.)

Ответ: Плотность берёзы больше плотности сосны. Поэтому масса 1 куб. метра берёзовых дров больше массы 1 куб метра сосновых.

12. В центре острова Робинзон обнаружил небольшое озеро. Он попробовал воду из него: она оказалась солёной. «Как из этой воды получить пресную?» Раз возникнув, вопрос не давал ему покоя. Приборов никаких, но есть пещера, где так холодно, что вода ночью замерзает. Что делать Робинзону?

Ответ: Воду нужно набрать в какой-то сосуд, отнести в пещеру и там заморозить, но не до конца, а чтобы лёд был лишь наверху. Кристаллическая решётка льда образуется только из атомов водорода и кислорода, она не допускает их замены примесями; отсюда следует, что кристаллы льда - это чистая замёрзшая вода.

Задачи, стоимостью 15 баллов

1. У продавщицы было 12 гирь, их общая масса составляла 2 кг 700 г, массы отдельных гирь не превышали 500 г. Продавщица разложила эти гири на 3 кучки так, что масса гирь в каждой кучке превышала 600 г. Но потом потерялась одна гирька в 100 г, и продавщице уже не удавалось разложить гири на 3 кучки массой свыше 600 г каждая. Как это могла случиться? Приведите пример, указав массы отдельных гирь.

Решение: Пусть, например, у продавщицы было 5 гирь массой по 500 г каждая,

1 гиря в 100 г, 1 гиря в 50 г и 5 гирь по 10 г каждая. Если общая масса гирь в кучке превышает 600 г, то в этой кучке либо имеются 2 гири по 500 г, либо 1 гиря массой 500 г и

1 гиря в 100 г (так как общая масса более легких гирь равна 100 г). Если гиря в 100 г потеряна, то вторая возможность отпадает и, значит, в каждой кучке массой свыше 600 г должно быть не менее двух гирь по 500 г. Так как есть всего 5 таких гирь, то таких кучек может быть не больше двух.

2. С наступлением кризиса гриб называется плохим, если в нем больше 11 червяков. Червяк - тощий, если он съел не более гриба, в котором живет. Четверть всех грибов в лесу плохие. Докажите, что не менее трети всех червяков - тощие.

Решение: Червяка, который съел больше гриба, будем называть жирным. Ясно, что в любом грибе не более 4 жирных червяков. А так как в плохом грибе живет не меньше 12 червяков, то не меньше восьми из них - тощие. Пусть k - количество плохих грибов. Тогда тощих червяков в них не меньше, чем 8k, количество всех грибов в лесу - 4k, и количество жирных червяков не более 16k. Итак, тощих червяков не меньше, чем 8k, а нетощих - не больше, чем 16k, значит, тощих - не менее трети.

3. Наследство состоит из нескольких бриллиантов и оценивается в $1000000. Известно, что его можно разделить на 5, а можно и на 8 равных частей. Какую наименьшую стоимость может иметь самый маленький бриллиант?

Решение: Докажем, что наименьший бриллиант не может быть дороже $50000. При делении наследства на восемь равных частей по $125000 по крайней мере одна часть составлена из двух или более бриллиантов. Заменим каждый бриллиант, стоящий ровно $125000, на два бриллианта половинной стоимости - от этого ни стоимость наименьшего бриллианта, ни возможность разбиения на пять частей не изменится. После этого в каждой части не меньше двух бриллиантов, то есть всего бриллиантов не меньше 16. Значит, при делении на пять частей по $200000 в какой-то части окажется по крайней мере четыре бриллианта, и уже в этой части один из бриллиантов стоит дороже $50000.

Ответ: $50000 ( всего наследства). В качестве примера можно взять по четыре бриллианта стоимостью $50000, $75000 и $125000.

4. В акционерном обществе «Елки-палки» 1994 акционера, причем известно, что любые 1000 из них в совокупности обладают контрольным пакетом (то есть не менее, чем половиной акций). Какую наибольшую долю акций может иметь один акционер?

Решение: Допустим, что доля акций некоего акционера равна х. Тогда выберем из остальных 1993 акционеров 1000 акционеров с наименьшим количеством акций, - ясно, что их доля в совокупности не более . Отсюда получаем  то есть или. Это и есть точный ответ.

5. Передние покрышки автомобиля "Антилопа Гну" выходят из строя через 25000 км, а задние - через 15 000 км. Когда О. Бендер должен поменять их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние? Чему равно это расстояние?

Решение: Каждый километр пробега передних покрышек изнашивает их на а задних на Поэтому если в середине пути длиной L км покрышки поменять, то их износ за весь путь будет равен . Приравняв эту величину единице, мы получим путь, который можно пройти до полного износа покрышек. Он равен .

Очевидно, что сменить покрышки в середине пути - оптимальная стратегия, так как если сделать это в другом месте, то покрышки, прошедшие сзади больше, чем впереди, выйдут из строя раньше. Значит, поменять покрышки надо через 9375 км пути.

6. Если бы путешественник проезжал в день на 20 км больше, чем он проезжает, то он проехал бы за 8 дней расстояние, меньше 1000 км. А если бы он проезжал в день на км меньше, чем он проезжает, то за 12 дней он проехал бы более 1000 км. В каких границах измеряется его дневная скорость?

Решение: Пусть скорость путешественника х км/день; тогда согласно условию задачи имеем систему неравенств:

Решая эту систему, получаем 99<х<105.

Ответ: 99 км/день <х<105 км/день.

7. Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

Решение: Обозначим массы предметов их первыми буквами: Д (диван), Ч (чемодан), С (саквояж), К (корзина, картина, картонка), а массу маленькой собачонки - буквой М. Из условий задачи

Д=Ч+С (1),

Д=3К (2),

К>М (3),

М+С>Д (4),

М+Ч>Д (5).

Сложив неравенства (4) и (5) и воспользовавшись уравнением (1) найдем, что 2М>Д; с другой стороны, подставив условие (3) в уравнение (2), найдем, что Д>3М. Эти неравенства противоречивы: из них получается, что 2М>3М, то есть М<0.

Таким образом, претензия дамы справедлива.

8. В магазин привезли муку в мешках. Известно, что в первом, втором и третьем мешках не менее 60 кг муки, первом, втором и четвертом - не более 50 кг муки, первом, третьем и четвертом - не более 40 кг муки, а во втором, третьем и четвертом - не более

30 кг муки. Сколько муки было в каждом мешке?

Решение: Пусть в первом мешке - а, во втором - b, в третьем - с и в четвертом - d кг муки. Тогда

Вычитая из первого неравенства поочередно второе, третье и четвертое, получаем:

с-d10, b-d20, a-d30, откуда c10, b20, a30, a+b50, и значит, d=0, следовательно, c10, b20, a30 и a+b50, a+c40, b+c30. Откуда a=30, b=20, с=10.

9. Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 6-квартирного дома необходимо 30 деталей первого и 40 деталей второго вида. Для 10-квартирного дома требуется 40 и 60 деталей, а для 14-квартирного дома нужно 90 и 120 деталей первого и второго вида. Сколько и каких домов надо построить, чтобы общее количество квартир было наибольшим?

Решение: Пусть x,y,z - количество 6, 10 и 14 квартирных домов. Из условия следует, что 3x+4y+9z80, 4x+6y+12z80, число квартир будет N=6x+10y+14z. Умножая второе неравенство на 5 и заменяя 30y=3(N-6x-14z), получим 3N+2x+18z400, откуда, поскольку N - число четное, N132. Но при x=2, y=12, z=0 имеем N=132.

Ответ: 2 дома на 6 квартир и 12 домов на 10 квартир.

10. В Мехико кризиса нет, но для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливается два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее 10 машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещённые дни для своих автомобилей?

Решение: Обозначим число автомобилей в семье через п. Сумма количеств запрещенных дней по всем машинам, равная 2п, не превосходит 7·(п - 10), так как каждый из 7 дней недели снимаются с поездок не более п - 10 машин.

Итак, 2п ≤ 7∙(п- 10) и п ≥ 14. 14 машин достаточно: запретим 4 машинам понедельник и вторник, 4 - среду и четверг, 2 - пятницу и субботу, 2 - пятницу и воскресенье.

11. Вовочка наблюдал за чаинками на дне стакана. Если он начинал чай помешивать ложечкой. Чаинки устремлялись к стенкам стакана, но, как только помешивание прекращал и ложку вынимал, чаинки, продолжая вращаться, собирались в центре. «Как объяснить их поведение?» - задумался Вовочка. Помогите Вовочке.

Ответ: Когда чай в стакане приводят ложечкой во вращение, то чаинки и частички воды устремляются от центра вращения - эффект сепаратора. В результате этого давление на дно у стенок больше, чем в середине дна, так как там уровень жидкости выше. После того как вращение прекратили и ложечку вынули, это избыточное давление, передаваясь во все стороны с одинаковой силой по закону Паскаля, «погонит» чаинки к центру. Есть и ещё одна причина: когда вращение воды у стенок замедляется, вихрь в центре ещё будет существовать некоторое время; в нем давление из-за большей скорости будет меньше, и частички засасываются туда.

12. Вовочка выскочил из школьной мастерской. Его новенький костюм был покрыт слоем пыли, к рукавам прилипли мелкие древесные опилки.

- Ой, какой ты грязный, - защебетали девочки.

- Ничего, сейчас почищу пылесосом, ответил Вовочка, вынув из портфеля мыльницу и, пользуясь ею как щёткой очень быстро привёл костюм в порядок.

- Как ты сделал свой пылесос? - раздалось одновременно несколько голосов.

- Изготовить мой пылесос очень просто, - пояснил Вовочка-изобретатель. - Возьмите струю, вышедшую из употребления пластмассовую мыльницу, проделайте в дне одной из её половинок ножовкой по металлу несколько пропилов шириной примерно 5 мм, наденьте крышку (вторую половину) мыльницы - пылесос готов. Объясните принцип работы «пылесоса».

Ответ: Пластмассовый корпус мыльницы при трении об одежду электризуется, пыль и ткань тоже, но зарядом противоположного знака. Поэтому мыльница притягивает к себе пылинки; крупные же частички соскабливаются неровностями краёв пропилов при движении, и они соскальзывают в отверстия. Закончив чистку, остаётся открыть мыльницу-«пылесос», вытряхнуть содержимое и удалить влажной тряпкой пыль с её внутренней поверхности, высушить поверхность мыльницы.

Задачи, стоимостью 20 баллов

1. На предприятии трудится 50 000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчиненных равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издает указ и выдает копию этого приказа каждому своему непосредственному подчиненному (если такие есть). Далее, каждый день работник берет все полученные им в предыдущий день приказы и либо раздает их копии всем своим непосредственным подчиненным, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников.

Решение: Если на предприятии k "верховных" начальников, то каждый работник должен увидеть хотя бы один из k приказов этих начальников. В понедельник их увидели не более 7k работников, во вторник - не более 7k6, в среду - не более 7k36 работников. Все, кто увидел эти приказы в четверг, не имеют подчиненных; значит они все имеют по 7 начальников и количество всех их начальников не более 7k36, то есть в четверг приказы увидели не более 6k36 работников. Таким образом, 50 000k+7k+42k+254k+216k=518k и k97.

2. Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, так, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утвержденных расходов не превысит S?

Решение: k = 1991.

Если k=1990, может случиться, что первые 10 депутатов предложат ничего не выделять по первой статье расходов, а по остальным выделить по . Следующие 10 депутатов ничего не выделят по второй статье и выделят по по остальным и так далее. В результате по каждой статье будет утверждена сумма расходов в , а по всем двумстам статьям S>S.

Если k=1991, то после утверждения расходов по всем статьям окажется, что лишь менее 10 депутатов могли предложить величину расходов, меньшую утвержденной. Поэтому найдется депутат, который по всем статьям предложил величину расходов, не меньшую утвержденной. Но сумма предложенных им расходов не больше S, а, значит, и утвержденная сумма тоже.

3. Братья Карамазовы грузили апельсины в бочках. Все бочки были одинаковы и содержали по 125 кг апельсинов. Сначала братья загрузили бочки поровну в две трехтонки, но затем погрузили иначе: в первую машину поместили вдвое больше бочек, чем во вторую. И хотя первая трехтонка оказалась загруженной более чем на 85%, в нее можно было загрузить еще не меньше трех бочек с апельсинами без перегрузки машины. Сколько бочек грузили братья Карамазовы?

Решение: В этой задаче есть подход. Многие решавшие ее считали, что масса бочки апельсинов равна 125 кг, забывая о массе самой бочки и получали, что условие задачи противоречиво. Обозначим через k - количество бочек и через х - массу в кг бочки с апельсинами (х>125). Так как все бочки можно было поровну погрузить в две машины, то k - четное число, а из условия, что в одну машину погрузили вдвое больше бочек, чем в другую, следует, что k делится на 3. Итак, k делится на 6. Отметим, что 85% от трех тонн - это 2550 кг, так как от количества бочек весят больше 2550 кг, то откуда . Условие о том, что в первую машину можно загрузить еще 3 бочки, запишется так: , откуда . Заменим в этом неравенстве х на меньшую величину, получим неравенство: .

Если мы выразим из предыдущего неравенства не k, а х, то получим, что Из этого неравенства следует, что 1350k>34425 и k>25,5.

Итак, мы получили, что 25,5<k<31,5. Но вспомним, что k делится на 6. Единственное число, делящееся на 6 и удовлетворяющее полученным неравенствам, - это 30.

Братья Карамазовы погрузили 30 бочек апельсинов. Мы не нашли массы бочки с апельсинами, но это и не спрашивалось, да и точно назвать ее невозможно, можно лишь отметить, что эта масса больше 127,5 кг и меньше кг.

4. Имеется четыре кошелька. В первом лежат пятирублевые, во втором - десятирублевые, в третьем - пятидесятирублевые, в четвертом - сторублевые. Хулиган Вася хочет из одного кошелька (любого) взять 19 купюр, из другого (тоже любого) 98 купюр, из третьего 199 купюр и из четвертого 998 купюр. Из какого кошелька сколько купюр нужно взять Васе, чтобы сумма получилась максимальной? Минимальной?

Решение: Чтобы найти набранную сумму при произвольном выборе кошельков, нужно в таблицу 1 в нижнюю строку, вместо вопросительных знаков поставить числа 19, 98, 199, 998 в соответствующем порядке, затем взять произведение чисел по столбцам и сложить их.

5

10

50

100

?

?

?

?

Интуитивно ясно, что если Вася хочет набрать наибольшую сумму, то он должен вытащить 998 купюр из кошелька со сторублевками, 199 купюр из кошелька с пятидесятирублевыми, 98 купюр из кошелька с десятками и 19 купюр из кошелька с пятерками:

100998+50199+1098+519=110 825

А если Вася хочет набрать наименьшую возможную сумму, то он должен вытащить наименьшее число бумажек, то есть 19 купюр из кошелька со сторублевками, 98 купюр из кошелька с пятидесятирублевыми, 199 купюр из кошелька с десятками и 998 купюр из кошелька с пятерками:

10019+5098+10199+5998=13 780

5. Из куска бронзы весом в 1 кг было изготовлено 100 медалей. Когда их взвешивали одну за другой, два последовательных веса не отличались более чем на 20 г. Доказать, что все медали можно разбить на группы по 50 медалей в каждой, чтобы веса групп различались не более чем на 20 г.

Решение: Расположим медали в ряд и занумеруем их цифрами от 1 до 100. Рассмотрим две группы медалей - медали с нечетными номерами и медали с четными номерами. Пусть вес первой группы равен А, а вес второй равен В. Очевидно, что

А+В=1000 г. Предположим, что А500 г (случай В500 г рассматривается аналогично). Если 500 г - А<10 г, то все доказано. Пусть А<490 г. Заменим в первой группе медаль №1 на медаль №2. При этом, по условию задачи, вес первой группы изменится не более чем на 20 г. В полученной группе заменим медаль №3 на медаль №4 и так далее Через 50 шагов (после замены медали №99 на медаль №100) мы придем к группе, составленной из всех медалей с четными номерами, вес которой уже больше чем 510 г. Значит, на одном из промежуточных шагов вес первой группы переходит рубеж 500 г. Так как величина этого шага не превышает 20 г, то перед этим шагом или после его (рис. 1) вес первой группы отличается от 500 г не более чем на 10 г. В этот момент веса первой и второй группы отличались не более чем на 20 г.

рис.1

6. Вокруг поляны стоят 12 домиков, покрашенных в белый и красный цвета, в которых поселились 12 гномов. У каждого гнома нечетное число друзей. В январе первый гном красит свой дом в тот цвет, в который окрашены дома большинства его друзей. В феврале это же делает второй (по часовой стрелке) гном, в марте - третий и так далее. Докажите, что наступит момент, после которого цвет дома у каждого гнома перестанет меняться.

Решение: Рассмотрим число пар гномов-друзей, у которых дома разного цвета. Каждый месяц их количество не увеличивается. Действительно, если очередной гном красит свой дом в тот же цвет, который был раньше, то это число сохраняется; если же он покрасил дом в другой цвет, то оно уменьшится. Поскольку это целое число неотрицательно, оно не может все время уменьшаться, значит, начиная с некоторого момента, оно не будет изменяться. С этого момента каждый гном всегда будет красить свой дом в один и тот же цвет.

7. Цены на промышленные и продовольственные товары снизились на 25%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?

Решение. Мы сами должны догадаться о смысле слова «реальная» применительно к зарплате и сделать определенные предположения для того, чтобы задача получила разумное решение. Представляется естественным считать, что:

- реальная заработная плата - это сколько товаров V можно купить на зарплату, составляющую S в денежном выражении;

- в денежном выражении заработная плата не менялась (в противном случае ответ на поставленный вопрос становится в зависимость от изменения заработной платы).

Опираясь на предположения, получим: до снижения цен S= V1·c1 после снижения цен S= V2·c2, где с1, c2 - соответствующие цены. Искомая доля есть

(V2 - V1) : V1 = (S/c2 - S/c1) : S/c1 = (c1 - c2) : c2

c2 = (1 - 0,25)·c1 = 3/4·c1. Отсюда

((V2 - V1) : V1)*100% = ((c1 - 3/4с1) : 3/4c1)*100% = 33,(3)%

Ответ: на 33,(3)%

8. Робинзон внимательно исследовал свою одежду и обнаружил в карманах несколько монет; некоторые были золотые, некоторые - серебряные. «Жалкий, ни на что не годный здесь хлам», подумал он. Долго и задумчиво смотрел на монеты. А затем вдруг стал раскладывать их по кучкам, приговаривая: «Эти монеты для разжигания костра, эти монеты - врачи, эти - для изготовления посуды, эта монета - рыболов, эти - приборы».

А теперь 6 вопросов к «речи» Робинзона:

1. Какого металла монету Робинзон выбрал для разжигания костра? Как он собирался с её помощью разжечь костёр?

2. Из какого металла сделана монета, которая будет «врачом»? Как она может лечить человека?

3. Из какой монеты Робинзон собрался изготовить посуду? Как он будет её делать?

4. Какой математический прибор собрался изготовить из монеты Робинзон?

5. С помощью какой монеты и как можно ловить рыбу?

6. Какие физические приборы можно сделать из нескольких монет?

Ответ:

1. Из серебряной монеты можно изготовить вогнутое зеркало, так как серебро имеет большую отражательную способность. Этим зеркалом можно собрать в «точке» солнечные лучи и ими зажечь мох.

2. Серебряная монета, положенная в воду, вступает в реакцию с ней и выделяет в неё ионы серебра, которые убивают микробов; такой водой хорошо полоскать горло. Серебряную монету прикладывают к месту ушиба: благодаря большой теплопроводности, а она в 755 раз больше теплопроводности воды, серебро «отнимает» жар от ушибленного места, отводя от него тепло.

3. Золото и серебро - пластичные металлы; после нагрева ударом камня их можно отковать и превратить в ложки.

4. Из монеты можно сделать транспортир, который использовать для определения широты местности, на которой находится остров при условии, что он в северном полушарии. Для этого с помощью транспортира определяют угол между горизонтально расположенной палкой и палкой, направленной на Полярную звезду.

5. Из серебряной монеты можно изготовить блесну, придав ей форму рыбки; серебро легко деформируется.

6. Из монет можно создать маятник, разновесы к простейшим самодельным весам.