Методическое пособие Изучаем тригонометрию с интересом

Т.В. Степанова

И.Е. Бородина

Изучаем тригонометрию

с интересом

Методическое пособие для учителей математики

Борисоглебск 2004г

Рецензенты:

Заместитель директора Борисоглебского филиала Воронежского государственного университета по учебной работе, Заслуженный учитель РФ Шаталова М. И.

Заслуженный учитель математики МОУ СОШ №10

Попова Т. И.

Учитель математики первой категории МОУ СОШ №4 Саликова И. И.

Степанова Т. В., Бородина И.Е. Изучаем тригонометрию с интересом. - Борисоглебск: МОУ СОШ№4, 2004.-с.

ISBN

Пособие составлено в помощь учителю математики при подготовке учащихся старших классов к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, а также для проведения элективных курсов.

ISBN

©Степанова Т. В.

Бородина И.Е.

©МОУ СОШ №4

МОУ СОШ №4

Т.В. Степанова

И.Е. Бородина

Изучаем тригонометрию с интересом

Методическое пособие для учителей математики

Борисоглебск 2004г

Содержание

Стр.

Введение.

1.Необходимость введения элективных курсов для

учащихся общеобразовательного профиля. 7

2. Изучение аркфункций в школьном курсе алгебры и

начала анализа. 8

3. Примерное тематическое планирование учебного

материала. 9

4. Поурочное планирование. 11

§1.Повторение формул тригонометрии с

использованием углов заданных аркфункций.

Занятие 1.Повторение основных понятий arcsin a, 11

arccos a, arctg a, arcctg a.

Занятие 2. Зависимость между тригонометрическими

функциями одного и того же аргумента. 18

Занятие 3. Формулы приведения. 23

Занятие 4. Формулы сложения. 28

Занятие 5. Формулы двойного аргумента и понижения

степени. 33

Занятие 6. Формулы половинного аргумента.

Универсальная подстановка. 38

Занятие 7. Основные формулы, содержащие

аркфункции. 44

Занятие 8. Контрольная работа №1.(Тест). 52

§2. Обратные функции.

Занятие 9. Обратные функции. 57

Занятие 10. Обратные тригонометрические функции,

их свойства и графики. 63

§3. Решение уравнений и неравенств,

содержащих тригонометрические функции.

Занятие 11. Решение уравнений. 72

Занятие 12. Решение неравенств. 76

Занятие 13. Итоговое тестирование. 80

В данном пособие представлен материал элективного курса по тригонометрии, связанный с обратными тригонометрическими функциями. Этот материал может служить хорошей подготовкой к сдаче ЕГЭ.

Оно написано в соответствии с новой программой школьного курса математики.

Пособие имеет следующую структуру. Первая часть пособия раскрывает целесообразность введения этого курса в школьную программу. Во второй части предлагается примерное тематическое планирование и разработки поурочных планов. К каждому занятию дается система упражнений и тестовые контрольные работы.

Представленный материал содержит тематическое и поурочное планирование, будет полезен учителям и учащимся. Изучать его можно на дополнитель­ных занятиях, на факультативе, на спецкурсе по пред­мету. В данной разработке отражен в полном объеме теоретический материал по теме, собраны разнооб­разные задания с подробными решениями и коммен­тариями. Приведен в пример тест, состоящий из 17 заданий (по группам А, В и С) на обратные тригоно­метрические функции с решениями и ответами.

Авторы надеются, что пособие окажется полезным не только для учителей математики, но и для учащихся старших классов при подготовке к итоговой аттестации.

Введение.

1. Необходимость введения элективных курсов для

учащихся общеобразовательного профиля.

В связи с дефицитом учебных часов по математике возникла необходимость введения дополнительных занятий для изучения некоторых вопросов программы общеобразовательного профиля. Эти занятия могут проводиться в форме элективных курсов. Программы элективных курсов строятся с учетом следующих требований:

1. Элективный курс должен развивать содержание одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне.

2. Элективный курс способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека. Степень обобщенно­сти включенных в программу знаний соответствует поставленным в ней целям обучения и развития мышления школьников.

3. Элективные курсы должны знакомить учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов.

4. Элективный курс должен планироваться на одну четверть или на одно полугодие (от 4 часов до 72 часов максимально).

2. Изучение аркфункций в школьном курсе

алгебры и начала анализа.

Значение темы «Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометриче­ские функции» в школьном курсе математики труд­но переоценить. Любое тригонометрическое уравне­ние решается на основе обратных тригонометрических функций. Существует много заданий в тестах ЕГЭ на вычисление значений тригонометрических функций от обратных тригонометрических выражений и, наоборот, на уп­рощение выражений, а также на нахождении области определения и области значений обратных тригонометрических функций.

В школьном курсе алгебры и начала анализа изучению этого вопроса уделяется очень мало времени. Рассматриваются понятия аркфункций на уровне, необходимом только для решения тригонометрических уравнений и неравенств, предлагаются упражнения, в которых требуется найти значения аркфункций и выполнить действия над ними.

Хорошей базой для повторения и углубленного изучения тригонометрии на более высоком уровне может служить использование заданий с порой на аркфункции.

Тематическое планирование.

Номера п/п.

Тема урока.

Календарные сроки и количество часов.

§1.Повторение формул тригонометрии с использованием углов заданных аркфункций.

1.

Повторение основных понятий arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a.

Январь (2ч.)

2.

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Январь (2ч.)

3.

Формулы приведения.

Февраль (2ч.)

4.

Формулы сложения.

Февраль (2ч.)

5.

Формулы двойного и тройного аргументов и понижения степени.

Февраль (2ч.)

6.

Формулы половинного аргумента. Универсальная подстановка.

Март (2ч.)

7.

Основные формулы, содержащие аркфункции.

Март (4ч.)

8.

Контрольная работа №1. (Тест).

Март (2ч.)

§2. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

9.

Обратные и обратимые функции.

Апрель(2ч.)

10.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Апрель (2ч.)

§3.Решение уравнений и неравенств, содержащих тригонометрические функции.

11.

Решение уравнений.

Апрель (4ч.)

12.

Решение неравенств.

Май (4ч.)

13.

Итоговое тестирование.

Май (4ч.)

Поурочное планирование.

Занятие 1.

(2ч.)

Основные понятия arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a.

Цель: повторить основные понятия аркфункций, свойства

функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Теоретическая часть.

Арксинусом числа а называется такое число (главный угол) из отрезка , синус которого равен а.

Опорная схема.

1. arcsin a = α (главный угол)

2. α; (arcsin a).

3. sin α=a (sin (arcsin a)=a).

4. .

5. arcsin ; arcsin . arcsin(- a)= - arcsin a.

6. arcsin 0,3 < arcsin 0,8.

7. Промежуток значений arcsin a на оси ОХ в системе координат.

Арккосинусом числа а называется такое число (главный угол) из отрезка [0,π], косинус которого равен а.

Опорная схема.

1. arccos a = α (главный угол)

2. α; (arccos a).

3. cos α=a (cos (arccos a)=a).

4. .

5. arccos; arccos.

arcos(- a)= π- arccos a

6. arccos 0,3 > arccos 0,8.

7. Промежуток значений arcos a на оси ОХ в системе координат.

Арктангенсом числа а называется такое число (главный угол) из интервала, тангенс которого равен а.

Опорная схема.

1. arctg a = α (главный угол)

2. α; (arctg a).

3. tg α=a (tg (arctg a)=a).

4. .

5. arctg ; arctg . arctg (-a)= - arctg a.

6. arctg 0,3 > arctg 0,8.

7. Промежуток значений arctg a на оси ОХ в системе координат.

Арккотангенсом числа а называ­ется такое число (главный угол) из интервала (0, ), котангенс которого равен а.

Опорная схема.

1. arcctg a = α (главный угол)

2. α; (arcctg a).

3. ctg α=a (sin (arcctg a)=a).

4. .

5. arcctg ;

arcctg . arcctg (-a)=π - arcctg a

6. arcctg 0,3 > arcctg 0,8.

7. Промежуток значений arcctg a на оси ОХ в системе координат.

Практическая часть.

Устные упражнения.

№1.Вычислить:

1) arcsin + arctg 1;

2) arccos 1+ arctg 0;

3) arctg +arcsin);

4) arсcos 0 - 2arcsin;

5) arccos (-) + arctg;

6) π- arcctg l;

7) 2 arctg 1 - arcsin 1;

8) arcctg (-)- arcos 0;

9) +arctg (-).

№2.Что больше:

1) arcsin 1 или 1;

2) arccos 1 или 1;

3) arctg 1 или 1;

4) arcctg 0 или 1?

№3.. Как понимать символы:

arcsin а; arccos а; arctg а; arcctg а?

№4. Какими из четырех символов - arcsin а, arccos а, arctg а,

arcctg а - можно записать:

1) любой угол треугольника;

2) половину угла тре­угольника?

№5. При каких значениях а имеют место тождества:

1) sin (arcsin a) = a; 3) tg(arctg a)=a;

2) cos (arcos a) = a; 4) ctg (arcctg a) = a?

№6. Вычислить:

1) sin (arcsin 0,23);

2) cos (arccos 1,2);

3) tg (arctg 2);

4) ctg ( arcctg ).

№7. Найти значение выражения:

Решение:

= =

== -6-17= -23.

Ответ:-23.

№8. Найти arcsin (sin 10).

Решение: Если обозначить у = arcsin (sin 10), то по определению sin у = sin 10. Следовательно, необходимо найти такое число y из отрезка, для которого

sin у = sin 10. Для начала определим, в какой четверти находится угол в 10 радиан. Поскольку 3π < 10 <, 10 - в III четверти и 10=3π+α; α=10-3π; 10 = 3π + (10 -3π), где

0< 10 - 3π < . По формулам приведения

sin10 = sin(3π + (10-3π)) = - sin(10- 3π).

Таким образом,

siny = - sin(10-3π) = sin(3π - 10), где < 3π -10 < 0.

Следовательно,

у = arcsin (siny) = аrсsin(sin(3π -10)) = 3π - 10.

Ответ: 3π - 10.

Определение и использование функций arccos x и arctg x аналогично.

№9. Оценить выражение:

1. 5arcsina - .

Решение:

.

Ответ: .

№10. Какие из выражений не имеют смысла?

а) arcsin г) arctg 8 ж) arccos (

б) arcsin () д) arcctg π з)arcsin .

в) arcsin е) arctg .

№11. При каких значениях х имеет смысл выражения?

а) arcsin (х -5)

б) arcctg

в) arctg

г) arccos (3x)

д)arcsin (x²-5x+6)

е) arcctg

ж)arctg(x²-16)

з)arcos ()

и) arctg.

Домашнее задание:

№1.Вычислить.

а) arcsin(sin ());

б) arcsin(sin().

в) arccos (cos 11);

г) arcos(cos );

д) arctg (tg π²).

е) arcsin (sin 13);

ж) arccos (cos 17);

№2. Вычислить:

а) arcsin 0+arccos 0+arctg 0;

б) arcsin + arccos + arctg;

в) arcsin + arccos-arctg.

№3. При каких значениях х имеет смысл выражения?

arctg ; arcctg ;

arcsin (15х +45).

№4. Творческое задание.

Придумать примеры аналогичные №7.

Занятие 2.

(2ч.)

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Цель: повторить формулы зависимости между

тригонометрическими функциями одного и того же

аргумента; рассмотреть нахождение значений

выражений вида sin (arccos a), cos (arcsin a),

sin (arctg a), tg (arcos a) и т.д.

Самостоятельная работа.

Вариант А1

1. Вычислите:

а) arcsin 1 - arctg 0;

б) arccos+ arctg (-);

в)ctg (arcsin).

2. Сравните числа:

arcsin (-) и arccos (-).

3. Определите, имеет ли смысл выражение

arcsin (x-1) при х =; х = 0,9; х = sin(-). Объясните ответ.

Вариант А2

1. Вычислите:

a) arccos 0 - arctg 1;

б) arcsin(-) + arctg;

в)tg(arccos).

2. Сравните числа:

arcсos(-) и arcsin (-).

3. Определите, имеет ли смысл выражение

arcos (x+1) при х = -; х = cos; x = -. Объясните ответ.

Теоретическая часть.

Вспомнить формулы:

sin²α+cos²α = 1;

tgα =

ctgα =

tgα ∙ ctgα = 1,

1 + tg²α =

1+ ctg²α =

Практическая часть.

№ 1. Вычислить:

а) sin (arccos );

(целесообразно показать различные способы выполнения

этого задания)

Решение.

1. способ (по определению arcos а).

а) Пусть arccos =, тогда соs  =, 0≤ arccos а≤π,

а =>0, поэтому 0<<. Отсюда sin  -

Ответ:

2. способ (с использованием прямоугольного треугольника). Таким способом лучше пользоваться при выполнении заданий ЕГЭ.

sin (arccos ).

arccos = α, (α-острый угол); cos α =.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Построим прямоугольный треугольник, выберем один из острых углов, по определению косинуса прилежащий катет принимаем за две единицы, а гипотенузу за семь единиц. Вычислим второй катет по теореме Пифагора. Из треугольника выразим значения нужной тригонометрической функции. В нашем случае sin α.

2

sin α =; sin (arccos ) = =

Ответ: .

Замечание: по этому чертежу можно найти

tg (arccos )= , ctg (arccos )=.

б) cos (arcsin ( ));

Решение:

Пусть arcsin ( ) =. Тогда sin a = и <  < 0.

Отсюда cos  =

Ответ:

д) arccos (cos 10);

Решение: Для этого преобра­зуем соs 10 так, чтобы аргумент косинуса «лежал» между числами

0 и π. Имеем:

cos 10 - cos (10 - 4π), где 0 < 4π -10 < π .

Таким образом,

arccos (cos 10) = arccos (cos (4π - 10)) = 4π < 10.

Ответ: 4π - 10.

е) arcctg (ctg (- 14)).

Решение: При условии, что аргумент a котангенса таков, что

0 < a < π воспользуемся перио­дичностью ctg х. Имеем:

ctg (- 14) = ctg (5π - 14), где 0 < 5π - 14< π.

Следовательно,

arcctg (ctg (- 14)) = arcctg (ctg (5π - 14)).

Ответ: 5π - 14.

№2. Найти значение выражения.

1. tg(arccos;

Ответ: 24

б) cos(arctg2);

Ответ:

в) ctg(arctg4);

Ответ:

г) sin(arcctg

Ответ: .

Домашнее задание:

№1.Вычислить:

а) arctg (tg ); е)tg(arcsin);

б) arcsin (sin 13); ж) sin(arctg 6) + cos(arctg 6);

в) arccos (cos 17); з) tg(arcctg 5) + ctg (arctg 5);

г) arctg (tg 18); и)sec(arctg 9) + cosec (arctg 9);

д) arcctg (ctg (- 19)); к) tg²(arccos.

Занятие 3.

(2ч.)

Формулы приведения.

Цель: повторить формулы приведения; рассмотреть нахождение

значений выражений вида sin (π±arccos a), cos (arcsin a),

sin (arctg a) и т.д.

Теоретическая часть.

Повторить таблицу с формулами приведения, вспомнить мнемоническое правило.

х

π + α

π - α

2π+α

2π-α

sinx

cosα

cosα

-sinα

sinα

-cosα

-cosα

sinα

-sinα

cosx

-sinα

sinα

-cosα

-cosα

sinα

-sinα

cosα

cosα

tgx

-ctgα

ctgα

tgα

-tgα

-ctgα

ctgα

tgα

-tgα

ctgx

-tgα

tgα

ctgα

-ctgα

-tgα

tgα

ctgα

-ctgα

Знак приведенной функции угла α совпадает со знаком приводимой функции при условии, что α находится в первой четверти (хотя сами формулы верны для любого угла α), функция меняется на «кофункцию» , если формула приведения содержит углы , и функция не меняется, если формула содержит угол π.

Практическая часть.

№1. Найти значение выражения:

а) sin(.

Решение.

sin(=sin(= sin(

= sin(=cos(=.

Ответ: .

б) cos(.

Решение.

Так как arcsin(-) = -arcsin, то cos(=cos(= -sin(arcsin)= -.

Ответ: -.

в) tg.

Решение.

Так как arccos (-)=, то tg=

= tg= tg= сtg

Найдем сtg с помощью прямоугольного треугольника.

= α

cos α =

ctg α =

Ответ: .

г) ctg(arcsin(-).

Решение:

Так как arcsin(-= - arcsin, то ctg(arcsin(-)=

=ctg(-arcsin) = ctg(π-arcsin) = - ctg(arcsin).

Найдем сtg с помощью прямоугольного треугольника.

arcsin

2 sinα =

ctg α =

Ответ: .

Тренировочные задания.

№2.Вычислить.

1. sin²(π-arccos) + sin²() + sin ().

Ответ:.

б) tg (arcsin 0,8+) - 2ctg(arcsin 0,8-).

Ответ: 1.

в) .

Решение: ==

=.

Найдем tg с помощью прямоугольного треугольника

arcsin0,25 = α

sin α =0,25

sin α =

tg α = .

= 1+=.

Домашнее задание.

№1.Вычислить.

а) tg(+sin²();

б) sin (arccos0,2 - π);

в) tg (arcos);

г) .

Занятие 4.

(2ч.)

Формулы сложения.

Цель: повторить формулы сложения, рассмотреть нахождение

выражений вида sin(arcos a + arcsin b), cos(arctg a + arcos b)

и т.д.

Теоретическая часть.

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg(α + β) =,

tg(α - β) = ,

ctg(α + β) = ,

ctg(α - β) = .

Практическая часть.

№1.Найти значение выражения:

sin (arcsin-arccos).

Решение.

Используя формулу sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β, получаем

sin (arcsin-arccos) =

sin (arcsin) cos(arccos) - cos (arcsin) sin(arccos) =

cos (arcsin) sin(arccos).

Чтобы найти cos (arcsin) и sin(arccos), используем формулы

sin; cos.

Так как arcsin, arccos, то получаем

cos (arcsin) =.

sin(arccos) = .

sin (arcsin-arccos) = = - .

Ответ: - .

№2. Вычислить.

cos(arcsin - arccos(-)).

Решение.

Обозначим arcsin = α , arccos(-) = β. Тогда

cos(arcsin - arccos(-)) = cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β.

Так как arcsin = α, то sin α= и α находится в первой четверти, следовательно, cos==. Так как

arccos(-) = β, то cos β = - и β находится во второй четверти, следовательно, sin = .

Таким образом, получаем

cos (α - β) =∙ (- ) + ∙=.

Ответ: .

№3. Вычислить:

sin(arctg3 - arctg2).

Решение:

Обозначим α =arctg3, β = arctg2. Тогда

sin(arctg3 - arctg2) = sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β =

=( tg α - tg β)∙cos α cos β. Так как α =arctg3, то tg α = 3 и α находится в первой четверти и , следовательно, cos α >0. По формуле получим cos α = .

Так как β = arctg2, то tg β =2 и β находится в первой четверти и, рассуждая аналогично, получим cos β =. Следовательно,

sin(α - β) = (3-2)∙.

Ответ: .

№4. Вычислить.

tg

Решение.

tg= .

Найдем tg(arccos)

arccos

cosα =

tg α =

tg(arccos) =.

=.

Ответ: .

Тренировочные задания.

№5.Вычислить:

1. cos (arcsin + arctg );

2. cos( arccos - arctg ).

3. sin( arcsin0,6 + arctg(-));

4. sin( arcos - arcctg );

5. tg(arcsin0,6 - arctg2,4);

6. ctg( arctg + arcctg );

7. sin ( arcsin arсsin).

8. sin(arctg2 + arctg3).

9. tg (arcsin + arccos).

10. sin(arcctg 3 + arcctg 4);

11. sin (arctg);

12. ctg(;

13. sin(arctg8-arcctg6) ;

14. tg(arctg1+arcsin0,3).

Домашнее задание.

№1. Вычислить.

а) sin(arcsin+arccos(-));

б) cos(arctg +arctg(-2));

в) tg(arctg2+arctg3);

г)tg(arcsin(-) + arccos(-)).

№2. Найти значения выражений

а) sin(arcsin-arccos);

б) sin(arcsin1 - arccos1);

в) cos(2arctg1);

г) cos(4arctg(-1)).

Занятие 5.

(2ч.)

Формулы двойного и тройного аргументов и понижения степени.

Цель: повторить формулы двойного аргумента и понижения

степени, рассмотреть нахождение выражений вида

sin(2arccosa), cos(2arctga), tg(2arcsina), sin²(arccosa) и т.д.

Теоретическая часть.

Формулы двойных и тройных аргументов.

sin2α = 2sin α cos α;

cos2α = cos² α - sin² α = 2cos² α -1 = 1- 2sin² α;

tg2α = ;

ctg2α = ;

sin3α = 3sin α - 4sin³ α;

tg3α =;

cos3α = 4cos³ α - 3cos α;

ctg3α = .

Формулы понижения степени.

sin² α = ;

cos² α = ;

sin³ α = ;

cos³ α =;

sin⁴ α = ;

cos⁴ α =.

Практическая часть.

№1. Вычислить.

а)sin(2arccos).

Решение: arccos= α; cos α =; arccos α, т.е. arccos находится в первой четверти. Рассмотрим прямоугольный треугольник: sin α =. Используя формулу

sin2α = 2sin α cos α, получим sin(2arccos) = 2∙∙=.

Ответ: .

б) cos(2arctg).

Решение: cos(2arctg) = cos²(arctg - sin²(arctg) =

= 1-2sin²(arctg) = 1-2.

(пусть α= arctg; tg α =; arctg-угол первой четверти; из прямоугольного треугольника находим sin α = ).

Ответ:.

№2. Упростим выражение cos (2arcsin х).

Решение: cos (2arcsin x) = cos² (arcsin x) - sin² (arcsin х) =

(1-х²)-х²=1-2х².

Ответ: 1-2х².

№3.Упростить выражение sin (arctg x).

Решение: Положим у = arctg х. Тогда tgy = х, .

Чтобы найти cosy, воспользуемся равенством cos²y =. Но, а на этом интервале косинус принимает лишь по­ложительные значения. Поэтому cos у = , т.е.

cos (arctg х) =

Так как sin у = tg у ∙ cosy, то sin (arctg х) = .

Ответ: .

№4. Вычислить.

sin(3arccos.

Решение: sin(3arccos= 3sin(arccos)- 4sin³(arccos).

sin(arccos) учащиеся могут уже вычислять устно с помощью прямоугольного треугольника. cosα =, sinα =.

sin(3arccos= 3.

Ответ: .

№5.Вычислить.

cos²(arctg).

Решение:

cos²(arctg) = .

cos(arctg) = вычисляется через прямоугольный треугольник.

= .

Ответ: .

№6. Вычислить.

.

Решение: Используя формулу sin³α = , получим

= sin³(arccos0,2) .

sin(arccos0,2) = вычисляется через прямоугольный треугольник.

= ()³ = .

Ответ: .

№7. Вычислить, используя формулу

cos⁴α = .

= cos⁴(arccos) = .

Ответ: .

Самостоятельная работа.

Вычислить:

1. cos (2 arctg 2);

2. tg (2 arcsin).

3. cos(2arcsin);

4. cos( 2arcctg());

5. sin²(;

6. sin²(arctg;

Домашнее задание.

№1.Вычислить.

а) tg(2arctg4);

б) cos(2arcsin 0,8);

в) ctg (2 arcsin 1);

г)sin(2 arccos 0,6);

д)tg (2 arcsin ).

е)sin(2arcsin);

ж) sin²(arccos);

з) sin(2arcsin);

и) cos(2arctg2) - sin(4arctg3);

к) cos(3arccos0,1);

л) cos (2 arccos );

м) cos (3 arcsin );

н) sin (2arctg 5).

№2. Используя формулу cos³α = , вычислите

.

Занятие 6.

(2ч.)

Формулы половинного аргумента. Универсальная подстановка.

Цель: повторить формулы половинного аргумента,

рассмотреть нахождение выражений вида

tg(), cos(), tg(arccosa) и т.д.;

повторить формулы «универсальной подстановки»

и реализовать их через аркфункции; проверить

знания по изученному материалу.

Теоретическая часть.

Формулы половинного аргумента.

sin; cos;

tg

tg

tg.

Формулы универсальной подстановки.

sinα =; cosα =;

tgα = ; ctgα =

Практическая часть.

№1.Вычислим.

cos(.

Решение:

Обозначим =α. Тогда sinα = -0,8.Следовательно,cosα>0 согласно определению arcsinα. Используя основное тригонометрическое тождество, получим

cosα = .

Так как α, то cos= ==

Следовательно, cos(=

Ответ:

Тренировочные задания:

a) tg(arctg3);

б) ctg();

в) sin(;

г) sin(2arctg

д) tg(

ж) 7(tg(

з)ctg(

и)

к)sin(2arctg0,5)+tg(0,5arcsin;

№2. Вычислить sin(.

Решение: Пусть arcctg (-= α. Тогда ctg α = -, 0<α<π

(точнее, <α<π, так как ctgα<0). Нужно вычислить sin. Имеем: tg. Используя формулу 1 + tg² α = находим cos² α =. Но по условию <α<π, а в этом интервале cos α < 0, следовательно, cos α = - Зная cos α, можно найти sin, воспользовавшись формулой 1 - cos α = 2sin². Получаем

sin² , откуда sin , или sin Но

а в этом интервале синус принимает только положительные значения. Таким образом,

sin.

Отевт: .

№3.Вычислить:

1. sin ( arctg ).

2. cos ( arcsin ).

№4. Вычислить значение tg(arсctg 3).

Решение. Обозначим α = arсctg 3. Тогда ctg α = 3, 0 < α < π/2. Вычислим теперь значения sin α и cos α. Имеем

sin α ===.

cos α =.

Используя формулу tg, получаем

tg

Ответ:

№5. Вычислить.

.

Решение.

Используя формулу sinα =, получим

=sin(arcsin(-0,4))= - 0,4.

Ответ: -0,4.

№6. Вычислить.

.

Решение:

Используя формулу cosα =, получим

= cos (arcsin0,7).

cos (arcsin0,7) = вычисляется через прямоугольный треугольник.

Ответ: .

Домашнее задание.

Домашняя контрольная работа.

Вариант 1.

№1. Определите, при каких значениях параметра а выполняется

тождество, и докажите его:

1. sin(arccos a) =;

2. ctg(arctgа) = ;

3. tg(arcsina) = ;

4. cos(arctga) = ;

5. arcsina + arccos a = .

№2. Вычислить.

1. sin(2arccos);

2. ctg();

3. sin(arctg3 - arcctg (-)).

№3.Доказать тождество.

1) arctg х + arcctg х = ,х R;

2) arctg x = arcctg , х .

№4. Учитывая область значений аркфункций, вычислите:

1. arccos(cos10);

2. arctg (ctg).

Вариант 2.

№1. Определите, при каких значениях параметра а выполняется

тождество, и докажите его:

1. cos(arcsin a) = ;

2. tg(arctg a) = ;

3. tg(arccos a) = ;

4. sin(arctga) = ;

5. arctga +arcctga = .

№2. Вычислить.

1. cos(;

2. ctg(2arcsin);

3. cos(arctg- arcctg3).

№3.Доказать тождество.

1) arcsin х = arccos , х ,

2) cos (arcsin x) = , х .

№4. Учитывая область значений аркфункций, вычислите:

1. _{arcsin(sin6);}

2. _{arcctg( tg).}

Занятие 7.

(4ч.)

Основные формулы, содержащие аркфункции.

Цель: рассмотреть доказательство формул, содержащих аркфункции.

Теоретическая часть.

1 группа формул.

1. sin(arcsinx) = x ,

2. cos(arccosx) = x,

3. tg(arctgx) = x, х R,

4. ctg (arcctg x) = х, х R.

Доказательство этих формул следует из определения аркфункций.

2 группа формул.

5. sin(arccosx) = ,

6. cos(arcsinx) = ,

7. tg(arcsinx) = ,

8. tg(arccosx) = , х

9. ctg(arcsinx) = , х

10. ctg(arccosx) = ,

11. cos(atctgx) = , х R

12. cos(arcctgx) = , х R.

13. tg(arcctgx) = , .

14. ctg(arctgx) = , .

15. arcsin (sinx) = x, х _.

16. arccos (cos x) = x , х _.

17. arctg (tg x) = x, х .

18. arcctg (ctg x) = x, х ;

Рассмотрим доказательство формул 5, 7, 11, 14. Остальные доказываются аналогично.

5) sin(arccosx) = ,

Доказательство.

arccosx = α, cos α = x, α. Найдем sin α.

sin² α = 1- cos² α.

sin α>0, т.к. α.

sin α =.

7)tg(arcsinx) = ,

Доказательство.

tg(arcsinx) = .

11) cos(atctgx) = , х R.

Доказательство.

atctgx = α , tg α =x , atctgx.

1+ tg² α = ; cos² α = .

cos α >0, т.к. α. cos α = .

14)ctg(arctgx) = , .

Доказательство.

ctg(arctgx) = .

Основные соотношения.

1группа: формулы отрицательного аргумента.

19) arcsin (- х) = -arcsin х, х ,

20) arctg (- х) = - arctg х, х R;

21) arccos (- х) = - arccos х, х ,

22) arcctg (- х) = - arcctg х, х R;

2группа: выражения обратных тригонометрических функций через другие функции:

23) arcsin х + arccos x = , х ,

24) arctg х + arcctg х = ,х R;

25) arcsin х = arccos , х ,

26) arctg x = arcctg , х .

3группа: сумма и разность обратных тригонометрических функций.

27)

arccosx +arcsinу=

28) arctg x + arctg у =

29) arcctg х + arcctg у = arcctg,

30) arcctg x - arcctg у = .

Докажем 23 и 27 формулы.

23) arcsin х + arccos x = , х .

Положим arcsin х = , arccos x = β. Отсюда х = sin,

x = cosβ и, следовательно,

sin = cosβ = sin (-β). По условию  _, β_.

_{Из последних неравенств следует, что} - β _.

_{Таким образом, имеем равенство синусов от двух углов, лежащих в первой положительной или в первой отрицательной четверти. Но это равенство может иметь место только в том случае, если сами углы равны:}  = -β, откуда  + β = , или arcsin х + arccos x = .

27) Если х, у, то

arccos x + arccos у = arccos ( xy - ).

5

9Доказательство. Имеем при х, у:

arccos x + arccos у = (- arcsin x) + ( - arcsin у) =

- ( arcsin x + arcsin у) =

= - arccos (- xy) = arccos ( xy - ).

Следствие 1. 2arccos х = arccos (2х² - 1),х .

Предложим теперь несколько теорем для самостоятель­ного доказательства с помощью указанных тождеств.

Теоремы.

ТЕОРЕМА 1. arcsin х = arctg , .

ТЕОРЕМА 2. arccos х = arctg , .

ТЕОРЕМА 3. arctg x = arcsin , .

ТЕОРЕМА 4. arcctg х = arccos , х .

ТЕОРЕМА 5. arccos x = arccos ,.

ТЕОРЕМА 6. 2arcsin х = arccos (1 - 2х²), х .

ТЕОРЕМА 7. 2arctg х = arcctg .

Замечание: этими формулами учащиеся пользуются редко.

Практическая часть.

№1. Докажите, что:

а) arctg+ arctg= arctg 1;

б) 2arcsin = arccos

Решение. Для доказательства достаточно показать, что значения некоторой тригонометрической функции f от обеих частей совпадают между собой: f (a) = f (β ), но при условии, что функция f принимает каждое свое значение один и только один раз на том промежутке, в котором лежат углы a и β. Таким свойством обладают, в частно­сти, монотонные функции.

а) Поскольку, , 1 - положительные числа, то все углы

a = arctg, β = arctg, γ = arctg 1 лежат в первой четверти и следовательно, обе части проверяемого равенства таковы, что 0<a +β, γ < π. На интервале (0; π) монотонными будут cos х и ctg х_у но вычислять значения этих функций неудобно в нашем примере. Поэтому сузим интервал для a и β. Так как 0 < , < 1, то 0 < a, β < и, следовательно, сумма 0 < a + β <, а на интервале (0; ) монотонны все четыре основные тригонометриче­ские функции: sin x, cos x, tg x, ctg x. Удобнее всего вы­числить tg (a + β). Имеем tg (a + β) = =1 и tg γ = 1. Поскольку на интервале (0; ) функция у = tg x один раз принимает каждое свое значение, то из равенства tg(a+β)= tgγ следует, что a + β =γ.

б) Имеем 0 < < 1, следовательно, угол a= arcsin таков, что 0 < a < . Тогда обе части проверяемого равенства заключены между 0 и π. Но на интервале (0; π) моно­тонной является функция cos x. Имеем

cos 2 a = 1 - 2sin² a = 1 - 2 · 4 · = = cos (arсcos) и равенство задания «б» справедливо.

№2. Вычислить.

1. arccos (cos 11);

2. arctg (tg (- 9));

3. arcos(cos );

4. arcsin (cos );

5. arccos (sin)_;

6. arctg (tg π²).

№3. Докажите, что:

а) 2arctg 2- arctg =;

б) 4arctg - arctg = ;

в) arctg+ arctg+ arctg+ arctg=;

г) arctg + arcsin = arctg .

№4. Вычислите:

а) arcsin (sin 13);

б) arccos (cos 17);

в) arctg (tg 18);

r) arcctg (ctg (- 19));

д) arcsin ( sin);

е) arccos (cos Зπ);

ж) arctg (tg 91°);

№5. Докажите, что arccos - arccos =

№6. Докажите, что:

а) 2 arcsin 0,8 +arcos (-0,8) = π+arcsin;

б) 2arctg + arctg = arctg 1

№7. Доказать тождество

2arctg

Решение: Поскольку 0 < < 1,

arctg0 = 0 < arctg< arctg 1= ,

аналогично 0 < arctg< и, следовательно,

0 < 2arctg<. Кроме того,0 < arctg 3 < , т.е. значения и левой, и правой частей тождества принадлежат интер­валу (0, π), на котором тангенс принимает каждое значение в единственной точке. Поэтому два числа из этого интервала совпадают тогда и только тогда, когда равны их тангенсы.

1. Вычислим тангенс левой части, пользуясь формулами тангенса суммы и тангенса двойного угла и обозначив для сокращения выкладок α= arctg и β=arctg, так что

tg α = и tgβ =. Получаем, что

.

.

2. Вычислим тангенс правой части tg(arctg3) = 3.

3. 3=3,=> 2arctg

Тождество доказано.

№8. Проверить равенство

arcsin + arccos = arcctg.

Решение. Вычислим котангенс от левой и от правой частей равенства:

.

ctg (arcsin+ arccos) =;

ctg (arcctg) = .

Итак, получаем

ctg (arcsin+ arccos) = ctg (arcctg).

Так как arcsin+ arccosпринадлежит промежутку

(0; π)- промежутку монотонности функции котангенс, то из равенства зна­чений функции котангенс следует равенство значений аргументов, что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

1. (На первое двухчасовое занятие). Выучить теорию. Доказать ТЕОРЕМЫ 1,3,5 и вывести формулы 4,8,13.

2. (На второе двухчасовое занятие).

№1. Докажите, что:

а) arctg+ arctg+ arctg= arctg5;

б) arcsin + arcsin + arcsin=;

№2. Вычислить.

а) arcctg (ctg (- 1°));

б) arctg (ctg 14);

в) arccos (sin 18);

г) arctg (ctg 19);

д) arcctg (tg (- 20));

e) arcsin (sin π²).

Занятие 8.

(2ч.)

Контрольная работа №1.

Цель: проверка знаний.

№п/п

Задания

Варианты ответов

Значение sin(2arccos) равно

1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) .

Значение cos(arccos) равно

1) ; 2); 3); 4) ; 5) .

Значение sin(arctg(-))равно

1) ; 2) ; 3) ; 4);5).

Значение sin (arcsin1 + arcsin0,8) равно

1) ; 2); 3); 4) ;5) .

Значениеcos(arctg- arcos 0,6) равно

1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) .

Значение ctg(arccos1 +arctg2) равно

1) 2; 2)1; 3); 4); 5)

Значение cos(300∙arccos(-)) равно

1)1; 2)0,5; 3)-0,5; 4)-1; 5)0

Значение sin(200∙arcsin(-) )равно

1) ; 2) -; 3); 4) -; 5)1

Значение tg(arctgarctg) равно

1) ; 2); 3)1; 4); 5)

Значение tg(arccos) равно

1) -; 2)0,258; 3); 4) ;

5)

Значение ctg(arcsin) равно

1) -; 2); 3);

4)-3,873;

5) -

Значение cos(arctg) равно

1)0,242; 2); 3) ;

4) -;

5) .

Значение sin(arctg) равно

1) ; 2)- ; 3)0,20; 4) ;

5)-.

Область определения функции

y = arccosимеет вид

1); 2);

3); 4); 5)

Решение неравенства arcsin(x-1)<образуют множество

1); 2); 3); 4);

5).

Решение неравенства arccosобразуют множество

1); 2); 3); 4); 5).

Сумма корней (или корень, если он один) уравнения

arcsin(2x² +3x -8) = равна

1)-1,5; 2)-3; 3)1,5; 4)2; 5) правильный ответ не указан.

Значение угла (в градусах) arcsin(sin 490) равно

1)130⁰; 2)50⁰; 3)- 50⁰; 4)490⁰;

5) правильный ответ не указан.

Значение угла (в градусах)

arcsin( cos490) равно

1)130⁰; 2)40⁰; 3)- 40⁰; 4)490⁰;

5)правильный ответ не указан.

Значение угла (в градусах)

arcos (cos 580)равно

1)140⁰; 2)- 40⁰; 3)220⁰; 4)580⁰;

5) правильный ответ не указан.

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Номер правильного ответа

1

5

2

2

5

4

4

1

3

5

1

2

13

14

15

16

17

18

19

20

4

5

1

5

1

2

3

1

Зачет по теории:

Вариант1.

Вариант 2

Доказать формулы 6 и 8.

Доказать формулы 7 и 9.

Доказать тождества 23.

Доказать тождества 27.

Домашнее задание. Повторить основные функции, их свойства и

графики.

Занятие 9.

(2ч.)

Обратные и обратимые функции.

Цель: дать понятие обратных и обратимых функций, рассмотреть

их свойства и графики.

Пояснение.

В связи с тем, что в школьном курсе понятиям обратные и обратимые функции не уделяется должного внимания, целесообразно предложить изучение данного материала в форме лекций.

Лекция.

Прежде чем об­ратиться к изучению характера изменения обратных тригоно­метрических функций, обратимся к общему понятию обратной функции.

Пусть дана функциональная зависимость между двумя пе­ременными величинами х и у. Обычно выбор одной из них в качестве независимой переменной (аргумент) может быть сделан вполне произвольно, по нашему усмотрению. Если, скажем, x выбрана аргументом (независимой переменной), то функцией будет у; обратно: если в силу каких-нибудь сооб­ражений целесообразнее считать аргументом у (т. е. выбирать значения у по нашему усмотрению), то функцией (зависимой переменной) будет х.

Однако у как функция х выражается, вообще говоря, иначе, чем х как функция у. Эти две функции называются взаимно обратными. Разъясним понятие взаимной обратности двух функций на примере.

Пусть х и у находятся между собой в такой зависимости, что значение у получается из соответствующего значения х возведением последнего в квадрат. Такую зависимость можно выразить равенством

у = x².

Здесь у - функция, явно представленная через аргумент х.

Ту же самую зависимость можно выразить, очевидно, и таким равенством:

х = ±

Это только другая запись предыдущего равенства. Считая здесь у независимой переменной, замечаем, что х как функ­ция выражается через свой аргумент (у) иначе, чем у как функция своего аргумента (х). Первая функция (у = х²) оп­ределяется тем, что для получения ее значения нужно значе­ние независимой переменной возвести в квадрат; вторая же функция (х = ±) определяется тем, что для получе­ния ее значения нужно из значения независимой перемен ой извлечь квадратный корень. Две функции, из ко­торых одна есть квадрат аргумента, а вторая - корень квад­ратный из аргумента, и являются взаимно обратными.

Обозначим независимую переменную в равенстве , как обычно принято, через х, а функцию - через у (т. е. в ра­венстве х = ±поменяем местами х и у). Тогда мы бу­дем иметь два таких выражения для наших взаимно обратных функций:

у = х² и у = ±.

График одной из взаимно обратных функций легко полу­чить по графику другой. Покажем это на рассмотренном при­мере. Графиком функции у = х² служит, как мы знаем, па­рабола (жирная линия на черт. 38). Она же является графиком - функции

х = ± (ибо последнее равенство только своим видом отличается от равенства у = х² ). Но если заменить у на x, а x на у, то мы получим функцию у = ±, график которой в той же системе осей должен быть, очевидно, так расположен относительно оси ОХ, как график функции х = ± относительно оси ОУ. Таким образом, сразу на­ходим график функции у = ±.

Легко видеть, что он может быть вычерчен по графику функции у = х² при помощи простого перегибания чертежа по бис­сектрисе PQ первого и третьего углов между осями ОХ и ОY. Такой автоматический способ вычерчивания графика об­ратной функции является вполне общим. В одной и той же системе осей графика двух любых взаимно обратных функций (с одинаково обозна­ченными аргументами) совмеща­ются между собой, если чер­теж перегнуть по биссек­трисе первого и третьего углов между осями.

Рассмотрим теперь, как от­ражается на графике функции свойство ее однозначности. Если каждому значению х со­ответствует одно значение у, то прямая, перпендикулярная к оси ОХ, может пересекать график функции не больше чем в одной точке. В случае же многозначности функции прямая, перпендикулярная к оси ОХ, может пересе­кать график больше чем в одной точке.

Так, например, функция у = х² - однозначная и каждая прямая, перпендикулярная к оси ОХ, пересекает параболу - график функции - только в одной точке. Функция же у = ± (обратная первой) - двузначная (каждому поло­жительному значению х соответствуют два значения у: одно положительное, другое отрицательное) и прямая, перпенди­кулярная к оси ОХ, не пересекает график функции у = ±, если она расположена левее оси OY, или пересекает его в двух точках М и М^/ , если она расположена пра­вее оси OY: одна из этих точек находится над осью ОХ а другая - под осью ОХ.

Из этого примера видно, что функция, обратная данной однозначной функции, может быть и многозначной.

Подойдем теперь с изложенной сейчас общей точки зре­ния к обратным тригонометрическим функциям.

Упражнения для занятий в классе.

№1. Найти функции обратные функциям:

1. y = 3x-5,

2. y = x³,

3. y = x²-4x+5, x  2,

4. y = x²-4x+5, x ≤ 2,

5. y = x⁴+2x²,

Обратимые и необратимые функции.

Все функции можно раз­бить на 2 класса: 1) функции, обратное соответствие которым тоже является функцией; 2) функции, для которых обратное соответствие функцией не является. Первые называются обратимыми, вторые - необратимыми.

Обратимая функция - это соответствие, в котором нет пар с оди­наковыми первыми и различными вторыми компонентами (функция!)

и нет пар с одинаковыми вторыми и различными первыми компонен­тами (обратимая!). Поэтому обратимая функция каждое свое значение принимает только один раз, а график ее в декартовой системе коорди­нат не имеет точек с одинаковыми абсциссами и различными ордина­тами, так же как и точек с различными абсциссами, но одинаковыми ординатами.

№1.

а) Укажите, какие из функций, заданных графически на

рисунке, обратимы, а какие - необратимы;

б) Постройте графики функций, обратных обратимым.

№2.Укажите функции, обратные данным, и постройте графики

обратных функций:

a) f (х) = arcsin х;

б) g (х) = arccos х²;

в) h (х) = sin ax;

г) р (х) = sin²х;

д) q (х) = 3^х -1;

е) F (х) = sin аx, D (F) =;

ж) Т (x)=cosx, D (Т)=[-π;0];.

з) s (x) = -arcsin х-π;

и) t (x) = arccos x-π.

Как видно из упражнения №2, при аналитическом задании может оказаться, что с помощью одной и той же формулы на различных мно­жествах задаются как обратимая, так и необратимая функции (срав­ните упражнения №2 (в) и №2(ж)).

№3. Задайте формулой функции, обратные данным. Постройте графики данных и обратных им функций:

а) f (х) = sin (х -1), D (F) =;

б) g (х) = cos (1- х), D(g)= ;

в) р (х) = arcsin х +π,

г) q (х) = π-arccos x;

д) r (х) = 2π - arcsin x_;

е) s (x) = arccos x +.

№4. Покажите, что заданные функции являются обратимыми и обратны каждая себе:

a) f(x) =;

б) f(x) =;

в) g(x) = ;

г) р(х) = ;

д) q(x) =, D(q) =[0;π].

е) r (х) = sin (arcsinx);

ж) s (х) = cos (arccos x);

з) t (х) = tg (arctg x);

и) h (х) = ctg (arcctg x).

№5. Каковы особенности графика функции, обратной самой

себе?

Покажите на примере функции f (х) =.

№6. Верно ли, что графики взаимно-обратных функций могут

пересекаться на прямой у = х?

№7. Приведите примеры разрывных обратимых функций, укажи­

те обратные им функции (задачу можно решить графически).

№8. Приведите примеры немонотонных обратимых функций, на­

зовите обратные им функции.

Решение задач №7-№8 показывает, что теорема о существовании обратной для непрерывной, монотонной на отрезке функции определяет достаточные (но не являющиеся необходимыми) условия существования обратной функции. Существуют обратимые функции, которые могут не быть монотонными и непрерывными.

Домашнее задание: придумать свои функции и найти для них обратные.

Занятие 10.

(2ч.)

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Цель: дать понятия обратных тригонометрических функций,

рассмотреть их свойства, необходимые для построения

графика.

Теория обратных тригонометрических функций явля­ется своеобразным «зеркальным» отражением теории три­гонометрических функций и содержит столько же инте­ресных задач. Решение аркфункций будет способствовать усвоению теории тригонометрических функций и разви­тию функционального мышления и навыков в тождествен­ных преобразованиях.

1. y = arcsin x.

Рассмотрим функция y = arcsin x.

Свойства функции y = arcsin x.

1. D(arcsin) = .

2. Е = .

3. Четность и нечетность функции y = arcsin x.

Покажем, что y = arcsin x - нечетная функция.

a) D(arcsin) = - симметрична относительно нуля.

б) arcsin(- x) = -arcsin x.

В самом деле, положим arcsin (- х) = β. Тогда по опре­делению | β | ≤ и sin β = - х. Отсюда х = sin (-β). Но |-β | = | β| и, следовательно, |-β | ≤ . Тогда, снова при­меняя определении arcsin x, имеем -β = arcsin x, т. е. β = -arcsin х. С учетом того, что обозначено через β, по­лучаем соотношение arcsin(- x) = -arcsin x.

4. Точки пересечения с осями:

y = 0; arcsin x = 0; х = 0;

(0;0) - точка пересечения с осью ОХ.

х = 0; y = arcsin 0; y = 0.

(0;0) - точка пересечения с осью ОY.

5. Производная функции y = arcsin x.

Функция arcsinх является непрерывной на [-1; 1] и имеет производную при всех х (- 1; 1). Для ее вычисле­ния используем связь между производными взаимно об­ратных функций у(х) и х(у):

у'(х) = .

Имеем у = arcsin x и х = sin у. Тогда

(arcsin x)' = = = > 0.

Таким образом (arcsin x)' = .

6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arcsin x

и ее экстремумы.

Так как (arcsin x)' = >0 при х, то у = arcsin x возрастает при х. Экстремумов нет.

7. Периодичность.

Функция у = arcsin x не является периодической, так как не существует такого числа Т, для которого y (x±Т) = y(x).

8. График функции у = arcsin x имеет вид (рис. 1.1).

2. y =arccos x.

Рассмотрим функция y = arccos x.

Свойства функции y = arccos x.

1. D(arccos) = .

2. Е(arccos) = .

3. Четность и нечетность функции y = arccos x.

Покажем, что y = arccos x - не является ни четной ни

нечетной функцией.

a) D(arccos) = - симметрична относительно нуля.

б) arccos (- x) = - arccos x.

y(-x) y(x); y(-x) - y(x).

4. Точки пересечения с осями:

y = 0; arccos x = 0; х =1;

(1;0) - точка пересечения с осью ОХ.

х = 0; arccos 0 =; y =.

(0; ) - точка пересечения с осью ОY.

5. Производная функции y = arccos x.

y = arccos х - непрерывная функция на

[-1; 1] и что существует производная (arccos х)' при всех

х (- 1; 1). При этом

(arccos x)' = (-arcsin x)^/ = - < 0.

6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arccos x

и ее экстремумы.

Так как (arccos x)' = -<0 при х, то

у = arccos x убывает при х. Экстремумов нет.

7. Периодичность.

Функция у = arccos x не является периодической, так как не существует такого числа Т, для которого y (x±Т) = y(x).

8. График функции у = arccos x имеет вид (рис 1.2.)

3.y = arctg x.

Рассмотрим функция y = arctg x.

Свойства функции y = arctg x.

1. D(arctg) = R.

2. Е(arctg)=.

3. Четность и нечетность функции y = arctg x.

Покажем, что y = arctg x - нечетная функция.

a) D(arctg) = R - симметрична относительно нуля.

б) arctg (- x) = - arctg x.

4. Точки пересечения с осями:

y = 0; arctg x = 0; х = 0;

(0;0) - точка пересечения с осью ОХ.

х = 0; y = arctg 0; y = 0.

(0;0) - точка пересечения с осью ОY.

5. Производная функции y = arctg x. (arctg х)' =.

6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arctg x

и ее экстремумы.

Так как (arctg x)' = >0 при х, то у = arctg x возрастает при х. Экстремумов нет.

7. Периодичность.

Функция у = arctg x не является периодической, так как не существует такого числа Т, для которого y (x±Т) = y(x).

8. График функции у = arctg x имеет вид (рис. 1.3).

4. y = arcctg x .

Рассмотрим функция y = arcctg x.

Свойства функции y = arcctg x.

1. D(arcctg) =R.

2. Е(arcctg )= .

3. Четность и нечетность функции y = arcctg x.

Покажем, что y = arcctg x - не является ни четной ни

нечетной функцией.

a) D(arcctg) =R- симметрична относительно нуля.

б) arcctg (- x) = - arctg x.

y(-x) y(x); y(-x) - y(x).

4. Точки пересечения с осями:

Точкек пересечения с осью ОХ нет.

х = 0; arcctg 0 =; y =.

(0; ) - точка пересечения с осью ОY.

5. Производная функции y = arcctg x.

y = arcctg х - непрерывная функция на R

и что существует производная (arcctg х)' при всех

х R. При этом

(arcctg x)' = (-arctg x)^' = - < 0.

6. Промежутки возрастания и убывания функции у = arcctg x

и ее экстремумы.

Так как (arcctg x)' = -<0 при х, то

у = arcctg x убывает при х. Экстремумов нет.

7. Периодичность.

Функция у = arcctg x не является периодической, так как не существует такого числа Т, для которого y (x±Т) = y(x).

8. График функции у = arcctg x имеет вид (рис 1.4.)

Замечание: графики обратных функций строятся с использованием осевой симметрии относительно прямой y = x, но для практических целей это очень громоздко. Целесообразно предложить учащимся выразить х через y, например х = siny и построить график, находя по значениям y соответствующие значения х.

Практическая часть.

Выше уже изображались графики основных аркфунк­ций. Опираясь на них и на тождества, связывающие арк­функции, построим графики некоторых функций, в ана­литическую запись которых входят символы arcsin, arccos, arctg, arcctg. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. у =sin (arcsin x).

Имеем, что sin (arcsin x) существует для всех x [- 1; 1] и при этом у = х. Таким образом, график имеет вид (рис. 1.5).

Пример 2. у = соs (arcsin x).

По определению | arcsin х | ≤ . Обозначив a=arcsin x, получим

х = sin a и, следовательно, соs a= , поскольку на отрезке он принимает неотрицатель­ные значения. Таким образом, у =и графиком ее служит верхняя полуокружность х² + у² =1.

Домашнее задание.

Выучить свойства функций y = arcsinx, y = arcosx, y = arctgx, y = arcctgx.

№1. Найти область определения каждого из выражений.

1. arcsin x;

2. arccos3x;

3. arctg4x;

4. arccos(x +1);

5. arctg;

6. arcsin;

7. arcsin(cosx).

Занятие 11.

(4ч.)

Решение уравнений.

Цель: научить решать уравнения, содержащие аркфункции.

Теоретическая часть.

Уравнения, содержащие аркфункции встречаются значительно реже, чем тригонометрические уравнения обычного вида. Их решение, основывается на определении обратных тригонометрических функций и знании их свойств.

Рассмотрим примеры.

№1. arcctg х = arccos x.

Решение.

Областью определения уравнения будет отре­зок [- 1; 1], при этом E(arctgx)∩ E(arccos x) = (0; π). Поэтому от обеих частей уравнения можно брать либо ко­тангенс, либо косинус. Имеем

х = ctg (arccos x). Вычис­лим ctg (arccos х). Пусть arccos х = a. Тогда 0 < a < π при| х | ≤1 и

cos a= х. Отсюда sin a =. Следовательно, получаем х = <=> х = 0.

Ответ: {0}.

№2. arcsin 2х = 3arcsin x.

Решение. Область определения уравнения есть отрезок и при этом

Е(arcsin 2x)∩ E(3arcsin x).Следовательно,arcsin 2x = 3arcsin х

<= > 2x = sin (3arcsin x). Но

sin Зa = sin a (3 - 4sin²a). Следовательно,

arcsin 2х = 3arcsin х <=> 2х = х(3- 4х²) <=>

Ответ: {0, , -}.

Заметим, что уравнения с аркфункциями можно ре­шать, преобразовывая их так, чтобы не терялись реше­ния. Но тогда обязательна проверка найденных результа­тов на предмет отсеивания лишних корней.

№3. arctg = 2arctg (х - 1).

Решение. Сразу возьмем тангенс от обеих частей задан­ного уравнения. Тогда

= tg (2arctg (х - 1)) или с учетом формулы тангенса двойного угла = . Отсюда х = 1 или х = 0. Значение х = 0 отсеивается по очевидным причинам. Подставим значение

х = 1 в исход­ное уравнение. Получим истинное числовое множество arctg 0 = 2arctg 0, так как

arctg 0 = 0.

Ответ: {0}.

№4. Решите уравнения:

1. arcsin (2х + 1) = arccos x;

2. arccos х+ arccos х = ;

3. arcsin 2x + arcsin x = ;

4. arctg(x+1)+ arctg(x-1)+ arctg x=0;

5. arctg+ arctg = arctgx;

6. arcsin (3x + 5) + arcsin (1- x) =;

7. 18(arcsin x)² + π² = 9π arcsin x;

8. arccos | x | = arcsin 2x;

9. arcsin ( ) = arccos ( );

10. arccos ( - 2x) + 3arcsin x =

11. 

№5. Решить уравнения.

1. 4 arctg (x² - 3x -3) - π = 0;

2. arctg (x+2) - arctg (x+1) = ;

Решение.

1. Имеем arctg (x² - 3x -3) = , откуда x² - 3x -3 = tg , т. е. x² - 3x -3 = 1.Отсюда находим x₁ = 4, x₂ = -1.

2. Взяв тангенсы обеих частей уравнения, и учитывая, что tg (arctg a) = a, получим

= 1, откуда x₁ = -1; x₂ = -2.

Проверяем эти корни. Если x₁ = -1, то

arctg (x +2) = arctg 1 = и arctg (x +1) = arctg 0 = 0, так что данное уравнение удовлетворяется. Так же докажем, что и второй корень годится.

Ответ: x₁ = -1; x₂ = -2.

Тренировочные задания.

№6. Решить уравнения.

1. -

2. 

3. arctg(x-1) + arctg x + arctg(x+1) = arctg3x; -0,5; 0; 0,5.

4. arcsin -1; 0; 1.

5. arcsin

6. arcos

7. arcos x =

8. arcos(x += 2arcsin x;

9. arcos x = -1

Домашнее задание.

№1. Решить уравнения:

a) arcsin 6x + arcsin 6;

б) 2arctg (2x+1) = arcos x;

в) arcsin x + arccos (x -1) = π;

г) arcsin 2x = 3arcsin х,

д) arcsin х= arccos ;

e) 2arctg x = arcsin _;

ж) arcsin (sin x) = 5π-x.

№2. Решить уравнения:

a) 2arcsin ²х-arcsin х-6 = 0;

б) arcsin² х-2arcsinх-3 = 0;

в) arccos²x-8arccosx+15 = 0;

г) arccos²x-arccosx-6 = 0;

д) arctg² - 4arctg = 0;

e) 3arctg²x-4πarctg x+π² =0;

ж) 4arctg=π;

з) arccos x -arcsin x =.

Занятие12.

(4ч.)

Решение неравенств.

Цель: научить решать неравенства, содержащие обратные

тригонометрические функции.

Теоретическая часть.

Простейшие неравенствами с аркфункциями относятся к функциональным неравенствам, которые решаются по следующей схеме:

1) найти область допустимых значений неравенств

2) свести неравенство к одному из видов f(m)<f(n); f(m)>f(n);

f(m)≤ f(n); f(m) ≥f(n), где f- одна из обратных функций.

3. выяснить характер монотонности функции.

4. составить систему из О.Д.З. и неравенства, составленного

из выражений, стоящих под знаком функций.

Простейшими неравенствами с аркфункциями явля­ются следующие соотношения:

arcsin х  , arc sin x < ,

arcsin х > a, arcsin x ≤ α

и такие же неравенства, левая часть в которых заменена на arccos х, arctg х, arcctg x. Все они решаются единооб­разно. Поэтому ограничимся рассмотрением данных неравенства.

1. arcsin х  .

Если a≤, то в силу определения arcsin x решением неравенства будет отрезок - 1 ≤ х ≤ 1. Если≤ a ≤ , то беря от обеих частей неравенства операцию sin и учи­тывая, что sin t возрастает на множестве получим в качестве решения отрезок sin a ≤ х ≤ 1. Наконец, если a > , то в силу определения arcsin x решений нет, т. е. Ǿ.

2. arcsin х  a.

Если a <, то решением неравенства является отре­зок [- 1; 1]. Если ≤ a ≤ , то снова вычисляя синус от обеих частей неравенства, получим в качестве решения промежуток

sin a< х ≤ 1. Наконец, если a ³ , то Ǿ, так как по определению arcsin x не может быть больше, чем .

3. arcsin х ≤ a.

Сведем это неравенство к уже изученному случаю. Для этого умножим обе его части на - 1 и воспользуемся не­четностью arcsinx: - arcsin х ³ a ³ arcsin (- х) ³ - a. Если теперь обозначим

- х =y, - a = β, то получим знакомое неравенство arcsin у ³ β. Опираясь на него, запишем сра­зу ответ для нашего неравенства:

если a < (т. е. β > ), то Ǿ;

если ≤ a ≤ (т. е ≤ β ≤ ), то - 1 ≤ х < sin a;

если a ³ (т. е. β ≤ ), то - 1 ≤ х ≤ 1.

4. arcsin х < a.

Приведем результат сразу, так как он получается по той же самой схеме, что и в предыдущем случае.

Если a ≤ , то Ǿ;

если ≤ a ≤ , то-1 ≤ х< sin a;

если a > , то-1 ≤ х ≤ 1.

Неравенства arccos х ³ β (>β, ≤ β, < β) легко сводят­ся к предыдущим неравенствам, если учесть, что

arcsin х + arccos x = .

Практическая часть.

Рассмотрим примеры.

№ 1. arctg (х + 1) + arctg (1 - х) ³ .

Решение. Левая часть неравенства (1) принимает зна­чения, заполняющие интервал (-π; π), на котором ни одна из основных функций sin t_t cos t, tg t, ctg tне является монотонной. Поэтому следует преобразовать неравенство (1):

arctg (х + 1) ³ - arctg (1-х).

Функция arctg (x + 1) ограничена. Следовательно, не­равенство (2) нужно рассматривать лишь при тех х, при которых

> - arctg (1 - х) <=>arctg (1 - х) > - <=> 1-х >-1 <=> х<2. При этом условии обе части неравенства (2) принимают значения, лежащие внутри отрезка , и от обе­их частей можно взять tg:

<=>

Ответ: .

№ 2. arccos (х - 1) ≤ 2arccos х.

Решение. Легко показать, что областью определения неравенства (1) является отрезок 0 ≤ х ≤ 1. Тогда обе ча­сти неравенства (1) принимают значения на отрезке [0; π], на котором функция соs t монотонно убывает, т. е. имеет место

0≤x≤.

Ответ:

Тренировочные задания.

№3. Решить неравенства.

1. arcsin ³ ;

2. (arcsin х)² ≤ 1;

3. arcsin х² ³ 1;

4. arcsin x < arccos х;

5. arcsin х < arcsin 2х;

6. arcsin x < arctg х;

7. arcsin x < arcctg x;

8. arcsin (iog₂ x) > 0;

9. arcsin (π arctg x) > 0;

10. arcsin (x² - 0,5x - 1,5) < .

Домашнее задание.

№1. Решить неравенства.

1. агссоs (х² - 2x - 2) < ;

2. (arctg x)² - 4arctg x + 3 > 0;

3. arccos x < arcsin 2x;

4. ;

5. π∙ аrссоs х > (arccos (- x))² - π²;

6. arccos x < arcctg 2x.

Занятие №13.

(4ч.)

Итоговое тестирование.

Цель: проверка знаний.

Часть А.

№1. Вычислить:

arcsin .

А.. Б.. В.. Г.. Д..

Решение.

arcsin =

= .

Ответ: В.

№2. Вычислите:

arcsin(sin) + arccos(cos).

А.. Б.0. В.6π. Г.π. Д..

Решение.

arcsin(sin) + arccos(cos) =

arcsin(sin(5)) + arccos(cos(π +)) = arcsin(sin) +

+ arccos(-cos) =+ π - arccos(cos) = + π - = π.

Ответ: Г.

№3. Вычислите: arctg (ctg ) + arcsin (cos).

А. -. Б. 0. В. . Г. -. Д. .

Решение.

arctg (ctg ) + arcsin (cos) = arctg (ctg ) + arcsin (cos)) =

= arctg(-ctg) + arcsin(-cos) = -arctg(ctg) - arcsin(cos).

Обозначим

1) ctg = а; arctg а = , а; arctg а =;

2) cos = b, arcos b = , , arcsin b = .

-arctg(ctg) - arcsin(cos) = -- = - = -.

Ответ: А.

№4. Вычислите: sin( 2 arccos(-)).

А. . Б. - . В. . Г. -. Д. .

Решение.

sin( 2 arccos(-)) = sin( 2 (-arccos)) = sin( 2 - 2arccos) = - sin( 2 arccos).

Обозначим arccos = a, a; cos a = >0, a ; sina = .

-sin2a = -2sin a cos a = -

Ответ: Б.

№5. Вычислите: tg (arcsin - arccos).

A. 2 + . Б. 2 - . В. - - 2. Г. -. Д. 1-.

Решение.

tg (arcsin - arccos) =

= tg( =

Ответ: В.

№6. Какие из выражений не имеют смысла?

А.arcsin. Б.arctg5. В.arccos(). Г.arcctg0. Д. arcsin(cos).

Решение.

Зная, что D(arcsin) = [-1;1], D(arctg) = R, D(arccos) = [-1;1], D(arcctg) = R,

имеем -1

Значит, выражение arcos(-1) не имеет смысла.

Ответ: В.

№7. Вычислите: arcsin(cos3) + arccos(sin5).

А. 2-2. Б.8. В.3 + 2. Г. 3 - 8. Д. 2 + 2.

Решение.

arcsin(cos3) + arccos(sin5) = arcsin(cos3) + arccos( - sin(2 - 5)) =

= arcsin (cos3) +-arcos(sin(2 - 5)).

Обозначим:

1) cos3 = х; arcos х = 3, 3,

arcsin x + arccos x = ; arcsin x = - 3;

2) sin (2-5) = y; arcsin y = 2-5, 2-5.

arccos у + arcsin y = ;

arccos y= -2 + 5 = 5 -.

arcsin (cos 3) + - arccos (sin (2 - 5)) = -3+-5+ = 3-8.

Ответ: Г.

№8. Упростите выражение .

A. sin . Б. 1. B. 0. Г. 2. Д. cos.

Решение.

= = = 1.

Так как arccos = x, x[0;], cos > 0, значит х принадлежит I четверти и

sin x > 0,

sin x = .

Значит, arcsin = x, то есть arcsin = arccos = x.

Ответ: Б.

№9. Вычислите: cos (arctg 2) .

A. . Б.. B. -. Г. . Д. .

Решение. Обозначим arctg 2 = x, x,

тогда tg x = 2 > 0, то есть x

= 1 + tg² x, cos x > 0, так как при x

cos x = .

Зная, что cos² найдем cos , cos .

Ответ: Б.

№10. Какая из перечисленных функций не определена на всех действительных х?

A. f(x) =.

Б. f(x) = .

B. /(x) = .

Г. f(x) = .

Д. f(x) = .

Решение.

1) arccos x + arctg (-1) = arccos x - .

arccos х => - arccos х - .

Но так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то для некоторых х [-1; 1] оно неотрицательно. Значит, функция определена для некоторых х.

2) arcsin х - arccos 1= arcsin x - 0 = arcsin x.

- arcsin х .

Есть такие х [-1; 1], что 0 arcsin х .Зна­чит, данная функция, для некоторых действительных чисел определена.

3) arccos х - arcsin = arccos x - .

0 arccos х  => - arccos х -

Данная функция определена при некоторых х.

4) arcsin х - arccos(-) = arcsin х -  + arccos = arcsin x-.

- arcsin x => - - - + arcsinx - =>

- - +arcsinx -.

То есть для любого x[-1; 1] подкоренное выра­жение отрицательно, значит функция не определена для всех действительных чисел х.

5) arcsin х + arctg1 = arcsin x + > 0 для неко­торых х.

Ответ: Г.

№11. При каких значениях параметра а число

arcsin (-а) + arccos а принадлежит промежутку ?

A. a. Б.. B.. Г.. Д..

Решение.

< arcsin (-а) + arccos а < ,

< -arcsin а + - arcsin а < ,

< - 2arcsin а <, 0 < -2arcsin а <.

Так как y = arcsin x возрастает на [-1; 1], то из неравенства - < arcsin а < 0 следует, что - < а < 0, то есть a.

Ответ: Б.

№12. Укажите решение неравенства arcsin х > arccos x.

A. . Б.. B.. Г.. Д..

Решение.

arcsin x > arccos x, arcsin x > - arcsin x,

2arcsin x >, arcsin x >.

Функция у = arcsin x возрастает на [-1; 1], значит .

Ответ: Г.

Часть В.

№1. Сколько целых чисел в области определения функции

f(x) = arcsin + arccos?

Решение. Так как D(arcsin) = [-1; 1], D(arccos) = [-1; 1], то область определения данной функции задается условиями:

х. Целых значений в этой области определения три: 0, -1 и -4.

Ответ: три целых числа.

№2. Вычислите

при а

Решение.

=

= =,

так как

arcsin х + arccos x = и arctg х + arcctg х = .

Ответ: 0.

№3. При каких значениях параметра а уравнение

arcsin (х² - 4х + 5) + arccos имеет решение?

Решение. Найдем ОДЗ уравнения:

Значит, arcsin 1 + arccos= ,

Ответ: при а = 6 уравнение имеет единственное решение х = 2.

Часть С.

№1. Чему равно а, если arcsin (sin a) = - а?

Решение. ОДЗ arcsin (sin a): -.

sin (arcsin (sin а)) = sin (),sin a = cos a, a=+ πn, nZ.

Так как a, то a = + 2π , a = 2.

Ответ: 2.

№2. Решите неравенство

Решение.

ОДЗ:

Ответ: [-.