Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

Открытые (нерешённые) математические проблемы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильб...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:















Реферат

По дисциплине: Математика

" Открытые математические проблемы "

Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

















Открытые математические проблемы

Открытые (нерешённые) математические проблемы - задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

  • Проблемы Гильберта;

  • Проблемы Ландау;

  • Проблемы тысячелетия;

  • Проблемы Смейла.

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

Теория чисел

  • Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?

  • Проблема Варинга. Функция Харди Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы - наименьшее Реферат по математике на тему Открытые математические проблемытакое, что уравнение Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыразрешимо при Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Значения этой функции известны только для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыравных 2 и 4.

  • Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов?

  • Гипотеза Биля. Верно ли, что если Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыгде Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы - натуральные и Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, то Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыимеют общий простой делитель?

  • Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).

  • Гипотеза Эрдёша. Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии?

  • Числа ван дер Вардена (англ.). При каком наименьшем N при любом разбиении множества Реферат по математике на тему Открытые математические проблемына два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?

  • Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Замечательное свойство обнаружилось у числа 1111. Оказывается, его можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел. А именно,Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы Снова случайность, как тогда? Хотелось бы найти хотя бы ещё один такой репьюнит. Точнее, хотя бы ещё два таких репьюнита, ведь число 1 также удовлетворяет условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 179 включительно.

Геометрия

  • В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).

  • На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?

  • Существует ли такая константа Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?

  • Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?

  • Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?

  • Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?

  • Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма - слишком большое).

  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?

  • Даны положительные действительные числа Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?

  • Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?

  • При каком минимальном Реферат по математике на тему Открытые математические проблемылюбое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

  • Чему равно хроматическое число Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона - Эрдёша - Хадвигера).

  • Задача Томсона. Как разместить Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыодинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, 3, 4, 6 и 12). Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыточек?

  • Как разместить Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыточек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?

  • Для каждой пары натуральных чисел (n, k) найти такое наименьшее действительное число d(n, k), что любое множество единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k подмножеств диаметром не больше d(n, k). Задача решена только в нескольких частных случаях.

  • Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08.

  • Задача со счастливым концом. При каком минимальном Реферат по математике на тему Открытые математические проблемысреди любых Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыточек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы - угольника? Решение известно только для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Результат для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы(который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.

  • Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Ванга (англ.), которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат - 13.

  • В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?

  • Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году.

  • Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?

  • Гипотеза Боннесена - Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?

Задачи упаковки

  • Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы?

  • Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?

  • Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?

Многомерные пространства

  • Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы? Эта задача решена лишь для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы(240) и Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы(196 560).

  • Задача плотнейшей упаковки шаров в Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы - мерном евклидовом пространстве для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.

  • Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7-мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6-мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ отрицателен, а больше 7 - положителен).

Механика

  • Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?

  • Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?

Алгебра

  • Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы Реферат по математике на тему Открытые математические проблемысуществует поле алгебраических чисел Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, такое, что Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыявляется расширением поля рациональных чисел Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыизоморфна Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, - конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно.

  • Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?

  • Является ли кольцо периодов полем?

  • Проблема О.Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?

  • Проблема Л.С. Понтрягина Пусть Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, гомеоморфного Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства Реферат по математике на тему Открытые математические проблемына единичную сферу Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыевклидова Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- мерного пространства, при котором группа Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыпереходит в некоторую группу движений сферы Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы?

  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решеток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?

  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решеток, достижимых на классе всех таких полугрупп.

  • Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствми?

  • Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыиметь мощность Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы?

  • Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счетная группа, что всякая счетная группа изоморфна одной из её подгрупп?

  • Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца.

  • Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге.

Коуровская тетрадь

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2-4 года. Выпускается на русском и английском языках.

Днестровская тетрадь

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей.

Свердловская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп.

Анализ

  • Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы?

  • Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.

  • До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы; неизвестно даже, какие из цифр 0-9 встречаются в десятичном представлении числа Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыбесконечное количество раз.

  • Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?

  • Является ли Реферат по математике на тему Открытые математические проблемынормальным числом?

  • Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, Постоянная Эйлера - Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.

  • Сходятся ли ряды Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

Вопросы иррациональности

  • Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера - Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыНи для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

  • Неизвестно, являются ли Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыалгебраически независимыми.

  • Неизвестно, являются ли Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыили Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыцелыми числами при каком-либо положительном целом Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы(см. тетрация). Неизвестно даже, является ли Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыцелым.

  • Неизвестно, может ли Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыбыть целым, если Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- положительное целое число, а Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыответ отрицателен).

  • Неизвестно, является ли положительный корень уравнения Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыалгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).

  • Неизвестно, является ли положительный корень уравнения Реферат по математике на тему Открытые математические проблемырациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для тетрации любой большей высоты также открыта.

  • Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Неизвестно, является ли первое число Скьюза Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыцелым числом.

  • Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыдля всех натуральных Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы?

  • Трансцендентны ли значения гамма-функции Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыдля всех целых Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы?

  • Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума?

  • Трансцендентна ли постоянная Пелля?

  • Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами - трансцендентна?

Комбинаторика

  • Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.

  • Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.

  • Неизвестно количество незамкнутых маршрутов коня.

  • Гипотеза Эрдёша - Реньи. Если Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- фиксированное целое число Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, то Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыдля Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыиз Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Здесь Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- перманент матрицы Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- множество всех Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- матриц порядка Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыc Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыединицами в каждой строке и каждом столбце.

Теория графов

  • Гипотеза Каццетты - Хаггвиста - ориентированный граф, имеющий n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее m рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Гипотеза Хадвигера - каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Гипотеза Улама:

    • а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;

    • б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.

  • Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) - если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра.

  • В любом графе, не содержащем мостов (ребер, удаление которых увеличивает число компонент связности графа), можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.

  • В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.

  • Гипотеза Рамачандрана Любой орграф N-реконструируем.

  • Гипотеза Бержа Граф Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыявляется совершенным тогда и только тогда, когда ни он, ни его дополнение Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыне содержат порождённых подграфов вида Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Гипотеза о восстановлении Если заданы классы изоморфизма всех Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыпримарных подграфов некоторого графа, то при Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыкласс изоморфизма этого графа определяется однозначно.

Теория узлов

  • Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла?

  • Чему равно количество простых узлов (англ.) с n двойными точками (англ.) для n > 16? Является ли эта последовательность строго возрастающей? Значения для n < 17 даёт последовательность A002863 в OEIS.

Теория алгоритмов

Вопросы алгоритмической разрешимости

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах. Как узнать по произвольному диофантову уравнению, разрешимо ли оно в рациональных (не обязательно целых) числах и можно ли это узнать вообще (то есть возможен ли соответствующий алгоритм)?

  • Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыопределить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу.

  • Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?

  • Существует ли алгоритм, позволяющий узнать по целочисленной матрице, существует ли степень, имеющая нуль в правом верхнем углу?

Теория сложности вычислений

  • P = NP?

  • Является ли задача изоморфизма графов NP-полной?

  • Принадлежит ли задача нахождения простого множителя натурального числа к классу P?

  • Принадлежит ли задача распознавания тривиального узла (англ.) к классу P?

  • Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения целых чисел. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Мартина Фюрера, выполняющийся за Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, где Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы - итерированный логарифм (англ.).

  • Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения матриц. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Копперсмита - Винограда, работающий за Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы(однако с непрактично большим коэффициентом).

Другие проблемы теории алгоритмов

  • Проблема «усердного бобра» (англ.). Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с Реферат по математике на тему Открытые математические проблемысостояниями и алфавитом Реферат по математике на тему Открытые математические проблемына заполненной нулями ленте? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, и пока известны только значения для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Существует ли алгоритм, распознающий для любых двух трёхмерных многообразий, заданных своими триангуляциями, гомеоморфны ли они?

  • Существует ли алгоритм, распознающий по произвольной позиции игры "Жизнь", "вымрет" ли она (станут ли в итоге все клетки пустыми)?

  • Существует ли теорема о полноте для решетки Мучника?

  • Существует ли алгоритм, определяющий разрешимость и арифметичность множества реализуемых и множества неопровержимых пропозициональных формул?

  • Существуют ли в обычных алгебраических системах алгебраически корректные массовые проблемы различной сложности?

  • Существует ли алгебраическая система, для которой равномерная эквивалентность отличается от программной или программная от проблемной?

Аксиоматическая теория множеств

  • В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело - Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

  • Проблема Скулема. Рассмотрим множество Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыфункций одного натурального переменного Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, построенных из термов Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи замкнутых относительно сложения, умножения и возведения в степень. Для функций Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыиз этого множества будем писать Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, если Реферат по математике на тему Открытые математические проблемывыполняется для всех достаточно больших Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Известно, что отношение Реферат по математике на тему Открытые математические проблемывполне упорядочивает множество Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи не больше чем первый критический ординал Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы) Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году).

  • Существует ли линейно упорядоченное множество с порядковым типом (англ.) α, удовлетворяющим условиям α ≠ α2 и α = α3?

  • В теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора неизвестно, существуют ли регулярные кардиналы Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, большие Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Проблема сингулярных кардиналов,. Для каких функций Реферат по математике на тему Открытые математические проблемысуществует модель Цермело-Френкеля, в которой Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыдля всех кардиналов Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Верно ли, что если непротиворечива система аксиом Цермело-Френкеля вместе с аксиомой выбора, то непротиворечива система аксиом Цермело-Френкеля, принцип зависимого выбора и каждое множество действительных чисел есть измеримое по Лебегу множество?

  • Не приведет ли к противоречию предположение существования таких кардинальных чисел Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, что декартово произведение m-компактных пространств всегда m-компактно. Неизвестно также, совпадало бы наименьшее из этих чисел с наименьшим измеримым числом или нет.

Теория доказательств

  • Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано? Неразрешимое утверждение теории - это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.

Вычислительная математика

  • Определить предельный уровень аппроксимации Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы - стадийного метода Рунге - Кутты (одностадийный = метод Эйлера = Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, двухстадийный = модифицированный метод Эйлера = Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, четырёхстадийный = классический метод Рунге - Кутты = Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, пятистадийный = метод Фельберга (англ.) = тоже Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

Дифференциальные уравнения

  • Неизвестно точное решение уравнения ван дер Поля (оно же осциллятор ван дер Поля):

Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

  • Неизвестно точное решение уравнения Дуффинга:

Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

  • Неизвестно точное решение уравнения Матьё:

Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы

  • Гипотеза Абловица-Рамани-Сегура Все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством Пенлеве (положение любой алгебраической, логарифмической или существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных условий, от произвольных констант интегрирования зависит только положение полюсов).

  • Имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю, эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как её построить?

Теория вероятностей

  • Неизвестны необходимые и достаточные условия принадлежности безгранично делимого закона распределения случайной величины в одномерном и многомерном случаях к классу законов, не имеющих неразложимых компонент.

  • Неизвестна точная аналитическая формула для вероятностного распределения площадей фигур, определяемых случайными прямыми на плоскости.

Уравнения математической физики

  • Отсутствует строгое математическое обоснование метода континуального интегрирования в квантовой теории поля.

  • Континуальные интегралы удается вычислить только для случая гауссовых квадратур. В общем случае способ вычисления континуальных интегралов неизвестен.

  • Неизвестно точное решение уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов.

  • В квантовой механике при решении задачи о рассеянии двух пучков на одном препятствии сечение рассеяния получается бесконечно большим.

  • Уравнения Навье - Стокса

  • В гидродинамике есть сотни нерешенных задач.

  • Отсутствует законченная теория, объясняющая происхождение и эволюцию магнитного поля Земли.

  • Гипотеза Йоргенса Пусть Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- открытое множество, дополнение которого имеет меру нуль. Пусть Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи Реферат по математике на тему Открытые математические проблемынепрерывны на Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыи оператор Шрёдингера Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыограничен снизу и самосопряжен в существенном на Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы. Если Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, то Реферат по математике на тему Открытые математические проблемытакже самосопряжен в существенном на Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

Теория игр

  • Отсутствует общая математическая теория игр, проводимых на пространстве функций (поскольку мощность множества действительных функций существенно превышает мощность континуума).

  • Отсутствует общая математическая теория псевдоигр (конфликтных ситуаций, не являющихся играми).

  • Отсутствует общая математическая теория некооперативных игр Реферат по математике на тему Открытые математические проблемылиц для Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

  • Формулировки Реферат по математике на тему Открытые математические проблемынерешенных проблем теории игр есть в книге.

  • Не решена задача построения алгоритмов обучения решению игр, когда элементы платежной матрицы не постоянны, а представляют собой случайные величины, либо неизвестны (игра вслепую).

Теория представлений групп

  • Гипотеза Ленглендса. Любое неприводимое представление вещественной полупростой группы Ли Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, входящее в дискретную часть разложения регулярного представления, реализуется в пространстве Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- когомологий подходящего пучка на пространстве Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы, где Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы- компактная картановская подгруппа в Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы.

Общая топология

  • Задача Даукера. Определить, является ли каждое нормальное хаусдорфово пространство счётно паракомпактным.

  • Список из Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы нерешенных проблем теоретико-множественной топологии есть в статье.

  • Неизвестна мощность множеств, дополнительных к А-множествам, даже в одномерном случае.

Линейная алгебра

  • Гипотеза Банаха. Всякое сепарабельное банахово пространство имеет счётный базис.

Теория случайных процессов

  • Задача определения закона распределения Реферат по математике на тему Открытые математические проблемычисла выбросов случайного процесса в общем случае не имеет законченного и компактного решения.

  • Задача определения закона распределения абсолютных максимумов случайного процесса решена только для марковских процессов. Для остальных процессов точное решение неизвестно.

Функциональный анализ

  • Список из Реферат по математике на тему Открытые математические проблемынерешенных задач теории операторов в банаховом пространстве есть в книге.

Теория динамических систем

  • Неизвестно, является ли система из двух и более твердых биллиардных шаров К-потоком при несингулярных взаимодействиях.

Риманова геометрия

  • Проблема Хопфа. Существует ли на дифференцируемом многообразии Реферат по математике на тему Открытые математические проблемыриманова метрика положительной кривизны?

Исследование операций

  • Не существует комбинаторного метода решения целочисленных задач линейного программирования с полиномиальной (в отличие от экспоненциальной) оценкой трудоемкости?.

  • Отсутствует общая теория алгоритмических методов оптимизации, позволяющая обеспечить ускорение сходимости и выбор шага итерации в общем случае многошаговых алгоритмов.

  • Неизвестны условия сходимости почти наверное, в область для многошаговых алгоритмов адаптации и обучения.

  • Неизвестны правила определения момента установления стационарности алгоритма адаптации и обучения.

  • Неизвестны оценки зависимости точности аппроксимации от числа функций и оценки времени обучения для алгоритмов опознавания.

  • Неизвестны общие способы получения несмещенных оценок при заданном критерии оптимальности в задачах идентификации.

  • Неизвестны общие правила выбора системы функций в задачах фильтрации.

  • Неисследована связь между скоростью изменения внешних воздействий и длительностью процесса адаптации фильтра.

  • Неизвестны способы использования априорной информации о распределениях случайных величин для построения адаптивных фильтров.

  • Неизвестен способ применения адаптивного подхода при ускоренных испытаниях на надёжность.

  • Отсутствует общая теория сетевого планирования с применением адаптивного подхода при недостаточной априорной информации.

Алгебраическая геометрия

  • Список из Реферат по математике на тему Открытые математические проблемы нерешённых проблем алгебраической геометрии есть в книге.

Известные проблемы, недавно решённые

  • Проблема четырёх красок;

  • Великая теорема Ферма;

  • Гипотеза Пуанкаре;

  • Гипотеза о раскраске дорог;

  • Гипотеза Ван дер Вардена о перманенте;

  • Гипотеза Такеути;

  • Гипотеза Бибербаха;

  • Проблема Серра.

Литература

  • Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. - М.: Мир, 1973. - 147 с.

  • Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. - М.: Наука, 1970. - 392 с.

  • ред. Акилов Г. П. Теория операторов в функциональных пространствах. - Новосибирск: Наука, 1977. - 392 с.

  • Ауман Р., Шепли Л. Значения для неатомических игр. - М: Мир, 1977. - 357 с.

  • Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. - М: Наука, 1986. - 256 с.

  • Пригожин И. От существующего к возникающему. - М: КомКнига, 2006. - 296 с.

  • Курош А. Г. Теория групп. - 3-е изд.. - М: Наука, 1967. - 638 с.

  • Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. - М.: Наука, 1978. - 192 с.

  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир, 1989. - 326 с. - ISBN 5-03-001118-8.

  • Цыпкин Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах. - М.: Наука, 1968. - 400 с.

  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир, 1970. - 413 с.

  • Улам С. Нерешенные математические задачи. - М.: Наука, 1964. - 168 с.

  • Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. - М.: МЦНМО, 2012. - 256 с.

  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. - М.: Наука, 1973. - 143 с.

  • Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 384 с. - ISBN 5-02-013992-0.

  • Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. - М.: Мир, 1990. - 408 с. - ISBN 5-03-001422-5.

  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, в 4 т. - М.: Мир, 1978. - 1000 с.

  • Татт У. Теория графов. - М.: Мир, 1988. - 424 с.

  • Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. - М.: Наука, 1972. - 192 с.

  • Кон П. Свободные кольца и их связи. - М.: Мир, 1975. - 420 с.

© 2010-2022