Решение №11, №13. ЕГЭ Математика. Профильный уровень

1.Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Половина пути для второго автомобиля 0,5.

Время второго автомобиля, за которое он прошел весь путь

Время первого автомобиля равно времени второго автомобиля.

2. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Половина пути для второго автомобиля - это 0,5.

Время второго автомобиля, за которое он прошел весь путь:

Время первого автомобиля равно времени второго автомобиля:

Перенесём всё влево:

Общий знаменатель:

т.к. по условию задачи скорость первого автомобиля больше 48 км/ч, то:

3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист потратил на 6 часов больше автомобилиста:

Перенесём всё влево:

4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

На путь из А в В велосипедист затратил на 3 часа больше времени, чем обратно:

Перенесём всё влево:

5. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Второй велосипедист затратил на 1 час больше, чем первый велосипедист:

Перенесём всё влево:

6. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На путь против течения моторная лодка затратила на 6 часов больше, чем по течению:

Перенесём всё влево:

Ответ: 3.

7. Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения?

Составим уравнение:

Ответ: 2 км/ч.

8. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Так как на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше, то получим уравнение:

Перенесем 2 в левую часть уравнения:

Приведем к общему знаменателю:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Ответ: 16 км/ч

9. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Определим общее время, которое лодка провела в движении:

18.00 - 10.00 - 2,5 = 5,5 часов.

Составим уравнение:

Перенесём всё в левую часть уравнения:

Приведем к общему знаменателю:

Применим формулу разности квадратов там, где это уместно:

Получим:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Умножим обе части уравнения на (-2), чтобы избавиться от десятичных дробей и поменять знаки:

Получилось отличное квадратное уравнение. Решим же его скорее:

Первый корень - отрицательное число - не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной. Значит ответ 11.

Ответ: 11 км/ч.

10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Найдём общее время, которое теплоход провёл в движении:

40 - 10 = 30 часов.

Составим уравнение:

Перенесём всё в левую часть уравнения:

Упростим уравнение (приведем к общему знаменателю):

В левой части возможно применение формулы разности квадратов:

Получаем:

Раскроем скобки (не расслабляемся - следим за знаками):

Приведем подобные (радуемся тому, как всё красиво сокращается):

Осталось только выразить :

Ответ: 5 км/ч.

11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Найдём общее время, которое теплоход провёл в движении:

34 - 2 = 32 часа.

Составим уравнение:

Перенесём всё в левую часть:

Упростим уравнение (приведем к общему знаменателю):

Напрашивается применение формулы разности квадратов:

Получаем:

Раскроем скобки (внимательно - не путаем знаки):

Приведем подобные:

Поменяем знаки (умножив мысленно обе части на -1):

Сократим на 2:

Получаем прекрасное квадратное уравнение. Решаем его:

Ответ: 16 км/ч.

1. Решите уравнение

ОДЗ:

Решение:

Пусть

,

Ответ: ,,.

2. Решить уравнение

ОДЗ:

Решение:

Пусть

Ответ:

3. Решить тригонометрическое уравнение:

ОДЗ: .

Решение:

Воспользуемся формулой

Используя группировку, получаем:

Ответ:

4. Решить уравнение:

Решение:

Выполним замену

5. Решите уравнение:

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла

Разложим левую часть уравнения на множители (вынесем за скобки).

6. Решите уравнение:

Решение:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

7. Решите уравнение:

все тригонометрические уравнения >>>

Решение:

Перенесем все в левую часть:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Получили однородное уравнение. Поделим уравнение на

8. Решите уравнение:

Решение:

4 можно представить, как 4 х 1, а 1 в свою очередь, как

Перенесем все влево и приведем подобные слагаемые:

Получили однородное уравнение. Поделим уравнение на

9. Решите уравнение:

Решение:

Оценим левую и правую части уравнения.

Используя «метод мажорант» (метод крайних), получаем, что уравнение равносильно системе:

Сначала решим:

Выполним проверку:

Следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

10. Решите уравнение:

ОДЗ:

Решение:

Обратная замена:

11. Решите уравнение:

ОДЗ:

Решение:

Выполним замену

тогда данное уравнение примет вид:

Выполним обратную замену:

12. Решите уравнение:

ОДЗ:

Решение:

Разделим обе части уравнения почленно на (если , то , то есть , а это невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество ).

Получим:

Вернемся к прежней переменной .

13. Решите уравнение:

ОДЗ:

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Решение:

Разложим через синус двойного угла:

Вынесем за скобки:

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

14. Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулой приведения:

Так как угол - угол 2 четверти, а cos во 2 четверти принимает отрицательные значения, то в ответе появляется « - ». Для угла название исходной функции «cos» заменяется на «sin».

Тогда уравнение принимает вид:

Выполним замену:

Получаем:

Выполним замену

Решим уравнение через дискриминант:

Выполним обратную замену:

Теперь отберем корни уравнения из промежутка .

15. Решить уравнение:

ОДЗ:

Следовательно:

Из 1) и 2) следует:

Решение:

Заменим:

Умножим обе части уравнения на tg b:

Разложим:

Умножим обе части уравнения на cos a cos b, получим:

Свернем левую часть уравнения по формуле сложения:

Выполним обратную замену:

Поделим обе части уравнения на :

Далее воспользуемся формулой:

Тогда получаем:

Умножим обе части уравнения на :

Следовательно, решение уравнения: