Введение

Современный человек строит МЕГАПОЛИСЫ. Окружает себя уютной обстановкой, создавая в интерьере НОУ- ХАУ. А всё НОВОЕ, безусловно, подчинено законам красоты и гармонии. Заметим, что составляющие компоненты прекрасных зданий; комнат, залов внутри; и они сами, а также предметы интерьера имеют формы обычных геометрических тел и фигур. Их свойства, площади фигур, объёмы тел изучаются в школе. А специалисты «модерн» строительства знают ещё больше и лучше, их умения отточены на практике.

Да, не каждый взрослый может произвести расчёты, пожелав сделать в своём доме ремонт.

И вот… судьба встретила нас, пятиклассников, на уроках с темой «Прямоугольный параллелепипед». Мы изготовили модели. Учитель познакомил с решением самых разных задач. И у нас возник вопрос: сможем ли мы применить эти знания и умения при решении задач, которые встречаются в жизни взрослых, ведь всех людей окружают предметы такой же формы? Родилась идея - построить замок, придумать сказочные истории, героями которых станут сами фигуры, придумать задачи, решать которые мы будем, опираясь на свои знания и опыт.

Поэтому тема проекта звучит так: «Прямоугольный параллелепипед».

Цель проекта: исследовать назначение темы «Прямоугольный параллелепипед» в курсе математики, создать макет замка из моделей пря -моугольных параллелепипедов и использовать его для решения прикладных задач.

Задачи проекта:

1. Изучить литературу по данной теме и литературу, необходимую для изготовления замка и сада.

2. Изготовить из уже имеющихся моделей прямоугольных параллелепипедов замок с башнями и садом жителей этого замка.

3. Придумать сказочные истории и прикладные задачи, используя приготовленный замок, знания и умения.

4. Для каждой задачи произвести соответствующие измерения и исследования , решить их.

5. Сделать вывод и подготовить презентацию проекта на компьютере.

3

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………….3

Глава 1. Что мы знаем про прямоугольный параллелепипед и куб как геометрические тела?……………………………………………………………..4

1.1. Поверхность прямоугольного параллелепипеда, его элементы……….4

1.2. Почему прямоугольный параллелепипед и куб - «братья»?..................4

1.3. Объём прямоугольного параллелепипеда и куба……………………….6

1.4. Другие формулы…………………………………………………………..7

Глава 2. Изготовление замка и его жителей……………………………………8

2.1. Фундамент…………………………………………………………………8

2.2. Стены и башни. ……………………………………………………………8

2.3. Сад. …………………………………………………………………………8

2.4. Жители замка: Прямоугольный Параллелепипед иКуб……………….10

Глава 3. Сказочные истории о Прямоугольном Параллелепипеде и Кубе…12

3.1. История первая…………………………………………………………..12

3.1.1. Задача № 1…………………………………………………………12

3.1.2. Решение задачи……………………………………………………12

3.2. История вторая…………………………………………………………..13

3.2.1. Задача № 2…………………………………………………………13

3.2.2. Решение задачи……………………………………………………13

3.3. История третья…………………………………………………………..14

3.3.1. Задача № 3…………………………………………………………14

3.3.2. Решение задачи……………………………………………………14

Заключение ……………………………………………………………………15

Список литературы

Приложения

Глава 1. Что мы знаем про прямоугольный параллелепипед и

куб?

1.1.Поверхность прямоугольного параллелепипеда и его элементы.

вершина грань-

прямоугольник

ребро Рис.1

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью прямоугольного параллелепипеда.

Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны. Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани - боковыми.

Стороны граней называют рёбрами параллелепипеда, а вершины граней - вершинами параллелепипеда.

У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения - длину, ширину и высоту.

1.2.Почему прямоугольный параллелепипед и куб - «братья»?

грань - квадрат

Рис.2

Куб - это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. Поэтому поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.

4

Сопоставим прямоугольный параллелепипед и куб:

• у куба 12 рёбер и у прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер;

• у куба 8 вершин и у прямоугольного параллелепипеда 8 вершин;

• у куба 6 граней и у прямоугольного параллелепипеда 6 граней;

• у куба грани - это квадраты, а у прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

Рис.3

Спросим у восьмиклассников: «Что такое квадрат?»

Ответ: «Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны».

A B M N

D C Q P

Квадрат Прямоугольник Рис.4

AB=BC=CD=AD MN=QP, PN=QM

5

Песенка о кубе: Ты с кубом знаком?

Ну, конечно же да,

В кубики с детства

Играл ты.

В кубе 6 граней.

Запомни всегда:

Грани эти - квадраты.

Рёбер - двенадцать

И восемь вершин.

По ним путешествие

Мы совершим.

1.3. Объём прямоугольного параллелепипеда и куба.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда малыми латинскими буквами а, b, c.

Тогда объём прямоугольного параллелепипеда будем находить по формуле: V=abc

3

Объём куба, соответственно, по формуле: V=a

Примеры:

1)

V=abc

Если а=4см, b=3см, с=5см, то

V=4х3х5=60(куб. см)

с

Рис.5

а 3

2) V=a

3

Если а=3см, то V=3 =3х3х3=27(куб. см)

a

a

а

а

а Рис.6

6

1.4. Другие формулы.

Зная уже, что гранями прямоугольного параллелепипеда и куба служат прямоугольник и квадрат, мы получим формулы для вычисления площади их поверхностей, суммы длин всех рёбер.

Пусть l - сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда или куба.

В прямоугольном параллелепипеде по четыре равных ребра, тогда

l=4a+4b+4c=4(a+b+c)

l=4(a+b+c)

В кубе двенадцать равных рёбер, значит,

l=12a

Пусть Sпов. - площадь поверхности куба или прямоугольного параллелепипеда, S1, S2,S3 - площади соответствующих граней. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны, значит,

Sпов= 2S1+2S2+2S3=2(S1+S2+S3)

Sпов.= 2(S1+S2+S3) -

площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Sпов=6Sкв. -

Площадь поверхности куба.

7

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Орган местного самоуправления

«Управление образования города Каменска-Уральского»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 35»

Прямоугольный параллелепипед

Исполнители:

Ермакова Алёна,

Зюбанова Анна,

учащиеся 5 «Б» класса

средней школы № 35

Руководитель:

Бикбулатова Д. Г.,

учитель математики

Каменск - Уральский

2009

Список литературы

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Учебник для 7-9 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2003

2. Атанасян Л. С. Геометрия: Учебник для 10-11 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2005

3. Виленкин Н. Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2005

4. Проснякова Т.Н. Творческая мастерская: Учебник для 4 класса. - Самара: Корпорация «Фёдоров» , Издательство «Учебная литература», 2006

Глава 2. Изготовление замка и его жителей.

2.1. Фундамент.

Для фундамента замка использован планшет прямоугольной формы с измерениями 50см Х 70см. Мы обтянули его обоями весёлой расцветки. И фундамент готов.

2.2. Стены и башни.

Мы использовали много моделей прямоугольных параллелепипедов, которые смастерили пятиклассники. Из них и склеяны башни. Из белой бумаги вырезали 84 окна и 7 ворот.

окно ворота

2.3. Сад.

Деревья мастерили по специальной книге.

Деревья с кудрявой кроной. Начертили на листе плотной бумаги четверть круга с радиусом 15-20 см. Вырезали и разделили пополам. Свернули и склеили конус.

Рис.7

8

На квадратах тонкой бумаги 10х10 см сделали надрезы на расстоянии 5 мм, не доходя до края 2-3 см.

Рис.8

Завили полоски с помощью карандаша и свернули заготовку в трубочку, промазали клеем и одели на ствол.

Деревья с ажурной кроной. Склеили конус из одной восьмой части круга. Из тонкой бумаги вырезали круг радиусом 7-8 см. Сложили его пополам последовательно 3 раза.

Нарисовали на нем ряд линий на расстоянии 1 см одна от другой так, чтобы они не доходили 5 мм до противоположного края. Такой же ряд линий должен идти и от другого края. Выполнили надрезы по этим линиям.

Рис.9

Поместили середину круга на вершину конуса и потянули его противоположные края одновременно вниз. Выбрали размер кроны и подклеили края круга к конусу.

Получилось 8 деревьев.

Внутри замка приклеем сначала траву из цветной бумаги, а затем 4 дерева с ажурной кроной, остальные - возле входа (смотри приложения).

9

2.4. Жители замка: Прямоугольный параллелепипед и Куб.

Подготовим развертки моделей прямоугольного параллелепипеда и куба.

Место крепления рук

Место крепления

ног

Рис.10 Развёртка куба

10

Место крепления рук

Место крепления ног

Рис.11 Развёртка прямоугольного параллелепипеда

Из ниток мулинэ сплетём косички: 4 - длиной 10 см, 4 - длиной 8 см. Закрепим их в отмеченных местах крепления ног - по две, в местах крепления рук - по одной.

Нарисуем на одной из граней лица после того как склеим.

Вырежем из плотной бумаги по 8 фигур для рук

и стоп

Приклеим их к косичкам из ниток так, чтобы их концы оказались внутри двух одинаковых фигур.

Герои сказочных историй готовы (смотри приложения).

11

Глава 3. Сказочные истории о Прямоугольном Параллелепипеде и

Кубе.

3.1. История первая.

Однажды… братья Куб и Прямоугольный параллелепипед обойти свои владения - это замок, в строительстве которого участвовали все пятиклассники. В нём три башни и сад. В первой башне их встретила неуютная обстановка. Они решили сделать ремонт. Им понадобилась помощь при подсчёте количества краски, которая потребуется на внутреннюю поверхность башни. Мы выполнили все измерения и решили следующую задачу:

3.1.1. Задача № 1.

Вычислить площадь внутренней поверхности первой башни, состоящей из трёх прямоугольных параллелепипедов с измерениями 10 см, 6 см, 14 см; 8 см, 6 см, 13 см; 7 см, 3 см 5мм, 10 см. Найти количество требуемой краски, если на 1 кв. см нужно потратить полграмма.

3.1.2. Решение задачи.

Sпов=2(S1+S2+S3)

a1=10 см, b1=6 см, c1=14 см;а2=8 см, b2=6 см, c2=13 см; a3=7 см,

b3=3 см 5 мм, c3=10 см

1) S=ab

S1=10х14=140(кв. см), S2=6x10=60(кв.см), S3=14x6=84(кв.см)

Sпов.1=2(140+84+60)=568(кв.см)

2) S1=13x8=102(кв.см), S2=13x6=78(кв.см),S3=8x6=48(кв.см)

Sпов. 2=2x(102+78+48)=476(кв.см)

3) S1=7x10=70(кв.см), S2=3,5x10=35(кв.см)S3=7x3,5=24,5(кв.см)

Sпов.3=2x(70+35+24,5)=259(кв.см)

Sпов.башни=568+476+259=1303(кв.см)

1303:2=651г 500мг

Ответ: потребуется 651г 500мг краски на ремонт башни, площадь внутренней поверхности которой 1303кв. см.

12

3.2. История вторая.

А во второй башне хозяева хранили удобрения для сада. Их запах заполонил всю башню и был неприятным. Мы посоветовали воспользоваться ароматизаторами. «А сколько нам таких чудинок потребуется?» - спросил Куб. И снова Кубу и прямоугольному параллелепипеду требуется наша помощь. Выполнив все измерения, мы решили и эту задачу:

3.2.1. Задача № 2.

Вычислить объём второй башни и стоимость ароматизатора, если на 11 куб. см потребуется 1 мл ароматизатора, он стоит 73 рубля. Эта башня состоит из трёх прямоугольных параллелепипедов с измерениями 14 см, 9 см, 6 см; 7 см, 5 см, 11см; 3 см, 2 см, 5 см.

3.2.2. Решение задачи.

Vбаш=V1+V2+V3

1) V=abc a1=14 см, b1=9 см, c1=6 см; a2=7 см, b2=5 см, c2=11 см; a3=3 см, b3=2 см, c3=5 см

V1=14x9x6=696(куб. см)

V2=7x5x11=385(куб. см)

V3=3x2x5=30(куб. см)

Vбаш=696+385+30=1111(куб. см)

2) 1111 : 11=101(мл) ароматизатора потребуется

3) 73x 101=7373(руб.) стоимость 101 мл ароматизатора

Ответ : 7373 рубля потребуется на покупку 101 мл ароматизатора для башни объёмом 1111 куб. см.

3.3. История третья.

Наконец-то… в третьей башне ждал их сюрприз. Башня светилась огнями. По периметру каждой стены была протянута гирлянда, стоимость 1 см которой они увидели в счёте, оставленном на входе. «Так сколько же денег надо приготовить?» - с таким вопросом обратился к нам за помощью Прямоугольный параллелепипед. И эту задачу мы решили, выполнив все измерения.

13

3.3.1. Задача № 3.

Вычислить длину гирлянды, протянутой по периметру граней трёх прямоугольных параллелепипедов третьей башни с измерениями: 8 см, 8 см, 12 см; 6 см, 7 см, 15 см; 4 см, 4 см, 8 см, а также её стоимость, если цена 1 см гирлянды - 8 рублей.

3.3.2. Решение задачи.

1) l - сумма длин рёбер башни

a1=8см, b1=8см, c1=12см; a2=6см, b2=7см, c2=15см; a3=4см, b3=4см, c3=8см

l1=4(8+8+12)=112(см)

l2=4(6+7+15)=112(см)

l3=4(4+4+8)=64(см)

2) 112+112+64=288(см) - длина гирлянды

3) 8х288=2304(руб.) - стоимость гирлянды

Ответ : стоимость 2м 88см гирлянды 2304рубля.

Здорово, что,

попав в такие чудесные истории,

мы смогли помочь их героям, потому что мы знаем, как это сделать!

14

Заключение

Таким образом, изучив литературу по данной теме, мы обобщили и представили материал в самом проекте. Изготовили замок с башнями и садом. Сделали развёртки моделей и сами модели прямоугольного параллелепипеда и куба. Придумали сказочные истории и интересные задачи и решили каждую, выполнив все соответствующие измерения. Приготовили компьютерную презентацию проекта.

Выполненная нами композиция украсит кабинет математики и заинтересует других учащихся исполнением подобных работ по иным темам. Мы рады, что можем сами выбирать тему по математике и другим предметам для самостоятельного изучения и исследования. Это интересно.

15