МБОУ «Азовская СОШ «Образовательно-воспитательный центр»

Я

МАЛО - НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

ШУРЫШКАРСКИЙ РАЙОН

Муниципальное общеобразовательное учреждение - Азовская средняя школа

629651, ЯНАО, Шурышкарский район, с. Азовы,

пер. Школьный 8

Системы счисления

( Программа факультативного курса по математике для 7 класса)

Автор: учитель Ильина Вера Филипповна

2015

Программа курса

Пояснительная записка

Электронные вычислительные машины, широко используемые в настоящее время, служат для преобразования числовой информации или информации другой природы, но записанной в числовом виде. Поэтому на начальном этапе знакомства учащихся с ЭВМ полезно рассмотреть системы счисления и арифметические основы электронно - вычислительной техники.

Содержание курса «Системы счисления» включает вопросы, связанные с историей возникновения систем счисления, с выполнением арифметических действий в различных системах счисления и с переводом чисел из одной системы счисления в другую. Показаны преимущества двоичной системы счисления перед другими в практике разработки электронной вычислительной техники.

Изучение этого материала имеет общеобразовательное значение. Рассматривая различные системы счисления, учащимся можно показать, что развитие счета - исторически сложившийся процесс, возникший и развивающийся в зависимости от потребностей общества.

Курс рассчитан на 17 часов (1 полугодие). Для выработки у учащихся необходимых умений на занятиях решаются практические задачи.

1. Организационно-методический раздел

Цель курса: расширить математические знания учащихся.

Задачи курса:

1. Познакомить учащихся с историей появления числа, различными системами счисления.

2. Научить учащихся переводить числа из одной системы счисления в другую.

3. Научить учащихся некоторым действиям в различных системах счисления.

4. Развивать способности учащихся в математической деятельности.

5. Способствовать развитию у учащихся интереса к математике.

Требования к уровню освоения содержания курса.

Административной проверки усвоения материала курса «Системы счисления» не предполагается, соответствующие задачи не будут включаться в административные контрольные работы, выноситься на экзамены. Учитель может провести обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень усвоения изучаемых вопросов.

Распределение часов курса по темам.

Данный курс предполагает 17 тематических занятий.

Тематический план курса

№

Тема

Количество часов (а/ч)

Форма проведения

Образовательный продукт

Всего

Лекции

Практика

1

Вводное занятие. История появления числа. Римские цифры.

1

1

Лекция

Конспект

2

Различные системы счисления.

1

1

Лекция

Конспект

3

Развитие систем счисления. Решение задач.

2

4

Двоичная система счисления. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и обратно.

2

0,5

1,5

Лекция

Беседа

Практикум

Конспект

Решенные задачи

5

Сложение и вычитание в двоичной системе счисления.

2

0,5

1,5

Лекция

Беседа

Практикум

Конспект

Решенные задачи

6

Умножение и деление в двоичной системе счисления.

2

0,5

1,5

Лекция

Беседа

Практикум

Конспект

Решенные задачи

7

d- ичные системы счисления.

1

1

Лекция

Конспект

8

Перевод числа из десятичной в d- ичную систему счисления.

2

0,5

1,5

Лекция

Беседа

Практикум

Конспект

Решенные задачи

9

Действия с d - ичными числами.

2

0,5

1,5

Лекция

Беседа

Практикум

Конспект

Решенные задачи

10

Итоговое занятие.

2

2

Практикум

Самостоятельная работа

Итоговая самостоятельная работа

2. Содержание курса

Тема 1. История появления числа. Римские цифры.

Язык математики вырабатывался на протяжении многих столетий. Остаются в употреблении, распространяются и становятся постепенно общепринятыми наиболее универсальные, лаконичные, удобные в обращении средства этого языка. Это относится и к самому основному понятию, возникшему при зарождении математики, - понятию числа. История числа. Запись чисел с помощью римских цифр.

Тема 2. Различные системы счисления.

Знакомство с различными системами счисления: двоичной, шестеричной, древневавилонской шестидесятеричной, позиционной десятичной.

Тема 3. Развитие систем счисления.

Эволюция способа счета и нумерации у разных народов. Недостатки аддитивных систем счисления, римской системы, переход к позиционной системе счисления. Решение задач.

Тема 4. Двоичная система счисления. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и обратно.

Запись чисел в двоичной системе счисления. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Практикум.

Тема 5. Сложение и вычитание в двоичной системе счисления.

Примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления. Практикум.

Тема 6. Умножение и деление в двоичной системе счисления.

Примеры умножения и деления в двоичной системе. Практикум.

Тема 7. d- ичные системы счисления.

Пусть d - некоторое натуральное число. Примем это число за основание d-ичной системы. Для записи любого натурального числа в такой системе требуется d цифр. Примеры записи чисел в 8-ричной, 5-ричной, 16-ричной системах счисления.

Тема 8. Перевод числа из десятичной в d- ичную систему счисления.

Рассмотрение различных способов перевода чисел из десятичной в d - ичную систему счисления. Примеры. Практикум.

Тема 9. Действия с d - ичными числами.

Сложение, вычитание , умножение чисел. Таблицы сложения и умножения в8 - ричной и 3 - ичной системах счисления. Практикум.

Тема 10. Самостоятельная работа. Итоговое занятие.

2. Учебно-методическое обеспечение курса

Литература для учащихся

1. И.Л.Никольская. Факультативный курс по математике 7-9. М.: Просвещение,1991.

Литература для учителя

1. Газета «Математика» №10, 1998г.

2. И.Л.Никольская. Факультативный курс по математике 7-9. М.: Просвещение,1991.

3. Петраков И.С. Математические кружки в 8 - 10 классах. М.: Просвещение, 1987.

Лекция 1 «История появления числа. Римские цифры»

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один предмет или много предметов. Прошло очень много времени, прежде чем появилось число два. Наиболее простой «счетной машинкой» издавна были пальцы рук и ног. Запомнить большие числа трудно, и поэтому к «счётной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Например, перуанцы использовали разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Веревочные счеты с узелками употребляли в России, а также во многих странах Европы. До сих пор еще практикуется завязывание узелков .на памяти. Первыми «записями» чисел были зарубки на палке или на дереве. Однако с помощью черточек большие числа не запишешь, да и читать их трудно и долго. Около пяти тысяч лет назад у разных народов (в Вавилоне, Египте, Китае) появился новый способ записи чисел - с помощью особых знаков - цифр. В древнем Египте как и теперь, счет велся десятками, но запись чисел была очень громоздкой и неудобной. В России арабские цифры стали применять в ХVIII веке. До этого наши предки использовали римскую нумерацию, в которой определенные знаки обозначали числа при счете. Со временем эти знаки видоизменялись и приняли «современный» вид: 1 - 1, V - 5, Х - 10, L - 50, C- 100, D - 500, М - 1000. Остальные числа записываются с помощью этих символов, В основе римской нумерации использован принцип сложения: VI = V + I = 6,и принцип вычитания: IХ = Х - I = 9,т.е. если знак меньшего числа стоит перед большим, то для определения числа из большего числа вычитают меньшее; если числа стоят в порядке возрастания, то они складываются. С числами римской нумерации очень трудно производить арифметические действия. Сами римляне пользовались при таких операциях специальной счетной доской - абаком. Поэтому в настоящее время римские цифры используют только для нумерации пунктов текста, обозначения веков и т. д. Рассмотрим еще два примера: записать арабскими цифрами число, записанное в римской нумерации как ХХII и ХIV. Имеем
ХХII = Х + X + 1 +1 = 22; ХIV = Х + V - I = 14.

Практикум. 1. Записать арабскими цифрами : XXV; CXIV;XCII; MLDIX.

2. Записать римскими цифрами: 47, 92, 2164, 3068.

3. В данных неверных равенствах переложите по одной спичке, чтобы все они стали верными:
а) VI - IV = IХ; г) Х + Х = I;
б) VI - IV = XI; д) Х - IХ = VI
в) VI + IV= ХII; е) VIII + IV = ХVII.

Лекция 2 «Различные системы счисления»

Язык математики - ее основные понятия и обозначения - вырабатывался на протяжении многих столетий. Остаются в употреблении, распространяются и постепенно становятся общепринятыми наиболее универсальные, лаконичные, удобные в обращении средства этого языка. Это относится и к самому основному понятию, возникшему при зарождении математики,- понятию числа. Способы записи чисел называются системами счисления.

Конечно, прежде всего речь идет о записи натуральных, т. е.целых положительных чисел 1, 2, 3, 4 ,…., а затем - о записи рациональных (дробных) и других чисел.

Мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления. Записывая число, скажем, 256, мы обычно не задумываемся, что означает каждая цифра: ясно, что последняя цифра б - это число единиц, 5 - число десятков, 2 - сотен, так что 256 - это короткая запись числа 2•100+510+6. Десятичная система стала сейчас общепринятой повсюду в мире. Но в глубокой древности у многих народов складывались свои традиции записи чисел и действий с ними - они возникали и развивались вместе с практическими потребностями, такими, как подсчет и нумерация предметов, измерение различных величин, торговля. И сейчас наш мир вовсе не стал однообразно-десятичным. Многие предметы обихода - ложки, чашки, стулья - обычно считают не десятками, а шестерками или дюжинами.

Вавилоняне считали не десятками, а шестидесятками, т. е. 60 единиц составляют одну единицу следующего разряда. Например, число 185 они представляли как три раза по 60 и один раз пять. Таким образом, это число записывается всего с помощью двух знаков, один из которых обозначает, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц: 185₁₀ = З5₆₀. От шестидесятиричной системы осталось измерение времени: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с.

Еще совсем недавно у некоторых племен Австралии и Полинезии существовало всего два числа: «урапун» (один) и «окоза» (два). Чтобы назвать числа большие двух, островитяне говорили так: «окоза-урапун» (три), «окоза-окоза» (четыре), «окоза-окоза-урапун» (пять) и «окоза-окоза-окоза» (шесть). О числах, начиная с семи, туземцы говорили «много». Таким образом, каждое число можно было выразить используя только два знака; окоза и урапун. Такая система счисления послужила началом двоичной системы, так как все числа выражались с помощью двух знаков: О и 1.

Лекция 3 «Двоичная система счисления. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и обратно»

Разнообразие систем счисления имеет не только исторический интерес. Хотя свойства чисел не зависят, конечно, от способа записи, но в некоторых задачах удобнее представлять числа не в десятичной, а в другой системе. Особенно многочисленны применения двоичной системы, использующей всего две цифры - О и 1. Главное из этих применений - современные электронные вычислительные машины (ЭВМ) и системы передачи информации, в которых используются миниатюрные элементы с двумя устойчивыми состояниями.
Двоичной системой счисления пользовались многие первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по-настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц. Нуль для Лейбница был символом пустоты, единица - символом материи. Он полагал, что нуль и единица в равной степени необходимы создателю, потому что Вселенная, состоящая из одной лишь материи, была бы неотличима от пустой, которую символизирует нуль.

Рассмотрим двоичную систему счисления подробнее. Все числа в этой системе счисления записываются с помощью двух знаков: О и 1. Число, выражающееся в десятичной системе счисления знаком 2, в двоичной записывается с помощью двух как 10. Таким образом, можно установить следующее соответствие между числами десятичной и двоичной систем:
0₁₀= 0₂, 1₁₀= 1₂, 2 = 10₂, 3₁₀= 11₂, 4₁₀= 100₂, 5₁₀= 101₂, 6₁₀= 110₂, 7₁₀= 111₂ и т. д.

234= 200 + 30 + 4= 2100 + 3.10 + 4 =

= 2' 102 + 3• 10 + 4. I0.

110112 = 12 + 1•2 + 0.22 + 1.21 + 1'2°.

Попробуем найти правило, с помощью которого можно легко переводить из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Разложим число десятичной системы счисления на разрядные слагаемые:

234₁₀= 200 + 30 + 4 = 2 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 4 = 2 ∙ 10² + 3 ∙ 10¹ + 4 ∙ 10⁰.

Аналогично разложим число в двоичной системе счисления на разрядные слагаемые:

Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную, нужно сложить те степени двойки, которые встречаются с единичным коэффициентом, т. е.

Чтобы десятичное число 27 перевести в двоичную систему, нужно проделать обратную процедуру, Поделив 27 на 2, получим 13 и в остатке 1. Этот остаток и является самой правой цифрой двоичного числа. Поделив 13 на 2, получим б и в остатке 1. Эта цифра будет находиться на втором месте справа. Затем нужно поделить б на 2 - получим З и в остатке получим ноль, поэтому на третьем месте справа следует написать 0. Самая левая цифра получается так: 2 входит в 1 нуль раз, а остаток равен 1.

Пример. Перевести число 325 из десятичной системы в двоичную. Записи удобно делать так:

Результат от деления

Остаток от деления

325

1

162

0

81

1

40

0

20

0

10

0

5

1

2

0

1

1

Таким образом, 325₁₀ = 101000101₂.

Практикум.

Лекция 4 «Сложение и вычитание в двоичной системе счисления»

Объяснение ведется совместно с учащимися на основании проведенного ими дома исследования. К арифметическим действиям мы привыкли настолько, что выполняем их автоматически, почти не задумываясь о том, что мы делаем. Но те же действия требуют немалого напряжения, если мы выполняем действия над числами, написанными в недесятичной системе счисления. Складываем так же, как и в десятичной системе, т. е. по разрядам, начиная с единиц.

Пример. Выполнить сложение в двоичной системе счисления

Имеем 1 + 1 = 2, но в двоичной системе цифры 2 не существует, поэтому мы ее не можем записать: два уже есть единица более высокого разряда (в данном случае десятков). Значит, в сумме нет единиц; пишем О, а единицу следующего разряда удерживаем в уме.

Выполняем сложение десятков: 1 + О = 1, да еще один десяток, удерживаемый в уме всего 2. В десятки пишем О и одну единицу следующего разряда удерживаем в уме. Складываем сотни: 1 + 1 = 2, да еще 1 сотня, удерживаемая в уме, - всего З единицы третьего разряда; З мы записать не можем, поэтому записываем 1 сотню, а две сотни двоичной системы составляют одну тысячу, одну тысячу удерживаем в уме. Одна тысяча да еще одна, удерживаемая в уме, - ноль пишем, а одна единица высшего разряда записывается в десятки тысяч. Сложение закончено.

Практикум.

Лекция 5 «Умножение и деление в двоичной системе счисления»

Мы убедились, что строение двоичной системе счисления аналогично десятичной, и все действия изводятся аналогично соответствующим действиям в десятичной системе. Рассмотрим действие умножения , которое выполняется аналогично соответствующему действию в десятичной системе, учитывая, что в двоичной системе счисления: 1∙ 1 = 1,

1∙ О = 0, 0 ∙1= 0.

Пример.

Проверим выполненное умножение делением:

Практикум.

Лекция 6 «d - ичные системы счисления»

Лекция 7 «Перевод числа из десятичной в d - ичную систему счисления»

Лекция «Действия с d - ичными числами»

Практикум.

Дополнительная информация

Связь по телефону +79088628462.

Отправка решений практических заданий на адрес [email protected].