Открытый урок по математике на тему Правильные многогранники

Министерство образования и науки Челябинской области

Карабашский филиал ГБОУ СПО (ССУЗ) «КПГТ»

Разработка открытого урока Математика (геометрия) -1 курс

Тема: «Правильные многогранники»

Преподаватель математики Васильева Надежда Сергеевна

Дата проведения: март 2015 г.

Г.Карабаш

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л.Кэрролл

Оборудование: Комплект геометрических фигур (многогранники и тела вращения), проектор, компьютер, чертежные инструменты, диск с презентацией.

Цели:

1 Воспитательная - прививать интерес к математике, вырабатывать навыки аккуратности, ответственности, продолжить развитие навыков самоконтроля и взаимоконтроля, мышления, речи, развивать математический и общий кругозор

Учебная -

1. Повторить и систематизировать знания студентов по теме «Многогранники»

2. Познакомить с новым типом выпуклых многогранников - правильными многогранниками

3. Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез

4. Показать связь геометрии с природой и другими науками

Прогнозируемый результат:

1. Знать определение правильных выпуклых многогранников;

2. Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел;

3. Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников;

4. Знать теорему Эйлера (без доказательства);

5. Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

План урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников

4. Правильные многогранники в философской картине мира Платона (сообщение учащегося)

5. Кубок Кепплера (сообщение учащегося)

6. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли (сообщение учащегося)

7. Формула Эйлера (исследовательская работа класса в парах)

8. Правильные многогранники на картинах великих художников

9. Правильные многогранники в природе (сообщение учащегося)

10. Решение задач

11. Подведение итогов урока

12. Домашнее задание

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный

Момент (2 - 3 мин)

1. Приветствие (начало общения - ключ к сотрудничеству)

2. Проверка присутствующих. Запись даты и темы в журнале и на доске.

3. Проверка готовности студентов к занятию. Проверка готовности кабинета к занятию.

4. Организация внимания. Подготовка студентов к общению и предстоящему занятию.

Обучающиеся слушают, записывают дату и необходимое в рабочую тетрадь.

Актуализация опорных знаний

(10-12 минут)

2.1 Сообщение темы, цели урока

Тема урока - не сообщаю, в ходе урока (проблемная ситуация) сами студенты должны сформулировать

- Вы уже знакомы с понятием многогранника -

-Дайте определение многогранника(из предложенных геометрических фигур убрать фигуры не являющиеся многогранниками

-Какой многогранник называется выпуклым? (из предложенных геометрических фигур убрать невыпуклые многогранники)

-

Также вы имеете представление о таких многогранниках , как призма и пирамида. Дайте определение призмы (Убрать из предложенных геометрических фигур призмы)

Дайте определение пирамиды (Убрать из предложенных геометрических фигур пирамиды)

Рассмотрим оставшиеся геометрические фигуры. Являются ли они многогранниками? Что их характеризует, объединяет? Какие многоугольники являются гранями данных многогранников? Как вы думаете как называются такие многогранники? Подходим к теме «Правильные многогранники»

Студенты отвечают на все вопросы и выполняют необходимые действия

Учитывая, что гранями правильных многогранников являются правильные многоугольники - проблем с формулировкой темы не бывает.

3.1 Изучение новой темы. (15 -20 мин)

Записываем определение правильного многогранника «Выпуклый многогранник является правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Может показаться, что вторая часть определения является лишней, но посмотрите на многогранник. (демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!) Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число ребер , сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых - четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник не является правильным. Таким образом, когда вы будете давать определение, помните о важности обеих его частей.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников (вспомните эпиграф к уроку). Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырехугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, правильные семиугольники и вообще n-угольники при n больше или равно 6 (доказательство этого утверждения проведет заранее подготовившийся студент.)

О том. как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях ученые. нам расскажут (Ю.Юмадилова, Е.Зуйкова, Г.Уразаева -«Правильные многогранники в философской картине мира Платона», «Кубок Кепплера», «Икосаэдро - додекаэдровая структура Земли» в сопровождении презентации )

А сейчас от научных гипотез перейдем к научным фактам

Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Ученые во все времена пытались найти закономерность во всех своих исследованиях, то же и в отношении правильных многогранников. Естественней всего найти связь между числом граней, ребер, вершин. Составим таблицу: (число граней, ребер, вершин правильного тетраэдра и куба посчитаем вместе а дальше каждая пара получает модель правильного многогранника ( октаэдр, додекаэдр, икосаэдр) и записывает данные в таблицу:

Подведение итогов, задание на дом.(2-3 мин)

Студенты записывают определение в рабочую тетрадь (3-4 мин)

Проверка второй части определения

(1 - 2 мин)

Выступление заранее приготовившегося студента (3-4 мин),

Далее студенты записывают с презентации определения правильных многогранников и перевод тетра-, гекса-, окта-, додека-, икоса-. (4 -5мин)

(Выступление учащихся 5-6 мин)

Исследовательская работа ( в парах) Подсчет числа граней, ребер, вершин предложенных правильных многогранников и заполнение таблицы, вывод формулы Эйлера (10 минут)

Презентация:

Правильный Тетраэдр Куб Октаэдр

Додекаэдр Икосаэдр

У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.

У куба (правильный гексаэдр) все грани - квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

У октаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани - правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Названия этих многогранников пришли к нам из древней Греции. В них указывается число граней :

«тетра» -4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«додека» - 12

«икоса» - 20

«эдра» - грань

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказывать, что других правильных многогранников, кроме перечисленных. не существует. Вспомните эпиграф урока.слова Л.Кэролла «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

О том. как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях ученые. нам расскажут (Ю.Юмадилова, Е.Зуйкова, Г.Уразаева -«Правильные многогранники в философской картине мира Платона», «Кубок Кепплера», «Икосаэдро - додекаэдровая структура Земли» в сопровождении презентации )

Год за годом ученый уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашел в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы (Кубок Кепплера).

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной , но истинные причины , по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кепплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

А сейчас от научных гипотез перейдем к научным фактам

Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Ученые во все времена пытались найти закономерность во всех своих исследованиях, то же и в отношении правильных многогранников. Естественней всего найти связь между числом граней, ребер, вершин. Составим таблицу: (число граней, ребер, вершин правильного тетраэдра и куба посчитаем вместе а дальше каждая пара получает модель правильного многогранника ( октаэдр, додекаэдр, икосаэдр) и записывает данные в таблицу:

Правильный многогранник

Число граней

Число вершин

Число ребер

Сумма граней и вершин

Разность Г+В-Р

Тетраэдр

4

4

6

8

Куб (Гексаэдр)

6

8

12

14

Октаэдр

8

6

12

14

Додекаэдр

12

20

30

32

Икосаэдр

20

12

30

32

В изменении числа граней, вершин и ребер никакой закономерности не наблюдается, но заполнив последний столбец, обнаруживаем, что выполняется равенство Г + В = Р + 2. Это формула, которую подметил Декарт уже в 1640 г, а позднее вновь открыл Эйлер в 1752 году , имя которого с тех пор она носит. Формула верна для всех выпуклых многогранников ( а не только правильных).

Запомните эту формулу. Она пригодится вам при решении некоторых задач.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония правильных многогранников. Леонардо да Винчи на картине «Тайная вечеря» изобразил Христа со своими учениками в помещении . которое имеет форму огромного прозрачного додекаэдра.

А теперь послушаем сообщение »Правильные многогранники и природа» (Э.Валеева), (демонстрация слайдов)

Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Домашнее задание: п.32, №274, №279

Литература

1. Геометрия , учеб.пособие для 10-11 кл., Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кардомцев и др - 5-е изд. - М.: Просвещение

2. Азевич А.И Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно - математический курс. М.: Школа - Пресс, 1998. (Библиотека журнала «Математика в школе» Вып.7)

3. Смирнова И.М. В мире многогранников. - М., 1990

4. Кованцов Н.И. Математика и романтика. - Киев, 1976

5. Шафрановский Н.И. Симметрия в природе, - Л.. 1998