Элективный курс по математике: Задачи исследовательского характера

Элективный курс по математике

для 11класса

Задачи исследовательского характера

Учитель: Белоус Оксана Николаевна

МБОУ «СОШ № 11» ИМРСК

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Одним из требований гуманизации общего образования является дифференцированный подход к организации учебной деятельности. Данный элективный курс предназначен для обучения учащихся 10-11 классов.

Необходимость дополнительного обучения математике обусловлена его объектом и методами научного познания. Объектом математики как науки являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Математика обеспечивает изучение других дисциплин, особенно физики, основ информатики и вычислительной техники, без знаний которых не может обойтись ни один образованный человек. Математические методы используют в своих исследованиях общественные науки: социология, психология, педагогика, филология и др. Чем выше уровень развития науки, тем больше она прибегает к математическим методам. Знание математических законов способствует формированию научного мировоззрения, развивает морально- эстетические качества личности. Именно математике отводится главная роль в формировании методов человеческого мышления: анализа и синтеза, индукции и дедукции, обобщения и конкретизации, классификации, систематизирования, абстрагирования, аналогии.

Математика - наука дедуктивная, поэтому она призвана научить школьников устанавливать причинно- следственные связи между явлениями, отделять существенные признаки понятий от несущественных; различать необходимые и достаточные условия существования объектов.

Практическую значимость математики школьники осознают, решая задачи различной степени сложности. В последнее время в школьной практике наметилась тенденция сокращения часов, отводимых в учебном плане на изучение математики. Вследствие чего на уроках не остается времени для решения задач повышенной сложности. Элективный курс направлен на расширение теоретических знаний учащихся при решении нестандартных задач исследовательского характера.

ЦЕЛИ КУРСА:

 Развитие интеллектуальных способностей старшеклассников: формирование нестандартного мышления, умений анализировать , обобщать.

 Систематизация и обобщение знаний по основным разделам алгебры; развитие умений применять эти знания на практике.

 Ознакомление с ролью математики в различных областях человеческого познания, в современной науке и производстве.

 Формирование и развитие морально-эстетических качеств личности, адекватных процессу математической деятельности.

 Организация самостоятельных исследований в области прикладной математике. Представление работ на школьную и городскую научно- практические конференции.

 Подготовка учащихся 10-11 классов к вступительным экзаменам в ВУЗы.

Отбор содержания основан на принципах научности, доступности, преемственности, практической направленности.

На занятиях рассматриваются различные способы решения задач и выбираются самые рациональные. Подбор задач способствует углублению теоретических знаний школьников. Содержание курса представлено тремя блоками: « Исследование алгебраических выражений. Решение уравнений и неравенств», «Задачи с параметрами», « Решение текстовых задач».

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Тема 1. Исследование алгебраических выражений с модулем. Решение уравнений и неравенств.

Модуль числа, геометрический смысл, алгебраическое определение, свойства. Модуль выражения. Арифметический квадратный корень, его свойства. Применение свойств √a²=│a│,к преобразованию иррациональных выражений. Тождественное преобразование выражений с модулем. Раскрытие модуля выражения по определению,методом интервалов. Решение линейных, квадратных, дробно- рациональных, логарифмических, показательных, тригонометрических уравнений и неравенств, в том числе содержвщих неизвестную под знаком модуля. Построение графиков функций с модулем.

Тема П. Задания с параметрами.

Параметр и переменная в алгебраических выражениях. Формулы элементарных функций. Зависимость свойств элементарных функций и расположения их графиков в системе координат от параметров , входящих в формулы. Исследование квадратного трехчлена. Аналитические приемы решения задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем. Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем, параметр и свойства решений. Графические приемы решения задач с параметрами: введение системы координат (х;а); параллельный перенос, поворот.

Тема Ш. Математическое моделирование при решении текстовых задач.

Математическая модель. Этапы математического моделирования. Представление натурального числа в десятичной системе, признаки делимости, простое, составное число. НОД.НОК. Множества чисел. Арифметическая и геометрическая прогрессии: определение, формула п-го члена, суммы п первых членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, формула п-го члена, сумма членов бесконечно убывающей прогрессии. Концентрация , процентный состав смеси и сплава, влажность, проба. Равномерное движение , его характеристики: скорость, время, расстояние. Движение по течению и против течения, в стоячей воде. Совместная работа , объем работы, производительность. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Выбор оптимального значения. Задачи прикладного характера.

Рассмотрим примеры задач исследовательского характера из курса алгебры.

Задача 1. Может ли корень уравнения ─3(х ─ 4) ─ b = х ─ 11 являться положительным числом? При каком условии?

Задача 2. Верно ли, что при любом значении k система уравнений

х² + у² = 9,

х ─ у = k. имеет единственное решение?

Задача 3. Могут ли не пересекаться графики функций

у = ах² + 3х ─ 4 и у = ах ─ 5?

Задача 4. Могут ли числа а, в, с быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий?

Задача 6. Существуют ли такие значения а, что уравнение (а² + а ─ 2) х = а ─ 1 не имеет корней?

Задача 7. Найти значения параметра m, при каждом из которых уравнение 2x² + 3x + m = 0 имеет два различных отрицательных корня.

Задача 8. Углом какой четверти является угол α, если sinα · cosα · tgα · ctgα ˃ 0?

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции g(x)=log₃(16-x²) на промежутке [0;√7].

Задача 10. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Задача 11. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Задача 12. Для каждого значения параметра а решить уравнение 2sin²x-(2a+1)sin x+a=0

Задача 13. При каком значении а касательная к параболе y=ax²+x-3 в точке М(1; а-2) параллельна прямой 3y-6x=1?

Задача 14. При каких значениях параметра а уравнение 4^х-2(3а-2)·2^х+5а²-4а=0 имеет два решения?

ЛИТЕРАТУРА

1. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

2. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами.

3. Громов А.И., Савчин А.Н. Методы решения задач по элементарной математики и началам анализа.

4. Дорофеев Г.В. Процентное вычисление.

5. Кривоногов В.В. Нестандарные задачи по математике.

6. Литинский Г.И. Функции и графики.

7. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.

8. Шклярский Д.О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики.

9. Тихонов А.Н., Костомаров Г.П. Рассказы о прикладной математике.

10. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. 10 класс.

11. Фирсов В.В. Избранные вопросы математики. 10 класс.

12. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа: учебно-методический комплекс для 10-11-й кл. (профильный уровень) / А.Г. Мордкович. М; Мнемозина

5

Белоус