Рабочая тетрадь по теме Уравнения и неравенства. Задачи с параметрами (11 класс)

16

Рабочая тетрадь

По теме

«Решение уравнений и неравенств. Задачи с параметрами»

Пояснительная записка

Назначение данной тетради - помочь обучающему в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математике.

Задачи с параметрами традиционно представляют для обучающихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед ними большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале.

К задачам с параметрами, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений и неравенств в общем, виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Главной методической особенностью тетради является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

В тетради задачи сформированы по основным темам алгебры :

- решение линейных уравнений;

- решение линейных неравенств;

- решение квадратных уравнений;

- решение квадратных неравенств;

- решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач.

В завершении каждой темы даны тесты для итогового контроля уровня знаний.

Обучающиеся должны:

Знать

Уметь

Понятия:

-параметр в уравнениях и неравенствах;

-линейное уравнение, неравенство;

- квадратное уравнение , неравенство;

"числовая окружность", единичная окружность, длина дуги окружности. Координата точки на числовой окружности, четверти окружности.

- решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;

- решать квадратные уравнения и неравенства с параметром;

- решать системы уравнений, неравенств с параметрами.

Тетрадь поможет обучающимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки и самопроверки уровня знаний и навыков решения задач с параметрами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/2009 с.60-68

1. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 2009 г. - 382 с.

2. Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. - М., Математика в школе, №6/2009 с.9-12

3. Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. - М.:АРКТИ 2010 - 48 с.

4. Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2011 с.60-62

I. Решение линейных уравнений с параметрами

Определение. Уравнение вида kx=b , где х - переменная , k и b -

некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм решения уравнения k(a)x =b(a)

Условие для поиска значений параметра «а»

Характеристика множества корней

1. k(a) - не имеет смысла

2. b(a) - не имеет смысла

3. 

Нет корней

1.

Один корень х =

1.

х- любое из R

1. Решите уравнение ax =1.

Решение: если а = 0 , то нет решений

если а  0 , то х =

Ответ: если а  0 , то х =

если а = 0 , то нет решения

2. Проанализируйте решение уравнения (а - 2) х = 3.

Решение:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________________

3. При каких значениях а, уравнение не имеет решений?

Решение : х  -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет

решение если а = -2

Ответ: при а = -2 нет решений

4. При каких значениях a, уравнение имеет решение?

Решение:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а -2, х = 2 .

5. Решите уравнение:

Обоснуйте решение ___________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Решите уравнение :

Решение: При х  2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х -2, откуда

х = а + 5 . Найдем значение а, при котором х =2, 2 =а + 5, а = -3.

Ответ: при а -3 , х = а + 5

при а = -3 нет корней.

7. Для каждого значения а решите уравнение: ах - 2х + а = 0

Решение:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а 2 , х =

при а=2 решений нет .

8. Найдете значения а , при каждом из которых уравнение а(3х-а) =6х - 4 имеет положительный корень.

Решение: ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а  (0;+)

9. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах - 4х -а² + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1.

Решение: 2ах - 4х - а² + 4а - 4 = 0

2(а-2) х = а² -4а +4

2(а-2) х = (а-2)²

При а = 2, 0 х = 0 решением будет любое число, в том числе и большее 1.

При а  2 х = , по условию х> 1, то > 1, а>4 .

Ответ : при а {2}  (4 ; +  ) .

10. При каких значениях а среди корней уравнения х - ах + а² - 1=0 есть корни больше 1?

Решение:_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а  (0 ; + ) .

11. Решите уравнение

Решение: если а =2, то ____________________________________________

если а = -3, то ____________________________________________

если а= -2 ,то ____________________________________________

если а 2 , а -2 , а -3 , то х = _____________________________

Ответ: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12. Решите уравнение (а²-1) х = а +1 .

Решение: ____________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: если а =1, то решений нет

если а = -1, то х - любое число .

если а  1, а  - 1, то х =

13. Решите уравнение | х -2 | + | х+а | = 0

Решение: т. к. каждое слагаемое не отрицательно, то решение этого

уравнения равносильно решению системы

Ответ: если а  - 2 нет решений

если а = -2, то х =2 .

14. При каких значениях а, уравнение |х+2| +|а(х-1)| = 0 имеет решение?

Обоснуйте решение: __________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: если а = 0, то х = -2 .

15. Обоснуйте и найдите значения а, при которых уравнение

(х- a +1)² - (х + a - 1) ² = 2х + 6 имеет отрицательный корень.

Решение: ___________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ : при а >

Тест 1

1. Решите уравнение mx + 2 = - 1 относительно х .

А. x = - , при m  0

Б. 1) при m = 0 корней нет;

2) при m  0 x =

В. 1) при m = 0 корней нет

2) при m  0 x = - .

2. Решите уравнение k(х - 4 ) + 2(х + 1) = 1 относительно х .

А.1) при k = -2 корней нет;

2) при k  -2 х =

Б.1) при k = - 2 корней нет

2) при k = x = 0

В.1) при k = 0 корней нет.

2) при k  0 х =

3) при k  -2 , k  х =

3. Решите уравнение 2а (а-2)х = а²-5а+6 относительно х .

А. 1) при а =2 х  R

2) при а =0 корней нет

3) при а  0 и а  -2, х =

Б. 1) при а =2 х  R

2) при а =0 корней нет

3) при а0 и а  2, х =

В. 1) при а=2 х  R

2) при а =0 корней нет

3) при а =3 х =3

4) при а 2, а  0, а 3 х =

4. При каких значениях b уравнение 1+2х -bх=4+х имеет отрицательное решение?

А.При b < 1 Б. При b > 1 В. При b < -2

II.Решение линейных неравенств с параметром

Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a)

Условия для значений параметра а .

Характеристика множества решений.

1.

Нет решений

2.

x>

3.

x>

4.

x - любое из R.

1 .Решите неравенство: (а-4) х +а-5>0.

Решение: (а-4) х>5-a.

если а>4,то х >

если а<4, то х<

если то х - любое из R .

если , то нет решений .

2.Обоснуйте при каких значениях а неравенство (а²-а-6)х > не имеет решений?

Решение:_____________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а  [ -2;2) {3}

3.Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.

Решение: если а=0,то 0х +1>0, 0x>-1 при любом х.

если а>0, то х>-

если a<0, то х<-

Ответ: при а=0 , х любое

при а>0, х>-

при a<0, то х<-

4. Решите неравенство а-а²х <-2.

Решение: если а=0, то _______________________________________________

___________________________________________________________

если а  0, то _______________________________________________

___________________________________________________________

Ответ: при а=0 , нет решений.

при а0, х >

5.Решите неравенство 4ах -5х +3>2ах+3х+11

Решение: ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: при а>4 , x>

при а<4, x<

при а=4, решений нет.

6. Решите неравенство |х+3| >-а²

Решение: если а=0, то |х+3|>0, значит х>-3 или х<-3

если а 0, то при любом х левая часть больше правой части.

Ответ: при а =0, х>-3 или х<-3.

при а0, х -любое.

7.Решите неравенство а(х-1)+4х-9>.

Решение: 1. если а>2 , то неравенство равносильно (а²+2а-15)х> а²+7а+10.

при а=3 ,то ________________________________________________

при а  (2;3),то ____________________________________________

___________________________________________________________

при а>3 ,то _________________________________________________

___________________________________________________________

2. если а< 2, то неравенство равносильно (а²+2а-15)х < а²+7а+10.

при а=-5 ,то_________________________________________________

при а< -5, то ________________________________________________

___________________________________________________________

при а(-5;2), то _____________________________________________

___________________________________________________________

Тест 2

1.При каких значениях a неравенство ax - a² +9 >0 не имеет решений?

А. a=0 Б. В.

2. При каких значениях b неравенство выполнимо при любом значении x?

А. b=2, Б. b<2 В. b2,

b=-2. b-2.

3. При каких значениях а неравенство ax-2x+a>0 справедливо при любом x?

А. a>2 Б. В.

4. При каких значениях а неравенство 4ax -5x+3>2ax+3x+11 не имеет решения?

А. a>4 Б. a<4 В.a=4

Решения и ответы

1. Решение линейных уравнений.

№2 (a-2)x =3, если a=2, то нет решений, если a2, то x=.

№4 , , следовательно, при a-2 x=2.

№5 , если a=2, то нет решений

если a2, то x = a.

№7 ax -2x +a = 0, (a-2)x =-a, , если a=2, то нет решений

если a2, то .

№8 a(3x-a) = 6x-4

3ax -a² = 6x-4

(3a-6)x = a² -4

при , то .

№10 x - ax + a ² -1 =0

(1-a)x=1- a ²

если a=1, то 0x=0, x - любое, в том числе и больше 1;

если a1, то x=1+ a, по условию x>1, то a+1>1, т.е. a>0

при есть корни больше 1.

№11 если a=2, то 0x=0, x - любое

если a=-3, то x=0

если a=-2, то 0x=0, x - любое

если a2, a-2, a-3, то x= a+3

№12 (a² -1)x = a + 1

(a-1)(a+1)x = a +1

если a=-1, то 0x=0, x - любое

если a=1, то 0x=2 - нет решения

если a-1, a1, то x=.

№14 уравнение

решение равносильно решению системы , значит,

при a=0, то x=-2

№15

2x -2bx - 2bx + 2x = 2x+6

x-2bx=3

, т.к. x<0, то ,

при , x<0

ТЕСТ №1

Номер задания

1

2

3

4

Код верного ответа

В

А

Б

Б

II.Решение линейных неравенств с параметрами.

№2 1), т.е. при нет решений

2)

при неравенство не имеет решений

№4 если a=0, то нет решений

если a0, то

№5 равносильно

, если , нет решений

если , то

если , то

№8 1) если , то

при нет решений

при

при

2) если , то

при

при

ТЕСТ №2

Номер задания

1

2

3

4

Код верного ответа

Б

А

Б

В