Факультативный курс Уравнения с параметром (10 класс)

Программа

Элективного курса по математике

«Уравнения с параметром» (10 класс).

Автор Т.Ю.Сарычева.

Пояснительная записка.

Уравнения с параметром часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, в последние годы такие задания предлагаются на школьных выпускных экзаменах и часто оказываются не под силу учащимся. Это происходит потому, что у большинства учащихся нет свободы в общении с параметром.

Школьные учебники практически не содержат материал на эту тему, не предусматривают выработки прочных навыков решения задач с параметром для всех учащихся.

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой-конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны -параметр является величиной постоянной, а с другой -он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении -это неизвестная величина, «переменная постоянная величина». Этот «каламбур» и отражает те сложности, которые необходимо преодолевать ученикам.

Углубленное изучение данной темы может быть достигнуто с помощью элективных курсов.

Цели: дать основные положения и определения; ознакомить с решением простейших уравнений с параметром; научить решать задачи с параметром более сложного порядка.

Задачи: развитие математического интереса, расширение математического кругозора.

Учащиеся должны знать:

• Основные положения и определения, основные приёмы и методы решения уравнений с параметром;

• Уметь решать простейшие уравнения с параметром, уравнения второй степени и сводящиеся к ним; уравнения высших степеней.

• Владеть основными приёмами и навыками решения уравнений с параметрами.

Учебно-тематический план.

№п\п

Наименование разделов и тем

Всего часов

Форма контроля

1

Основные положения и определения. Решение простейших уравнений с параметром.

1

собеседование

2

Линейные уравнения с параметром и уравнения, сводящиеся к ним.

2

зачёт

3

Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям

2

зачёт

4

Графический способ решения уравнений с параметром.

2

зачёт

5

Уравнения высших степеней.

2

зачёт

6

Итоговая аттестация.

1

Тестовый контроль

7

ИТОГО:

10

Содержание:

Тема 1. Основные положения и определения. Решение простейших уравнений с параметром. (1 час)

На первом уроке учащиеся знакомятся с основными положениями и определениями. Узнают, что наличие параметра в уравнении предполагает постановку задачи: для каждого допустимого значения a решить уравнение относительно х. Учатся правильно записывать ответ, в котором предполагается отразить, при каких значениях параметра существуют или не существуют решения.

Изучение уравнений с параметром начинается с решения простейших уравнений без ветвлений. Подобные упражнения позволяют привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

Тема 2. Линейные уравнения с параметром и уравнения, сводящиеся к ним.

(2 часа)

Учащиеся знакомятся с линейными уравнениями с параметром и уравнениями, сводящимися к линейным. Учащиеся должны понять, что при решении таких уравнений необходимо:

• нахождение области допустимых значений параметра;

• выявление, при каких значениях параметра выражение относительно х обращается в нуль;

• запись уравнения для каждого значения параметра, нахождение его решения.

Тема 3.Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. (2 часа)

При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей.

• вербальная модель - словесное описание задачи;

• геометрическая модель - график квадратичной функции;

• аналитическая модель - система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Необходимо добиться, чтобы ученики устанавливали связь между этими моделями.

Задачи необходимо решать по следующему алгоритму:

1. уравнение записывают в стандартном виде;

2. выбирают контрольное значение параметра (Д=0,Д>0, Д<0,а=0,а>0,а<0) и те значения параметра, при которых квадратный трёхчлен становится неполным.

3. для каждого случая строят параболу (геометрическую модель);

4. геометрическую модель описывают системой неравенств (аналитическая модель);

5. решают систему неравенств.

Решение уравнений становится более наглядным, более доступным, если использовать геометрическую интерпретацию.

Тема 4. Графический способ решения уравнений с параметром. (2 часа)

При решении задач на определение количества решений уравнений параметром более уместен графический способ. Он удобен, более красив и экономичен. Ответ на вопрос о числе корней уравнения в зависимости от параметра даёт количество точек пересечения графиков функций, стоящих в разных частях уравнения.

При этом способе развивается логическое мышление, повторяются необходимые знания по построению графиков логарифмической, показательной, квадратичной функций, и обратной пропорциональности.

Тема 5.Уравнения высших степеней. ( 2 часа)

При решении уравнений высших степеней используются известные методы решения рациональных уравнений, позволяющих сводить их к равносильной совокупности уравнений более низких степеней (линейных, квадратных).

Итоговая аттестация: тестовый контроль 1 час.

Литература.

1. Математика в школе № 2, 1995.

2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. Просвещение, 1988.

3. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., Просвещение, 1986.

4. Мордовина Е.Е. Уравнения и неравенства с параметром. Тамбов, 2002.

5. Мордовина Е.Е. Исследование корней трёхчлена второй степени с параметром. Тамбов, 2002.

Тема 1.

Основные положения и определения. Решение простейших уравнений с параметром.

Дано уравнение

F(x,a)=0. (1)

Определение. Переменная (в нашем случае а), которая при решении уравнения считается постоянной, называется параметром.

Определение. Уравнение вида (1), где а - параметр, х - действительная переменная, называют уравнением с одной переменной, содержащим параметр.

Наличие параметра в уравнении предполагает следующую постановку задачи: для каждого допустимого значения а решить уравнение относительно х.

Форма записи ответа должна отражать, при каких значениях параметра существуют (или не существуют) решения и каковы они. В связи с этим она обычно имеет разветвлённую структуру.