Методическое пособие Методы решения линейного уравнения с параметрами

Министерство обороны Российской Федерации

Федеральное государственное общеобразовательное учреждение

«Оренбургское президентское кадетское училище»

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.

(Методические рекомендации для преподавателей и воспитанников)

Преподаватель

математики высшей категории

Зевина Елена Петровна

Оренбург

2011г.

УДК 372

Зевина Е.П.: Методы решения линейных уравнений с параметрами. Методическое пособие для воспитанников и преподавателей.

-Оренбург: ФГКОУ Оренбургское ПКУ,-20с.

Учебное пособие содержит линейные уравнения с параметрами, при решении которых возникают наибольшие затруднения во время изучения алгебры 7 класса. Методам решения таких уравнений в общеобразовательном учреждении уделяется мало внимания, и целью данного пособия является помочь воспитанникам в устранении этого пробела. Пособие может быть полезно преподавателям для работы на индивидуальных занятиях с воспитанниками.

Рассмотрено на заседании методического совета ФГКОУ Оренбургского ПКУ.

© ФГКОУ «Оренбургское президентское кадетское училище», 2012г.

Содержание

1. Введение…………………………………………………………... 4

2. Уравнения с параметром………………………………………….4

3. Простейшие уравнения с параметром…………………………….7

4. Графический способ решения линейного уравнения с параметром……………………………………………………… 10

5. Линейное уравнение, содержащее дробные коэффициенты…..13

6. Линейное уравнение, содержащее знак модуля……………… ..15

7. Алгоритм решения линейного уравнения с параметром………18

8. Примеры уравнений с параметрами из школьного учебника…18

9. Задачи для самостоятельного решения………………………….19

10. Литература ………………………………………………………..20

Введение

При изучении различных закономерностей часто приходим к решению уравнений. В школьном курсе математики в системе изучаются методы решения алгебраических уравнений, неравенств и их систем. Наибольшие затруднения вызывают уравнения с параметрами, поскольку наличие параметра предполагает решение не по аналогии и не по шаблону. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание логики решения, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Решение уравнений с параметрами требует исследования. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких уравнений. В учебном процессе решение уравнений с параметрами предусматривается, но крайне редко, не в системе, и поэтому у учащихся зачастую не сформированы навыки их решения. Один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. В данном пособии будут предложены рекомендации, которые помогут понять логику решения линейных уравнений с параметрами. Данная статья может быть использована для самостоятельной подготовки к экзаменам при наличии хороших знаний школьного курса 7 класса, а также может быть полезной учителям для индивидуальной работы с учащимися, для работы на факультативных занятиях.

Уравнения с параметром.

Линейное уравнение - это уравнение вида: ах = b , где a и b - некоторые постоянные. При решении линейных уравнений, получаем различное количество корней уравнения. Чтобы понять логику решения линейного уравнения с параметрами рассмотрим решение следующих частных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение 3х = - 15 .

Решение: Т.к. а = 3, а b = - 15, то х = - 15 : 3(деление возможно, 3≠0);

х = -5.

Проверка: 3 ( -5) = - 15 0; - 15 = - 15(верное), то -5 является корнем исходного уравнения

Ответ: -5

Пример 2. Решить уравнение 0х = 0

Решение: 0 = 0(верное при любом значении переменной х ), то корнем уравнения является любое число.

Ответ: х - любое число

Пример 3. Решить уравнение 0х= 7

Решение: 0 = 7 (не верно при любом значении х), уравнение корней не имеет.

Ответ: хЄ

Вывод: 1) Если а≠0, то уравнение имеет единственный корень: х = ( ах = b; ах = b; х = b : а; х=)

2) Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах= b является любое число.

3) Если а = 0, b≠0, то уравнение ах= b не имеет корней, хЄ

Если а и b не принимать конкретными значениями, то, говорят, что а и b - это параметры в уравнении ах=b, а само уравнение ах=b - уравнение с параметрами. Однако овладеть методикой решения уравнений с параметром мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на линейную зависимость, подробно анализируемую школьной программой.

Многие учащиеся воспринимают параметр, как «обычное» число. Действительно, в некоторых уравнениях параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать уравнение при всех возможных значениях этой постоянной.

С параметрами семиклассники встречаются уже при введении некоторых понятий. В качестве примеров рассмотрим следующие объекты:

- функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y переменные, k - параметр, k0);

- линейная функция: y = kx+b (x и y - переменная, k и b - параметры);

- линейное уравнение: ax+b=0 (x - переменная, a и b - параметры, a0).

К уравнениям с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров. Этот небольшой класс задач, конечно, многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойную природу. С одной стороны, с параметром работаем как с числом, с другой - это неизвестное. Так, деление на выражение, содержащее параметр, без предварительных исследований невозможно. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Определение уравнения с параметром: «Пусть дано равенство с переменными х, а: f (x; а) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f (х; а) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а. Решить уравнение с параметром а - это значит, для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющие этому уравнению». Назовем контрольными значения параметра те значения, при которых обращается в нуль коэффициент при х в линейном уравнении. Рассмотрим алгебраический способ решения линейного уравнения.

Простейшие уравнения с параметром.

1. Простейшие уравнения с параметром.

Рассмотрим решение линейных уравнений, если параметр является свободным членом.

Пример 4. Решить уравнение x - a = 0.

Ответ: x = a, при любом a

Пример 5. Решить уравнение 5x = a . Ответ: x = , при любом a.

1. = a Ответ: x = 2a, при любом a.

Вывод: если параметр является свободным членом в уравнении, то уравнение всегда имеет один корень.

Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Замечу, что даже такие, казалось бы, совершенно элементарные уравнения часто требуют от учителя подробных комментариев и терпеливых объяснений.

2. В качестве второго шага, рассмотрим уравнения с параметром, где выделим уравнения с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.

Пример 6. Решить уравнение 0•х = а.

Ответ: при а 0, корней нет,

при а = 0, х - любое из множества R.

Пример 7. Решить уравнение. |x| = a.

Ответ: при а 0, корней нет,

при а = 0, х = 0,

при а 0, х = а.

3.Рассмотрим уравнения с параметром, где параметр - это коэффициент линейного уравнения, и, он может имеет вид алгебраического выражения.

Пример 8. Решить уравнение ах = 1.

Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, а=0. Решение данного уравнения сведем к одному из случаев примеры 1-3.

1. Если а=0, то уравнение примет вид: 0х=1, а это уравнение не имеет корней.

2. Если а≠0, то деление на а возможно и х =

Ответ: Ø при а =0; при 0.

Пример 9. Решить уравнение (а -3)х=1.

Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, т.е. а-3=0, то а=3. Решение данного уравнения сведем к одному из трех случаев. (примеры 1-3).

1)Если а=3, то а -3=0, и уравнение (а -3)х=1 примет вид 0х=1, а это уравнение корней не имеет.

2)Если а ≠3, то то деление на а возможно и х=

Ответ: Ø, при а =3; , при а ≠3.

Рассмотрим уравнения с параметром, где коэффициент линейного уравнения и свободный член содержат параметр.

Пример 10. Решить уравнение (а -2)х= а -2.

Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х , т.е. а -2=0, то а =2.

1. Если а =2, то а -2=0, и уравнение (а -2)х= а -2 примет вид 0х=0, х - любое число.

2. Если а ≠2, то деление на а возможно х==1

Ответ: любое число, при а =2; 1, при а ≠2

Пример 11. Решить уравнение b х + 1=2b + х.

Решение: Приведем данное уравнение b х + 1=2b + х к виду ах = b.

b х - x=2b - 1

(b - 1)х=2b - 1

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,

b - 1=0, b=1.

Если b=1,то b - 1=0, то уравнение (b - 1)х=2b - 1 примет вид 0х=1, корней нет

1. Если b≠1, то b - 1≠0 деление возможно на b - 1 и х=

Ответ: Ø, при b=1; , при b≠1.

Пример 12. Решить уравнение ()х= - 1.

Решение: ()х= - 1

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, т.е.

=0, b(b-1)=0, b=0 или b=1

1)Если b=1,то =0, уравнение()х= - 1 примет вид 0х=0, то х - любое.

2)Если b=0,то =0, уравнение примет вид 0х= - 1, корней нет

3)Если b≠1 и b≠0, то деление на b(b-1) возможно и х==

Ответ: любое число, при b=1;

, при b=0;

, при b≠1 и b≠0.

Пример 13. Решить уравнение х=а(х+2) - 2

Решение: Приведем данное уравнениех=а(х+2) - 2 к виду ах = b.

х=а(х+2) - 2

х=ах+2а-2

х-ах=2а-2

(-а)х=2а-2

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,

-а=0, а(а-1)=0, а=0 или а=1

1. Если а=0, то-а=0, и уравнение (-а)х=2а-2примет вид ох= - 2, корней нет

2. Если а=1, то-а=0, и уравнение примет вид 0х=0, х - любое число

3. Если а≠0 и а≠1, то х==

Ответ: , при а=0;

любое число, при а=1;

, при а≠0 и а≠1.

Данные выше примеры позволили увидеть, как изменяется вид рассматриваемого линейного уравнения с изменением значения параметра и влияние параметра как переменной на значение корней и их количество.

Графический способ решения линейного уравнения с параметром.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения линейного уравнения с параметрами kx+b=0. Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический. Количество корней линейного уравнения kx+b=0 зависит от расположения прямых у= kx+b и у=0, но второе уравнение можно записать в виде у= 0x+0, где k=0, b=0. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться (только в одной точке), либо быть параллельными, либо совпадать, а соответственно уравнение kx+b=0 может иметь 1 корень, не иметь корней, или иметь бесчисленное множество корней.

Решением уравнения kx+b=0 являются абсциссы точек пересечения прямых, заданных уравнениями у= kx+b и у= 0x+0.

Рассмотрим эти случаи расположения прямых, и подтвердим, от чего зависит решение уравнения.

1 случай:

Пусть в уравнении у= kx+b, параметр b - некоторое фиксированное число, k - любое, k≠0. Это уравнение на плоскости задает множество прямых, проходящих через точку (0; b). k - угловой коэффициент прямой и он один и тот же для данного множество прямых. Т.к. k≠0, то прямые, заданные уравнениями у= kx+b и у= 0x+0, пересекаются.

Вывод: уравнение kx+b=0 при k≠0 имеет один корень. ( рис.1)

Рис.1

0 у=0х+0 x

2 случай:

Пусть в уравнении у= kx+b, k - некоторое фиксированное число, k≠0, b - любое. Графиком данного уравнения является множество параллельных прямых, имеющих один и тот же угловой коэффициент. Построим в одной системе координат графики функций y=kx+b y=0x+0 (y=0) и найдем координаты точек пересечения: (х;0). Абсциссы этих точек являются решением уравнения kx+b=0.

Вывод: уравнение kx+b=0 при k≠0 имеет один корень.(рис. 2 и рис.3 )

Если k>0. Если k<0

Y Y

0 у=0х+0 x 0 x

3случай:

Пусть в уравнении kx+b=0 k=0, b≠0. Найдем координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями у= kx+b и у=0. Учитывая условия, уравнения примут вид у= 0x+b и у=0х+0. Так как угловые коэффициенты (k=0) равны, то прямые параллельны. (рис.4)

У у=0х+b

b 0 х

Вывод: уравнение kx+b=0 корней не имеет.

4случай:

Если в уравнении kx+b=0, k=0 и b=0, то уравнение примет вид 0х+0=0. Найдем координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями у=0х+0 и у=0 (что то же самое у=0х+0). Угловые коэффициенты прямых и свободные члены соответственно равны, то прямые совпадают (ось 0х). (рис.5)

у

у=0х+0

0 у=0 х

Вывод: уравнение kx+b=0, при k=0 и b=0 имеет бесчисленное множество корней.

Линейное уравнение, содержащее дробные коэффициенты.

Пример 14. Решить относительно х уравнение .

Решение: уравнение запишем в виде ах=в, для этого перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю. Получим:

, выполним алгебраические преобразования числителя полученной дроби и сгруппируем слагаемые относительно х.

= 0

= 0

В числителе полученной дроби выражение линейное относительно х. найдем контрольные значения параметра для знаменателя дроби, т.е. 1+b=0, 2+b = 0; b = - 1, b = - 2.

1. Если b = - 1, b = - 2, то знаменатель дроби обращается в нуль, а следовательно уравнение корней не имеет.

2. Если b≠ - 1 и b≠ - 2, то , х =

Ответ:1) , при b = - 1, b = - 2;

3. b≠ - 1 и b≠ - 2.

Пример 15. Решить относительно х уравнение = 1.

Решение: уравнение = 1 запишем в виде ах=в, для этого перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю. Получим:

= 0

= 0

В числителе полученной дроби выражение линейное относительно х. Контрольными значениями параметра для знаменателя дроби, а = 0 и а=-2.

1. Если а = 0 и а = -2, то х Є .

2. Если а ≠ 0 и а ≠ -2, то = 0

Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, а = - 1

а) если а = - 1, то уравнение примет вид 0х = - 2, хЄ .

б) если а ≠ - 1, то х = , х = .

Ответ: 1) х Є при а = 0, а = -2, а = - 1;

2) , при а ≠ 0, а ≠ -2 и а ≠ - 1.

Линейное уравнение, содержащее знак модуля.

Пример 16. Найти число решений уравнения

Решение: Запишем уравнение в виде системы

у = | 2x - 4|

у = а

Изобразим графически (рис.6)

у

4

0 2 а=0 х

а

(рис. 6)

Ответ: если

если a = 0,

, то

Пример 17.| х | = х - а

Решение: запишем данное уравнение в виде системы

у = | x |

y = x - a

у = х - а даёт множество прямых, параллельных биссектрисе I и II координатного угла. Изобразим графически (рис.9)

у

а = 0 а

(рис. 9)

Ответ: если а

если а = 0, то ;

если а 0, то

Рассмотрим более сложное задание.

Пример 18. Для каждого значения параметра решить уравнение.

| x+3|-а| x-1 |=4

1. Точки перегиба: х+3=0 и х-1=0

х=-3 х=1

Точки -3 и 1 разбивают всю числовую прямую на части

-3 1 х

х<-3, -3≤х≤1, х>1

2. Рассмотрим каждый из случаев.

Пусть х<-3, тогда х+3<0 и х-1<0, то уравнение примет вид

-х-3+ах-а=4

(а-1)х=4+а+3

(а-1)х=7+а

Найдем контрольные значения параметра для старшего коэффициента

а=1

1. Если а=1, то уравнение примет вид 0х=8, х - любое число.

2. Если а≠1, то х=

Проверим , при каких значениях параметра а выполняется условие <-3, аЄ(-1;1)=>при х<-3 уравнение имеет корень х=, при аЄ(-1;1).

3. Если -3≤х≤1, то х+3≥0 и х-1≤0, и уравнение примет вид:

х+3+ах-а=4

(а+1)х=4-3+а

(а+1)х=1+а

Найдем контрольные значения параметра для старшего коэффициента

а=-1

а) если а=-1, то уравнение примет вид: 0х=0, -3≤х≤1

б) если а≠-1, то х=1, -3≤1≤1

3) х>1, то х+3≥0 и х-1>0, и уравнение примет вид:

х+3-ах+а=4

(1-а)х=1-а

Найдем контрольные значения параметра для старшего коэффициента

а=1.

а) если а=1, то 0х=0, х - любое, х>1

б) если а≠1, то х=1, 1 не является решением неравенства х>1, хЄØ

Изобразим решение уравнения на числовой прямой.

1 -3≤х≤1 ; 1 х≥1 1 а

-1 1

Ответ: 1) х=1, при а<-1 и а>1

2) х= , х=1 при -1<а<1

3) -3≤х≤1, при а=-1

4) х≥1, при а=1

Алгоритм решения линейного уравнения с параметром.

Рассмотрев решение линейных уравнений с параметром можно предложить следующий алгоритм решения.

1. Определить «контрольные» значения параметра при х в уравнении вида ах = b .

2. Рассмотреть случаи решения уравнения относительно х, при контрольных значениях параметра и отличных от «контрольных».

3. Записать ответ в виде:

1) уравнение корней не имеет, при значениях параметра ... .

2) уравнение имеет корни ... ; при значениях параметра ...

3) уравнение имеет корни ... ; при значениях параметра ... .

Примеры уравнений с параметрами из школьного учебника.

При каких значениях а корнем уравнения х(6 - а)+а(х+2)=26 является число 4? (А.Г. Мордкович Алгебра 7 класс. Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений, стр. 33 домашняя контрольная работа №1, задание 8)

Решение: выполним алгебраические преобразования данного уравнения х(6 - а)+а(х+2)=26

6х - ах+ах+2а = 26

6х+2а = 26

6х = 26 - 2а число корней данного уравнения не зависит от значения │параметра а. По условию число 4 - корень уравнения, поэтому 26 - 2а=6•4, 26 - 2а=24, 2а = 2, а = 1.

Ответ: при а=1 число 4 - корень уравнения.

Задачи для самостоятельного решения

Решить относительно х уравнения:

1. ах = 5

2. ах = х+5

3. х = 4х+2+а

4. (а - 1)х+2 = а+1

5. сх+2 = 2х+1

6. │x - 2│ = a

7. │x - a│ = a

8. │x - a│ = x - a

Ответы для самоконтроля:

1. , при а≠0; Ø при а = 0

2. , при а≠ 1; Ø при а = 1

3. , при а≠2, а≠ -2; Ø при а = 2; х - любое при а = - 2

4. х - любое, при а = 1; 1, при а≠ 1.

5. хЄ при с = 2; , при а ≠ 2.

6. а+2 и 2 - а, при а˃0; 2, при а = 0; Ø, при а˂0.

7. 0 и 2а, при а ˃0; 0, при а = 0; Ø, при а˂0.

8. х≥а, при любом а.

Литература

1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра - 8 с углубленным изучением математики. М.Просвещение, 1995

2. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра -9 с углубленным изучением математики. М.Просвещение, 1995

3. Галицкий М.Л, Гольфман А.М., Звавич Л.И. сборник задач по алгебре для 8 - 9 классов с углубленным изучением математики. М «Просвещение», 1994.

4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б.. Задачи с параметрами, М: Илекса, Харьков, 1998.

5. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра. Москва «Просвещение, 2009г.

6. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 - 9 классов. Просвещение, 1995.

7. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Просвещение, 1990.

8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. М.Просвещение, 2004.

9. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно - методические материалы по математике /Под ред. Л.Я.Фалько. Изд. 3 - е.-М.: Народное образование, Илекса, 2005.