Факультативный курс по математике

  Занятие № 1. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Задачи: 1.              Познакомить детей с теоремой о делении с остатком. 2.      Научить применять ее для целых чисел. 3.      Развивать математическое мышление. Занятие № 2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. Задачи: 1.              Вспомнить что такое наибольший общий делитель, какон находится. 2.              Научить находить наибольший общий делитель с помо­щью алгоритма Евклида.      Вызвать интерес к математике.   Занятие № 3. КОЛИЧЕСТВО ДЕЛЕНИЙ...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.Занятие 1. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Задачи:

  1. Познакомить детей с теоремой о делении с остатком.

  2. Научить применять ее для целых чисел.

  3. Развивать математическое мышление.

Ход занятия:

Опр. Натуральные числа - это числа 1,2,3,… .Они возникают в процессе счета и означают количество предметов. Обозначаются N ={1,2,3,….}

Решение простейших линейных уравнений х+а=0, а N, требует введения понятия «целое отрицательное число».

Какие числа называют целыми?

Опр. Целые числа - это числа 0,1,-1,2,-2,3,-3,…, т.е. число 0, натуральные числа и числа, противоположные натуральным числам. Обозначаются Z={0,1,-1,2,-2,3, -3, …}.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Однако результат деления одного целого числа на другое не обязан быть целым числом. Операция деления с остатком основывается на теореме.

Теорема о делении с остатком:

Для любого целого числа а и любого натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что выполняются два условия: а = bq + r и 0≤r<b.

Следующая геометрическая иллюстрация позволит нам увидеть существование неполного частного q и остатка r. Пусть а- целое число, b - натуральное число. Тогда целые числа -3b , -2b, - b, 0, b, 2b, 3b,... разбивают координатную прямую на отрезки, длина каждого из которых равна b.

-2b -b 0 b 2b 3b 4b bq

Произвольное целое число а изображается точкой, которая либо совпадает с одним из концов некоторого отрезка, либо попадает внутрь отрезка. В первом случае, а кратно b, т.е. а = bq= bq+0, где h - целое число. Во втором случае, а получается путем прибавления к числу bh, кратному b, некоторого натурального числа, меньшего, чем b, т.е. а = bq +r, где 0≤r<b. Существование пары q, r доказано.

Единственность чисел q и r позволяет дать имена всем числам из равенства а = bq + r : а- делимое, b - делитель, q - неполное частное, r - остаток.

Задание 1.

Выполнить деление с остатком.

а) 2867 на 15,

б) 2867 на -15.

Решение.

а) Выполним деление столбиком

2867 15

15 191

136

135

17

15

2

Запишем равенство 2867=15*191+2, где 2867- делимое, 15 - делитель, 191- неполное частное, 2- остаток.

Таким же образом, получаем, -2867=15*(-192)+13, 0≤13<15 (остаток не может быть отрицательным числом), где -2867- делимое, 15- делитель, -192- неполное частное, 13- остаток , 0≤13<15 (остаток не может быть отрицательным числом).

Задание 2.

Выполнить деление с остатком.

  1. 43 на 12,

  2. 18 на 19,

  3. 37 на 6.

Решение:

  1. Так как 43=12*3+7, то 3-неполное частное, 7-остаток.

  2. Так как 18=19*0+18. то 0-неполное частное, 18-остаток.

  3. Так как 37=6*6+1. то 6-неполное частное, 1-остаток.

Наряду с индукцией теорема о делении с остатком является одним из способов решения задач о целых числах.

Задание 3.

Какие остатки могут получиться при делении квадрата целого числа на 4.

Решение:

Способ 1. По теореме о делении с остатком на 4 число а может быть представлено в одном из следующих четырех видов:

a=4n, a=4n+1, a=4n+2, a=4n+3, nФакультативный курс по математике.Z .

Возводя эти выражения в квадрат, получаем:

a2= (4n)2=16 n2=4*4 n2+0,

a2=(4n+1)2=16 n2+8n+1=4(4 n2 +2n)+1,

a2=(4n+2)2=16 n2 +16n+4=4(4 n2+4n+1)+0,

a2=(4n+3)2=16 n2+24n+9=4(4 n2 +6n+2)+1.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 1 или 0.

Способ 2.

По теореме о делении с остатком на 3 можем записать a= 2n и a= 2n+1, nФакультативный курс по математике.Z.

Возводя эти выражения в квадрат, получаем:

a2= (2n)2=4n2=4n2+0,

a2= (2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 1 или 0.

Задание 4.

Заполните таблицу:

a

85

5611

18

q

411

701

7

6

3

Решение:

  1. а = bq + r, b=18, q=411, r=7, а=18*411+7, а=7405.

  2. а = bq + r, а=85, r=6, 85= bq + 6

bq=79

b =79, q=1, так как r=6, то случай b =1, q=79 не возможен.

  1. а = bq + r, а=5611, q=701, r=3.

5611= b701+3

5611-3= b701

b =5608:701

b=8.

Задание 5.

Найдите делитель b и остаток r, если известно делимое a=41 и неполное частное q=5.

Решение:

Поскольку 41=8*5+1, 0≤ 1 <8, 41=7*5+6 , 0 ≤ 7< 6, 41=6*5+11, но 6< 11, то возможны лишь случаи, когда b = 8, r=1 и b=7, r=6.

Здесь нет однозначного ответа, поскольку теорема о делении с остатком гарантирует однозначность, если даны делимое и делитель.

Задание 5.

Найти наименьшее и наибольшее числа, дающие при делении на 15 неполное частное 16.

Решение:

240=15*16+0

254=15*16+14.



Занятие 2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Задачи:

  1. Вспомнить что такое наибольший общий делитель, как
    он находится.

  2. Научить находить наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида.

3. Вызвать интерес к математике.
Ход занятия:

Давайте вспомним, что такое НОД и как он находится. Поскольку знак числа не влияет на делимость чисел, будем рассматривать только целые положительные числа.

Напомним, что натуральное число с называется общим делителем натуральных чисел а и b,если а делится нацело на с (ас) и b делится нацело на с (а b).

Множество общих делителей чисел а, b конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем а. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел а и b.

Запись следующая НОД(а,b).

Лемма 1. Если а b, то НОД(а,b)= b.

Лемма 2. Если а = bq + r, то НОД(а,b)= НОД(b, r).

Задание 1.

Найдем НОД (48 и 60).

Решение:

Делителями числа 48 являются числа: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48. Делителями числа 60 являются числа: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Числа 48 и 60 делятся на числа 1,2,3,4,6, и 12 -это их общие делители. Наибольшим из этих делителей является число 12, значит НОД (48, 60) = 12.

Мы рассмотрели способ нахождения НОД для небольших чисел 48 и 60. Этот способ показался удобен, но как мы будем действовать, если нужно будет найти НОД (3731,4633)? Общие делители в этом случае вычислить трудно и находить наибольший общий делитель становится неудобно.

Существует иной способ отыскания НОД двух чисел, известный под названием алгоритм Евклида, описанный древнегреческим математиком Евклидом (III в. до н.э.) в его знаменитом трактате "Начала". Ему уже более 2 тысяч лет. Этот способ нахождения наибольшего общего делителя алгоритм был известен еще пифагорейцам. К середине 16 века алгоритм Евклида был распространен на многочлены от одного переменного.

Задание 2: Найдем НОД (3731, 4633).

Решение: Применяя теорему о делении с остатком, мы получим такие равенства:

4633=3731*1 +902

3731 =902*4+ 123

902=123*7+41

123=41*3

НОД(4633, 3731)= НОД( 3731, 902)= НОД(902,123)= НОД(123,4)=41.

По алгоритму Евклида получаем что НОД (3731, 4633) = 41, так как последний отличный от нуля остаток равен 41.

Теорема:

НОД двух ненулевых целых чисел равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

Задание 3.

Используя алгоритм Евклида, найти НОД (а,b).

  1. a=391, b=713.

Решение:

Разделим столбиком:

713 391 391 322 322 69 69 46 46 23

391 1 322 1 276 4 46 1 23 1

322 69 46 23 0

713=391*1+322

391=322*1+69

322=69*4+46

69=46*1+23

46=23*2

НОД (а,b)=23.

Для нахождения НОД (а,b, с) воспользуемся следующими двумя утверждениями, аналогичными леммам 1 и 2.

Лемма 3. Если аФакультативный курс по математике. с, bФакультативный курс по математике. с, то НОД(а,b,с)=с.

Лемма 4. Если а = сh1 + r1, b = ch2 + r2 ,то НОД(а,b,c)= НОД(c, r1, r2).

Свойство наибольшего общего делителя. НОД(а,b,с)= НОД(НОД(а,b),с).

Задание 4.

Используя алгоритм Евклида, найти НОД (а,b, с), если a=10836, b=2967, c=731.

Решение:

Разделим столбиком.

10836 731

731 14

3256

2924

602

10836=731*14+602

2967 731

2924 4

43

2967=731*4+43

НОД(10836,2967,731)=НОД(731,602,43)

731 43

43 17

301

301

0

731=43*17+0

602 43

43 14

172

172

0

602=43*4+0

НОД(10836,2967,731)=НОД(731,602,43)=НОД(0,0,43)=43.

Задание 5.

Найти НОД числителя и знаменателя и сократить дробь:

  1. Факультативный курс по математике.;

  2. Факультативный курс по математике..

Решение:

  1. НОД(2117,11484).

11484 2117 2117 899 899 319 319 261

10585 5 1798 2 638 2 261 1

899 319 261 58

261 58 58 29

232 4 58 2

29 0

НОД(11484,2117)=29, значит, дробь Факультативный курс по математике. можно сократить на 29 и получить дробь Факультативный курс по математике. .

  1. НОД(172,2967).

2967 172 172 43

172 17 172 4

1247 0

1204

43

НОД(172,2967)=43, значит, дробь Факультативный курс по математике. можно сократить на 43 и получить дробь Факультативный курс по математике..





Занятие 3. КОЛИЧЕСТВО ДЕЛЕНИЙ В АЛГОРИТМЕ ЕВКЛИДА.

Задачи:

  1. Дать оценку количеству делений с остатком при нахождении наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида и при помощи канонического разложения.

  2. Показать преимущества в вычислениях наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида перед его нахождением по каноническому разложению.

Ход занятия:

Поскольку и в алгоритме Евклида и при получении канонического разложения выполняется деление с остатком, то примем за единицу вычисления одно деление с остатком.

Давайте сравним количество делений с остатком в алгоритме Евклида и при отыскании канонического разложения.

Задание 1.

Найти количество делений, необходимое для нахождения наибольшего общего делителя чисел 1925 и 418 с помощью алгоритма Евклида и канонического разложения.

Решение:

Разложим число 1925 на простые множители. Проверим делимость числа 1925 на 2. Не делится, на 3- не делится. Разделим число на 5- делится, получаем 385. Снова проверяем делимость на 5. Делим, получаем 77. Снова проверяем делимость на 5, не делится. Далее делим на 7, получаем 11. Проверяем кратность множителя, снова разделив число на 7, не делится. Затем 11 делим на 11, получаем 1. Этот способ удобен только тогда, когда мы знаем таблицу простых чисел.

1925 5

385 5

77 7

11 11

1

Потребовалось 8 делений.

Проделаем тоже самое с числом 418. Проверим делимость числа 418 на 2, получаем 209. Проверяем кратность множителя, снова разделив число на 2, не делится. Далее 209 делим на 3, не делится, на 5- не делится, на 7- не делится. Затем делим на 11, получаем 19. Проверим ещё раз делимость на 11, не делится. Значит, 19 делим на 13, не делится, разделив 19 на 19, получаем 1.

418 2

209 11

19 19

1

Потребовалось 9 делений. Итого, 17 делений с остатком.

Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида.

1925=418*4+253

418=253*1+165

253=165*1+88

165=88*1+77

88=77*1+11

77=11*7

Потребовалось 6 делений с остатком.

В XIX веке математик Ламе дал оценку количеству делений с остатком в алгоритме Евклида.

Теорема Ламе. Количество делений в алгоритме Евклида, необходимое для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, не превышает пятикратного количества цифр в десятичной записи меньшего из этих двух чисел.

Задание 2:

Найти число делений с остатком при нахождении НОД( 418, 385).

Решение:

В числе 385 три цифры, значит, нужно выполнить не более пятнадцати делений с остатком, чтобы найти НОД(418,385).

Есть ещё одна оценка, позволяющая определить количество делений для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел: Факультативный курс по математике., где b- наименьшее из чисел а, b.

Так как логарифм изучается в старших классах, мы будем пользоваться калькулятором.

Задание 3.

Найти оценку логарифмом для чисел 418 и 385

Решение:

Факультативный курс по математике.+2= 2*8,5+2=19. Необходимо не более 19-ти делений.

Задание 4.

Найти разницу в количестве делений между каноническим разложением и нахождением наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида для чисел:

  1. 88 и 42,

  2. 54 и 33.

Решение:

  1. Разложим 88 и 42 на простые множители.

88 2

44 2

22 2

11 11

1

Потребовалось 8 делений.

42 2

21 3

7 7

1

Потребовалось 6 делений с остатком. Итого, 14 делений.

Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида:

88=42*2+4

42=4*40+2

4=2*2

3 деления.

14-2=12. Разница в 12 делений.

  1. 54 2

27 3

9 3

3 3

1

Потребовалось 5 делений.

33 3

11 11

1

Потребовалось 6 делений с остатком.

54=33*1+32

33=21*1+8

21=8*2+5

8=5*1+3

5=3*1+2

3=2*1+1

2=1*2

7 делений. Получаем разницу в 4 деления.

Задание 5.

Не проводя деления, оцените количество делений, требуемое для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел по оценке Ламе и через логарифм.

  1. 8425 и 45,

  2. 45698 и 8192.

Решение.

  1. а) оценка Ламе: не более 10-ти делений.

б) оценка логарифмом: Факультативный курс по математике.=13 делений с остатком.

  1. а) оценка Ламе: не более 20-ти делений.

б) оценка логарифмом: Факультативный курс по математике.=26 делений с остатком.

Используя оценку логарифмом, можно определить количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел:Факультативный курс по математике., где b- наименьшее из трех чисел.

Задание 6.

Найти количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел: 403, 187, 38.

Решение:

Факультативный курс по математике.2*5+4=14.

Задание 7:

По алгоритму Евклида и каноническому разложению найти количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел: 403, 187, 38.

Решение.

НОД(403,187,38)= НОД(НОД(403,38),187).

403=38*10+23

38=23*1+15

23=15*1+8

15=8*1+7

8=7*1+1

7=1*7

НОД(403,38)=7

187=1*187

НОД(1,187)=1. Итого, 7 делений.

Каноническое разложение:

403 13 187 11 38 2

31 31 17 17 19 19

1 1 1

12 делений. 8 делений. 9 делений.

Итого, 29 делений с остатком.

Занятие 4. ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ.

Задачи:

  1. Познакомить детей с диофантовыми уравнениями.

  2. Научить решать диофантовы уравнения, пользуясь формулами общего решения.

  3. Расширить кругозор детей.
    Ход занятия:

С помощью алгоритма Евклида можно доказать одно важное свойство наибольшего общего делителя.

Свойство наибольшего общего делителя.

Для любых натуральных чисел а,b существуют целые числа х и у, такие, что ах + bу= НОД (а,b).

Это свойство мы доказывать не будем, но поясним его на примере.

Выражение ах + bу= НОД (а,b). называют тождеством Безу.

Задание 1.

Найти НОД(3545,152) и найдите числа х и у, что 3545х + 152у= НОД(3545,152)

Решение:

Наибольший общий делитель чисел 3545 и 152 найдем по алгоритму Евклида:

3545=152*23+49

152=49*3+5

49=5*9+4

5=4*1+1

4=1*4

Выразим НОД(3545,152) как того требует тождество Безу.

1 =5-4 5-(49-5*9) =5*10-49*1-(152-49*3)*10-49*1=152*10-49*31=152*10-(3545-152*23)*31=3545*(-31)+152*723. Следовательно, х=-31, у=723.

Задание 2.

Найти такие целые числа х и у, что

  1. 6069х + 663у=102,

  2. 6069х + 663у=132.

Решение:

  1. Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида:

6069 = 663*9+ 102

663 = 102*6 + 51

102 = 51*2

Выразим НОД(6069,663) как того требует тождество Безу.

51 =663- 102*6 = 663- (6069 -663*9)*6 =6069*(-6) + 664*55.

Умножая тождество Безу на 2, получим требуемое выражение 6069*(-12) + 664*110=102.

  1. В отличие от задания а) в задании б) правая часть 132 не делится на 51.

Если бы выполнялось равенство 6069х + 663у=132, то из условий 606551, 66351 следовало бы, что 13251, а это не так. Следовательно, целых решений диофантово уравнение 6069х + 663у=132 не имеет.

В диофантовых уравнений интересуются только целочисленными решениями. Если известно одно решение Факультативный курс по математике. такого уравнения, то все остальные целочисленные уравнения задаются формулами

x=Факультативный курс по математике. ; y=Факультативный курс по математике., где tZ.

Задание 3.

Решить диофантово уравнение: 27х- 72у=45.

Решение:

Вначале найдем НДО(27,72) по алгоритму Евклида.

72=27*2+ 18

27=18*1+9

18=9*2

Затем выпишем тождество Безу 9=27-18*1=27-(72*1-27*2)=27*3-72*1.

Так как с=45 и 45=9*5, то, умножая тождество Безу на 5, получим числовое равенство 27*15-72*5=45 и следовательно одно из решений х0=15, у0=5 диофантова уравнения. Все решения диофантова уравнения задаются формулами

х = 15 + Факультативный курс по математике.t=15-8 t,

y =5-Факультативный курс по математике.t=5-3 t, tZ.

Задание 4 .

В ящики по 25 и 30кг засыпать 440 кг конфет.

Решение:

Обозначим через х- количество ящиков по 25кг, а через у- количество ящиков по 30 кг. Тогда получим диофантово уравнение 25х+30у=440.

Найдем НОД(25,30) по алгоритму Евклида.

30=25*1+5

25=5*5

Тогда НОД(25,30)=5. Выразим 5 через 25 и 30 как в тождестве Безу.

25*(-1)+30*1=5. Поскольку 440=5*88, то умножая тождество Безу на 88, получим равенство 25*(-88)+30*88=440 и одно из решений Факультативный курс по математике.=-88,Факультативный курс по математике.=88.

Все целочисленные решения задаются формулами

x=Факультативный курс по математике. =-88+6Факультативный курс по математике.

y=Факультативный курс по математике. = 88-5Факультативный курс по математике..

Так как х≥0, у≥0, то из равенства 88=5*17+3 найдем наибольшее значение =17, при котором у еще неотрицателен.

Факультативный курс по математике.

17

16

15

14

х

3

8

2

-4

у

14

8

13

18

Таблица показывает, что решениями задачи будут х1=3, у1=14, х2=8, у2=8, х3=3, у3=13 и только они.











Занятие 5. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ.

Задачи:

  1. Познакомить детей с делением многочлена на многочлен с остатком.

  2. Развивать умение производить деление.

  3. Развивать математическую наблюдательность.

Ход занятия:

Давайте вспомним, что называется многочленом.

Определение:

Многочленом от переменной х будем называть выражение вида anхn + аn-1хп-1+...+ + а1х + а0 ,где n- неотрицательное целое число, an , аn-1..... а1 , а0- любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Если а≠0, то n называется степенью многочлена f(х) и обозначается ст. f(х).

Как и во множестве целых чисел, для многочленов имеет место операция деление с остатком.

Теорема:

Пусть f(х) и g(х) - многочлены, причем g(х)≠0. Тогда существуют и единственны многочлены h(x) и r(х), такие, что f(x) = g(х) * h(х) + r(х), причем либо r(х) =0, либо степень многочлена r(х) меньше степени многочлена g(х).

f(х) - делимое, g(х) - делитель, h(х) - неполное частное, r(х) - остаток.

Задание 1.

При помощи деления столбиком разделить с остатком многочлен f(x) = 3x4+2x2-1 на многочлен g(x)=x2+x.

Решение:

2x3+2x2-1 x2-x

2x3-2x2 2x+4

4x2-1

4x2-4x

4x-1

Деление прекращаем, когда степень остатка 4х-1 меньше степени делителя x2+x.

f(x) = g(x)( 2x+4)+( 4x-1).

Задание 2.

При помощи деления столбиком разделить с остатком многочлен f(x) = =3x+4x4+2x5-15x3+1-9x2 на многочлен g(x)=2x2-x3.

Решение:

2x5+4x4-15x3-9x2+3x+1 -x3+2x2

2x5-4x4 -2x2-8x-1

8x4-15x3

8x4-16x3

x3-9x2

x3-2x2

-7x2+3x+1

f(x) = g(x)( -2x2-8x-1)+( -7x2+3x+1).

Задание 3.

Выполнить деление x7-1 на x3+x-1 с остатком.

Решение:

x7-1 x3+x-1

x7+x5-x4 х42

-x5+x4-1

-x5-x3+x2

x4+x3-x2-1

x4+x2-x

x3-2x2+x-1

x3+x-1

-2x2-2

f(x) = g(x)( х42+х)+( -2x2-2).

Задание 4.

При каком значении k многочлен f(x)=x3+6x2+kx+12 делится нацело на многочлен g(x)=x+4?

Решение:

x3+6x2+kx+12 x+4

x3+4x2 x2+2x+(k-8)

2x2+kx+12

2x2+8x

(k-8)x+12

(k-8)x+4(k-8)

44-4k

Чтобы остаток был равен нулю, решим уравнение 44-4k=0 и получим k=11.

Говорят, что многочлен f(x) равен многочлену g(x) т.т.т, когда у них равны коэффициенты при соответствующих степенях.

На определении равенства многочленов основывается метод неопределенных коэффициентов.

Задание 5. Выполнить деление многочленаx2+x+6 на многочлен x-4, используя метод неопределенных коэффициентов.

при x2 : 1=a

при x : 2=b-4a

при 1 : 6=c-4b,

получаем, а=1, b=6, с= 30.

Задание 6.

Найти делитель, если даны делимое f(x)=2x5+3x4+2x3+1, неполное частное h(x)=x2+3x+1 и остаток r(x)=63x-25.

Решение:

f(x) = g(х)h(х) + r(х),

g(x)h(x)=f(x)-r(x),

g(x)=Факультативный курс по математике.

k(x)=f(x)-r(x)= 2x5+3x4+2x3+1-63x+25=2x5+3x4+2x3-63x-24

g(x)=Факультативный курс по математике.

2x5+3x4+2x3-63x-24 x2+3x+1

2x5+6x4+2x3 2x3-3x2+9x-24

-3x4-63x+24

-3x4-9x3-3x2

9x3+3x2-63x-24

9x3+27x2+9x

-24x2-72x-24

-24x2-72x-24

0

g(x)= 2x3-3x2+9x-24

Занятие 6. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

  1. Научить находить наибольший общий делитель при помощи алгоритма Евклида.

  2. Закрепить умение делить многочлен на многочлен, применять алгоритм Евклида.

Ход занятия:

На предыдущих занятиях мы познакомились с нахождением НОД для чисел по алгоритму Евклида. Сегодня мы познакомимся с НОД многочленов.

Определение:

Наибольшим общим делителем многочленов называется их общий делитель самой большей степени.

Находить НОД мы будем по алгоритму Евклида.

Как и для чисел, так и для многочленов НОД двух многочленов равен последнему, отличному от нуля, остатку в алгоритме Евклида.

Задание 1.

Найти НОД(f(х), g(х)), если f(х)=x4+2x3-x26x-4, g(x)=x3-2x2+1.

Решение:

  1. x4+2x3-x26x-4 x3-2x2+1 x4+2x3-x26x-4=( x3-2x2+1)( x+2)+( x2-x-2)

x4-2x2-x x+2

2x3+x2-5x-4

2x3-4x-2

x2-x-2

x3-2x2+1 x2-x-2 x3-2x2+1=( x2-x-2)( x+1)+( x+1)

x3-x2-2x x+1

x2-1

x2-x-2

x+1

x2-x-2 x+1 x2-x-2=( x+1)( x-2)

x2+x x-2

-2x-2

-2x-2

0

Последним, отличным от нуля остатком в алгоритме Евклида будет х+1, значит НОД(f(x),g(x))= x+1.

Задание 2.

Найти наибольший общий делитель двух многочленов f(x)= 12х5+16х4-47х3-18х2+58-21Факультативный курс по математике. и g(x)= 6х5+11х3-15х2-17х+15Факультативный курс по математике..

Решение:

Факультативный курс по математике.12х5+16х4-47х3-18х2+58-21 6х5+11х3-15х2-17х+15Факультативный курс по математике.

12x5+22x4-34x2+30x 2x-1

-6x4-17x3+16x2 +28x-21

-6x4-11x3+15x2+17x-15

-6x3+x2+11x-6

Факультативный курс по математике.5+11х3-15х2-17х+15 -6x3+x2+11x-6

Факультативный курс по математике.x+2

12x3-4x2-23x+15

12x3-2x2-22x +12

-2x2-x+3

-6x3+x2+11x-6 -2x2-x+3

-6x3-3x2+9x 3x-2

4x2+2x-6

4x2+2x-6

0

НОД(f(x),g(x))= 2x2+x-3.

Поскольку наибольший общий делитель многочленов находится с точностью до чисел, то мы можем сокращать многочлены в алгоритме Евклида на ненулевые числа.

Задание 3.

Упростите выражение Факультативный курс по математике. .

Решение:

Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

6x5+19x4-19x3-8x2+x+1 -6x4-19x3+25x2+3x-3

6x5+19x4-25x3-3x2+3x -x

6x3-5x2-2x+1

-6x4-19x3 +25x2+3x-3 6x3-5x2-2x+1

-6x4+5x3+2x2-x -x-4

-24x3+23x2+4x-3

-24x3+20x2+8x-4

3x2-4x+1

6x3-5x2-2x+1 3x2-4x-1

6x3-8x2+2x 2x+1

3x2-4x+1

3x2-4x+1

0

НОД(f(x),g(x))= 3x2-4x+1, значит, дробь можно сократить на многочлен 3x2-4x+1.

6x5+19x4-19x3-8x2+x+1 3x2-4x+1

5-8х4+2х33+9х2+5х+1

27х4-21х3-8х2

27х4-36х3+9х2

15х3-17х2

15х3-20х2+5х

2-4х+1

2-4х+1

0

-6x4-19x3+25x2+3x-3 3x2-4x+1

-6х4+8х3-2х2 -2х2-9х-3

-27х3+27х2+3х

-27х3+36х2-9х

-9х2+12х-3

-9х2+12х-3

0

Сокращая дробь, получаем, Факультативный курс по математике..

Задание 4.

Найти НОД(f(х), g(х)),если f(x)=x3+4x2+5x+2, g(x)= -2x2-6x+2x3+x4-3.

Решение:

x4+2x3-2x2-6x-3 x3+4x2+5x+2

x4+4x3+5x2+2x x-2

-2x3-7x2-8x-3

-2x3-8x2-10x-4

x2+2x+1

x3+4x2+5x+2 x2+2x+1

x3+2x2+x x+2

2x2+4x+2

2x2+4x+2

0

НОД(f(х), g(х))= x2+2x+1.

Как и для чисел, так и для многочленов существует оценка количества делений с остатком в алгоритме Евклида: 2Факультативный курс по математике., где g(х)-меньший из многочленов.

Задание 5.

Найти количество делений с остатком, за которое находится НОД(x3+4x2+5x+2, 3x2-4x).

Решение:

2Факультативный курс по математике.+2=2Факультативный курс по математике.+2=4 деления с остатком.

Чтобы найти наибольший общий делитель трех многочленов нужно выполнить 2Факультативный курс по математике. делений с остатком.

Задание 6.

Найти количество делений с остатком, за которое находится НОД(f(х), g(х),h(x)), если f(х)= -2x9-6x+2x3+x4-3, g(х)= x5+2x2+x, h(x)= 2х43-3х2.

Решение:

2Факультативный курс по математике.+2=2Факультативный курс по математике.+2=6 делений с остатком.

Занятие 7. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

  1. Напомнить теорему о делении с остатком для чисел.

  2. Познакомить учащихся с теоремой о делении с остатком для многочленов.

  3. Научить применять ее.

Ход занятия.

Напомним теорему о делении с остатком для чисел.

Теорема о делении с остатком для чисел. Для любого целого Факультативный курс по математике. и любого натурального Факультативный курс по математике. существуют единственные целые Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике. такие, что Факультативный курс по математике., где Факультативный курс по математике..

Например, число 26 не делится на 3, но 26 делится на 3 с остатком, получаем 26=83+2.

Напомним, что многочленом называется алгебраическое выражение вида Факультативный курс по математике., где Факультативный курс по математике.неотрицательное целое число, Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.некоторые числа, которые называются коэффициентами многочлена Факультативный курс по математике.. Если Факультативный курс по математике., то число Факультативный курс по математике. называют степенью многочлена Факультативный курс по математике. и обозначают Факультативный курс по математике..

Многочлены считаются равными, если равны их степени и равны соответственные коэффициенты.

Многочлены можно складывать и умножать как обычные алгебраические выражения.

Задача 1. Найти числа а,b и с, если многочлен Факультативный курс по математике. равен кубу двучлена x+c

Решение. По формуле куба суммы получаем

Факультативный курс по математике.

Используя определение равенства многочленов, получим систему

Факультативный курс по математике., откуда с=2 ,а=12 ,b=8.

Задача 2. Факультативный курс по математике. многочлен степени Факультативный курс по математике.

Выражение Факультативный курс по математике. многочленом не является, так как содержит одночлен с отрицательной степенью.

В отличии от сложения и умножения результат деления двух многочленов не обязан быть многочленом. Поэтому приходится использовать деление с остатком, которое основывается на следующей теореме.

Теорема о делении с остатком. Для всякого многочлена Факультативный курс по математике. и всякого ненулевого многочлена Факультативный курс по математике. существуют и единственные многочлены Факультативный курс по математике. , такие что Факультативный курс по математике., где либо Факультативный курс по математике., либо ст.Факультативный курс по математике..

В равенстве Факультативный курс по математике. все многочлены имеют свое название:Факультативный курс по математике.делимое, Факультативный курс по математике.делитель, Факультативный курс по математике.неполное частное, Факультативный курс по математике.остаток.

Задача 3. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена Факультативный курс по математике.=10Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике.=5x+4.

Решение. Выполним деление многочленов в столбик.

10Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

10Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Запишем равенство Факультативный курс по математике., о котором говорилось в теореме о делении с остатком.

Ответ: неполное частное Факультативный курс по математике., остаток 0.

Если остаток при делении равен 0, как в примере 2, то говорят, что многочлен Факультативный курс по математике. нацело делится на многочлен Факультативный курс по математике. и записывают Факультативный курс по математике..

Задача 4. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена Факультативный курс по математике.=3Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.+x.

Решение. Выполним деление многочленов в столбик.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

На этом деление многочлена Факультативный курс по математике.=3Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.+x заканчивается, так как степень остатка Факультативный курс по математике.меньше степени делителя. Выпишем равенство Факультативный курс по математике..

Ответ: частное Факультативный курс по математике., остаток Факультативный курс по математике.

Задача 5. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.

Решение. Запишем многочлен Факультативный курс по математике. по убыванию степеней. Выполним деление многочленов в столбик.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Запишем равенство Факультативный курс по математике..

Ответ: неполное частное,Факультативный курс по математике. остаток Факультативный курс по математике..

Свойства делимости многочленов.

  1. Если многочлен Факультативный курс по математике. делится на многочлен Факультативный курс по математике., а многочлен Факультативный курс по математике. делится не многочлен Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике. делится на Факультативный курс по математике..

  2. Если многочлены Факультативный курс по математике.и Факультативный курс по математике.делятся на многочлен Факультативный курс по математике., то их сумма Факультативный курс по математике.и их разность Факультативный курс по математике.делятся Факультативный курс по математике., а произведение Факультативный курс по математике. делится на Факультативный курс по математике. при любом многочлене Факультативный курс по математике..

Задача 6.Найти числа a и b из условия равенства многочленов

Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике..

Решение. Выполним умножение многочленов и приведение подобных в правой части равенства.

Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.

Из равенства многочленов следует, что

Факультативный курс по математике.,Факультативный курс по математике.=-16, Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике. , откуда Факультативный курс по математике.

Ответ:Факультативный курс по математике.

Задача 7.Не проводя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике..

Решение. Обозначим остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике.на многочлен Факультативный курс по математике. через Факультативный курс по математике.. Так как ст.Факультативный курс по математике.,то Факультативный курс по математике.. Согласно теореме о делении с остатком запишем равенство многочленов.

Факультативный курс по математике.

При x=1 получим 1+1+4=0Факультативный курс по математике. или 6=a+b. При x=-1 получим 1+1+4=0Факультативный курс по математике. или 4=-a+b.

Решим систему уравнений Факультативный курс по математике., и получим Факультативный курс по математике..

Ответ:Факультативный курс по математике.

Задача 8. При каких натуральных значениях n выражение Факультативный курс по математике.является целым числом ?

Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

-2

Таким образом, исходное выражение равно Факультативный курс по математике., что является целым числом тогда и только тогда, когда 2 нацело делится на Факультативный курс по математике.. Поскольку целыми делителями числа 2 являются числа -2,-1, 1,2 и только они , то получаем, что n=1,2,4,5.

Ответ: n=1,2,4,5.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти неполное частное и остаток при делении Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике. (ответ проверить умножением), если:

а) Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Проверка. Факультативный курс по математике.

Ответ: частное Факультативный курс по математике., остаток 0.

б) Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Проверка. Факультативный курс по математике.

Ответ: частное Факультативный курс по математике., остаток 0.

в) Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

2

Проверка.

Факультативный курс по математике.

Ответ: неполное частное Факультативный курс по математике., остаток 2.

2. Найти не полное частное и остаток при делении Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике., если:

а) Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

42

Проверка:Факультативный курс по математике..

Ответ: неполное частное Факультативный курс по математике., остаток 42.

б) Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. 4Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

1

Проверка:Факультативный курс по математике..

Ответ: неполное частное 4Факультативный курс по математике., остаток 1.

в) Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Проверка:Факультативный курс по математике.

Ответ: неполное частное 3Факультативный курс по математике., остаток Факультативный курс по математике.

Занятие 8. КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ.

Задачи:

  1. Напомнить определения корня многочленов.

  2. Познакомить учащихся с теоремой Безу, научить применять ее.

Ход занятия.

Задача 1. Для многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.. Найти: Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.

Решение. Факультативный курс по математике.=2Факультативный курс по математике. . Аналогично получаем Факультативный курс по математике..

Ответ: Факультативный курс по математике.

Задача 2. Найти остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Решение. Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.


Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.


Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.


Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Заметим, что остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике., на Факультативный курс по математике., на Факультативный курс по математике., на Факультативный курс по математике. совпадают со значениями Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.,Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике. соответственно.

Этот совпадение не случайное, как показывает теорема Безу( Этьен Безу 1730-1783)- французский математик).

Первая теорема Безу. Остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике. на двучлен Факультативный курс по математике. равен значению этого многочлена при Факультативный курс по математике..

Доказательство. Если Факультативный курс по математике.,Факультативный курс по математике. то Факультативный курс по математике..

Задача 3. Найти остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. на двучлен Факультативный курс по математике. непосредственно и по теореме Безу.

Решение. Так как Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике., то здесь Факультативный курс по математике. =-2. По теореме Безу

Факультативный курс по математике.=fФакультативный курс по математике.=2Факультативный курс по математике..

Ответ: Факультативный курс по математике. = fФакультативный курс по математике.4.

Следствие. Остаток от деления многочлена Факультативный курс по математике. на двучлен Факультативный курс по математике. равен значению многочлена Факультативный курс по математике. при Факультативный курс по математике..

Доказательство. Если Факультативный курс по математике.,Факультативный курс по математике. , то Факультативный курс по математике.

Определение. Число с называется корнем многочлена Факультативный курс по математике., если Факультативный курс по математике.0.

Например, 2 - корень многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. поскольку Факультативный курс по математике.=0.

Вторая теорема Безу. Число с является корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда Факультативный курс по математике..

Теорема. Число различных корней ненулевого многочлена, не превосходит его степени.

Задача 4. Остаток от деления многочлен Факультативный курс по математике.на двучлен Факультативный курс по математике. равен 6,а остаток от деления его на Факультативный курс по математике. равен 1. Найти остаток от деления этого многочлена наФакультативный курс по математике..

Решение. Степень многочлена Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. равна 2,поэтому в остатке получится многочлен Факультативный курс по математике.степени не выше 1,т. е. Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.. По теореме о делении с остатком можно записать равенство многочленов Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике.+Факультативный курс по математике..

Так как f(2)=6, f(-3)=1,то подставляя в равенство значения x=2 и x=-3,получаем систему

Факультативный курс по математике.

Решая эту систему, находим, что a=1,b=4.

Ответ:x+4.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Выполнить деление с остатком многочлена Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике. и выяснить является ли корнем для Факультативный курс по математике., если:

а) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике.

Решение .Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.. Так как Факультативный курс по математике., то не является корнем Факультативный курс по математике..

Ответ:Факультативный курс по математике. - не является корнем Факультативный курс по математике..

б) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике.

Решение .Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Факультативный курс по математике.. Так как Факультативный курс по математике., то является корнем Факультативный курс по математике..

Ответ:Факультативный курс по математике. - является корнем Факультативный курс по математике.

в) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике.

Решение .Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

8

Факультативный курс по математике.. Так как Факультативный курс по математике., то не является корнем Факультативный курс по математике..

Ответ:Факультативный курс по математике. - не является корнем Факультативный курс по математике.

2.а) Подобрать параметр Факультативный курс по математике. так, чтобы Факультативный курс по математике. было корнем Факультативный курс по математике..

Решение .Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Ответ: Факультативный курс по математике. корень многочлена Факультативный курс по математике..

б) Подобрать параметр Факультативный курс по математике. так, чтобы было корнем Факультативный курс по математике..

Решение .Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике..

Ответ: корень многочлена Факультативный курс по математике..

Занятие 9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Задачи:

  1. Напомнить учащимся определения натуральных, целых, рациональных чисел.

  2. Познакомить учащихся с многочленами с целыми и рациональными коэффициентами.

  3. Научить учащихся находить рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.

Ход занятия.

Факультативный курс по математике.- натуральные числа.

Факультативный курс по математике.- целые числа.

Факультативный курс по математике. - рациональные числа.

Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на общее кратное знаменателей коэффициентов, то получим многочлены с целыми коэффициентами имеющий те же самые корни.

Многочлен Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике. имеет те же корни, что и многочлен Факультативный курс по математике.=12Факультативный курс по математике.=Факультативный курс по математике..

Теорема. Пусть несократимая дробь Факультативный курс по математике. является корнем многочлена Факультативный курс по математике.

с целыми коэффициентами, тогда выполняются условия:

  1. Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике.;

  2. f(m)Факультативный курс по математике.для любых целых Факультативный курс по математике.;

  3. f(1)Факультативный курс по математике., f(-1)Факультативный курс по математике..

Кратные корни.

Определение. Число Факультативный курс по математике. поля Факультативный курс по математике. называется корнем кратности Факультативный курс по математике. для многочлена Факультативный курс по математике. из Факультативный курс по математике., если Факультативный курс по математике., но Факультативный курс по математике.

Задача 1.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике., но Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. 1

3

УПРАЖНЕНИЯ

1.Найти рациональные корни многочлена:

а) Факультативный курс по математике.

Решение .Если несократимая дробь Факультативный курс по математике. является корнем Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

1

-1

2

-2

1

Х

Х

Х

корень

Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Ответ: Факультативный курс по математике..

б) Факультативный курс по математике..

Решение .Если несократимая дробь Факультативный курс по математике. является корнем Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

1

-1

2

-2

1

Х

Х

Х

Х

3

корень

корень

Х

Х

Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

-6

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

-2

1 -корень кратности 1, так какФакультативный курс по математике. Факультативный курс по математике., но Факультативный курс по математике.

Ответ: Факультативный курс по математике., 1 -корень кратности 1, Факультативный курс по математике. .

в) Факультативный курс по математике.

Решение .Если несократимая дробь Факультативный курс по математике. является корнем Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

1

-1

3

-3

1

корень

Х

корень

корень

Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Если Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

-4

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

-3 -корень кратности 1, так какФакультативный курс по математике. Факультативный курс по математике., но Факультативный курс по математике.

Ответ: Факультативный курс по математике., .Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., -3 -корень кратности 1.

Занятие 10. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ (НОД).

Задачи:

  1. Вспомнить определение общего делителя и наибольшего общего делителя для чисел.

  2. Познакомить учащихся с понятием общего делителя и наибольшего общего делителя для многочленов.

  3. Научить находить наибольший общий делитель многочленов.

Ход занятия.

Определение. Натуральное число Факультативный курс по математике. называется общим делителем натуральных чисел Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике., если Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике. оба делятся на Факультативный курс по математике..

Определение. Натуральное число Факультативный курс по математике. называется наибольшим общим делителем натуральных чисел Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике., если выполняются условия:

  1. Факультативный курс по математике.о.д. Факультативный курс по математике.;

  2. если Факультативный курс по математике. о.д. Факультативный курс по математике., то Факультативный курс по математике. кратно Факультативный курс по математике..

Например , 45 = н.о.д.( 90, 135, 180 ).

Определение. Многочлен Факультативный курс по математике.называется общим делителем многочленов Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике., если многочлены Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике. оба делятся на Факультативный курс по математике..

Определение. Многочлен Факультативный курс по математике.называется наибольшим общим делителем многочленов Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике., если Факультативный курс по математике. является общим делителем многочленов Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике. и если Факультативный курс по математике. делится на любой общий делитель многочленов Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике..

При нахождении наибольшего общего делителя используется следующие утверждения.

Предложение 1. Если многочлен Факультативный курс по математике. делится на многочлен Факультативный курс по математике., то н.о.д.Факультативный курс по математике.

Предложение 2. Если для многочленов Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике. справедливо равенство Факультативный курс по математике., то н.о.д.Факультативный курс по математике..

Задача 1. Найти наибольший общий делитель многочленов Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике..

Решение. Разделим в столбик многочлен Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике.:

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Запишем результат деления в виде равенства Факультативный курс по математике.. Согласно предложения 2. имеем н.о.д.Факультативный курс по математике.. Теперь разделим в столбик многочлен Факультативный курс по математике..

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Запишем результат деления в виде равенства Факультативный курс по математике.. Согласно предложению 2 имеемФакультативный курс по математике.. Поскольку Факультативный курс по математике. делится на Факультативный курс по математике., то по предложению 1Факультативный курс по математике..

Ясно, что такой способ нахождения наибольшего общего делителя - алгоритм Евклида - пригоден для любых двух многочленов Факультативный курс по математике..

Теорема . 1)Наибольший общий делитель равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

2) Наибольший общий делитель двух многочленов находится с точностью до умножения на ненулевое число.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти н.о.д. многочленов Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике., если:

а) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике..

Решение. Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Факультативный курс по математике..

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен Факультативный курс по математике.. Поэтому н.о.д. Факультативный курс по математике..

Ответ: н.о.д. Факультативный курс по математике..

б) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике..

Решение. Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Факультативный курс по математике..

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен Факультативный курс по математике.. Поэтому н.о.д. Факультативный курс по математике..

Ответ: н.о.д. Факультативный курс по математике..

в) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике..

Решение. Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

-Факультативный курс по математике.

-Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Факультативный курс по математике..

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен Факультативный курс по математике.. Поэтому н.о.д. Факультативный курс по математике..

Ответ: н.о.д. Факультативный курс по математике..

г) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике..

Решение. Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Факультативный курс по математике..

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен Факультативный курс по математике.. Поэтому н.о.д. Факультативный курс по математике..

Ответ: н.о.д. Факультативный курс по математике..

д) Факультативный курс по математике. , Факультативный курс по математике..

Решение. Разделим Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен Факультативный курс по математике.. Поэтому н.о.д. Факультативный курс по математике..

Ответ: н.о.д. Факультативный курс по математике..

Занятие 11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ПОМОШИ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА.

Задачи:

  1. Познакомить учащихся с методом решения систем алгебраических уравнений от одной переменной, основанном на теореме о делении с остатком.

  2. Закрепить умение делить многочлен на многочлен.

  3. Закрепить умение находить НОД для многочленов.

  4. Закрепить указанный выше способ решения систем алгебраических уравнений.

Ход занятия.

Задача 1.Решить систему

Факультативный курс по математике.

Решение. Найдем корни квадратных уравнений обычным способом.

Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Общим решение для этих двух уравнений будет Факультативный курс по математике..

Теорема. Если для многочленов Факультативный курс по математике. справедливо равенствоФакультативный курс по математике., то следующие системы алгебраических уравнений Факультативный курс по математике.равносильны.

Доказательство. Если Факультативный курс по математике.решение первой степени, т.е. Факультативный курс по математике. , то Факультативный курс по математике. и Факультативный курс по математике. является решением второй системы. Аналогично доказывается , что всякое решение второй степени является решением первой.

Разделим многочлен Факультативный курс по математике. на многочлен Факультативный курс по математике. с остатком Факультативный курс по математике.. Согласно теореме система Факультативный курс по математике. равносильна Факультативный курс по математике.. Разделим многочлен Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике. с остатком Факультативный курс по математике.. Согласно теореме Факультативный курс по математике. равносильна системеФакультативный курс по математике., а последняя равносильна одному уравнению Факультативный курс по математике., решение которого является Факультативный курс по математике..

Ответ: Факультативный курс по математике..

Задача 2. Решить систему уравнений

Факультативный курс по математике.

Решение. Разделим с остатком первый многочлен на второй Факультативный курс по математике.. Тогда исходная система равносильна системе Факультативный курс по математике. или Факультативный курс по математике.. Разделим многочлен Факультативный курс по математике. на Факультативный курс по математике. с остатком Факультативный курс по математике.. По теореме последняя система равносильна системе Факультативный курс по математике.на самом деле равносильна одному уравнению Факультативный курс по математике., решением которого будет Факультативный курс по математике.

Отметим, что не умея решать уравнения третьей степени , мы смогли решить систему из двух уравнений третьей степени.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Пользуясь НОДом двух многочленов, найти НОД системы, если:

а)Факультативный курс по математике.

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. 1

Факультативный курс по математике.

Исходная система равносильна Факультативный курс по математике. Разделим первый многочлен на второй.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Система равносильна Факультативный курс по математике., данная система равносильна уравнению Факультативный курс по математике., решением которого будет Факультативный курс по математике..

Ответ:Факультативный курс по математике..

б)Факультативный курс по математике.

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Исходная система равносильна Факультативный курс по математике. Разделим первый многочлен на второй.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Система равносильна Факультативный курс по математике., данная система решения не имеет. Ответ: решения нет.

в)Факультативный курс по математике.

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Исходная система равносильна Факультативный курс по математике. Разделим первый многочлен на второй.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Система равносильна Факультативный курс по математике.. Разделим первый многочлен на второй.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Система равносильна Факультативный курс по математике., данная система равносильна уравнению Факультативный курс по математике., решением которого будетФакультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Ответ: Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

г)Факультативный курс по математике.

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Исходная система равносильна Факультативный курс по математике. Разделим первый многочлен на второй.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Система равносильна Факультативный курс по математике.. Разделим первый многочлен на второй.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике. Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

Факультативный курс по математике.

0

Система равносильна Факультативный курс по математике., данная система равносильна уравнению Факультативный курс по математике., решением которого будетФакультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

Ответ: Факультативный курс по математике., Факультативный курс по математике..

53


© 2010-2022