Учитель МБОУ гимназия № 9

города Воронежа

Хатунцева И.В.

Методическая разработка

«Применение метода оригами для решения геометрических задач»

В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Спрятанные, едва уловимые, они принимают разнообразные формы - от выразительных животных до хитроумно смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные результаты.

Изучение превращений квадратного листа бумаги - один из наиболее интересных путей не только к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии. Как правило, решение геометрических задач методами пергибаний проще и нагляднее. А некоторые из них, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения.

В данном исследовании будут рассмотрены только несколько тем школьного курса геометрии, в которых при решении задач можно применить метод перегибания листа бумаги.

Решения задач будут излагаться по следующему плану:

1. постановка задачи

2. решение ее методом оригами

3. математическое обоснование решения

Тема 1 . Вписанные фигуры

№ 1.

1. Постановка задачи. Вписать в квадрат равнобедренный треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину

А) чему равны углы АСF и AEC?

Б) чему равна сторона EC по отношению к стороне BC исходного квадрата?

В) как относятся отрезки, на которые точка G делит диагональ AC?

Г) как соотносятся площади треугольников AEF и ECF?

2. Математическое обоснование:

Задание А) BCE=ECA=ACF=FCD=90:4=22,5;

ECF=ECA+ACF=22,5+22,5=45;

AEC=180-BEC;

BEC=180-(90+22,5)=180-112,5=67,5;

AEC=180-67.5=112,5; ECF=45; AEC=112.5;

Задание Б) обозначим BC=a. Рассмотрим треугольник ABC, B=90.

AC==a-a=a(-1), т.к. BC=CG=a.

AEC: AG=EG, т.к. AGE=90, EAG=45, значит AEG=45.

ECG: EC===a.

Задание В) AG=a(, CG=a

===.

Задание Г) Saef:Sefc=?

Saef=EF*AG

Sefc=EF*CG

==-1.

№ 2.

1. Постановка задачи. Вписать в квадрат равностороннийй треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину

Математическое обоснование

Рассмотрим треугольник AEM и определим градусные меры углов этого треугольника.

• FAB=BAK=15

• DAE=DAO=15( по построению)

• MAE=60(90-15-15)=60

Треугольник ABM= треугольнику AED , т.к. AB=AD-стороны квадрата,

• BAD=EAD=15,

Треугольник АМЕ- равнобедренный, отсюда AME=AEM.

• AME=AEM==60.

Все углы равны, значит треугольник АМЕ- равносторонний.

№ 3.

1. Постановка задачи Вписать в квадрат правильный шестиугольник, у которого вершины принадлежат сторонам треугольника

2. Математическое обоснование

Рассмотрим треугольник АВС:

• САВ=60(180:3=60);

АВ=АС; (по построению)

Треугольник АВС- равносторонний.

Треугольники совпал при наложении(рис. 6).

Следовательно

Треугольники САК=КАО=AON=NAM=MAB=ABC.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов:

BC=KC=KO=ON=NM=MB.

Отсюда KONMBC- правильный шестиугольник.

Тема 2. Геометрия листа произвольной формы.

№ 4.

1. Постановка задачи Получить квадрат

2. Математическое обоснование.

AN и MB - диагонали, AN ⊥ MB - по построению,

ON=OB=ON=OM( рис.4)

Следовательно, AN=MB, т.к. диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то MABN-квадрат.

№ 5.

1. Постановка задачи Получить центр окружности, описанной около треугольника

2. Математическое обоснование

NM - серединный перпендикуляр отрезка АС,

PK- срединный перпендикуляр АВ, (по построению)

О- точка пересечения NM и PK.

Рассмотрим треугольник АВС:

О- точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, значит О- центр описанной окружности.

№ 6.

1. Постановка задачи Получить точку пересечения прямой и окружности

.

2. Математическое обоснование

ОА¹=ОА¹¹=ОА-это радиусы воображаемой окружности, значит точки А¹и А¹¹- точки пересечения прямой а и окружности.

Метод оригами, рассмотренный в данной работе, оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многими учащимися геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических рассуждений, теорем, и, самое главное, побуждает к дальнейшим исследованиям.

Список литературы:

1. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Весёлые уроки оригами в школе и дома: Учебник. - СПб.: Издательский дом «Литера», 2001. - 208 с.: ил.

2. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Игры и фокусы с бумагой. - М.: Рольф, АКИМ, 1999. - 192 с., с ил.

3. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Волшебные шары - кусудамы. - СПб.: Издательский дом «Кристалл», 2001. - 160с., ил.

4. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Энциклопедия оригами. - СПб.: ООО «Издательский дом «Кристалл»», М.: ЗАО «Издательский дом ОНИКС», 2000. - 272 с., ил.

5. Кунихико Касахара, Тоши Такахама. Оригами для знатоков. - СПб.: ALSIO, 1988.