Конспект урока по геометрии, содержащего региональный компонент, по теме Конус. Объем конуса

Конспект урока геометрии, содержащего региональный компонент.

Тема «Конус. Объем конуса»

Цели урока:

Образовательные: ознакомится с понятием конуса, и формулами для вычисления объема конуса;

Развивающие: научится решать задачи по денной теме: находить объем конуса, находить объем тела вращения.

Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебе, повышение интереса к математике, воспитание всесторонне развитой личности, воспитание любознательности и интереса к родному краю.

Ход урока:

1. Актуализация знаний.

Учитель: Мы продолжаем изучать раздел стереометрии Тела вращения. Итак, вначале вспомним, что такое тело вращения.

Ученики: Тела вращения - тела, ограниченные поверхностью вращения, либо поверхностью вращения и плоскостью.

Учитель: а что такое поверхность вращения и как она получена?

Ученики: Поверхность вращения - поверхность, полученная при вращении какой-либо линии (прямой или кривой), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой - оси вращения.

Учитель: Какие тела вращения вы знаете.

Ученики: К телам вращения относят: цилиндры, конусы, шары, торы.

Учитель: все верно. Теперь давай те вспомним, то что изучали намного раньше.

Скажите, что такое высота?

Ученики: Высота - это расстояние от вершины фигуры или тела до основания фигуры (тела). Иначе - отрезок, соединяющий вершину и основание фигуры и перпендикулярный ему.

Учитель: Отлично! А как найти площадь круга?

Ученики: площадь круга равна .

Учитель: а можно ли найти площадь круга, зная диаметр?

Ученики: Конечно! Достаточно подставить диаметр в формулу. Получим .

Учитель: Мы с вами живем в прекрасном крае. А вы знали, что у наших народов были свои истоки письменности? Скажите, а какие коренные народы проживают на Камчатке?

Ученики: Коренные народы Камчатки: камчадалы, алеуты, ительмены, коряки, чукчи, эвены.

Молодцы: У корякского народа была своя письменность. Числа обозначались специальными значками. Например, | - единица, О - десять, а - сотню.

Предлагаю простые задачи.

Ученики: Ответы: 10- 1 = 9, 100 + 100 = 200, 100 - 40 = 60

Задача: у охотника было 103 патрона, 101 он потратил. У него осталось 2 патрона.

Учитель: Правильно! Теперь попробуйте записать ответы, используя известные вам корякские числа.

Ученики: |O - девять, образование как в римских числах.

Двести - , 60 - ОООООО. Ответ задачи - два - ||.

Учитель: Молодцы. Приступим к новой теме.

2. Изучение нового материала.

Учитель: Сегодня мы познакомимся с конусами.

Конус тоже является телом вращения.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Сможете сказать, из чего состоит полная поверхность конуса?

Ученики: Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Учитель:

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.

Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Если образующие боковой поверхности конуса неограниченно продолжить в обе стороны, то получится коническая поверхность, которая состоит из всех прямых (образующих), проходящих через данную точку S, которые пересекают данную окружность. При этом окружность можно заменить любой другой линией. Тогда получится коническая поверхность общего вида.

Скажите, где мы встречаемся с конусами в жизни?

Ученики: Дорожный оградительный конур, рожок для мороженного, елка, морковь, детская пирамидка, праздничный колпачок.

Учитель: А на Камчатке есть что-нибудь, что по форме является конусом?

Ученики: Вулканы, сопки, и даже юрты - жилища коренных народов Камчатки.

Учитель: Сейчас мы ознакомимся с формулами нахождения объема конуса.

3. Закрепление изученного материала.

Приступим к закреплению изученного материала.

Задача 1. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м и образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в кучу, если 1 м³ щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т.

Решение.

Дано: конус

ОА = 2м,

АР = 3,5м,

1м3 = 3т,

1 воз = 0,5 т.

Найти: количество возов.

Решение: V =

Найдем высоту:

h =3,5 ² - 2 ² = 8, 25 = 2, 87 м, тогда

V = 1/3 П 2, 87 4 = 12 м³,

12м³ • 3 т = 36 т в одной куче щебня,

36 : 0,5 = 72 воза потребуется.

Ответ: 72 воза.

Задача 2. Жидкость, налитая в конический сосуд, имеющий 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,10 м. Как высоко будет уровень жидкости в сосуде?

Задача 3. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем тела вращения.

Задача 4. Региональный компонент.

Вулкан Ключевская сопка

Высшая точка Камчатского полуострова, самый высокий действующий вулкан Евразии, один из самых высоких и активных вулканов мира. Вулкан расположен в центральной части полуострова и относится к Ключевской группе вулканов - крупнейшему скоплению вулканических сооружений на Камчатке состоящей из 14 вулканов. Для всей этой группы характерны ярко выраженные активные процессы вулканизма. Гигантские размеры вулканов, довольно плотное их скопление на сравнительно небольшой площади, ярко выраженное проявление активных процессов, а также своеобразный характер состава и формы продуктов придают группе неповторимость, уникальность и притягивают к себе ученых, туристов и альпинистов. Вулкан Ключевской - типичный стратовулкан, гигантский конус вместе с основанием поднимается на высоту 4850 м. Крутизна склонов Ключевской сопки - 30-35 градусов. Диаметр основания - около 15 км. Кратер вулкана имеет диаметр 550-600 м. С момента первого наблюдения в 1697 году вулкан извергался 54 раза. При сильных взрывах раскаленный вулканический материал выбрасывается на высоту 1500 м, а газовые тучи до 20 км. Пепел достигает долины реки Камчатки и покрывает город Ключи. О Ключевском вулкане все без исключения путешественники и исследователи говорят с восхищением. Кругосветный путешественник Ф. Гюльермар, который посетил Камчатку в 19 веке, писал, что Ключевская группа вулканов по своей величественности и совершенной красоте превосходит такие известные вулканы мира, как Этна и Фудзияма.

Найдите объем вулкана Ключевская сопка.

Решение:

Дано:

Конус

H = 4850 м = 4.85 км.

D осн = 15 км

Найти: Vконуса

Решение:

S = 3,14 15² 0,25 = 176,625 км²

V = 176,625 1/3 4,85 = 285, 5 км³

Ответ: Объем вулкана равен V = 285, 5 км³

4. Контроль знаний и умений, полученных на уроке.

Самостоятельная работа

Вариант 1.

Вариант 2.

1. Основание треугольника b , высота его h. Найти объем тела, полученного при вращении его вокруг основания.

1. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращается около гипотенузы. Определите объем полученного тела.

2. Дан прямой круговой конус, r = 6 cм, угол ВСО = 450. Найдите объем конуса.

2. Дан прямой круговой конус, АВС равносторонний, ВО = 103. Найдите объем конуса.

3. Кальдера вулкана Ксудач

Расположенав150 км к югу от Петропавловска. Среди Камчатских вулканов Ксудач кажется совершенно неприметным. Его высота немногим более 1000 метров. Однако диаметр основания вулкана более 30 километров. Это грандиозное сооружение. В кальдере несколько озер. Самое крупное - озеро Ключевое размерами 3х4 километра и глубиной около 90 метров. В северной части кальдеры возвышается кратер Штюбеля, который тоже заполнен озером. Отвесные стены кратера круто обрываются в воду озера.

Найдите объем вулкана.

3. Вулкан Кроноцкий

Относится к действующим, расположен в самой южной части Камчатки, к востоку от озера Кроноцкого. Вулкан имеет правильную коническую форму, иссеченную крутыми гребнями. Абсолютная высота вулкана 3528 м, диаметр основания 16 км. Склоны конуса вулкана спускаются на востоке до побережья Тихого океана, на западе - до Кроноцкого озера.

Найдите объем вулкана.

Решение самостоятельной работы.

Вариант 1.

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

V = (П 15² 1):3 = 75 П = 235, 5

Вариант 2.

Задача 1.

1 случай

2 случай

Ответ: 12П или 16П

Задача 2.

Задача 3.

V = (П 8² 3,528):3 = 75,264 П = 236, 3