Научная работа по математике на тему Приёмы быстрого счёта

Содержание

Введение.......................................................................................................................4

Глава 1. Использование устного счёта.....................................................................6

1.1 «Устный счет» на картине Н. П. Богданова-Бельского ………………...........6

1.2 Приёмы быстрых устных вычислений в 5,6 классах.........................................9

1.3 Приёмы быстрых устных вычислений в 7 классе............................................12

1.4 Приёмы быстрых устных вычислений в 8 классе……………………………13

Глава 2. Исследовательская часть………………………………….……….……15

2.1 Выработка умений решать примеры, используя упрощенные способы вычислений…………………………………………………………………………15

Выводы……………………………………………………………………………...19

Заключение.................................................................................................................20

Список литературы....................................................................................................21

Приложение

« Сборник упражнений по устному счёту»

« Миром правят цифры! »

Пифагор Самосский

Введение

Вычислять быстро, подчас на ходу - это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись, как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе.

А какую огромную роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии, черчению и так далее нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Не секрет, что у учащихся с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.

Повышение вычислительной культуры способствует полноценно усваивать предметы физико-математического цикла. Вычислительные навыки по-прежнему остаются актуальными, в особенности, когда под рукой нет калькулятора, так как приходится очень много времени тратить на вычисления в «столбик».

Цель работы - повысить вычислительную культуру учащихся, научить использовать приемы быстрого счета при выполнении различных математических тестов, при подготовке итоговых аттестаций в 9 и 11 классах.

Задачи работы:

1. Рассмотреть приемы быстрого счета подобранных соответственно для 6, 7, 8 классов;

2. Изучить предложенные способы быстрого счёта и применить их при решении различных видов вычислительных примеров;

3. Провести анкетирование в 6,7,8 классов на применение навыков устного счета;

4. Выявить основные ошибки, возникающие при вычислениях

Методы исследования: Изучение литературы, анкетирование среди учащихся, синтез и анализ данных полученных в ходе работы.

Предмет исследования - различные способы устного счета на уроках математики соответствующие каждому классу относительно школьной программы.

Объект исследования - учащиеся 6-8 классов КГУ «Гимназия № 93»

Гипотеза: использование на уроках математики знаний и умений быстрых способов вычисления способствует повышению вычислительной культуры учащихся 6-8 классов: умножения двузначного на двузначное, умножение на 11, применение формул сокращенного умножения, возведения в квадрат и т.д.

Глава 1. Использование устного счёта

1. «Устный счёт» на картине Н.П. Богданова - Бельского.

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа ее закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются именно умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы, полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и других предметов.

Счёт в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений. Устному счёту уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в своё имение, село Татево Смоленской губернии. Там организовал начальную школу и сам преподавал в ней, стремясь развить у крестьянских детей математические способности и привить им интерес к математике. Всем известна картина Н. П. Богданова-Бельского "Устный счёт". На ней изображён С. А. Рачинский со своими учениками. Обратимся к картине. На доске записан пример для устного счёта:

Мальчик, конечно же, догадался, что сумма квадратов первых трёх натуральных чисел равна сумме квадратов следующих чисел, т.е. . Таким образом, данное на картине числовое выражение равно 2. Под силу ли эта задача нашим нынешним ученикам начальных классов? Скажем сразу: нет! Не под силу эта задача и среднему звену современных учащихся.

В настоящее время среди учащихся бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что всё более и более освобождая себя от вычислений, фактически освобождаем свой разум от умственного развития.

"Развитие навыков должно предшествовать развитию ума". Это сказал Аристотель 25 веков назад. На мой взгляд, в этой цитате навыки рассматриваются как необходимое условие развитие ума, а их совершенствование как важная составляющая развития каждого из нас.

В школе Рачинского, умели возводить в квадрат числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме. Как они это делали? Казалось бы, процесс достаточно трудоемкий, однако при ближайшем рассмотрении выясняется, что освоить возведение в квадрат может любой, даже не слишком продвинутый в математике ученик. Ну, например, сколько будет 96 в квадрате? Конечно, можно взять калькулятор, набрать нужные кнопки и получить ответ. Можно взять листок бумаги и подсчитать это столбиком. А можно и в уме.

Нужна технология, способная за короткое время дать правильный ответ, тем самым ускорить процесс формирования у учащихся вычислительных навыков.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень овладения вычислительными навыками определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

Вычисления активизируют память учащихся, внимание, стремление к рациональной организации деятельности, которые оказывают существенное влияние на развитие личности.

Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

Хорошо развитые у учащихся навыки устного счёта - одно из условий их успешного обучения в старших классах.

1.2 Приёмы быстрых устных вычислений в 5, 6 классах

Для формирования у школьников сознательных прочных вычислительных навыков, используются различные приемы устного счёта.

В 5 и 6 - ом классах ученики должны уметь выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами. Согласно школьной программе учащиеся могут выполнять основные действия с десятичными дробями, применять законы умножения к вычислению примеров, использовать основные признаки делимости, определять порядок действий при вычислении значения выражения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Рассмотрим некоторые приёмы устного счёта в данный промежуток обучения учащихся.

1. Признаки деления. Признаки делимости - алгоритмы, позволяющие сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 или число кратно 5.

2. Умножение чисел на 11. Данный способ устного счёта используется очень часто в 5 классе при решении больших примеров и математических «цепочек».

А) Сумма десятков и единиц умножаемого числа меньше 10:

1) Слева ставим число десятков, а справа единиц, оставляя место между ними

2) Между записанными числами записываем сумму данных чисел

3) Переписать данные числа, которые и будут ответом.

Пример:

Б) Сумма десятков и единиц умножаемого числа больше 10:

1) Так же как и верхнем способе слева пишем число десятков, а справа единиц.

2) Между ними записать их сумму

3) К числу единиц исходного числа прибавить 1

Пример:

3. Умножение двухзначного числа на двухзначное.

Данный алгоритм используется при решении многих примеров в 5,6 и последующих классах.

1) цифры десяток перемножить между собой, умножив на 100,

2) перемножить "крайние" цифры чисел между собой попарно (справа и слева), и перемножить внутренние цифры между собой при записи в строчку. Результат сложить и умножить на 10.

3) перемножить цифры единиц.

4) Сложить все числа, полученные в ходе предыдущих вычислений

Пример:

4. Умножение натуральных чисел, используя законы умножения. Отталкиваясь от общего представления об умножении натуральных чисел, можно отметить ряд результатов, характерных для этого действия. Эти результаты называются свойствами умножения натуральных чисел.

Сочетательный закон

Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей:

Переместительный закон

От перестановки множителей произведение не изменяется:

Распределительный закон

Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить:

1.3 Приёмы быстрых устных вычислений в 7 классе

В 7-ом классе вычислительные соображения школьников закрепляются при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным и целым показателями, с различными действиями над одночленами и многочленами, при решении примеров с помощью сокращенного умножения, а также при нахождении значения рациональных выражений. Но в основном у школьников вызывает большой интерес возведение чисел в квадрат с помощью формул сокращенного умножения:

1. Возведение чисел в квадрат, используя формулы квадрата суммы и разности .

1) Вначале, мы должны «разбить» данное число на сумму десятков и единиц, входящих в это число и возвести в квадрат

2) По формулам : , где а - число десятков, в - число единиц, посчитать результат.

Пример:

2. Вычисления с применением формулы разности квадратов :

1) Перемножаемые числа должны соответствовать формуле

2) Числа нужно разбить на одинаковое число десятков и единиц, отличающихся друг от друга только знаком

Пример:

1.4 Приёмы быстрых устных вычислений в 8 классах

В 8-ом классе мы сталкиваемся с изучением таких тем как: «Квадратные корни и их свойства», «квадратные неравенства и уравнения», а точнее в ходе нахождения корней квадратного уравнения, его дискриминанта, вычислений, связанных в возведением чисел в квадрат и их умножением.

1. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 :

Способ 1: 1) Возведём в квадрат число десятков.

2) К полученному произведению прибавим число десятков, которое возводили в квадрат. Число, полученное в результате действий 1 и 2 будет являться числом сотен.

3) Справа от результата допишем квадрат числа единиц.

Пример:

Способ 2: 1) К числу десятков допишем следующее по счёту число и перемножим их.

2) К результату справа, как и в предыдущем случае, допишем квадрат числа единиц, т.е. числа 5.

Пример:

Способ 3: 1) Число десятков, так же как в прошлый раз, умножим на следующее число по счёту и объединим цифры, связанные между собой знаком умножения в скобки.

2) Данное произведение умножим на 100. Т.е. к полученному результату добавим 2 нуля.

3) К полученному результату прибавляем квадрат числа 5.

Пример:

2. Возведение в квадрат двухзначного числа:

1) К числу, которое нужно возвести в квадрат нужно прибавить его единицы

2) Сумму следует умножить на десятки данного числа

3) В окончании, надо к полученному результату прибавить квадрат единиц данного числа, что очень похоже на предыдущие способы.

3. Квадраты близких чисел:

1) Вначале, нужно разобраться, к какому числу данное число расположено ближе: к 5 или к 10. Числа от 0 до 3 следует округлять до целого ( 10,20…), а от 4 и более до числа, десяток которого на 10 единиц больше.

2) К округленному числу прибавим единицы, которые следует умножить на сумму числа, которое нужно возвести в квадрат.

4. Умножение чисел, у которых цифры десятков одинаковые:

1) Для этого нужно к числу десятков приписать следующую по счёту цифры и записать данное произведение

2) Перемножить числа единиц и дописать их справа

Пример:

Глава 2. Исследовательская часть.

2.1 Выработка умений решать примеры, используя упрощенные способы вычислений

Для того, чтобы определить как учащиеся владеют быстрыми устными способами вычислений было проведено анкетирование среди учащихся 6 «Г», 7 «Б», 8 «В» классов КГУ «Гимназия № 93» по следующим вопросам:

1. Часто ли Вы используете при вычислениях приёмы устного счёта:

2. Как вы думаете, знание данных приемов устного счёта будут ли использованы Вами в дальнейшем?

Данные об анкетировании можно представить в виде таблицы:

Судя по таблице можно сказать, что многие учащиеся используют при вычислениях приёмы устного счёта (см. 1 вопрос). По результатам второго вопроса видно, что 56 из 62 опрошенных будут использовать показанные приёмы устных вычислений. Количественное соотношение можно увидеть на следующих диаграммах:

Также учащимся было предложено выполнить задания по примерам, соответствующим их учебной программе. Для каждого класса составлено по 3 задания:

Задание для 6 класса

1.Перемножьте числа 27 и 93

2.Умножьте 25 на 11

3.Выполните умножение, используя нужный закон умножения: 1) ; 2) ; 3)

Задание для 7 класса

1.Возведите число 59 в квадрат, используя формулу квадрата суммы

2.Возведите число 38 используя формулу квадрата разности

3.Перемножьте числа 56 и 44, используя формулу разности квадратов

Задание для 8 класса

1.Выполните умножение: 92∙98

2.Возведите число 45 в квадрат

3.Извлеките из - под знака корня

Данные по результатам внесены в следующую таблицу:

Анализируя результаты ответов ребят, я пришёл к выводу, что способы устного быстрого счёта поняты учениками. В основном учащиеся справились с предложенными им заданиями. У них появился интерес и потребность к расширениям их знаний. Они с удовольствием участвовали в приёмах устного счёта. Но, не смотря на это, в вычислениях были допущены и ошибки. Рассмотрим эти ошибки относительно каждого класса:

У учеников 6 «Г» класса:

1. Возникли трудности в выполнении умножения двухзначного на двухзначное число;

2. Неверное применение сочетательного закона умножения;

3. Неверная постановка знаков между произведением чисел в третьем примере, третьего задания;

4. Неправильное сложение двухзначных и трехзначных чисел.

У учеников 7 «Б» класса:

1. Неверное применение формул сокращенного умножения;

2. Неправильное сложение чисел.

У учеников 8 «В» класса:

1. Путаница в применении таблицы умножения;

2. Ошибочное восприятие информации об извлечении чисел, оканчивающихся на 25 из под знака арифметического квадратного корня.

Количественное соотношение можно увидеть на следующих диаграммах:

На основании полученных данных мы можем утверждать, что данная работа востребована и будет иметь практическое значение и применение в ходе учебной деятельности учащихся.

Выводы

В ходе данной работы я пришёл к следующим выводам:

1. Рассмотренные приёмы быстрого счёта подобранны соответственно для 6,7,8 классов из разных источников литературы

2. Проводя анкетирование в 6,7,8 классах на применение навыков устного счёта, в ходе которого некоторые учащиеся данных классов открыли для себя новые приёмы

3. Я думаю, что вычислительная культура учащихся данных классов повысилась, так как некоторые из них впервые слышали о данных способах приемов устного счета

4. Мной были Выявлены основные ошибки, возникающие при вычислениях, при проведении исследования

5. Моя гипотеза о том, что использование на уроках математики знаний и умений быстрых способов вычисления способствуют повышению культуры учащихся 6-8 классов подтвердилась, т.к. при вычислениях обычным способом (умножение «столбиком», деление «уголком») потребовало затратить больше времени, чем практическое применение данных приёмов устного счёта.

Заключение

Устный счёт имеет широкое применение в повседневной жизни: он развивает сообразительность учащихся, находчивость, сообразительность, память, гибкость мышления, ставя нас перед необходимостью подбирать приёмы вычислений, удобные для конкретного случая. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять свои ошибки в результатах вычислений, выполненных без помощи калькулятора и соответствующих таблиц. На данный момент, изучив методы решения быстрого счёта, я могу помогать своим друзьям, одноклассникам и сверстникам. Поэтому, думаю, что полезно знать приёмы устного счёта, связанные с вычислениями, которые в дальнейшем будут использованы нами при написании итоговых экзаменов в 9 классе и итоговых аттестаций в 11 классе.

Список литературы

1. Т.А. Алдамуратова, Т.С. Байшоланов // Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательной школы, Алматы - 2006 год

2. А.Н. Шыныбеков // Алгебра. Учебник для 7 класса общеобразовательной школы, Алматы - 2011 год

3. А.Е. Абылкасымова, А.Абдиев, З.А. Жумагулова // Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательной школы, Алматы - 2012 год

4. Л. Федотова // Повышение вычислительной культуры учащихся 5-9 классов, журнал « Математика в школе», Москва - 2004 год. - № 35. - с. 3

5. Э.П. Струнникова, Н.И. Мельникова // Устный счёт, Москва - 2007 год

6. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин // Математическая шкатулка, Москва - 1988 год

21