Факультативный курс «Простые методы решения сложных неравенств»

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА СЛУШАТЕЛЯ КУРСОВ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПО НАКОПИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ САМОТИНОЙ ОЛЬГИ АНАТОЛЬЕВНЫ

ПРОСТЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа курса «Простые методы решения сложных неравенств» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении. Основное внимание уделяется методам решений неравенств. Эти методы не относятся к стандартным школьным, но позволяют многие неравенства решить быстро и красиво. Ясно, что обобщенный метод интервалов для непрерывных функций является универсальным для решения неравенств, но он таит в себе неприятности. При его применении надо подставлять точки для выяснения знака функции на промежутке. Но иногда «пробная» точка бывает «плохой», иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и в результате арифметической ошибки знак может оказаться неверным. А в условиях экзамена на исправление нет времени. В данном курсе рассматривается , как можно с помощью условий равносильности свести решение многих иррациональных, показательных, логарифмических неравенств к решению рациональных неравенств классическим методом интервалов для рациональных функций.

Решение таких задач будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся. Данный курс будет полезен выпускникам, которые будут сдавать ЕГЭ. Ведь если есть время, можно не задумываться о выборе способа решения, но если время в дефиците, то приходится выбирать оптимальный способ.

ЦЕЛИ КУРСА:

1.Помочь ученикам научиться решать неравенства четко, компактно, быстро и просто, используя нестандартные приемы .

2.Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной работы.

3.Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

ЗАДАЧИ КУРСА:

1.Научить учащихся решать неравенства более высокой сложности, по сравнению с обязательным уровнем.

2.Выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

3. Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА:

1.Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач. 2.Решать неравенства изученными методами.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№

ТЕМА ЗАНЯТИЙ

ЧАСЫ

1

Показательные неравенства.

2

2

Логарифмические неравенства.

2

3

Неравенства, содержащие сложную экспоненту или логарифм с переменным основанием.

2

4

Иррациональные неравенства.

2

5

Решение неравенств разных типов.

3

6.

Контрольное тестирование.

2

Литература (для учащихся):

1. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике. mathege .ru.

2. Д.А. Мальцев и др. Все для ЕГЭ 2011.: НИИ школьных технологий. М.,2010.

3. Л.О. Денищева. Единый государственный экзамен: контрольно-измерительные материалы. Министерство образования РФ, М., Просвещение,2003-2004.

4. А.Ф. Иванова, В.В.Пешков. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к экзаменам.Воронеж,2005.

Литература(для учителей):

1. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник. Олехник С.Н.,М.,Факториал,1997г.

2. И.С.Колесникова «Решение сложных задач единого государственного экзамена»,М.,Айрис пресс,2007г.

3. Д.А. Мальцев и др. Все для ЕГЭ 2011.: НИИ школьных технологий. М.,2010.

4. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике. mathege .ru.

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ЗАНЯТИЙ

ВВЕДЕНИЕ.

В курсе математического анализа формулируется теорема.

Теорема . Если f(x) непрерывна на отрезке [а; в] и не обращается в 0 на открытом промежутке (а, в), то f(x) имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка [а; в].

Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули f(x) и определить знаки f(x) на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную» точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической ошибки результат окажется неверным. Кроме того, очень часто школьники вообще не проверяют знаки, а расставляют их по аналогии с тем, как это делается для рациональной функции, не задумываясь о том, действительно ли данная функция меняет знак при переходе через «ноль».

Попробуем вывести такие условия равносильности, которые часто за один шаг сведут решение самых распространенных показательных и логарифмических неравенств к решению рациональных неравенств известным методом интервалов.

ЗАНЯТИЯ 1,2. Показательные неравенства.

Рассмотрим неравенство а^f(x) > а^g(x).

• Если a > 1, то f(x) > g(х) и (а - 1)(f(x) - g(х)) > 0.

• Если 0 < а < 1, то f(x) < g(х) и опять (а - 1)(f(x) -g(х)) > 0.

Верно и обратное: если (а - 1)(f(x) - g{х)) > 0, а > 0, то

• при а > 1 имеем f(x) > g(х) и а^f(x) > а^g(x);

• если 0 < а < 1, то f(x) < g(х) и опять а^f(x) > а^g(x).

Таким образом, мы вывели условие равносильности

a^f(x)> a^{g(x) (}a-1)(f(x)-g(x))> о. (1)

Теперь рассмотрим нестрогое неравенства a^f(x) ≤a^g(x), где а > 0. Тогда верно (а-1)(f(х)-g(х))≤0 . При рассмотрении неравенства а^f(x)< a^g(x) меняется знак произведения в (1), и мы получаем

Правило 1. Знак разности а^f(x)- а ^g(x) совпадает со знаком произведения (а -1)(f(х) - g(х)).

При конкретном а неравенство а^f(x)> а^g(x), конечно, может быть решено стандартным способом, и объем выкладок тот же. Но здесь есть некоторое преимущество - не надо задумываться над тем, какое а: больше оно или меньше 1.

Пример 1. Решите неравенство

Решение. Так как, в силу правила 1, знак разности (3^х - 3°) совпадает со знаком произведения (3 - 1)(х - 0), знак разности совпадает со знаком произведения (2 - 1)(х² - 4), то

Ответ: |0; 1) U [2;+).

Пример 2. Решите неравенство 7/(9^х-2)≥2/(3^х-1).

Решение. Запишем цепочку равносильностей, в которой третий переход осуществлен в силу правила 1:

Ответ: [-log₃2;0) (0,5log₃2;1].

Пример 3. Решите неравенство .

Решение. Заметим, что - 1 =1/(+1).

Поэтому

(+ 1)^х + 1< 2(-1)^х (+ 1)^2х+(+1)^х - 2 < О

(( + 1)^x + 2) (( +1)^x-1) <0

Ответ: (-; 0).

ЗАНЯТИЯ 3,4. Логарифмические неравенства.

Логарифмические неравенства вида log_аf(x)>0(<0).

Рассмотрим неравенство log_af(x) > 0(< 0), где a - заданное положительное число, отличное от 1. ОДЗ: f(x) > 0.

• Если а > 1, то log_af(x) > 0 (< 0) тогда и только тогда, когда f(x) > 1 (< 1), т. е. (а - 1)( f(x)- 1) > 0 (< 0).

• Если 0 < а < 1, то log_a f(x) > 0 (< 0) тогда и только тогда, когда f(x)< 1 (> 1), т. е. опять (а - 1)(f(x) - 1) < 0 (> 0). И, наоборот, если

(а - 1)(f(x) - 1) > 0 (< 0), то

• при а > 1 имеем f(x) > 1 (< 1), а тогда log_a f(x) > 0 (< 0);

• при 0 < а < 1 имеем f(x) < 1 (> 1), а тогда log_af(x) > 0 (<0).

Следовательно, имеет место условие равносильности в ОДЗ неравенства

log_a f(x) > 0 (< 0) (а - 1)(f(x) - 1) > 0 (< 0). (2)

Условие равносильности верны (для обоих знаков) и для нестрогого неравенства.

Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Это особенно важно при решении тестов ЕГЭ, когда время для их решения ограничено. Из (2) следует правило.

Правило 2. Знак log_af(x) совпадает со знаком произведения (a - 1)(f(x) - 1) в ОДЗ.

Логарифмические неравенства вида log_af(х) > log_ag(x) и более сложные неравенства.

Рассмотрим неравенство log_аf(x) > log_ag(x), где a>0, a1. OДЗ определяется системой

Если а>1,то log_af(x)>log_ag(x) тогда и только тогда, когда f(x)>g(х), т.е. (а -1)(f(x) -g(х)) > 0.

Если 0<а<1, то log_af(x) >log_ag(x) тогда и только тогда, когда f(x)<

g(х), т.е. опять (а - l)(f(x) - g(х)) > 0.

И наоборот. Если (a - l)(f(x) - g(х))>0, то

при а >1 имеем f(x) > g(х), а тогда log_af(x) > log_ag(x).

• при 0< а <1 имеем f(x) < g(х), а тогда опять log_af(x) > log_a(x).

Мы получили условие равносильности. В ОДЗ неравенства

log_af(x)> (<)log_ag(x) (a-l)(f(x)-g(x))>0(<0). (3)

Отсюда следует

Правило 3. Знак разности log_a f(x)-log_a g(х) совпадает со знаком произведения (а - 1)(f(x) - g(x)) в ОДЗ.

Условия равносильности (2) и (3) верны (для обоих знаков) и для нестрогого неравенства

log_a f(x) ≥ log_ag(x) <> (а- l)(f(x) - g(х)) ≥ 0.

При решении простейших логарифмических неравенств, конечно, можно не использовать полученные правила. Но они дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений.

Пример 4 .Решите неравенство ( log₃(3^x-1))/(х-1)1.

Решение. Найдем ОДЗ: 3^х - 1 > 0 <=> х > 0.

Преобразуем неравенство и воспользуемся полученными

правилами:

<>

х (0;log₃3/2](1;+∞).

Учитывая ОДЗ, получим окончательный ответ.

Ответ: (0;log₃3/2](1;+∞).

ЗАНЯТИЯ 5,6. Неравенства, содержащие сложную экспоненту или логарифм с переменным основанием.

Показательные неравенства.

Рассмотрим неравенство а(x)^f(х) > а(х)^g(x), где а(х), f(x), g(х) - непрерывные функции на X.

ОДЗ неравенства задается условием а(х) > 0.

Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве а число е (можно взять любое другое допустимое число).

Неравенство а(х)^f(х) > а(х)^g(x) принимает вид

e^f(x)lna(x) >e^g(x)lna(x) и, используя ранее полученные правила, получим равносильное неравенство

(е - l)(f(х)lnа(х) - g(х)lnа(х)) (е- 1)(f(x) - g(х))ln а(x) > 0,

и окончательно имеем условие равносильности в ОДЗ неравенства

a(x)^f(х) > а(х)^g(x) (а(х) - 1)(f(x)- g(х)) > 0. (4)

Отсюда следует

Правило 4. Знак разности а(х)^f(x)- а(х)^g(x) совпадает со знаком произведения (а(х) - 1)(f(x) - g(х)) в ОДЗ.

Преимущество условия равносильности (4) состоит в том, что если а(х), f(x), g(х) - рациональные функции, то за один шаг мы перешли к классическому варианту метода интервалов.

Замечание: для нестрогих неравенств также верно условие равносильности.

Пример 5 . Решите неравенство

(2^х + 0,09 • 2^-х) ^1/2х ≥ (2^х + 0,09 •2^-х) ^1/(1-х).

Решение.

Воспользуемся полученными правилами

(2^х + 0,09 • 2^-х) ^1/2х ≥(2^х + 0,09 • 2^-х)^1/(1-х) <

(2^х + 0,09 • 2^-х - 1)(1/2х-1/(1-х))≥0

- + - + - +

log₂1/10 log₂9/10 0 1/3 1 х

Ответ: [log₂1/10; log₂ 9/10] (0;1/3] (l;+∞).

Логарифмические неравенства

Рассмотрим неравенство log_а(х) f(x) > 0. ОДЗ левой части определяется системой

log_a(x) f(x)

равносильно (а(х) - 1)(f(x) - 1) > 0.

Таким образом, получаем

Правило 5. Знак функции log_a(x) f(x) совпадает со знаком произведения (а(х) - 1)(f(x) - 1) в ОДЗ.

Рассмотрим неравенство log_a(_x) f(x) > log_a(_x) g(x) , где a(x),

f(x), g(x) непрерывные функции и а(х)>0, а(x) 1, f(x)>О,

g(x) >0.

По определению, log_a(x) f(x) - log_a(x) g(x) =(lg f(x) -lg g(x))/lg g(x) и, в силу рассмотренных выше правил, справедливо

Правило 6. Знак разности log_а(x)f(x) -log_a(х)g(x) совпадает со знаком произведения (а(x) - 1)(f(x)- g(x)) в ОДЗ.

Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований, и теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются.

Пример 6. Решите неравенство < log_[3х-3](5^x+ 3^x) + log _[3x-3](5^x-1 + 3^x-1).

Решение. Преобразуем логарифм произведения в сумму логарифмов, сократим одинаковые слагаемые, а затем воспользуемся условием равносильности и правилами 4 и 5:

log_|3x-3|(5^x + 3^x)(5^х-3^х)< log _[3x-3](5^x + 3^х) + log (5^x-1+ 3^x-1)

|3х - 3| 0,

5^x - 3^х > 0,

(|3x - 3| - 1)(5^x - 3^x - - 3^x-1) < 0

x1,

(5/3)^х-1>0 ,

(|3х-3|-1)(4/5 5^х - 4/3 3^х)<0

х> 0,

х1,

(3х-4)(3х-2)((5/3)^х-1-(5/3)⁰)<0

х (0; 1) (l;+∞),

(х-4/3)(х-2/3)(х-1)<0.

И теперь с рисунка «снимаем» ответ.

+ - + - +

0 2/3 1 4/3

Запишем ответ.

Ответ: (0;2/3) (l;4/3).

ЗАНЯТИЯ 7,8. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Иррациональными называются неравенства, в которых переменные входят под знаком корня.

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень. Так как корень четной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.

Но при решении иррациональных неравенств четной степени при бездумном возведении в эту степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.

Например, возведя в квадрат

-верное неравенство -5 2, мы получим неверное неравенство ;

-неверное неравенство , мы получим верное неравенство ;

-неверное неравенство , мы получим неверное неравенство .

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Методы решения иррациональных неравенств.

Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности

систем рациональных неравенств.

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

или . (1)

Иррациональное неравенство или равносильно совокупности двух систем неравенств

или . (2)

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств

или . (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

Пример 1. Решить неравенство

Решение: правая часть этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство >-12.

Решение: правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Ответ. .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение:

Условие выполнено при всех x.

Ответ. .

Пример 4. Решить неравенство

Решение : 2х-5>9, х>7

Ответ. _(7;+∞).

Пример 5. Решить неравенство .

Решение: запишем систему

.

Ответ. .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение:

Ответ. .

Пример 7. Решить неравенство .

Решение: данное неравенство равносильно системе

Ответ.

Теперь перейдем к решению более сложных задач, стараясь свести их к простейшим неравенствам, рассмотренным выше.

Если в неравенстве встречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить в квадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример 8. Решить неравенство .

Решение:

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Ответ. .

Пример 9. Решить неравенство .

Решение: начнем с отыскания ОДЗ:

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия (так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение .

Итак, если , данное неравенство преобразуется и решается так:

В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ: .

Умножение обеих частей неравенства на сопряженные выражения.

Выражения и называются сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение уже не содержит корней из и . Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример 10. Решить неравенство .

Решение. Найдем ОДЗ:

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части (положительное в ОДЗ):

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства .

Если он меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству:

,

из которого находим прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны)

Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при ), после сокращения на него получаем неравенство

,

из которого прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем, что оно справедливо при .

Осталось указать, что в третьем возможном случае - если общий множитель равен нулю, - неравенство не выполняется: мы получаем тогда , что неверно.

Ответ: .

Метод введения новой переменной

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным.

Пример 11. Решить неравенство

Решение. Перепишем исходное уравнение .

Сделаем замену , . Тогда получим

Таким образом, для определения получаем совокупность неравенств

Ответ. .

«БЫСТРОЕ» РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ.

Неравенства вида можно решать, используя следующие правила.

ПРАВИЛО 1: если g(x) ≥ 0 , то знак разности -g(x) совпадает со знаком разности f(x)-g²(x) в ОДЗ.

Пример 12. Решите неравенство ≥ -х-0,25.

Решение. Найдем ОДЗ:

2х -7х-4 ≥ 0 х (- ∞;- 0,5) [4;+ ∞ ).

Если -х-0,25 ≤ 0, х ≥ -0,25, то неравенство выполняется в ОДЗ, т.е. х [4, + ∞).

Если -х-0,25 ≥ 0, х ≤ -0,25, то ≥ -х-0,25

2х² -7х ≥х²+0,5х +1/16 16х² -120х -65 ≥ 0

х (- ∞; (15- )/4 ).

Объединяя оба случая, получаем окончательный ответ.

Ответ: (- ∞ ; (15- 290)/4) (4; + ∞ ).

ПРАВИЛО 2: знак разности совпадает со знаком разности f(x)-g(x) в ОДЗ.

Пример13. Решите неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе

х²-5х-6≤0, х [-1;6],

х⁵-3х⁴-11х³-х²+5х+6≥6+5х-х² , х³(х²-3х-11)≥0.

Данная система равносильна системе

х [-1;6];

х³(х-(3-)/2)(х-(3+)/2)≥0 , х [-1;0][(3+)/2;6].

Система решена методом интервалов.

Ответ: [-1;0][(3+)/2;6].

ЗАНЯТИЯ 9-11. Замечание: кроме предложенных правил решения показательных, логарифмических, иррациональных неравенств можно использовать правила и для решения неравенств с модулем, что позволяет не определять знаки подмодульных выражений.

ПРАВИЛО 1: знак разности модулей совпадает со знаком произведения .

ПРАВИЛО 2: если g(x)≥0 , то знак разности совпадает со знаком произведения .

Пример 14. Решите неравенство

Решение. Воспользуемся приведенными правилами:

<

х

Последнее неравенство решено методом интервалов.

Ответ:

ЗАДАЧИ ДЛЯ КЛАССНОГО ТРЕНИНГА.

1.Решите иррациональные неравенства

1).√х²-х-12<х ;

2).√5х-4+√3х+1<3;

3).√х-1+√2х+2>4;

4).√8х-1-√х+1<√х+2;

5).√х²+3х+2-√х²-х+1<1;

6).√х⁴-2х²+1>1-х;

7).√1-х+√х-1>0;

8).√3х²+5х+7-√3х²+5х+2>1;

9). +->0;

10).

11).(13-3х+

2. Решите показательные и логарифмические неравенства

1).(х²+1)^2+х>(х²+1)^5х-3;

2).,

3).(х²+х+1)^{(х+5)/(х-2)}-(х²+х+1)³<0;

4).

5). -1> 0,

6) log₂ (2^x+1-x²)≥log₂(2^x-1+1-x)+1;

7).

8). log x-7/ 4 (log_{1 /2}x)≤0;

9). log₂ (5-x) ≥-6;

10).

11). 6log₃(x-1) ≤ 14+2x-x²;

12).

13). log _x+2(4+7x-2x²) ≤ 2;

14). ;;

15). log _2x(x²-5x+6) <1;

16). log _x(x+1)< log _x 1/( 2-x);

17). -;

18).

19).

20). l og _2-5x3 + 1/log₂(2-5x) ≤ 1/ log ₆(6x²-6x+1);

21). ;

ЗАНЯТИЯ 12,13. КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

Решите неравенства:

1).;

2). > 4х-2;

3).;

4). ;

5). 2-3х<;

6.)

7). log _x(3x-1) /(x²+1)>0;

8). <;

9).;

10).

11).

12).