Методические указания для проведения практических работ по теме «Вычисление пределов» для студентов технических специальностей СПО

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ПО ТЕМЕ «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ»

Преподавателя математики Маштаковой Р.А.

Пояснительная записка

Методические указания для проведения практических работ по теме «Вычисление пределов» разработаны в помощь студентам технических специальностей СПО, изучающим в курсе дисциплины Элементы высшей математики тему «Пределы». Данная разработка также будет полезна преподавателям при подготовке к урокам данной тематики. Материал, представленный в разработке, можно использовать при внеаудиторной самостоятельной работе студентов.

Методические указания состоят из пяти практических работ:

Практическая работа №1 «Раскрытие неопределенности вида »;

Практическая работа № 2 «Раскрытие неопределенности вида »;

Практическая работа № 3 «Вычисление предела при »;

Практическая работа № 4 «Первый замечательный предел»;

Практическая работа № 5 «Второй замечательный предел».

В каждой работе содержится теоретическая и практическая части. В теоретической части кратко изложены основные моменты, необходимые для решения пределов. В практической части представлен полный разбор одного варианта, затем предложены два варианта для самостоятельного решения.

Практическая работа №1 «Раскрытие неопределенности вида »

Цель работы: научиться раскрывать неопределенность вида путем разложения на множители.

Способы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобку:

2) Формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов

• 

• 

3) Разложение квадратного трехчлена на множители:

, где корни квадратного уравнения

4) Способ группировки

• Образовать группы, между ними знак «+»,

• В каждой группе вынести общий множитель за скобки,

• Найти и вынести за скобки общий множитель обеих групп, в результате получим произведение множителей.

Разбор решения одного варианта:

Решение:

подстановка предельного значения дает неопределенность вида .

Чтобы раскрыть эту неопределенность надо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель «х» за скобку, в знаменателе заметим, что применим формулу разность квадратов

сократим на множитель, приводящий к неопределенности, это х-15

подстановка дает

разложим числитель и знаменатель на множители:

В числителе разложим квадратный трехчлен на множители по формуле

, где

Найдем корни квадратного уравнения

Заполним разложение:

в знаменателе 100 это 10² формула получим

в первом множителе вынесем минус, тогда

тогда

В числителе вынесем общий множитель «x» за скобки, причем заметим, что 121=, и применим формулу разность квадратов

А в знаменателе увидим формулу сокращенного умножения : квадрат первого , минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго

Сократим на множитель (х-11)

Подставив предельное значение

В числителе применим формулу разность кубов , а в знаменателе разложим квадратный трехчлен на множители

, тогда

Заметим что ,

сократим на и подставим , получим

в числителе разложим на множители способом группировки

А в знаменателе вынесем за скобки общий множитель «х»

А затем разложим квадратный трехчлен на множители:

сократим на и подставим

в числителе вынесем за скобку и разложим квадратный трехчлен на множители,

; ;

а в знаменателе сгруппируем

в первой группе вынесем , а во второй

общий множитель обеих групп вынесем за скобки тогда

сократим числитель и знаменатель на и подставим предельное значение

Вариант 1

Вариант 2

Практическая работа № 2 «Раскрытие неопределенности вида »

Цель работы: научиться раскрывать неопределенность вида , вызванную присутствием корня.

Теоретическая часть:

Сопряженными называются множители , причем их произведение дает формулу разность квадратов

Согласно свойств степени и корня:

Пример 1:=

Разбор решения одного варианта:

предел знаменателя дает

то имеет место неопределенность вида , которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю

применив в числителе формулу разность квадратов

имеем:

при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает

сократив на - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение имеем

подстановка дает неопределенность вида , вызванную присутствием корня, поэтому умножаем на сопряженный множитель к числителю

применив в числителе, формулу разность квадратов

Посчитав, в числителе подобные, имеем

Сократим числитель и знаменатель на множитель x-15

подставим , тогда

подстановка предельного значения дает неопределенность вида , умножаем числитель и знаменатель на сопряженный множитель к знаменателю

в знаменателе формула разность квадратов

вынесем в числителе общий множитель «х» за скобку, а в знаменателе вычислим

сократим на и подставим имеем

умножаем числитель и знаменатель на сопряженный

в знаменателе применим формулу разность квадратов, т.к. 2500 =

сократим на множитель и подставим

умножаем на сопряженный к числителю, а затем в числителе применяем формулу разность квадратов :

в числителе квадратный трехчлен, разложим на множители по формуле:

, где

сократим на и подставим

подстановка дает неопределенность , вызванную присутствием корнем умножим на сопряженный

в числителе разложим по формуле разность квадратов, в знаменателе в знаменателе подобные получаем трехчлен, который тоже надо разложить:

;

Сократив на (), подставим предельное значение

Вариант 1

Вариант 2

Практическая работа № 3 «Вычисление предела при »

Цель работы: научиться вычислять пределы при , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида и ».

Теоретическая часть:

1. Предел бесконечно малой равен нулю.

2. Если предел величины равен нулю, то эта величина есть бесконечно малая.

3. Предел бесконечно большой величины равен бесконечности.

4. Если - величина бесконечно малая, то обратная ей величина является бесконечно большой.

5. Если - величина бесконечно большая, то обратная ей величина является бесконечно малой.

6. Предел числа есть само число.

7. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Разбор решения одного варианта:

первые два слагаемых пределов не имеют, поэтому имеет место неопределенность , чтобы её раскрыть, надо

вынести за скобку большую степень переменной, входящей в пример:

величины

при предел знаменателя есть величина бесконечно большая, тогда обратная ей функция - есть величина бесконечно малая значит. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину 4 - есть бесконечно малая, т.е. предел равен нулю .

предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие имеет место неопределенность вида , раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на и сократим, тогда

помня, что при , , имеем

делим каждое слагаемое на сократим

, , , имеем:

делим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, это :

, , , , тогда предел числителя равен 4, 0, т.е. в знаменателе бесконечно малая величина вся дробь есть величина бесконечно большая, т.е. = .

делим числитель и знаменатель на :

, , , , предел числа равен самому числу:

умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель

по формуле разность квадратов

при , знаменатель есть бесконечно большая величина вся дробь есть бесконечно малая, т.е. = 0.

умножим на сопряженный

при , имеем , раскроем путем деления на , т.к. :

при , , , , , тогда:

Вариант 1

Вариант 2

Практическая работа № 4 «Первый замечательный предел»

Цель работы: научится раскрывать неопределенность с помощью первого замечательного предела, вычислять пределы, содержащие тригонометрические функции.

Теоретическая часть:

Предел отношения синуса бесконечно малого угла к самому углу, есть величина постоянная, равная единице, т.е.

Решение одного варианта:

которую надо раскрыть с помощью первого замечательного предела:

,

Для этого умножим на множители:

используем первый замечательный предел три раза:

умножим каждую дробь на , тогда

Неопределенность вызвана присутствием корня умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель , тогда

в числителе свернем по формуле разность квадратов

Для раскрытия неопределенности применим первый замечательный предел: умножим на и перегруппируем множители:

умножим на сопряженный множитель и применим формулу разность квадратов:

сократим на

первую дробь умножим на , вторую на , и перегруппируем:

на множители, т.к.

в числителе в первой скобке вынесем

Вариант 1

Вариант 2

Практическая работа № 5 «Второй замечательный предел»

Цель работы: научиться раскрывать неопределенность вида путем применения второго замечательного предела.

Теоретическая часть:

Предел суммы единицы и бесконечно малой величины, в степени бесконечно большой, есть величина постоянная, равная числу Эйлера .

Разбор решения одного варианта:

постановка дает воспользуемся формулой второго замечательного предела, т.к. можно представить как ,

выражение в квадратных скобках равно е, тогда

постановка дает ищем формулу второго замечательного предела, т.к. то поменяв местами имеем:

в скобках выражение равно е, тогда

постановка дает воспользуемся формулой второго замечательного предела. Заметим, чтобы получилось число е, надо, чтобы степень была обратна слагаемому с «1», в нашем случае это , тогда степень должна быть , чтобы этого добиться в степени х умножим на . Перегруппируем множители, чтобы сработала формула, получим:

в степени нужно , умножим степень на , перегруппируем , тогда

, умножим на ,

перегруппируем тогда

Так как отрицательный показатель степени, отвечает за переворот дроби.

в степени нужно , для этого умножим на , перегруппируем как , тогда

тогда перегруппируем , тогда

чтобы сработала формула второго замечательного предела, нужна степень умножим на и перегруппируем

перевернем дробь, при этом степень станет отрицательной, и разделим на две дроби, тогда

второй замечательный предел: нужна степень , тогда тогда

Вариант 1

Вариант 2

Литература:

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие. Математика: Высшая школа, 2010г.

Богомолов Н.В. Математика: учебник для вузов/ Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. 3-е издание, стереотип. - Математика: Дрофа, 2005г.