Программа дополнительного образования для 10-11 классов Замечательные неравенства, их обоснование и применение

Автор: Рогачева Татьяна Викторовна

Место работы: ГОУ СОШ №103

Выборгского административного района

Санкт-Петербурга

Должность: методист, учитель математики

Tatiana1958

Образовательная программа

дополнительного образования детей

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА,

ИХ ОБОСНОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ»

для учащихся 10 (11) классов

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, намечает и использует целый ряд межпредметных связей (прежде всего с физикой), будет полезным каждому ученику, мотивированному на обучение, желающему хорошо подготовиться и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах самого высокого уровня.

Автор: Рогачева Татьяна Викторовна

Место работы: ГОУ СОШ №103

Выборгского административного района

Санкт-Петербурга

Должность: методист, учитель математики

Образовательная программа

дополнительного образования детей

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА,

ИХ ОБОСНОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ»

для учащихся 10 (11) классов

Пояснительная записка.

Программа дополнительного образования «Замечательные неравенства, их обоснование и применение» рассчитана на 36 часов (1 час в неделю в течение 1 года) для учащихся 10 или 11 классов.

Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование ( в той степени строгости, которая соответствует уровню школьной математики) методов их получения, а также выход на приложения изученного материала. Такими вначале будут решения примеров на установление истинности простейших числовых неравенств, а к завершению усвоения курса - рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным заданием.

Итак, данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, намечает и использует целый ряд межпредметных связей (прежде всего с физикой), будет полезным каждому ученику, мотивированному на обучение, желающему хорошо подготовиться и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах самого высокого уровня.

Традиционные формы организации занятий, как лекция и семинар, будут применяться, но на первое место выйдут такие организационные формы, как дискуссия, диспут, выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания) или с докладами, дополняющими лекционные выступления учителя или ученика.

Возможны и разнообразные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся (отчетные доклады по результатам поисковой работы на страницах книг и журналов и сайтов в Интернете), тем более, что целый ряд разделов курса, безусловно, позволяет выделить темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

Основными результатами освоения данного программного курса учащимися станет:

сформированная мотивация учащихся к изучению математики;

повышенный общеобразовательный уровень.

Формами проведения итоговой проверки реализации данной дополнительной образовательной программы может быть мини-олимпиада или зачетная работа.

Примерное учебно-тематическое планирование.

/36 часов/

№

Тема

Учебное время

Лекция

Семинар, практическое занятие

Часть I. Замечательные неравенства ( 10+6)

1.

Числовые неравенства

2

1

2.

Основные методы установления истинности числовых неравенств.

1

1

3.

Основные методы решения задч на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенств Коши, их обоснование и применение.

2

1

4.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенства Коши для произвольного числа переменных.

2

1

5.

Неравенства Коши-Буняковского и его применение к решению задач.

2

1

6.

Неравенства подсказывают методы их обоснования.

1

1

Часть II. Средние величины: их свойства и применение (14+6)

7.

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств.

1. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое в случае двух параметров.

2. Геометрические интерпретации.

3. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

4. Симметрические средние. Круговые неравенства.

5. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства.

6. Средние степенные и средние взвешенные степенные.

1

1

1

1

1

1

0,5

-

-

0,5

0,5

0,5

8.

Неравенство Чебышева.

1. Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности;

2. Неравества, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского

1

1

-

-

9.

Генераторы замечательных неравенств.

1. Мы с ними уже встречались: свойства квадратичной функции; геометрические модели.

2. Свойства одномонотонных последовательностей - источник замечательных неравенств.

3. Неравенство Иенсона ( выпуклые фигуры и выпуклые функции, свойства центра масс конечной системы материальных точек).

4. Исследование функции на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенства Коши-Гельдера и Минковского.

1

1

1

1

1

1

-

1

10.

Применение неравенств.

1. Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию.

2. Поиск наибольших и наименьших значений функций с помощью замечательных неравенств. Итоговая контрольная работа.

1

1

-

1

ИТОГО:

24

12

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Часть I. Замечательные неравенства (16 ч)

1.Числовые неравенства и их свойства (2ч+1ч) .

Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Простейшие свойства числовых неравенств. Монотонность функции и числовые неравенства.

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств (1ч+1ч).

Сравнение двух чисел - значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами, метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры.

3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными (2ч+1ч).

Частные случаи неравенств Коши. Их обоснования и применение. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять неравенства с параметрами

Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней. Примеры.

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных (2ч+1ч).

Индукция вообще и применение её в математике, схема её применения. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры.

5. Неравенство Коши-Буняковского. Его применений к решению задач (2ч+1ч).

Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши- Буняковского. Геометрическая интерпретация неравенства. Векторный вариант записи этого неравенства.

6. Неравенства подсказывают методы их обоснования (1ч+1ч).

1. Метод Штурма. Примеры.

2. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств;

3. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

Часть II. Средние величины: их свойства и применение (14ч+6ч).

7. Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних»(6ч+2ч).

• Среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация.

• Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

• Симметрические средние. Теорема Мюрхерда. Круговые неравенства и методы их доказательства.

• Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

• Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши-Буняковского с помощью тождества Лагранжа.

• Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

• Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры.

8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения (2ч).

Введение. Исторический экскурс. П.Л. Чебышев и его научное наследство.

• Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности.

• Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

Глава 9. Генераторы замечательных неравенств (4ч+2ч).

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, как ранее изученные, так и совершенно новые:

Глава 10. Применение неравенств (2ч+1ч).

Задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции с помощью замечательных неравенств.

Всего 36 часов

(24ч+12ч практических занятий)

Методическое сопровождение

Формы занятий: лекция, семинар, дискуссия, диспут, выступления с докладами, рефератами, мультимедийными презентациями.

Возможны и разнообразные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся (отчетные доклады по результатам поисковой работы на страницах книг и журналов и сайтов в Интернете), тем более, что целый ряд разделов курса, безусловно, позволяет выделить темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

Техническое оснащение занятий: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран.

Рекомендуемые темы для дискуссий:

1. «Легко ли определить знак числа или найти наибольшее из двух данных чисел, если числа заданы как значения некоторых числовых выражений?» (Часть I,1);

2. «Можно ли использовать вычислительную технику (микрокалькулятор) для сравнения значений числовых выражений? Ожидания и заблуждения».(Часть I.2);

3. «Самое лучшее из решений. За и против». (Часть I,3);

4. «Какое из доказательств лучше и почему?» (Часть I,4);

5. «Как ввести понятие величины угла между векторами?» (Часть I,5);

6. «Многообразие метода подстановки» (Часть I,6);

7. «Сохранится ли соотношение между средними величинами (арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратическим), если позволить входящим в них параметрам принимать произвольные действительные значения?» (Часть II,7);

8. «Три доказательства неравенства КошиБуняковского. Сходства и различия» (Часть II,9);

Формы проведения итогов: зачет, индивидуальное домашнее задание, отчетный доклад, защита реферата.

Форма итоговой аттестации: мини-олимпиада или зачетная работа.

Список основной литературы

1. Бубинская И.Л. Задачи математических олимпиад. -М.: Наука, 1975

2. Баккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. - М.: Мир, 1965

3. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательств. - М.: Физматлит, 2002

4. Маршалл А., Олкин И. Неравенства. -М.: Мир, 1983