Дистанційний курс для учнів 6 класу по темі: Рівняння. Розвязування задач за допомогою рівнянь. Курс дає можливість самостійно опрацювати тему

Управління освіти адміністрації Зміївського району Харківської області

Шелудьківський ліцей ім. Ю.Є. Кравцова

ДИСТАНЦІЙНИЙ КУРС

Рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування задач

Навчальний предмет: математика

Клас навчання: 6

Кількість годин: 8

Автор: Бутенко Тетяна Вікторівна

Посада: Вчитель математики

Категорія: Вчитель вищої категорії

Місце роботи: Шелудьківський ліцей

ім. Ю.Є. Кравцова Зміївської районної

ради Харківської області

2015 рік

Рекомендовано методичною радою управління освіти адміністрації Зміївського району

Харківської області

Протокол №___________від _____________

Рецензенти:

Автор-упорядник:

Бутенко Тетяна Вікторівна, вчитель математики Шелудьківського ліцею ім.Ю.Є. Кравцова, спеціаліст вищої категорії.

Дистанційний курс з математики на тему «Рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування задач» для 6 класу. - Зміїв, 2015. - 65 с.

Зміст анотації Дистанційний курс розроблено згідно з діючою програмою з математики для 6 класу. Курс розрахований для використання в практиці дистанційного навчання для якісної підготовки учнів до уроків математики в 6-му класі загальноосвітньої школи.

Представлений курс допоможе ретельно підготуватися до уроку з урахуванням сучасних вимог, методик та технологій. Використання дистанційного навчання сприятиме підвищенню рівня компетентності учнів та рівня розвитку пізнавального інтересу учнів, досить успішно може використовуватися для самоосвітньої діяльності.

Зміст:

Вступ………………………………………………………………………………4

Рекомендації щодо роботи з дистанційним курсом……………………………5

Заняття №1 «Рівняння та його корені»………………….………………………7

Тест №1……………………………………………………………………….….11

Заняття №2 «Рівняння. Основні властивості рівнянь»………………..……...13

Тест №2……………………………………………………………………….….17

Заняття №3 «Лінійне рівняння з однією змінною»……………………………19

Тест №3……………………………………………………………………….….24

Заняття №4 «Рівняння з модулем »……………………………………..……...26

Тест №4……………………………………………………………………….….29

Заняття №5 «Рівняння, що містять дроби»…………………………..…….…..31

Тест №5……………………………………………………………………….….36

Заняття №6 «Рівняння як математична модель задачі»…………………...…..38

Тест №6……………………………………………………………………….….45

Заняття №7 « Застосування рівнянь до розв'язування задач»……………..…47

Тест №7……………………………………………………………………….….52

Заняття №8 «Підведення підсумків курсу»…………………………………...54

Кросворд ………………………………………………………………………...58

Контрольний тест…………………………………………………………….….60

Відповіді до тестових завдань…………………………………………………..63

Висновки та пропозиції………………………………….………………………64

Список використаних джерел………………………………………………..…65

Вступ

Курс створено відповідно до державної навчальної програми з математики, відповідає передбаченим програмою темам курсу математики 6 класу. Курс містить 8 занять, словник термінів (глосарій), рекомендації щодо роботи, 8 тестів (7 для здійснення самоконтролю та 1 контрольний), 6 презентацій. Кожному заняттю передує цільова орієнтація на те основне нове, про що можна дізнатися, опановуючи його зміст. В основному тексті подано теоретичні відомості, розглядаються сфери їх застосування, наведено приклади розв'язування відповідних задач і вправ.

Курс містить систему задач і вправ, яка спрямована на формування основних понять курсу, а також на вироблення відповідних способів дій. У більшості випадках реалізовано алгоритмічний підхід до такого вироблення, що передбачає його поетапність і відпрацювання кожного передбаченого відповідним алгоритмом кроку.

Заняття містять найважливіший матеріал для повторення і узагальнення того, що відомо з попередніх класів. У курсі використовуються певні прийоми підвищення ефективності засвоєння матеріалу. Так, широко використовуються схеми, таблиці, кросворд, презентації, тестування.

Актуальність матеріалу, викладеного у роботі, обумовлена нагальними потребами викладачів у ознайомленні із способами застосування інформаційно-комунікаційних технологій у педагогічній практиці для підвищення якості навчання в сучасному інформаційному суспільстві.

Рекомендації щодо роботи з дистанційним курсом

Курс: Рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування задач

Клас: 6.

Кількість занять: 8.

Кількість тестів для самоконтролю: 7.

Кількість контрольних тестів: 1.

Кількість презентацій: 6.

Зміст: Заняття №1 «Рівняння та його корені».

Заняття №2 «Рівняння. Основні властивості рівнянь».

Заняття №3 «Лінійне рівняння з однією змінною».

Заняття №4 «Рівняння з модулем ».

Заняття №5 «Рівняння, що містять дроби».

Заняття №6 «Рівняння як математична модель задачі».

Заняття №7 «Застосування рівнянь до розв'язування задач».

Заняття №8 «Підведення підсумків курсу»

Ви розпочинаєте вивчення однієї з основних тем математики - лінійні рівняння з однією змінною. Сподіваємося, що курс допоможе Вам опанувати цю тему, розширити свої знання та покращити практичні навички. Заняття складаються з викладу теоретичного матеріалу, зразків розв'язування задач, усних вправ і завдань, які потребують письмового розв'язку та підсумку уроку. Кожен етап закінчується висновком, який треба запам'ятати, він знадобиться тобі на наступних заняттях. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе.

Після заняття ви можете переглянути презентацію до нього з метою закріплення знань та перевірити отримані знання за допомогою тестів для самоконтролю.

Тексти ДПА та ЗНО містять рівняння та задачі, розв'язувати які ви можете навчитися опанувавши цей курс.

Глосарій - це словник термінів, які вивчаються в курсі.

Вивчіть їх!

Курс створено відповідно до державного стандарту, відповідає передбаченим навчальною програмою темам курсу математики 6 класу. Кожному занятті передує цільова орієнтація на те основне нове, про що можна дізнатися, опановуючи його зміст.

Заняття містять найважливіший матеріал для повторення і узагальнення того, що відомо з попередніх класів. У курсі використовуються певні прийоми підвищення ефективності засвоєння матеріалу. Так, широко використовуються схеми, таблиці, кросворд, презентації.

Бажаємо успіхів!

Заняття №1

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви розпочинаєте вивчення однієї з основних тем математики - лінійні рівняння з однією змінною. Сподіваємося, що курс допоможе Вам опанувати цю тему, розширити свої знання та покращити практичні навички. Заняття №1 складається з викладу теоретичного матеріалу, зразків розв'язування задач, усних вправ і простіших завдань та підсумку уроку. Кожен етап закінчується висновком, який треба запам'ятати, він знадобиться тобі на наступних заняттях. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе.

Глосарій - це словник термінів, які вивчаються на цьому занятті.

Вивчи їх!

Бажаємо успіхів!

Тема:

Цілі заняття: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте поняття «рівняння», поглибите свої знання, здобуті в 5 класі. Ви навчитеся розв'язувати такі види завдань як: а) перевірка, чи є число коренем рівняння; б) розв'язування рівнянь, що мають кілька коренів (за властивістю модуля числа), та рівняння, що мають безліч коренів або взагалі їх не мають.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: Пам'ятки стародавньої культури Єгипту свідчать, що вже 4 тисячі років тому деякі задачі розв'язували зо допомогою рівнянь. Правда, робили це дещо інакше, ніж тепер, бо в ті часи не було навіть буквеної символіки, і все записували словами.

Великий грецький математик Діофант (ІІІ ст.н.е.) багато зробив для розвитку математики. Він ввів деякі буквені позначення, щоб полегшити розв'язування рівнянь. Коефіцієнт Діофант ставив не перед змінною, як це робимо ми, а після змінної.

Рівняння допомагають розшифровувати деякі історичні факти. Так розшифрована біографія старогрецького ученого, математика Діофанта ( жив 23 століття тому), про якого відомо мало. Дещо про його життя і про те, скільки років він прожив, можна судити із запису, зробленого на його могильній плиті:

Вміння розв'язувати рівняння необхідне і в повсякденному житті. Воно дає можливість розв'язувати складні задачі, що стосуються потреб техніки й виробництва.

Кожний з вас може долучитися до пізнання неозорого та цікавого світу рівнянь.

Глосарій термінів: Рівняння - це рівність, яка містить змінну.

Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Зміст заняття:

1. Подивись на математичні записи, серед них один зайвий. Подумай який та чому?

1. 4х-3=9; 2) 7+2х=12; 3)2+5=7; 4) 12-3=5х.

Як ви зрозуміли зайвим є вираз під номером 3, бо він не містить невідомої букви, інші три вирази утворюють групу, яка має назву РІВНЯННЯ.

Висновок: Рівність з невідомим значенням букви називають рівнянням з одним невідомим (або з однією змінною).

2. Давай розв'яжемо перше рівняння: 4х-3=9;

4х=9+3;

4х=12;

х=12׃4;

х=3.

Зробимо перевірку. Для цього в умову рівняння замість невідомої букви підставимо знайдене число 3: 4·3-3=12-3=9;

9=9 отримали вірну рівність.

Відповідь: х=3.

Число, яке ми знайшли називається коренем рівняння.

Висновок: Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність.

3. Вам можуть зустрітися рівняння, які:

• мають один корінь;

• мають кілька коренів;

• мають безліч коренів;

• не мають коренів.

Розглянемо кожний випадок.

1. До першого відноситься рівняння, яке ми щойно розв'язали.

2. Розв'яжемо рівняння |х|=7, але сперши пригадайте властивість модуля числа (Відповідь: однаковий модуль мають 2 протилежних числа).

Повернемося до рівняння |х|=7;

х=-7 або х=7.

Відповідь: х=-7; 7.

Це рівняння має два кореня.

3. Розв'яжемо рівняння 7х=5х+2х;

7х=7х, ми отримали вірну рівність при будь-якому значенні х.

Відповідь: рівняння має безліч розв'язків.

4. розв'яжемо рівняння 6х-6х=9;

0х=9;

0=9, ми отримали не вірну рівність.

Відповідь: рівняння коренів немає.

Висновок: розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

4. Виконайте усно вправи:

1. Чи є числа -2; -1; 0; 1; 2 коренями рівняння 2х-1=3? (серед наведених чисел тільки число 2 є коренем рівняння);

2. Скільки коренів мають рівняння а) 2х=4; б) х=х+5; в) х(х-3)=0;

г) х²=-9; д) 2+х=х=2?

Перевір себе: а) один; б) немає коренів; в) два ; г) немає коренів; д) безліч коренів.

5. Підсумок

Якщо ви уважно опрацювали перше заняття, то знаєте, що таке рівняння, корінь рівняння, що означає розв'язати рівняння і скільки коренів воно може мати. Для закріплення означень ви можете звернутися до глосарія термінів. Пропонуємо Вам розв'язати наступні завдання:

1. Чи є число 3 коренем рівняння?

а) 4х+1=13; б) (х-3)(х+4)=0; в) 5(2х-1)=8х+1; г) х-1=|1-х|.

2. Скільки коренів мають рівняння?

а) 3х=0; б) х+7=х; в) |х|=4.

3. Складіть яке-небудь рівняння, коренем якого є число 8.

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв'язки.

Бажаємо успіхів!

До зустрічі на занятті №2

Тест №1

1. Серед математичних записів виберіть той, який не є рівнянням

А) 6х+2=4; Б) 3+9=12;

В) 10+2=2х; Г) 4-2х=8.

2. Який корінь має рівняння 5х+4=14 ?

А) -2; Б) 3; В) 2; Г) 0,2.

3. Розв'яжіть рівняння 7-2,5х=9,5.

А) -2; Б) 1; В) -1; Г) 0,1.

4. Знайдіть корінь рівняння (дві правильні відповіді) |х|=4

А) 5; Б) 0; В) -4; Г) 4.

5. Скільки коренів має рівняння 4+х=х+2?

А) Один; Б) Безліч; В) Рівняння коренів не має; Г) Два.

6. Скільки коренів має рівняння 12х-4х=8х ?

А) Один; Б) Безліч; В) Жодного; Г) Два.

7. Знайдіть корінь рівняння 2х-1=3

А) -2; Б) -1; В) 0; Г) 2.

8. Установіть відповідність між кожнім рівнянням (1-4),та кількістю його коренів (А-D)

А Б В Г Д

1. 2х=4 А) Жодного 1

2. |х|=9 Б) Один 2

3. х²=-4 В) Два 3

4. 3+х=х+3 Г) Безліч 4

Д) Три

Відповідь: 1-Б; 2-В; 3-А; 4-Г.

9. Число 6 є коренем рівняння :

А) (х+6)(5х-1)=0; Б)11х+2=75;

В) 21-2Х=9; Г) 6Х=0.

10. Розв'яжіть рівняння (х+9)(3-х)=0

А) -9;3 Б) -9;-3 В) -3;9 Г) 3;9.

11. Скільки коренів має рівняння х²=9?

А) Один; Б) Безліч; В) Рівняння коренів не має; Г) Два;

12. Розв'яжіть рівняння 2х+8х-15=25 і запишіть відповідь

Заняття №2

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №1 ви зрозуміли поняття «рівняння», поглибили свої знання, здобуті раніше. Тож продовжимо. Заняття №2 складається з чотирьох частин: I. Поняття рівносильності рівнянь; II. Основні властивості рівносильності рівнянь; III. Виконання вправ. IV. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете терміни, які треба запам'ятати.

Бажаємо успіхів!

Тема: «Рівняння. Основні властивості рівнянь».

Мета: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте що таке рівносильні рівняння, розширите свої відомості про цей вид рівнянь. Зрозумієте формулювання властивостей рівносильних рівнянь. Покращите вміння розв'язувати рівняння з однією змінною.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: для того, щоб ви могли розв'язувати більш складні рівняння необхідно знати основні властивості рівнянь і вміти їх застосовувати на практиці. На цьому занятті ви зможете це опанувати.

Глосарій термінів: Рівносильні рівняння - це рівняння, які мають одні і ті ж розв'язки. (Рівняння, які не мають розв'язків, також є рівносильними)

Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Зміст заняття:

1. На першому занятті Вам пропонувалося розв'язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх:

№1 число 3 є коренем усіх запропонованих рівнянь.

№2 а) один (0); б) немає коренів; в) два(-2 та 2).

№3 ви могли скласти багато рівнянь, коренем якого є число 8, наприклад: х-8=0; 3х+2=26…

Продовжимо розширювати та узагальнювати знання.

Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені, тобто кожний корінь першого рівняння є коренем другого і навпаки.

Зауваження: Два рівняння, що не мають коренів також вважаються рівносильними.

Розглянемо приклади рівносильних рівнянь:

а) х-5=12 та 2+х=19 обидва ці рівняння мають корінь 17;

б) (х-4)(х+4)=0 та │х│=4 обидва ці рівняння мають корінь - 4 та 4;

в) х+2=х та х-7=х обидва ці рівняння не мають коренів.

II. Властивості (рівносильності) рівнянь

Щоб дістати рівняння рівносильне даному, можна:

-розкрити дужки, звести подібні доданки в кожній частині рівняння;

• перенести деякий доданок з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком;

• помножити або поділити на одне й те саме відмінне від 0 число обидві частини рівняння.

Подивіться на зміст таблиці

Розв'язання рівняння

Вид перетворення

3(х-4)+15=-5х+19

3х-12+15=-5х+19

3х+3=-5х+19

3х+5х=19-3

8х=16

х=2

Умова рівняння

В лівій частині рівняння розкрили дужки

В лівій частині рівняння звели подібні(-12+15=3)

Перенесли доданки з однієї частини в іншу

Звели подібні в обох частинах рівняння

Знайшли корінь рівняння

III. Щоб закріпити знання виконайте наступні вправи:

1. Чи рівносильні рівняння?

а)якщо перше рівняння має корені 1 і 5, а друге має корені 1;5;7

б) х-2=8 та 3х+4=34;

в) 6х-2=16 та 6х=16+2;

г) 3х+2=5х+4 та 3х-5х=4-2.

2) Застосовуючи властивості рівносильності розв'яжи рівняння (для допомоги використовуй зміст таблиці)

а) 12х-4=7х+21; б) 3(х+2)=15(х-2); в)2,5х+3,5=0,5(х-1).

Перевірте себе: 1. а)ні; б)так; в)так; г)так.

2. а)х=5; б)х=3; в)х=-2

IV. Підсумок заняття

Якщо ви уважно опрацювали друге заняття, то знаєте, які рівняння називаються рівносильними. Повторимо основні властивості рівнянь:

Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкривати дужки або зводити подібні.

Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж, відмінне від нуля число.

Для закріплення знань ви можете звернутися до глосарія термінів. Пропонуємо Вам розв'язати наступні завдання:

Розв'яжіть рівняння:

1) 7х-5=3х-9; 2)2х+3(х+1)=8; 3)30(х+2)=15(х-2); 4)200(х-1)=300;

5) х=4; 6)(х-2)=х.

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв'язки.

Бажаємо успіхів!

Тест №2

1. Чи рівносильні рівняння, Якщо перше має корені 2 і 5, а друге 2; 5; 9?

А) Так; Б) Ні; В) Не можливо визначити.

2. Зведіть подібні доданки 14х+6-х-24

А) 15х-18; Б) 13х+18; В) 13х-18; Г) 13х-30.

3. Розкрийте дужки 5(2х-1)

А) 10х+5; Б) 7х-5; В) 10х-1; Г) 10х-5.

4. Розв'яжіть рівняння 2(3х-4) +17=-2х-7

А) 15; Б) 1; В) -2; Г) 0.

5. Для рівнянь (1-4) установіть відповідність між рівносильними рівняннями (А-D)

А Б В Г Д

1. х-2=8; А) х+9х-30=20; 1

2. 6х-2=14; Б) 6х=14-2; 2

3. 3х-1=4х+2; В) 6х=14+2; 3

4. 8х+2х=50. Г) х=10; 4

Д) -х=3.

6. Число 17 є коренем рівняння (два варіанти відповіді):

А) 12-х=54=0; Б) 3(х+2)=8;

В) х-5=12; Г) 3+х=20.

7. Знайдіть корінь рівняння 12х-4=7х+21

А) 5; Б) 1; В) -5; Г) -1.

8. Застосовуючи властивості рівносильності розв'яжи рівняння 2,5х+3,5=0,5(х-1) і отриманий корінь збільш вдвічі

А) 1; Б) 4; В) 3; Г) -4.

9. Який корінь має рівняння х=6?

А) 27; Б) 18; В) -27; Г) 9.

10. Скільки коренив має рівняння 3(х+1)=3х-4 ?

А) Один; Б) Жодного; В) Безліч; Г) Два.

11. Розв'яжіть рівняння (х-3)=х і запишіть відповідь

Відповідь: х=-1.

12. Виберіть правильні твердження : Щоб дістати рівняння рівносильне даному, можна

А) Розкрити дужки, звести подібні в кожній частині рівняння;

Б) Перенести деякий доданок з однієї частини в іншу;

В) Помножити або поділити обидві частини на будь-які числа;

Г) Множити або ділити обидві частини рівняння на одне й те саме число відмінне від 0;

Д) При перенесенні доданків з однієї частини рівняння в іншу змінювати знак на протилежний.

Заняття №3

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №2 ви зрозуміли поняття «рівносильні рівняння», поглибили свої знання, здобуті раніше. Покращили вміння розв'язувати рівняння з однією змінною. Продовжимо. Заняття №3 складається з п'яти частин: I.Повторення, поглиблення та систематизація знань; II.Означення лінійного рівняння з однією змінною; III. Приклади рівнянь, що зводяться до лінійних і схема їх розв'язання. IV. Виконання вправ; V.Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете терміни, які треба запам'ятати. Бажаємо успіхів!

Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви поглибите, розширите й узагальните відомості про види рівнянь та способи їх розв'язування. Зрозумієте зміст поняття «лінійне рівняння з однією змінною». Навчитеся розв'язувати лінійне рівняння за схемою.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: дуже часто на уроках з інших предметів, або в повсякденному житті людині потрібно розв'язати задачі, які зводяться до розв'язання лінійного рівняння. Для того, щоб у вас не виникло з цим проблем, вам необхідно вміти розв'язувати рівняння і застосовувати свої знання на практиці. На цьому занятті ви зможете це опанувати.

Глосарій термінів: Рівносильні рівняння - це рівняння, які мають одні і ті ж розв'язки. (Рівняння, які не мають розв'язків, також є рівносильними)

Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність.

Розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду ах=b, у якому а і b - деякі відомі числа, а х- змінна.

Натуральні числа - це числа, які використовуються при лічбі (1, 2, 3,…).

Зміст заняття:

1. Повторення, поглиблення та систематизація знань

На другому занятті Вам пропонувалося розв'язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх: 1) х=-1; 2) х=1; 3) х=-6; 4) х=2,5; 5) х=14; 6) х=-1.

Продовжимо розширювати та узагальнювати знання.

Всі рівняння, що їх розв'язували учні в молодших класах, є рівняння, що зводяться до лінійних, однак відповідна термінологія вводиться вперше. Дослідимо кількість розв'язків рівняння ах= b при різних а і b. Виділимо три випадки:

1. а≠0 і b будь-яке. Таке рівняння має один корінь х=. Наприклад: 10х=120, х=120:10, х=12.

2. а=0; b≠0. Таке рівняння немає коренів.

Наприклад: 0х=24 на нуль ділити не можна.

3. а=0; b=0. Таке рівняння має безліч коренів.

Наприклад: 0х=0 виконується для будь-якого х.

Зауваження: Під час розв'язування рівняння ах=b при а≠0 поширеною є така помилка: спроба знаходження х як частки у вигляді цілого числа або десяткового дробу (часто чуємо, що рівняння 3х=2 не має розв'язку бо 2 на 3 не ділиться націло). Розглянемо розв'язок цього рівняння: 3х=2

х=2:3

х=

Тому, наголошуємо, що корінь існує завжди і може бути як натуральним числом (див. глосарій), так і цілим або дробовим - звичайним чи десятковим.

2. Означення лінійного рівняння з однією змінною

Розв'язуючи рівняння, під час рівносильних перетворень ми дістаємо рівняння, що можна записати в одному вигляді, якщо записати буквами, а саме ах=b. Рівняння такого виду, де а і b - деякі відомі числа, а х- змінна називається лінійним.

До речі, усі рівняння, які ви сьогодні розв'язували були лінійними рівняннями.

Наприклад, рів­няння 3х =7 ; -4y= 5 ; -х = -2 є лінійними.

Наведіть свої приклади лінійних рівнянь, вкажіть значення а і b.

Число а називають коефіцієнтом при змінній х, а число b - вільним членом рівняння.

Розв'язуючи рівняння, його спочатку намагаються спрос­тити і звести до лінійного. Роблять це здебільшого в такій по­слідовності.

1. Спрощують рівняння (якщо є знаменники, то позбуваються їх; якщо є дужки, то розкривають їх).

2. Переносять члени зі змінними в ліву частину рівняння, а чле­ни, які не містять змінної, у праву.

3. Зводять подібні доданки.

4. Ділять обидві частини рівняння на коефіцієнт при змінній, якщо він не дорівнює нулю. Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, то з'ясовують: рівняння має безліч коренів чи їх немає.

III. Приклади рівнянь, що зводяться до лінійних і схема їх розв'язання

Розв'яжемо рівняння:

а) 5(2х-1)=4х-23, розкриємо дужки маємо: 10х-5=4х-23, перенесемо члени зі змінними в ліву частину рівняння, а чле­ни, які не містять змінної, у праву маємо:10х-4х=-23+5, зведемо подібні доданки маємо: 6х=-18, поділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при змінній маємо: х=-3.

Відповідь: -3.

б) 3х-4=3(х-2) виконуємо аналогічні перетворення маємо:

3х-4=3х-6;

3х-3х=-6+4;

0х=-2.

Відповідь: Рівняння коренів немає.

в) 3х-2(х-1)=х+2;

3х-2х+2=х+2;

3х-2х-х=2-2;

0х=0.

Відповідь: Рівняння має безліч коренів.

IV.Виконання вправ

Пропонуємо вам розв'язати наступні рівняння:

а) 36х=-54; б) 5х-3=17; в) 7х+32=12х+25; г)2(х-11)-5(5-2х)=-23.

Перевір себе: а)1,5 або 1; б) 4; в) -1; г) -3.

V.Підсумок заняття

Якщо ви уважно опрацювали третє заняття то ви зрозуміли поняття «лінійне рівняння з однією змінною», навчилися розв'язувати лінійне рівняння за зразком. Для закріплення пропонуємо виконати наступні завдання.

1.Розв'язати рівняння та знайти добуток коренів:

2.Розв'язати рівняння та знайти суму коренів.

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв'язки.

До зустрічі на занятті №4.

Тест 3

1. Серед вказаних чисел виберіть те, яке є натуральним

А) 1,5; Б) -4; В) 7; Г) -0,5.

2. Серед вказаних чисел виберіть те, яке є дробовим

А) 4; Б) ; В) -8; Г) 0.

3. Який корінь має рівняння 7х=3?

А) ; Б) Жодного; В) ; Г) 0,4.

4. Серед наведених рівнянь виберіть лінійне рівняння з однією змінною

А) 5х² -1=6; Б) 4(х-1)=16; В)+1=6; Г) 8+2=10.

5. Яке з рівнянь не є лінійним з однією змінною (а,в - числа)?

А) а+х=в; Б) а-х=в; В) а : х = в; Г) а∙х=в.

6. В якому випадку немає коренів у рівняння а∙х=в ?

А) а=12, в=7; Б) а=7, в=12; В) а=8, в=0; Г) а=0, в=8.

7. В якому випадку рівняння а∙х=в має один корінь?

А) а=0, в=0; Б) а=3, в=0; В) а=0, в=4; Г) а=0, в=-13.

8. В якому випадку рівняння а∙х=в має безліч коренів?

А) а=0, в=0; Б) а=11, в=14; В) а=3, в=0; Г) а=0, в=3.

9. Розв'яжіть рівняння (1-3) та установіть відповідність між коренями (А-Г)

1.4х=7; А. Жодного;

А Б В Г

2. 0∙х=14; Б. Один ;

1

3. 0∙х=0; В.Два; 2

3

Г. Безліч

10. Розв'яжіть два рівняння 3(2х-4)=16-х та 0,1(у+2)=5, серед отриманих коренів виберіть найбільший

А) 4; Б) 4,8; В) 48; Г) -4.

11. Розв'яжіть два рівняння 5х-3=2х+12 та 0,5у+3(у-2)=2у, знайдіть добуток коренів

А) 20; Б) 9; В) 5; Г) 4.

12. Розв'яжіть два рівняння 2-3х=7х-8 та 2у=0,5(у-3)+у, знайдіть суму коренів

А) -1; Б) -2; В) 1; Г) 0.

Заняття №4

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №3 ви зрозуміли поняття «лінійне рівняння з однією змінною», поглибили свої знання, здобуті раніше. Тож продовжимо. Заняття №4 складається з трьох частин: I. Поняття рівняння з модулем; II. Виконання вправ; III. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете терміни, які треба запам'ятати.

Бажаємо успіхів!

Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте що таке рівняння з модулем, розширите свої відомості про цей вид рівнянь. Покращите вміння розв'язувати рівняння з модулем.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: для того, щоб ви могли розв'язувати більш складні рівняння необхідно знати і вміти розв'язувати рівняння з модулем. Вивчений матеріал допоможе вам на ДПА та ЗНО. На цьому занятті ви зможете це опанувати.

Глосарій термінів: Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Рівняння з модулем - це рівняння виду |х|=а.

Модуль числа х - це відстань від початку відліку до точки, що зображує число х на координатній прямій.

Модуль числа х - це саме число, якщо х≥0 і протилежне йому, якщо х<0.

Зміст заняття:

1. Поняття рівняння з модулем

На третьому занятті Вам пропонувалося розв'язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх: 1. Відповідь: 5 та 4, добуток - 20.

2. Відповідь: 1 та -1, сума - 0.

Нагадаємо, що модулем додатного числа й числа 0 є це саме число, модулем від'ємного числа є протилежне йому число. Наприклад: |5|=5;

|-5|=5; |0|=0.

Рівняння |х|=7; |х+9|=4; |х-1|+5=42 містять змінну під знаком модуля. Такі рівняння називаються рівнянням з модулем. Для розв'язання таких рівнянь використовується геометричний зміст модуля числа та означення модуля числа(дивись глосарій).

II. Виконання вправ.

Розглянемо як розв'язувати рівняння з модулем на прикладах:

1. |х|=4, на координатній прямій існують дві точки, розміщені на відстані 4 одиниці від початку відліку. Це точки, що відповідають числам 4 і -4. Тому рівняння |х|=4 має два корені: -4 і 4.

2. |х|=0 має один корінь х=0.

3. | х|=-5 не має коренів (модуль будь-якого числа є невід'ємним числом і не може дорівнювати -5)

При розв'язанні 1-3 рівняння було використано геометричний зміст модуля. Наступні 4-5 рівняння розв'яжемо за допомогою означення модуля.

4. |х|-2=7х

Якщо х≥0 тоді рівняння буде мати такий вигляд: х-2=7х;

х-7х=2;

-6х=2;

х=-3.

Число -3 не задовольняє нерівності х≥0, тому воно не є коренем рівняння.

Якщо х<0 тоді рівняння буде мати такий вигляд: -х-2=7х;

-х-7х=2;

-8х=2;

х=-4.

Число -4 задовольняє нерівності х<0, тому воно є коренем рівняння.

Відповідь: -4.

5. |х+5|+3х=17

Якщо х+5≥0 (х≥-5) тоді рівняння буде мати такий вигляд: х+5+3х=17;

4х=17-5;

4х=12;

х=3.

Число 3 задовольняє нерівності х≥-5, тому воно є коренем рівняння.

Якщо х+5<0 (х<-5) тоді рівняння буде мати такий вигляд: -(х+5)+3х=17;

-х-5+3х=17;

-2х=22;

х=-11.

Число -11 задовольняє нерівності х<-5, тому воно є коренем рівняння.

Відповідь: -11; 3.

III. Підсумок заняття.

|х|=а

а>0 а=0 а<0

х=а або х=-а

х=0

коренів немає

Для закріплення ваших практичних навичок пропонуємо розв'язати вам наступні рівняння: а) |х|=9; б) |х|=-2; в) |х|+3х=8; г) |2х-7|=11.

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв'язки.

До зустрічі на занятті №5.

Тест №4

1. Розв'яжіть рівняння |х|=5

А) 5; Б) 5; -5; В) -5; Д) жодного.

2. Розв'яжіть рівняння |х|=0

А) 0; Б) 1; В) не має вірної відповіді.

3. Розв'яжіть рівняння |х|=-3

А) 3; Б) -3; В) 3; -3; Г) рівняння коренів не має.

4. Знайдіть суму коренів рівняння |х|+1=4

А) -3; Б) 0; В) 3; Г) 6.

5. Знайдіть найбільший корінь рівняння |х+5|+3х=17

А) 11; Б) -3; В) 3; Г) -11.

6. Знайдіть найменший корінь рівняння |2х-7|=11

А) -9; Б) 9; В) 2; Г) -2.

7.Знайдіть корінь рівняння |2х+1|+4=27 , який задовольняє умові 0<х≤11.

А) 12; Б) 11; В) -12; Г) -12; 11.

8. Установіть відповідність між значенням а (1-3) та кількістю коренів (А-Г) рівняння |x|=a

А Б В Г

1. a>0; А) один; 1

2. a<0; Б) два; 2

3. a=0; В)три; 3

Г) жодного. 4

9. Виберіть правильне твердження:

А) Корінь рівняння - це значення невідомої змінної;

Б) Розв'язати рівняння - це означає знайти його корінь;

В) Рівняння з модулем це рівняння виду |х|=a;

Г) Модуль числа х - це саме число х.

10. Число -9 є коренем рівняння

А) |х|=9; Б) |х|= -9; В) х+8=1 Г) х-9=0

11. Розв'яжіть рівняння |х|+3х=8

А) 4; Б) коренів немає; В) 2;4; Г) 2.

12. Знайдіть суму коренів рівняння |2х+2|-|х-3|=4

А) 0; Б) -10; В) -7 ; Г) 18.

Заняття №5

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №4 ви зрозуміли поняття «рівняння з модулем», пригадали, що називається модулем числа, поглибили свої знання, здобуті раніше. Навчилися розв'язувати рівняння з модулем. Тож продовжимо. Заняття №5 складається з трьох частин: I. Поняття рівняння, що містять дроби.; II. Виконання вправ; III. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. Кожен етап закінчується висновком, який треба запам'ятати, він знадобиться тобі на наступних заняттях. В глосарії ви знайдете всі необхідні терміни.

Бажаємо успіхів!

Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте що таке рівняння, що містять дроби, розширите свої відомості про цей вид рівнянь. Покращите вміння розв'язувати рівняння, що містять дроби.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: «Світ математики - це немовби багатоповерхова будівля, причому ідеї кожного поверху зв'язані як між собою, так і тими, що знаходяться вище і нижче. Чим нижче поверх, тим глибші(і, взагалі кажучи, важчі) ідеї» - так сказав Годфрі Гарольд Харді(1877 - 1947), англійський математик. Тому ми сьогодні будемо рухатися різними «поверхами алгебри».

Для того, щоб ви могли розв'язувати більш складні рівняння необхідно знати і вміти розв'язувати рівняння з модулем. Вивчений матеріал допоможе вам на ЗНО. На цьому занятті ви зможете це опанувати.

Глосарій термінів: Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Рівняння з модулем - це рівняння виду |х|=а.

Рівняння, що містять дроби - це рівняння коефіцієнти якого дробові числа (десяткові або звичайні).

НСК(найменше спільне кратне) - це найменше число, яке ділиться на дане без остачі.

Зміст заняття:

1. Поняття рівняння, що містять дроби

На четвертому занятті Вам пропонувалося розв'язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх: а) -9 і 9; б) коренів немає; в) 2; г) 9 і -2.

Вам приходилося виконувати дії з дробовими числами. Сьогодні ви будете працювати із звичайними дробами. Давайте пригадаємо Як виконувати дії із звичайними дробами на прикладах:

1) +=; 2) -=.

Висновок: Щоб додати дроби з однаковими знаменниками треба додати їх чисельника, а знаменник залишити без змін. Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменники залишити без змін.

3) += +==1.

Висновок: Щоб додати дроби з різними знаменниками треба знайти НСК (дивись глосарій) знаменників тобто НСК(3;7)=21. До кожного дробу знайти доповняльний множник, помножити чисельник і знаменник дробу на цей доповняльний множник, а потім виконати дію додавання дробів з однаковими знаменниками. Віднімання виконується аналогічно.

Розгляньте рівняння =+, воно містить дробові коефіцієнти, тому таке рівняння називають рівняння, що містить дроби. Давайте навчимося їх розв'язувати.

=+, знайдемо НСК(18;12;9)=36, та помножимо на нього обидві частини рівняння: 36·=36·(+), виконаємо множення, маємо:

=+ ;

2(2х-1)=3х+4;

4х-2=3х+4;

4х-3х=4+2;

х=6.

Відповідь: 6.

Розібравши цей приклад ви повинні зрозуміти, що деякі рівняння з дробами шляхом виконання рівносильних перетворень та використання властивостей чисел можуть бути зведені до лінійних рівнянь з однією змінною.

Давайте зараз складемо алгоритм розв'язування лінійного рівняння:

1. Позбутися знаменників.

2. Розкрити дужки.

3. Перенести члени зі змінним в ліву частину рівняння, а інші у праву.

4. Звести подібні доданки.

Коментоване розв'язування рівняння, відповідно до алгоритму.

Застосуємо даний алгоритм до розв'язування рівнянь.

• Позбудемось знаменників, обидві частини рівняння помножимо на 10, 10 - найменший спільний знаменник дробів, що входять до рівняння.

2(3х+1) - 5(х+2)=х-8.

• Розкриємо дужки: 6х + 2 - 5х - 10 = х - 8.

• Перенесемо члени зі змінним в ліву частину рівняння, а інші у праву:

6х - 5х -х = - 8 - 2 + 10.

• Зведемо подібні доданки:

0=0.

Відповідь: х- будь-яке число.

ІІ. Виконання вправ

Зразок запису:

Відповідь: 84.

Пропонуємо розв'язати наступні рівняння:

1) -=2; 2) -=; 3) -=1.

Перевір себе: 1) -8; 2) 13; 3)11.

III. Підсумок заняття

Розгляньте розв'язок рівняння №2 -=1 ·36; 4(7х-4)-9(3х+3)=6(8-х);

28х-16-27х-27=48-6х; х-43=48-6х; 7х=91; х=13

Відповідь: 13.

Сподіваємося ви змогли самостійно розв'язати це рівняння.

Для закріплення ваших практичних навичок пропонуємо розв'язати вам наступні рівняння, що зводяться до лінійних.

До зустрічі на занятті №6.

Тест №5

1.Якому многочлену дорівнює вираз: -(5х - 7) + ( 8х - 4)

А) 13х +3; Б) 3х+3; В) 3х-11; Г) 13х -11.

2. Спростіть вираз 9у-5(3+у)

А) 4у-5; Б) 14у-5; В) 4у-15; Г) 4у-15.

3. Обчисліть значення виразу ( - )∙16

А) 2; Б) 4; В) 6; Г) 8.

4. Чому дорівнює сума +

А) ; Б) ; В) ; Г) .

5. Обчисліть значення виразу ():

А) ; Б) ; В) ; Г) .

6. Знайдіть НСК чисел 18 і 12

А) 2; Б) 9; В) 36; Г)72.

7. Знайдіть корінь рівняння х=6

А) 2; Б) 3; В) 9; Г) 18.

8. Знайдіть корінь рівняння 2х-=3

А) -2; Б) -1; В) 2; Г) 1.

9. Вкажіть порядок розв'язування рівняння, що містить дроби

Розкрити дужки

Перенести члени зі змінника в ліву частину, а інші в праву

Позбутися знаменників

Звести подібні доданки

10. Знайдіть корінь рівняння - = 2

А) 8; Б) -8; В) 2; Г) -2.

11. Розв'яжіть рівняння (1-4) та установіть відповідність між коренями (А-Д)

1. = ; А. 18;

А Б В Г Д

2. |x-3| = 15; Б. 2;

1

3. x = 40; В. ; 2

3

4. 4(7x-3) = 44. Г. 18 ,-12; 4

Д. 72.

12. Розв'яжіть рівняння (1х-3) = (х-1,5)-1,5

А) -2; Б) не має розв'язків; В) 2; Г) 0.5.

Заняття №6

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №5 ви покращили вміння розв'язувати рівняння, що містять дроби, поглибили свої знання, здобуті раніше. Тож продовжимо. Заняття №6 складається з трьох частин: I. Поняття математичної моделі задачі; II. Розв'язування задач; III. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете всі необхідні терміни.

Бажаємо успіхів!

Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте що таке математична модель задачі. Розкриєте технологію розв'язування текстових задач на знаходження невідомих за допомогою рівнянь як математичної моделі. Уважне вивчення теоретичного матеріалу приведе вас до поетапного самоконтролю і аналізу всіх елементів розв'язування задачі за допомогою складання рівнянь, навчить аналізувати здобуті корені рівняння відповідно до умови задачі.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: Дуже багато типових ситуацій з нашого побуту, наприклад звичайний похід у магазин, може обернутися необхідністю розв'язати деяку задачу. А значну кількість цих задач набагато легше розв'язати, склавши відповідне рівняння. Відповідно до загальної мети, кожен із вас повинен поставити перед собою цілі, над досягненням яких буде працювати на сьогоднішньому занятті.

Глосарій термінів: Математична модель - це опис якогось реального об'єкту або процесу мовою математичних понять, відношень, формул, рівнянь.

Числовий вираз - це вираз, який містить числа та дії над ними. Наприклад 23+4; 58-20; 9·5+56. Якщо в цих числових виразах виконати зазначені дії, то дістанемо значення виразів.

Буквений вираз або вираз із змінною - це вираз, який крім чисел містить букву або букви. Наприклад 9·а; (18-х)·7; 15+а·с. Щоб обчислити значення виразу із змінними, треба замість букв записати їхні числові значення і виконати вказані дії.

Зміст заняття:

1. Поняття математичної моделі задачі

Ще з курсу математики ви набули певного досвіду складати буквені вирази, які виражають різноманітні залежності між величинами. Оскільки на сьогоднішньому занятті ці вміння нам знадобляться, то зараз проведемо невелике тренування в переведенні залежностей між величинами на мову алгебри.

1. Число х більше від числа 7 на 3. Складіть відповідні рівняння.

Відповідь: х-7 = 3; х-3 = 7; х = 7+3.

2. Складіть рівняння, якщо а більше від 5 у 4 рази.

Відповідь: а׃4=5.

3. Сума двох чисел дорівнює 15. Одне з них а. Запишіть друге число.

Відповідь: х=15-а.

4. В одному кошику х яблук, у другому - у 2 рази більше, а в третьому - у 4 рази більше, ніж у першому. Скільки яблук у другому? у третьому? у трьох кошиках разом?

Відповідь: 2х; 4х; х+2х+4х

6. У п'ятому класі х учнів; у шостому - на 3 учні більше, ніж у п'ятому, а в сьомому - на 2 учні менше, ніж у шостому. Скільки учнів у сьомому класі?

Відповідь: х+1 (у шостому (х+3)учня, в сьомому (х+3-2=х+1)учнів)

7. На верхній полиці лежить m книжок, на середній - удвоє, а на нижній - утроє більше, ніж на верхній. Скільки книжок на всіх трьох полицях разом?

Відповідь: m+2m+3m=6m

Ми навчилися розв'язувати лінійні рівняння з однією змінною для того, щоб застосовувати це вміння для розв'язування текстових задач. Як правило, задача являє собою деяку життєву ситуацію. Щоб розв'язати задачу, необхідно цю життєву ситуацію перекласти на мову математики - це називається скласти математичну модель задачі. Математична модель - це опис якогось реального об'єкту або процесу мовою математичних понять, відношень, формул, рівнянь.

Для того щоб скласти математичну модель задачі, потрібно спочатку вибрати основне невідоме, а потім, поетапно аналізуючи умову задачі, скласти відповідні рівняння. Само по собі рівняння, складене за умовою задачі, не є повною математичною моделлю реальної ситуації, відображеної в умові. Воно не враховує фізичних властивостей предметів і явищ, про які йдеться в задачі, реальних співвідношень між допустимими значеннями відповідних фізичних величин. Тому розв'язки рівняння можуть не відповідати дійсності, і треба обов'язково перевірити, чи задовольняють корені рівняння умову задачі, чи враховують змістові обмеження для значень величин, що розглядаються. Отже, відповідь, яку дістали за складеним рівнянням, необхідно перевірити за змістом задачі. Чи задовольняє знайдений розв'язок саме умову, а не рівняння, складене за умовою задачі, адже можна неправильно скласти рівняння, а розв'язати його правильно.

Корисно з метою перевірки скласти й розв'язати задачу, в якій шукане число беруть за дане, а одне з даних - за шукане.

Приклад. Знайдіть, скільки треба квадратних плиток зі стороною 15 см, щоб застелити підлогу ванної кімнати, розміри якої 3,3 м на 2,8 м.

Побудуємо математичну модель задачі: плитка має форму квадрата, підлога - форму прямокутника. Завдання, поставлене в задачі, мовою математики формулюється так: у скільки разів площа прямокутника зі сторонами 2,8 м і 3,3 м більша від площі квадрата зі стороною 15 см? Розв'язання математичної задачі:

1) площа прямокутника: 3,3∙2,8 = 9,24 (м²);

2) площа квадрата: 152 =225 (см²) = 0,0225 (м²);

3) 924/2,25=410,(6)

Відповідь: треба не менше ніж 411 плиток.

У формулюванні задачі використовуються не математичні поняття. Це прикладні задачі.

II. Розв'язування задач

1. Склади вираз для відповіді на запитання задачі:

1) На скільки більше буде потрібно 2-літрових банок, ніж 3-літрових, щоб розлити в них х літрів компоту?

Відповідь: - .

2) У дворі граються а хлопчиків і у 2 рази більше дівчаток. Для гри всі діти розбилися на команди по b дітей у кожній. Скільки вийшло команд?

Відповідь: (хл.- а; дів.- 2а; разом а+2а=3а)

3) У першому кошику в 3 рази більше яблук, ніж в другому. Скільки яблук у кожному кошику, якщо в обох кошиках разом - 24 яблука?

Відповідь: 3х+х=24.

2. Побудуй математичну модель задачі і розв'яжи її:

Середній рівень

1) Перше число в 2 рази більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 42.

Відповідь: Перше число - 28, друге - 14.

Достатній рівень

2) Мама купила 6 кг цукерок двох видів за ціною 20 грн і 24 грн. Скільки кілограмів цукерок кожного виду купила мама, якщо покупка коштує 136 грн?

Відповідь: 2 кг, 4 кг.

3) Група туристів за три дні пройшла 74 км. За перший день туристи пройшли на 8,5 км менше, ніж за другий, а за третій стільки, скільки за другий. Який шлях проходили туристи кожного дня?
Розв'язання
Усі три величини невідомі, але в умові задачі зазначаються співвідношення між ними. Із цього робимо висновок, що задачу зручно розв'язувати за допомогою рівняння.
Усі невідомі величини порівнюються зі шляхом, який пройшли туристи за другий день. Отже, робимо висновок, що цю величину зручно позначити буквою й через неї виразити всі інші величини.
Нехай другого дня туристи пройшли х км. Тоді за перший день вони пройшли (х-8,5)км, а за третій - х км.
За умовою задачі, за три дні туристи пройшли 74 км, або ((х-8,5)+х+х)км.
Одержимо й розв'яжемо рівняння:

х-8,5+х+х=74;

3х-8,5=74;

3х=74+8,5;

3х=82,5;

х= 27,5

27,5-8,5=19(км) пройшли туристи за перший день.
Відповідь: за перший день туристи пройшли 19 км, за другий - 27,5 км, за третій - 27,5 км. 

III. Підсумок заняття

На початку уроку ви ставили перед собою цілі, над якими працювали індивідуально. Чи досягнули ви своєї цілі? Що нового дізналися на занятті? Сподіваємося на позитивні відповіді.

Для закріплення ваших практичних навичок пропонуємо розв'язати вам наступні завдання:

Побудувати математичну модель задачі та розв'язати її.

Середній рівень

1)У 100 г гарбуза міститься 8 мг вітаміну С. Скільки треба взяти гарбуза, щоб дістати 100 мг вітаміну С?

2) У магазин завезли 425 кг картоплі, яку було продано за два дні, причому за перший день було продано в 4 рази більше картоплі, ніж за другий. Скільки картоплі було продано кожного дня?

Достатній рівень

3)Комп'ютерний клуб планує працювати 9 годин на день і обслуговувати 38 членів клубу. Обслуговування кожного члена має відбуватися щоденно за окремим комп'ютером протягом 1,5 години. Яку найменшу кількість комп'ютерів потрібно клубові, щоб обслуговувати своїх клієнтів?

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв'язки.

Бажаємо успіхів!

Завдання до уроку №6

1. Число х більше від числа 5 на 2. Виберіть правильне рівняння.

А) х+5 = 2; Б) х = 5-2; В) х-5 = 2; Г) х+2=5.

2. Складіть рівняння, якщо число х більше від 7 у 3 рази.

А) х∙3 = 7; Б) х∙7 = 3; В) х-7 = 3; Г) х:3=7.

3. Сума двох чисел дорівнює 28. Одне з них у 3 рази більше за інше. Знайди ці числа.

А) 7 і 21; Б) 13 і 15; В) 9і 19; Г) 14 і 14.

4. В одному кошику х яблук, у другому - у 3 рази більше, а в третьому - на 2 більше, ніж у першому. Скільки яблук у трьох кошиках разом? Складіть вираз.

Відповідь: ______

5. У п'ятому класі х учнів; у шостому - на 5 учні більше, ніж у п'ятому, а в сьомому - на 3 учні менше, ніж у шостому. Скільки учнів у сьомому класі? Складіть вираз.

Відповідь: ______

6. На верхній полиці лежить n книжок, на середній - удвоє, а на нижній - утроє більше, ніж на верхній. Скільки книжок на всіх трьох полицях разом? Складіть вираз.

Відповідь: _____

7. У дворі граються n хлопчиків і у 3 рази більше дівчаток. Для гри всі діти розбилися на команди по m дітей у кожній. Скільки вийшло команд? Складіть вираз.

Відповідь: ______

8. На скільки більше буде потрібно 2-літрових банок, ніж 3-літрових, щоб розлити в них n літрів компоту? Складіть вираз.

Відповідь: ______

9. У 100 г гарбуза міститься 8 мг вітаміну С. Скільки треба взяти гарбуза, щоб дістати 100 мг вітаміну С?

Відповідь:_______

10. У магазин завезли 425 кг картоплі, яку було продано за два дні, причому за перший день було продано в 4 рази більше картоплі, ніж за другий. Скільки картоплі було продано за перший день?

Відповідь: ____

11. Комп'ютерний клуб планує працювати 9 годин на день і обслуговувати 38 членів клубу. Обслуговування кожного члена має відбуватися щоденно за окремим комп'ютером протягом 1,5 години. Яку найменшу кількість комп'ютерів потрібно клубові, щоб обслуговувати своїх клієнтів?

Відповідь: ____

Заняття №7

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №6 ви зрозуміли, що таке математична модель задачі. Розкрили технологію розв'язування текстових задач на знаходження невідомих за допомогою рівнянь як математичної моделі. Тож продовжимо. Заняття №7 складається з двох частин: I. Розв'язування задач; II. Підсумок заняття. Задачі містять розв'язки та відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. На занятті ми будемо розв'язувати задачі різних видів, будьте уважні. В глосарії ви знайдете всі необхідні терміни.

Бажаємо успіхів!

Тема: Мета: Після вивчення цієї теми ви розширите знання про види задач, що розв'язуються за допомогою рівнянь. Розширите спектр умінь щодо складання математичної моделі текстових задач, в яких йдеться про зміни величин, та задач на рух. Основна мета заняття - сформувати уміння формалізувати текстову задачу (складаючи таблиці), тому, щоб зберегти час і розв'язувати якомога більше задач.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: Розв'язування задач розвиває логічне мислення, вміння аналізувати ситуацію, виховує рішучість і упевненість під час прийняття рішень, розвиває інтерес до математики. Тексти ДПА та ЗНО містять задачі, розв'язувати які ви можете навчитися на цьому занятті.

Глосарій термінів: Математична модель - це опис якогось реального об'єкту або процесу мовою математичних понять, відношень, формул, рівнянь.

Числовий вираз - це вираз, який містить числа та дії над ними. Наприклад 23+4; 58-20; 9·5+56. Якщо в цих числових виразах виконати зазначені дії, то дістанемо значення виразів.

Буквений вираз або вираз із змінною - це вираз, який крім чисел містить букву або букви. Наприклад 9·а; (18-х)·7; 15+а·с. Щоб обчислити значення виразу із змінними, треба замість букв записати їхні числові значення і виконати вказані дії.

Зміст заняття:

1. Розв'язування задач

На шостому занятті Вам пропонувалося розв'язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх:

1) (100:8)·100=1250(г) треба взяти гарбуза;

2) Нехай х кг було продано другого дня. Тоді першого дня було продано 4х кг, а разом за два дні (4х+х) кг, що за умовою задачі становить 425кг. Маємо рівняння: 4х+х=425; 5х=425; х=425:5; х=85

Отже, другого дня було продано 85 кг картоплі, а першого - 4·85=340(кг)

Відповідь: 340 кг; 85 кг.

3) 38:(9:1,5)= =6, аналізуючи можливу відповідь робимо висновок, що комп'ютерів потрібно 7 штук. Відповідь: 7 комп'ютерів.

Продовжимо розширювати та узагальнювати знання.

На занятті приділимо увагу технології складання таблиць за умовою текстової задачі. Розглянемо на прикладах:

Задача1. В одній шафі було в 4 рази менше книжок, ніж у другій. Коли в першу шафу поставили 17 книжок, а з другої взяти 25, то в обох шафах книг стане порівну. Скільки книжок було в кожній шафі спочатку?

Розв'язання: Нехай в першій шафі було х книжок, тоді в другій - 4х. Складемо таблицю:

Було

Змінили

Стало

1-ша шафа

х

+17

х+17

порівну

2-га шафа

4х

-25

4х-25

х+17=4х-25;

х-4х=-25-17;

-3х=-42;

х=14.

В першій шафі було 14 книжок, а в другій: 4·14=56 книжок.

Відповідь: 14кн., 56кн.

Задача 2 (на рух). Від села до міста легковий автомобіль доїхав за 2 години, а вантажівка - за 5 годин. Знайдіть швидкість руху кожної машини, якщо швидкість вантажівки на 48 км/год менша від швидкості легкового автомобіля.

Розв'язання: Нехай швидкість легкового автомобіля становить х км/год, тоді швидкість вантажної машини - (х-48)км/год.

Складемо таблицю:

V(км/год)

t(год)

S (км)

Легковий автомобіль

х

2

2х

порівну

Вантажівка

х-48

5

5(х-48)

5(х-48)=2х;

5х-240=2х;

5х-2х=240;

3х=240;

х=240:3;

х=80.

Швидкість легкового автомобіля становить 80 км/год, а швидкість вантажівки - 80-48=32 (км/год).

Відповідь: 80 км/год, 32 км/год.

Завдання: За даною таблицею пропонуємо вам скласти задачу на рух

V(км/год)

t(год)

S (км)

I

х+4

2

2(х+4)

3х=2(х+4)

II

х

3

3х

Можливий варіант відповіді: З пункту А в пункт В виїхали два велосипедиста. Перший подолав цю відстань за 2 години, а другий - за 3години. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста, якщо швидкість одного з них на 4 км/год більша ніж у другого.

II. Підсумок заняття

Ви розглянули деякі види задач, що розв'язуються за допомогою рівнянь. На занятті розв'язували текстові задачі, складаючи таблиці.

Для закріплення ваших практичних навичок пропонуємо розв'язати вам наступні задачі:

Задача 1. У корзині було в 2 рази менше винограду, ніж в ящику. Після того як в корзину додали 2кг, в ній стало винограду на 0,5 кг більше, ніж у ящику. Скільки винограду було в корзині?

Задача 2. Перший автомобіль долає шлях між містами за 5 год. Другий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша, ніж першого, долає той самий шлях за 4 год. Знайдіть швидкість автомобілів.

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв'язки.

До зустрічі на занятті №8.

Завдання до заняття №7

(кожне завдання по 2 бали)

1. В першій шафі було в 3 рази менше книжок, ніж у другій. Коли в першу шафу поставили 15 книжок, а з другої взяти 21, то в обох шафах книг стане порівну. Скільки книжок було в першій шафі спочатку?

А) 13; Б) 18; В) 17; Г) 33.

2. Від села до міста легковий автомобіль доїхав за 3 години, а вантажівка - за 5 годин. Знайдіть швидкість руху вантажної машини, якщо її швидкість на 30 км/год менша від швидкості легкового автомобіля.

А) 75 км/год; Б) 105 км/год; В) 45 км/год; Г) 55 км/год.

3. З пункту А в пункт В виїхали два велосипедиста. Перший подолав цю відстань за 3 години, а другий - за 3,5 години. Знайдіть швидкість першого велосипедиста, якщо швидкість одного з них на 3 км/год більша ніж у другого.

А) 12 км/год; Б) 18 км/год; В) 21 км/год; Г) 9 км/год.

4. У корзині було в 2 рази менше винограду, ніж в ящику. Після того як в корзину додали 2кг, в ній стало винограду на 0,5 кг більше, ніж у ящику. Скільки винограду було в корзині?

Відповідь:_______

5. Перший автомобіль долає шлях між містами за 5 год. Другий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша, ніж першого, долає той самий шлях за 4 год. Знайдіть швидкість другого автомобіля.

Відповідь:_______

6. Катер проплив по озеру та проти течії річки однакову відстань. На шлях по озеру він витратив 3 години, а проти течії річки - 4 години. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год.

Відповідь: ________

Заняття №8

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви закінчуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №7 ви розширили свої знання про види задач, що розв'язуються за допомогою рівнянь. Розширили спектр умінь щодо складання математичної моделі текстових задач, в яких йдеться про зміни величин, та задач на рух. Сформували уміння формалізувати текстову задачу, складаючи таблиці. На цьому занятті ми підведемо підсумок вивчаємої теми. Заняття №8 складається з трьох частин: I. Повторення та систематизація знань; II.Виконання творчих вправ; III.Кросворд; IV. Тестування. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете всі необхідні терміни.

Бажаємо успіхів!

Тема: «Підведення підсумків курсу. Проведення контрольного тестування»

Мета: Систематизувати знання і вміння , набутих під час вивчення курсу «Рівняння. Застосування рівнянь до розв'язування задач». Перевірити рівень засвоєння знань, умінь і навичок, передбачених програмою.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: Ви перевірите свої знання та практичні навички. Можливо вам треба буде повторити, або заново вернутися до якогось з занять.

Глосарій термінів: Рівняння - це рівність, яка містить змінну.

Корінь рівняння - це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв'язати рівняння - це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Рівносильні рівняння - це рівняння, які мають одні і ті ж розв'язки. (Рівняння, які не мають розв'язків, також є рівносильними)

Лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду ах=b, у якому а і b - деякі відомі числа, а х- змінна.

Рівняння з модулем - це рівняння виду |х|=а.

Рівняння, що мітять дроби - це рівняння коефіцієнти якого дробові числа (десяткові або звичайні).

Математична модель - це опис якогось реального об'єкту або процесу мовою математичних понять, відношень, формул, рівнянь.

Числовий вираз - це вираз, який містить числа та дії над ними. Наприклад 23+4; 58-20; 9·5+56. Якщо в цих числових виразах виконати зазначені дії, то дістанемо значення виразів.

Буквений вираз або вираз із змінною - це вираз, який крім чисел містить букву або букви. Наприклад 9·а; (18-х)·7; 15+а·с. Щоб обчислити значення виразу із змінними, треба замість букв записати їхні числові значення і виконати вказані дії.

На сьомому занятті Вам пропонувалося розв'язати задачі. Давайте перевіримо їх:

Задача 1. Відповідь: 1,5 кг.

Задача 2. Відповідь: швидкість першого автомобіля: 80км/год., а другого - 100 км/год.

Зміст заняття:

1. Повторення та систематизація знань

Теоретичні запитання.

1. Що таке числова рівність? Наведіть приклади.

2. Що називається рівнянням?

3. Що таке корінь рівняння? Наведіть приклади.

4. Яке рівняння називають тотожністю? Поясніть на прикладі.

5. Що означає розв'язати рівняння?

6. Як знайти невідомий доданок? Поясніть на прикладі.

7. Як знайти невідоме зменшуване? Поясніть на прикладі.

8. Як знайти невідомий від'ємник? Поясніть на прикладі.

9. Як знайти невідомий множник? Поясніть на прикладі.

10. Як знайти невідоме ділене? Поясніть на прикладі.

11. Як знайти невідомий дільник? Поясніть на прикладі.

12. Які рівняння називаються рівносильними? Поясніть на прикладі.

13. Які ви вмієте здійснювати перетворення у рівняннях?

14. Сформулюйте основні властивості рівняння. Поясніть на при­кладі.

15. Як розкрити дужки, якщо перед ними стоїть знак «+»?

16. Як розкрити дужки, якщо перед ними стоїть знак «-»?

Тестові завдання

1. Яке з рівнянь не є лінійним з однією змінною ( а, в - числа):

а) а + х = в; б) а - х = в; в) а : х = в; г) а · х = в.

2. В якому випадку немає коренів у рівнянні а · х = в

а) а = 2, в = 7; б) а = 7, в=2; в) а = 7, в=0; г) а =0, в = 7?

3. В якому випадку рівняння а·х=в має один корінь?

а) а = 0; в = 0; б) а = 7; в = 0; в) а = 0; в = 7; г) а = 0; в = -47.

4. В якому випадку безліч коренів у рівнянні а · х = в?

а) а = 10; в = 15; б) а = 7; в = 0; в) а = 0; в = 7; г) а = 0; в = 0.

Перевір себе: 1.в); 2.г); 3.б); 4г).

II. Виконання творчих вправ.

Розв'яжить рівняння за схемами.

(5 +х) - (2+х)=х, х=1

8(9 + 2х) = 5(2 - 3х), х= -2

(2х-3)(4-х)=0

2х-3=0 або 4-х=0

х=1,5 або х=4

3(х+1)+5-2(х-3)=2, х=-12

|x-2|=4

x-2=4 або х-2= -4

х=6 або х= -2

|3x+8|= -4

Рівняння не має розв'язків

При розв'язуванні даних рівнянь необхідно згадати означення модуля та пригадати, коли добуток двох чи більше чисел рівний нулю.

III. Кросворд

1. Рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою, називають…

2. Число, при якому рівняння перетворюється в істину числову рівність називається …

3. Рівність, яка справедлива при будь-яких значеннях змінних, називається …

4. Рівняння виду ах=b, де а і b - довільні числа, називається …

5. Якщо у рівняння виду ах=b коефіцієнт а відмінний від нуля, то дане рівняння називають рівнянням … степеня із однією змінною

6. Рівняння, які мають спільні корені, або ж їх не мають, називаються …

7. Кого ми називаємо «батьком алгебри»?

8. Корінь рівняння

9. Розділ математики, що вивчає рівняння

10. При перенесенні доданків з однієї частини рівняння в іншу, знак доданка змінюємо на …

11. , х=

12. Число а у лінійному рівняння називають …

Контрольний тест по темі: «Рівняння»

Питання 1. Коренем рівняння 3х + 2 = 11 є число:

Варіанти відповіді: А - 3;

Б - 5;

В - 7.

Питання 2. Якщо 3х + 11 = 0, то х =…

А) Б) - В) Г) -

Питання 3. Якщо 15х - 3 = 13х - 13, то х…

А) - 8 Б) - В) - Г) - 5

Питання 4. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню: 3х = 12?

Варіанти відповіді: А: х=15;

Б: х=9;

В: х-4=0;

Г: 2х-4=0

Питання 5. Яке з рівнянь не має розв'язків?

Варіанти відповіді: А: 2х-3=0;

Б: х+5=х;

В: х-12=5;

Г: 6х=30.

Питання 6. За два дні зорали 250 га. За перший день зорали в 4 рази більше, ніж за другий. Скільки гектарів поля зорали за другий день?

А) 50; Б) 200; В) 5: Г) 150.

Питання 7. При якому значенні х вирази 3х - 9(х - 5) і -11 + 2х набувають рівних значень?

Варіант відповіді: _________

Питання 8. Сума двох чисел дорівнює 68. Перше число становить 70% від другого. Знайти ці числа.

Яке з рівнянь відповідає умові задачі, якщо через х позначено друге число?

Варіанти відповіді: А: х+70=68;

Б: 0,3х+х=68;

В: 0,7х+х=68;

Г: 0,7х=68.

Питання 9. На двох ділянках було 150 кущів малини. Після того, як з першої ділянки пересадили 10 кущів на другу, на другій ділянці стало в 2 рази більше кущів, ніж на першій. Скільки кущів малини було спочатку на першій ділянці?

Варіант відповіді: _________

Питання 10. Розв'яжіть рівняння:

Варіант відповіді: _________

Питання 11.

Установіть відповідність між кожнім рівнянням (1-4),та кількістю його коренів (А-D)

А Б В Г Д

1. 2х=4 А) Жодного 1

2. х(х-3)=0 Б) Один 2

3. х²=-4 В) Два 3

4. 3+х=х+3 Г) Безліч 4

Д) Три

Питання 12.

Для рівнянь (1-4) установіть відповідність між рівносильними рівняннями (А-D)

А Б В Г Д

1. х-2=8; А) х+9х-30=20; 1

2. 6х-2=14; Б) 6х=14-2; 2

3. 3х-1=4х+2; В) 6х=14+2; 3

4. 8х+2х=50. Г) х=10; 4

Д) -х=3.

Відповіді до тестових завдань

Тест №1

1-Б; 2-В; 3-В; 4-В,Г; 5-В; 6-Б; 7-Г; 8-(1-Б;2-В;3-А;4-Г); 9-В; 10-А; 11-Г; 12-х=4.

Тест №2

1-Б; 2-В; 3-Г; 4-В; 5-(1-Г;2-В;3-Д;4-А); 6-В,Г; 7-А; 8-Г; 9-А; 10-Б; 11-х=-1; 12-А,Г,Д.

Тест №3

1-В; 2-Б; 3-В; 4-Б; 5-В; 6-Г; 7-Б; 8-А; 9-(1-Б;2-А;3-Г); 10-В; 11-А; 12-Г.

Тест №4

1-Б; 2-А; 3-Г; 4-Б; 5-В; 6-Г; 7-Б; 8-(1-Б;2-Г;3-А); 9-В; 10-А; 11-Г; 12-В.

Тест №5

1-Б; 2-В; 3-А; 4-Г; 5-Б; 6-В; 7-Г; 8-В; 9-2,3,1,4; 10-Б; 11-(1-В;2-А;3-Д;4-Б); 12-Б.

Завдання №6

1-В; 2-Г; 3-А; 4. 5х+2; 5. х+2; 6. 6n; 7. ; 8.- ; 9. 1250 г.; 10. 340 кг.; 11. 7 комп'ютерів.

Завдання №7

1-Б; 2-В; 3-В; 4. 1,5 кг; 5. 100 км/год; 6. 8 км/год.

Підсумкова робота до заняття №8

1-А; 2-Б; 3-Г; 4-В; 5-Б; 6-Б; 7. 7; 8-В; 9. 60; 10. 1; 11-(1-Б;2-В;3-Д;4-А); 12-(1-Г;2-В;3-Д;4-А).

Відповіді на кросворд

Рівнянням; коренем; тотожністю; лінійним; першого; рівносильними; Діофанта; число; алгебра; протилежний; шість; коефіцієнт.

Висновки та пропозиції

Впровадження інформаційних технологій навчання є пріоритетним напрямом реформування вітчизняної системи загальної середньої освіти. Виконуючи навчальну, виховну й дослідну функції, зазначені технології можуть застосовуватися як на етапі підготовки до проведення занять, створенні навчально-методичного забезпечення, так і під час навчально-виховного процесу й у позаурочній роботі. Використання інформаційних технологій дозволяє створити принципово нову інформаційну освітню сферу, що надає широкі можливості для навчальної діяльності, значно впливає на перерозподіл ролей між її учасниками, підвищує мотивацію, розвиває самостійність, забезпечує індивідуалізацію та диференціацію освітнього процесу, сприяє модернізації традиційної системи навчання.

Список використаних джерел

1. Биков В.Ю. Дистанційні технології навчання в сучасній освіті // Проблеми сучасного підручника: Зб. наук. праць / Ред. кол. - К.: Педагогічна думка, 2004. - Вип. 5. - С. 15-22.

3. mon.gov.ua/ - Міністерство освіти і науки України

4. osvita.com/ - Єдине освітнє вікно України

5. ime.edu-ua.net/ - Інститут засобів навчання АПН України

6. osvita.org/ - Освітньо-консультативний центр "Освіта"

7. kharkivosvita.net.ua/ - Офіційний сайт управління освіти Харківської міської ради

9. Хуторской А.В. Дистанционное обучение и его технологии // Интернет-журнал "Эйдос". - 2005. - 10 сентября. eidos.ru/journal/2005/0910-18.htm.