Тетрадь для правил 8 класс

10

Глава V

Четырёхугольники

№п/п

Название

Формулировка

Чертёж

Многоугольник

1

Определение

Многоугольник - плоская фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

2

Определение

Периметр многоугольника - сумма длин всех сторон многоугольника.

Р=А₁А₂ +А₂А₃+…+А_nА₁;

3

Определение

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

А_{1 и} А₂

4

Определение

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

5

Определение

1. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

2. Если все диагонали многоугольника лежат внутри, многоугольник называется выпуклым (2-ое опр.).

Выпуклый многоугольник:

Невыпуклый многоугольник:

п. 1

6

Определение

Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника

7

Утверждение о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника:

180⁰ · (n - 2), где n - число сторон многоугольника.

8

Все диагонали
n - угольника

Число диагоналей n - угольника равно:

9

Утверждение о сумме внешних углов выпуклого многоугольника:

Сумма внешних углов n - угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Параллелограмм

10

Определение

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Основные свойства и признаки четырёхугольников имеют затонированные номера

11

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих одной стороне, равна 180⁰.

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.

6. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.

7. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

8. Диагонали параллелограмма делят его на 4 попарно равных треугольника.

12

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

4. Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. (№430)

5. Если в четырёхугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон равна 180⁰, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

13

Теорема о прямой, проходящей через середину одной стороны треугольника, параллельно другой стороне:

если в треугольнике через середину одной стороны провести прямую, параллельную другой стороне, то эта прямая разделит третью сторону пополам (№384)

14

Теорема Фалеса:

если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Трапеция

15

Определение и название сторон

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Основания трапеции - параллельные стороны трапеции.

Боковые стороны трапеции - не параллельные стороны трапеции.

Свойства трапеции

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180⁰.

2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям.

3. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.

16

Определение равнобедренной трапеции

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

17

Свойства равнобедренной трапеции: (№388)

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

18

Признаки равнобедренной трапеции: (№389)

1. Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

2. Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

19

Определение прямоугольной трапеции

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

20

Определение средней линии трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

21

Теорема о средней линии трапеции:

средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме:

рис. п.19;

FP | | ВС;

FP | | AD;

Прямоугольник

22

Определение прямоугольника

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

23

Свойства прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Диагональ разбивает прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

(прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма)

24

Признаки прямоугольника:

1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

2. Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм - прямоугольник. (№399)

3. Если в четырёхугольнике все углы прямые, то этот четырёхугольник - прямоугольник.

25

Теорема о медиане прямоугольного треугольника:

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. (№404)

Ромб

26

Определение ромба

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

27

Свойства ромба:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

2. Точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

3. Высоты ромба равны.

(ромб обладает всеми свойствами параллелограмма)

28

Признаки ромба:

1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпен-

дикулярны, то параллелограмм - ромб. (№408)

2. Если в параллелограмме диагональ является биссектрисой его угла, то параллелограмм - ромб. (№408)

3. Если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник - ромб.

Квадрат

29

Определение квадрата

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

30

Свойства квадрата

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата:

- равны;

- взаимно перпендикулярны;

- точкой пересечения делятся пополам;

- делят углы квадрата пополам.

(квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба)

31

Признаки квадрата

1.Если в ромбе один из углов прямой, то ромб -

квадрат. (№409)

2. Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, то четырёхугольник - квадрат. (№410)

3. Если в прямоугольнике пара смежных сторон равна, то этот прямоугольник - квадрат.

4. Если в параллелограмме один угол прямой и пара смежных сторон равна, то этот параллелограмм - квадрат.

Осевая симметрия

32

Осевая симметрия - симметрия относительно прямой.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой l, если:

1) А А₁l, где l АА₁ = О;

2) АО= О А₁

Прямая l - ось симметрии фигуры.

Каждая точка прямой l считается симметричной самой себе.

Фигуру называют симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре.

Фигуру называют симметричной относительно прямой a, если эта прямая делит фигуру на две части, совпадающие при перегибании по этой прямой.

Прямую a называют осью симметрии этой фигуры.

Центральная симметрия

33

Центральная симметрия - симметрия относительно точки.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если:

1) А₁ лежит на прямой О А;

2) ОА= О А_1.

Точка О - центр симметрии фигуры.

Точка О считается симметричной самой себе.

Фигуру называют симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Фигура называется центрально-симметричной, если существует точка, относительно которой каждая точка фигуры симметрична некоторой точке той же фигуры.