- Преподавателю
- Математика
- Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности
Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Бирюкова Е.В. |
Дата | 02.01.2016 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности.
Последовательность - ряд чисел
Каждое число имеет свой номер (первое, второе и т.д.)
2; 12; 22; 32…
218; 220; 218; 220;…..
1; 4; 9; 16; 25;…
а 1, а 2, а 3, …, а n ,… или (а n )
y1, y2, y3,…,yn, … или у(n).
Числовая последовательность - множество нумерованных чисел, располагаемое в порядке возрастания номеров.
Последовательность может быть конечной или бесконечной
Определение: Функцию у = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3..., уn или у(n) или а1 , а2,…, аn… или а(n).
Способы задания последовательностей.
-
Словесно (описание словами, без указания формулы)
-
Аналитический способ (формулой)
-
Рекуррентный способ задания последовательности.
Приведем три примера.
-
уn= n2 - аналитическое задание последовательности
1,4,9,16,…, n2, …, где n - номер элемента последовательности
У1 = 12 =1, У2 = 22 = 4 и т.д.
-
уn= С - последовательность С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).
-
Рекуррентный способ задания последовательности - указывается правило, позволяющее вычислить последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.
а 1, = а, аn+1 = аn+ d -- арифметическая прогрессия
b 1, = b, bn+1 = bn·q --- Геометрическая прогрессия
Решение задач
№ 1. Вычислите у1, у2, у3, у4, у5 и запишите в виде ряда чисел:
А)
Б)
В)
№ 2.
А)
Б)
Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность (уn)
(уn) =
Изобразим элементы этой последовательностей точками на координатной прямой.
0,0625
0 0,125 0,25 0,5 1
все числа последовательности (уn) «сгущаются» около точки 0
- последовательность сходится к числу 0 .
«точка сгущения» ≡ предел последовательности
Определение: Число b называется пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут так:
уn→b или
читают так: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b.
Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:
Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.
Достаточное условие сходимости последовательности.
Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Таблица пределов
-
(0 < q ≤1)
Если , то:
-
-
Предел суммы равен сумме пределов:
-
Предел произведения равен произведению пределов:
-
Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Примеры
Найти предел последовательности:
а) хn =
Решение:
Ответ: 0
б) хn =
Решение: применим правило «предел суммы»:
0 - 0 + 3 = 3
в)
Решение:
в подобных случаях применяется искусственный прием:
Деление числителя и знаменателя дроби (каждого слагаемого ) на наивысшую из имеющихся степень переменной n.
В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби на n2 (каждое слагаемое):