• Преподавателю
  • Математика
  • Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности.


Последовательность - ряд чисел

Каждое число имеет свой номер (первое, второе и т.д.)

2; 12; 22; 32…

218; 220; 218; 220;…..

1; 4; 9; 16; 25;…

а 1, а 2, а 3, …, а n ,… или (а n )

y1, y2, y3,…,yn, … или у(n).

Числовая последовательность - множество нумерованных чисел, располагаемое в порядке возрастания номеров.

Последовательность может быть конечной или бесконечной

Определение: Функцию у = f(x), xЭлектронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательностиN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3..., уn или у(n) или а1 , а2,…, аn… или а(n).

Способы задания последовательностей.


  • Словесно (описание словами, без указания формулы)

  • Аналитический способ (формулой)

  • Рекуррентный способ задания последовательности.

Приведем три примера.


  1. уn= n2 - аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n2, …, где n - номер элемента последовательности

У1 = 12 =1, У2 = 22 = 4 и т.д.


  1. уn= С - последовательность С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).


  1. Рекуррентный способ задания последовательности - указывается правило, позволяющее вычислить последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.

а 1, = а, аn+1 = аn+ d -- арифметическая прогрессия


b 1, = b, bn+1 = bn·q --- Геометрическая прогрессия



Решение задач

№ 1. Вычислите у1, у2, у3, у4, у5 и запишите в виде ряда чисел:


А) Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности


Б) Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

В) Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

№ 2.

А) Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Б) Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности


Предел числовой последовательности


Рассмотрим числовую последовательность (уn)

(уn) = Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Изобразим элементы этой последовательностей точками на координатной прямой.


0,0625

Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательностиЭлектронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

0 0,125 0,25 0,5 1

все числа последовательности (уn) «сгущаются» около точки 0

- последовательность сходится к числу 0 .


«точка сгущения» ≡ предел последовательности



Определение: Число b называется пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так:

уnb или Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

читают так: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b.

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.



Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.





Таблица пределов


  1. Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности


  1. Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности(0 < q ≤1)


  1. Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Если Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности , то:

  1. Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

  2. Предел суммы равен сумме пределов: Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

  3. Предел произведения равен произведению пределов: Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

  4. Предел частного равен частному пределов: Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности , где с≠0.

  5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Примеры

Найти предел последовательности:

а) хn = Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Решение:

Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Ответ: 0

б) хn =Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Решение: применим правило «предел суммы»:

Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательностиЭлектронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности0 - 0 + 3 = 3

в)Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Решение:

в подобных случаях применяется искусственный прием:

Деление числителя и знаменателя дроби (каждого слагаемого ) на наивысшую из имеющихся степень переменной n.

В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби на n2 (каждое слагаемое):

Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности






Электронный конспект для обучающихся Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

© 2010-2022