Методическая разработка теоретического занятия по учебной дисциплине Математика на тему Построение графиков функций с применением производной

ГОУ СПО «Санкт-Петербургский медицинский колледж

им. В.М. Бехтерева»

Методическая разработка теоретического занятия

по учебной дисциплине Математика

на тему Построение графиков функций с применением производной

по специальности 060501 Сестринское дело

Санкт - Петербург

2011 г.

Содержание

1. Обоснование темы.

3

2. Цель и задачи.

4

3. Оснащение занятия.

5

4. Схемы интегрированных связей.

6

5. Граф логической структуры изучения темы

7

6. План занятия.

8

7. Этапы планирования занятия

9

8. Карта самоподготовки студентов к занятию по теме «Построение графиков функций с применением производной»

10

9. Карта самоподготовки студентов к занятию по теме «Решение примеров по всей теме «Производная и ее приложения»»

11

10.Термины

12

11. Литература

12

Приложение 1 Схема исследования функции

13

Приложение 2 Задание: исследование функции с применением производной

15

Приложение 3 Конспект занятия

16

Пояснительная записка

Методическая разработка составлена в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 060109.

Данная методическая разработка создана с целью продемонстрировать степень усвоения начинающим педагогом общих методических положений организации учебного процесса.

1. Обоснование темы.

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике - скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии - скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике - отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии - скорость химической реакции, в медицине - реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, понижении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы и т.д.

Данная тема «Построение графиков функций с применением производной» необходима для анализа данных, представленных в виде функциональных зависимостей, в различных областях человеческой деятельности.

а. Тип занятия(Вид занятия): Комбинированное занятие.

По основной дидактической цели это урок обобщения и систематизации знаний, применения изученных правил на практике, их повторение и обобщение.

б. Место проведения занятия по календарно-тематическому плану.

По тематическому планированию учебного материала на изучение темы «Построение графиков функций с применением производной» отводится 2 часа

в. Время и место проведения занятия.

г. Метод обучения: репродуктивный

2. Цель и задачи.

а. Цель:

• систематизация знаний по теме «Производная и ее приложения» и на основании их ввести схему исследования функции и построения графика с применением производной.

б. Задачи:

Дидактические:

• показать алгоритм исследования функции с применением производной

• выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся.

Развивающие:

• способствовать развитию умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции.

• способствовать развитию навыка частично-поисковой (исследовательской) деятельности

Воспитательные:

• воспитывать познавательный интерес к математике;

• способствовать формированию профессиональных качеств, таких как аккуратность, внимательность, организованность при подготовке к занятию и при ведении конспекта.

в. Уровень подготовки:

После занятия студенты должны знать:

• правила нахождения производных,

• геометрический и механический смысл производной,

• достаточный признак возрастания (убывания) функции,

• определение критических точек, точек максимума и минимума,

• правило для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Студенты должны уметь:

• применять производную при исследовании функции

• применять производную при решении задач в физике и технике

• применять производную при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.

г. Контролирующая программа занятия:

• Предварительный контроль - индивидуальный(проверка домашнего задания), фронтальный опрос.

• Заключительный контроль- фронтальный опрос.

3. Оснащение занятия:

№

п/п

Наименование

Необходимое количество

Имеется в наличии

1

Учебник для 10-11кл."Алгебра и начала анализа" А.Н.Колмогорова.

11 шт.

11 шт.

2

Краткий конспект: Схема исследования функции.

по списку

30 шт

4. Схемы интегрированных связей.

А. Межпредметные связи:

Б. Внутрипредметные связи

5. Граф логической структуры изучения темы:

6. План занятия:

1. Организационный момент (5 мин.)

2. Сообщение темы (1 мин.)

3. Цель и задачи занятия (2 мин)

4. Предварительный контроль (15 мин)

5. Изложение нового материала (20 мин)

6. Самостоятельная работа студентов (35 мин.)

7. Заключительный контроль знаний студентов (5 мин)

8. Итог урока (5 мин.)

9. Домашнее задание. (2 мин.)

7. Этапы планирования занятия

№ п/п

Название этапа

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

Цель

Время

Оснащение

1

Организация занятия

проверяет готовность студентов к занятию

студенты должны иметь конспект

правильная организация занятия

2 мин

тетради, учебник.

2

Формулировка темы занятия и ее обоснование

сообщает тему занятия

записываю тему

знать, какую тему изучают

1 мин

3

Определение цели занятия

сообщает цель занятия

получают представление о содержании занятия

знать, что надо изучать по данной теме

2 мин

4

Предварительный контроль знаний. Устная работа.

проверяет домашнее задание, вопросы аудитории по раннее изученному материалу

проверяют домашнее задание, исправляют ошибки, отвечают на вопросы преподавателя

определение уровня знаний студентов

15 мин

5

Изложение нового материала

излагает новый материал

ведут конспект, делают зарисовки

дать знания

20 мин

6

Самостоятельная работа. Упражнения

дает задание на исследование функций

студенты в тетрадях, а двое на доске проводят исследование функции по плану

закрепление полученных знаний

35 мин

Краткий конспект "Схема исследования функции"

Приложение 1

7

Заключительный контроль. Обобщение и подведение итогов, оценка работы студентов

подводит итог занятия, комментирует работу студентов

выясняют сильные и слабые стороны работы

достижение цели занятия.

10 минут

8

Домашнее задание

задает домашнее задание

записывают домашнее задание

5 минут

Карточки с заданием

Карта самоподготовки студентов по теме

Построение графиков функций с применением производной

Раздел темы

Литература

Установочная инструкция

Контрольные вопросы

Производная и ее приложения

«Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова,

М.: «Просвещение», 1990 г.

Глава II Производная и ее применение, §6 Применение производной к исследованию функции,

п. 22-23, п.25,

cтр. 139-146, 150-155

1. Изучение материала

- прочитать cтр. 139-146, 150-155

2. Ответы на контрольные вопросы

3. Решение задач: №№257 б, 260 б, 295 а

Необходимое условие возрастания и убывания функции.

Достаточное условие возрастания функции.

Достаточное условие убывания функции.

Необходимое условие экстремума.

Признак максимума функции.

Признак минимума функции.

Какое условие выполняется, если f(-x) = f(x)? f(-x) = - f(x)?

Карта самоподготовки студентов по теме

Решение примеров по всей теме

Раздел темы

Литература

Установочная инструкция

Контрольные вопросы

Производная и ее приложения

«Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова,

М.: «Просвещение», 1990 г.

Глава II Производная и ее применение, §6 Применение производной к исследованию функции,

п.24,

cтр. 147-150

1. Изучение материала

- прочитать cтр. 147-150

- обратить внимание на

Пример 1.

- при необходимости: конспектирование стр. 147-150

2. Ответы на контрольные вопросы

3. Решение задач Приложение 2.

Что такое область определения функции, область значений?

Какая функция называется четной, нечетной, периодической?

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

Что такое промежуток знакопостоянства функции

Как найти производную функции, область определения производной, критические точки?

Как найти промежутки возрастания, убывания, точки экстремума и экстремумов

10. Термины

Аси́мптота (от греч. ασϋμπτωτος - несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.

Вертикальная асимптота - прямая вида при условии существования предела .

Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела

.

11. Литература

Литература, рекомендованная для студентов:

основная:

«Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова,

М.: «Просвещение», 1990 г.

дополнительная:

Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских
специальностей : учебник / И. И. Баврин. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003 г.

Литература, рекомендованная для преподавателей:

"Уроки по курсу "Алгебра-10": К учебнику А.Н. Колмогорова, А.М. Абрамова, Ю.П. Дудницына и др." М.П. Нечаев. - М. : Изд. 5 за знания, 2007 г.

Приложение 1

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

1. Область определения

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то - четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то - нечетная функция; в противном случае, - общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ: , где - решение уравнения .

Точки пересечения с осью ОY: .

4. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

Критические точки функции - внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

5. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

6. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая - вертикальная асимптота.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и . Если оба предела существуют, то - уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при - горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при .

7. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках

Приложение 2

Домашнее задание:

Исследовать функцию и построить ее график

Приложение 3

Конспект занятия

I. - III.Организационный момент, сообщение темы и цели занятия

4. Предварительный контроль

Проверка домашнего задания

4. Объяснение нового материала

Схема исследования функции

1. Область определения

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

4. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

5. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

6. Построение графика.

Пример исследования функции:

Упражнения

4. Заключительный контроль

Фронтальный опрос.

Производная какой функции равна?

f′ (x): 0; 1; 3x²; -5; 2x; cos x; 8x; 6x²; 4cos2x; 7x; - sin x; 2.

f(x): x; 2x; 1; x³; 2x³; 4x²; x; cosx; x²; -5x; 2 sin2x; sinx.

4. Итог урока.

5. Домашнее задание:

исследовать функцию и построить ее график

(выполнить на отдельных листах)