Правильные многогранники

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА № 9 Г-К КИСЛОВОДСКА СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ

Открытый урок:

«Правильные многогранники»

Учитель математики

Савченко Т.Г.

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с новым видом выпуклых многогранников - правильными многогранниками

2. Познакомить учащихся с местом правильных многогранников философской картине мира Платона.

3. Выяснить, сколько всего существует видов правильных многогранников

4. Показать связь геометрии с природой

5. Воспитывать интерес к предмету, через современные технологии преподавания

План урока:

1. Организационный момент

2. Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников

3. Правильные многогранники - в философской картине мира Платона (сообщение учащегося)

4. Формула Эйлера (исследовательская работа класса)

5. Решение задачи, с применением формулы Л.Эйлера

6. Полуправильные многогранники в природе (презентации учащихся)

7. Тест

8. Подведение итогов урока

9. Домашнее задание

Эпиграф:

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд, сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л.Кэрролл

Ход урока:

На данный момент, вы уже знакомы с такими многогранниками, как призма и пирамида; а также вам известны понятия «многогранник», «выпуклый многогранник»

• Дайте определение многогранника

• Какой многогранник называется выпуклым

Вам знакомы понятия «правильная пирамида», «правильная призма». Какой же многогранник следует называть правильным.

• Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и, в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер

Выберите из предложенных вам моделей те, которые отвечают данным условиям ( из предложенных моделей многогранников, учащиеся выбирают правильные).

Давайте проверим, будет ли многогранник являться правильным, если одно из условий определения не выполняется (демонстрируется многогранник, склеенный из двух тетраэдров).

Число ребер у такого многогранника сходящихся в одной вершине - разное. Значит оба условия определения правильного многогранника - важны

Давайте выясним, сколько может существовать видов правильных многогранников, и какие правильные многоугольники, могут являться их гранями.

1. Если грани - правильные треугольники, чему равна сумма плоских углов, сходящихся в одной вершине:

• Если в одной вершине сходятся три плоских угла, то их сумма равна 60^0.3 = 180⁰.

Вывод - такой многогранник существует

• Если в одной вершине сходятся четыре плоских угла, то их сумма равна 60^0.4 = 240⁰

Вывод - такой многогранник существует

• Если в одной вершине сходятся пять плоских углов, то их сумма равна 60^0.5 = 300⁰

Вывод - такой многогранник существует

• Если в одной вершине сходятся шесть плоских углов, то их сумма равна 60^0.6 = 360⁰

Вывод - такой многогранник не существует

Значит существует три вида правильных многогранников, гранями которых, являются правильные треугольники:

тетраэдр

октаэдр

икосаэдр

Аналогично выясните, сколько существует видов правильных многогранников, гранями которых являются квадраты?

Один, так как 90^0.3=270^{0 ,} а 90^0.4= 360⁰

Какие еще правильные многоугольники могут являться гранями правильного многогранника?

Вывод: правильный 5-угольник, каждый угол которого равен 108⁰, 108^0.3= 324⁰. Так как каждый угол правильного 6-угольника равен 120⁰, 120^0.3=360⁰, правильных многогранников с гранями, являющимися правильными 6-угольниками не существует.

Названия правильных многогранников пришли к нам из Древней Греции, в них указывается число граней «эдра»-грань

• «тетра»-четыре

• «гекса»-шесть

• «окта»-восемь

• «икоса»-двадцать

• «додека»-двенадцать

Сообщение учащегося в форме презентации «Правильные многогранники в философской картине мира Платона».

Правильные многогранники называют Платоновыми телами, так как с их помощью Платон (ок 428-348 гг. до н.э.) разработал картину мира. Он отождествлял тетраэдр с огнем( так как его вершина устремлена вверх, как у пламени», гексаэдр - землю(как самый устойчивый), октаэдр-воздух(обтекаемый), икосаэдр-воду(как самый обтекаемый) ,додекаэдр- символизировал весь мир и считался главным.

А теперь давайте выявим закономерность между гранями, вершинами и ребрами правильных многогранников. Рассмотрите следующие таблицы:

Таблица № 1

Таблица № 2

Устанавливается закономерность: « Сумма числа граней и вершин, равна числу ребер, увеличенному на два», то есть: Г+В=Р+2

Эта формула была открыта Л.Эйлером в 1752 году и верна для любых выпуклых многогранников.

Задача:

С незапамятных времен тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому - история одного из самых замечательных алмазов - алмаза «Кохинор».
Первые известия об этом алмазе приходят к нам из Древней Индии. Многие века он был родовой ценностью раджей. Но в 1526 году бесценный камень оказался в руках могущественных Моголов. И с тех пор стал камнем раздора. И вот в 1739 году персидский хан Надир обманом узнал, что владелец камня Великий Могол Мухаммед носит алмаз в тюрбане. При прощальном визите шах Надир предложил в знак вечной дружбы обменяться тюрбанами. Когда новый хозяин размотал тюрбан и увидел алмаз, он воскликнул «Кох и нур!», что означает «гора света». В 1848 году алмаз попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм.
А вы сумеете найти максимальную длину золотой нити?

Таким образом, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Показ презентаций учащимися о полуправильных многогранниках в природе.

Тест.

1. Какие многогранники называются правильными.

   1. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - правильные многоугольники.

   2. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер

   3. Выпуклый многогранник называется правильным, если в основании лежит правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром многогранника

2. Апофема это -

   1. Высота призмы

   2. Высота основания пирамиды

   3. Высота боковой грани.

3. Сколько у тетраэдра граней, ребер, вершин

   1. Г-4 Р-4 В-6

   2. Г-4 Р-6 В-4

   3. Г-6 Р-4 В-4

4. Ребро куба 2 см. Чему равна площадь полной поверхности.

   1. 24

   2. 16

   3. 48

5. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна

   1. периметр основания на апофему

   2. полупериметр основания на высоту

   3. Периметр основания на высоту.

6. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

   1. Да

   2. Нет

7. На какие многогранники рассекает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания?

   1. треугольную и четырехугольную пирамиды.

   2. две треугольные призмы.

   3. две треугольные пирамиды.

8. Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубыми, а остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих пор пытаются определить, что это за огни. Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете?

   1. Икосаэдр

   2. Додекаэдр

   3. архимедово тело

Домашнее задание:

• Используя развертки правильных многогранников сделать одну из моделей.