Разработка урока по алгебре на тему: Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

• Мухтарова Гузель Робертовна, учитель математики

Разделы: Математика

Тип урока: Комплексное применение знаний.

Цели урока:

1. Образовательная: Выработка умений самостоятельно применять знания в стандартных и нестандартных ситуациях.

2. Воспитательная: Формирование знаний по рецензированию ответов товарищей и корректированию собственных ответов.

3. Развивающая: Развитие активности учащихся.

Оборудование: карточки

Структура урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3. Решение упражнений.

4. Постановка домашнего задания.

5. Итоги.

Ход урока

I. План и задачи урока.

II. Устно:

1) Имеет ли смысл выражение:

а) arcsin б) arccos в) arctg г) arcsin

2) Формула (понижения степени) половинного аргумента

sin = ; cos =

III. Решение упражнений.

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Чему равно произведение корней уравнения

· (tg - 1) = 0

4. Чему равна сумма корней уравнения?

(tg х - ) · arcsin = 0

5. Решить уравнение

cos πcos2πcos4π cos8π cos16π=

IV. Постановка домашнего задания

1. Найдите наименьшее положительное решение уравнения на [0; π]

+ =

2. Сколько корней имеет уравнение

(1- ) =0

V. Итоги.

Решение уравнений разными способами (Приложение)

Решение уравнений

I способ

1. sin⁴ х + cos⁴ х= a⁴+b⁴=(a²+b²) - 2a² b²

(sin² х + cos² х) - 2 sin² х cos² х =

sin² 2х=·2

cos4х=

х = + , n € z.

Ответ: х = + , n € z.

II способ. Понижение степени.

sin⁴ х + cos⁴ х=

(sin²х)² + (cos² х)²= ( )² +( )² =

+=

2(2+2cos²2х) = 7

1+ cos²2х =

cos²2х =

=

cos 4х =

Ответ: х = + , n € z.

2. sin⁶х + cos⁶х = a³+b³=(a+b) (a² - a b + b²)

(sin²х)³ +(cos²х)³ =

(sin²х + cos²х)* (sin⁴х - sin²х cos²х + cos⁴х) = ;

(sin²х + cos²х) - 2 sin²х cos²х - sin²х cos²х = ;

1- 3 sin²х cos²х =;

1- 3 sin²х cos²х =;

1- = (sin2х)²;

= sin²2х;

= sin²2х; / sin²=

=

1- cos 4х =1

cos 4х = 1-1

cos 4х =0

4х = +πk, k € z

х = +, k € z

Усложним (как при ЕГЭ)

Найдите количество корней, принадлежащих [0;π]

0+π

-≤ ≤ π -

- ≤ k ≤ 4-

- ≤ k ≤ 3,5

k=0,1,2,3. т.к. k € z

Ответ: х = +, k € z, четыре корня.

3. Чему равно произведение корней уравнения

· (tg - 1) = 0

Вариант ответов

2π - 2π 3π - 3π 4π?

Решение

Произведение корней равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

I. II.

= 0 tg - 1 = 0

≠ + πn, n € z или 4-х² ≥ 0

х = ±2 = + πk k € z

х≠ π +2πn -2 ≤ х ≤ 2

х = + 2πk k € z

± удовлетворяет условию Методом подбора

х≠ π +2πn, n € z при k=-1; х=-2π; х=-

т.к. х -иррациональные числа х=- € [-2;2]

-2 и 2 решение при k = 0 х= € [-2;2]

при k = 1 х=+2π; х= € [-2;2]

х= решение

Найдем произведение корней -2*2*=-2π

Ответ: -2π

4. Найти сумму корней уравнения

( tg х - ) · arcsin = 0

I. II.

tg х - =0 arcsin=0

-1 ≤ ≤ 1 или х≠ + πn, n € z

1. х= + πm, m € z = 0

2. -1 ≤ ≤ 1 | * π 2х - 2π = 0

-π≤ 2х-2π ≤ π 2х = 2π

π≤ 2х ≤ 3π х = π π≠ + πn n € z

≤ х ≤

Найдем сумму корней + + π = + =

Ответ: .

5. Решить уравнение

cos πcos2πcos4πcos8πcos16π=

=

=

=

=

=

=

sin32π = sinπ

sin32π - sinπ=0 sin- sin = 2 sincos

2cos sin = 0

cos = 0

1) cos=0 2) sinπх = 0

= + πn, n € z / · = πk

х= х = 2k, k € z

Ответ: х = 2k, n € z, k € z.