Разработка системы уроков итогового повторения в 11 классе на тему Отбор корней в тригонометрическом уравнении

Разработка системы уроков итогового повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

1. Примерное планирование учебного времени на повторение темы «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» 11 класс (приблизительно 8 часов)

Содержание занятий

Количество часов

Простейшие тригонометрические уравнения

2

Общие и частные случаи решения тригонометрических уравнений

1

Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1

Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

2

Виды тригонометрических уравнений: однородные и неоднородные

1

Применение метода замены переменной и разложения на множители при решении тригонометрических уравнений

1

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

3

Отбор корней в тригонометрическом уравнении разными методами

1

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью решения двойного неравенства, с помощью графиков тригонометрических функций

1

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью единичной окружности, перебором целых значений

1

Итоговая проверочная работа по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

1

2. План - конспект урока по теме «Отбор корней тригонометрических уравнений разными способами»

Цели:

- повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;

-развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля, умение работать с компьютерной презентацией;

-воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов;

-повторить основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
аналитический, графический, по единичной окружности, перебором целых значений.

Девиз урока: "Сегодня - мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ". (Сухомлинский)

План урока:

1. Актуализация. Организационный момент.

2. Контроль знаний учащимися тригонометрических формул.

3. Контроль знания формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

(Работа в парах, взаимоконтроль).

4. Работа по теме урока. Решение задач (работа у доски, работа в группах - по рядам)

5. Рефлексия

6. Домашнее задание. Итог урока

Тип урока: обобщающий

Оборудоание: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.

Ход урока:

1. Актуализация. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Контроль знаний учащимися тригонометрических формул.

У доски 3 учащихся записывают известные тригонометрические формулы:

1 учащийся: Формулы, которые устанавливают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

2 учащийся: Формулы сложения.

3 учащийся: Формулы суммы и разности и разности тригонометрических функций.

В это время с остальными учащимисяся провести устную разминку.

Устная разминка (задания на экране):

1.Какому выражению соответствует значение ?

а) sin30; б) cos; в) tg

2.Выбрать возможный вариант.

а) sin =; б) cos  = -2; в) sin  = -3,7.

3. Какой из углов является углом II четверти?

а) ; б) -145^ ; в)

4.В каких четвертях sin и cos  имеют разные знаки?

а) II, III и IV; б) I и III; в) I и IV.

5. Каким выражением можно заменить ?

а) cos  ; б) sin ; в) - sin.

3. Контроль знания формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

(Работа в парах).

Задание: заполнить 3 столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Распечатки с заполненными двумя столбцами раздаются каждому обучающемуcz/ Учащиеся заполняют 3 столбик таблицы, обмениваются листочками, выполняют взаимопроверку (если находят ошибки у соседа исправляют зеленой ручкой). Затем окончательная проверка осуществляется сразу же по слайду на экране.

Значения а

Уравнение

Формулы решения уравнений

sinx=a

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

а=1

sinx= 1

а= -1

sinx= -1

cosx=a

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0

cosx=0

а=1

cosx= 1

а= -1

cosx= -1

tgx=a

ctgx=a

4. Работа по теме урока. Решение задач.

Учащимся предлагается выполнить задание № 15 ЕГЭ по математике (1 учащийся работает у доски. Если испытывает трудности при решении учитель оказывает помощь):

а) Решите уравнение 2 cos2x + 4

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку

Примерное решение (один из способов преобразований)

2 cos2x + 4

а) 1. Применим формулу приведения, получим

1. Применим формулу косинуса двойного угла cos2x = cos²x - sin²x, получим:

2cos²x- 2sin²x - 4cosx - 1 = 0

3. Применим формулу основного тригонометрического тождества sin²x = 1 - cos²x, получим:

2cos²x-2 + 2cos²x - 2 + 2cos²x - 4cosx - 1 = 0

4. После преобразований получим квадратное уравнение:

4cos²x - 4 cosx - 3 = 0

5. Введем новую переменную: cosx = t, получим:

4t² - 4t - 3 = 0

t₁ = 1,5 t₂ = - 0.5

6. Вернемся обратно к cos x, получим:

cos x = - 0,5

x = .

6. Известно, что arcos (- 0.5) = = , получим ответ для тригонометрического уравнения:

x =

б) найдем корни, принадлежащие промежутку разными способами.

Работа в группах (класс делится на 3 группы). Каждая группа получает задание (отобрать корни тригонометрических выражений разными способами)

1 группа - отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций;

2 группа - отбор корней аналитически при помощи решения двойного неравенства;

3 группа - отбор корней с помощью единичной окружности.

Ответ:

Решение:

1 группа. Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Рисунок 1

Примерный алгоритм:

1. Постройте график функции y = cosx

2. Найдите и выделите цветом на графике искомый отрезок

3. Постройте прямцю cosx = - 0,5

4. Найдите и отметьте точки пересечения графиков функций y = cosx и cosx = - 0,5 на промежутке

5. Найдите корни уравнения в данных точках (единичный отрезок на рис 1. равен ):

Ответ:

2 группа. Отбор корней аналитически при помощи решения двойного неравенства

1. Запишем решение уравнения в виде двух множеств:

   x₁ =

   x₂ = -

2. Найдем решения каждого уравнения на промежутке

   |

   

   

   

   Так как , то получили, что k = -1, откуда

   x =

   |

   

   

   

   Так как , то получили, что k = -1, откуда

   x = -

3. Ответ:

3 группа. Отбор корней с помощью единичной окружности

Рисунок 2 Рисунок 3

Алгоритм решения:

1. Начертите тригонометрическую единичную окружность

2. Отметьте значение cos x = - и соответствующие этому значению точки окружности

3. Отметьте на окружности промежуток (получается, что это полностью круг)

4. Пользуясь тригонометрической окружностью найдите корни уравнения на промежутке (это можно сделать двумя способами: см. рис. 2,3)

5. Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней уравнения. Контроль со стороны учителя за правильностью следования алгоритму выполнения отбора корней в тригонометрическом уравнении.

5. Рефлексия.

В каких случаях необходимо производить отбор корней в тригонометрических уравнениях?

Какими способами можно произвести отбор корней?

Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?

6. Домашнее задание (уровневое задание)

1 уровень Выполни задание, используя один из способов отбора корней

1. а) Решите уравнение: 6 sin²x + cos x

б) найдите корни уравнения принадлежащие промежутку .

2. а) Решите уравнение 2cosx + 1 = sin2x + sinx

б). Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [- ; ].

2 уровень Выполни задание 1 уровня. Выполни отбор корней всеми тремя способами, которые повторили на уроке

Итог урока Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: "Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию"

Интернет-ресурсы:

1. fipi.ru/ (Открытый банк заданий ЕГЭ-2015 по математике)

2. le-savchen.ucoz.ru

3. festival.1september.ru

4. infourok.ru

3. Проверочная работа по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» (задача № 15 ГИА - -11 по математике)

Вариант 1

1. а) Решите уравнение: 4cos⁴x - 4cos²x +1 = 0.

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку

2. а) Решите уравнение cos ( +2x) = cosx

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку

3. а) Решите уравнение 2cos²x+ 2sin2x = 3

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку

4. а) Решите уравнение sin

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

5. а) Решите уравнение = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Вариант 2

1. а) Решите уравнение 16cos⁴x - 24cos²x + 9 = 0

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку

2. а) Решите уравнение sin( -2x) = sinx

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку

3. а) Решите уравнение 6sin²x+ sin2x = 2

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку

4. а) Решите уравнение sin

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

5. а) Решите уравнение = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

4. Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

% выполнения заданий

Кол-во, выполнявших работу

1А

1Б

2А

2Б

3А

3Б

4А

4Б

5А

5Б

25

92%

88%

84%

60%

88%

48%

60%

48%

52%

36%

Основные ошибки при выполнении заданий: применение формул сокращенного умножения; вычислительные навыки (в основном при отборе корней); применение тригонометрических формул; ошибки при решении двойного неравенства; ошибки при работе с тригонометрической окружностью (понимание промежутка , на котором необходимо находить корни).

Результаты показывают, что тема «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» представляет сложность для многих учащихся, чем весьма оправдано включение задания на эту тему во вторую часть ГИА - 11 по математике. Несмотря на это в среднем 56% учащихся выполнявших работу верно отобрали корни, хотя это на 20% ниже, чем верное выполнение решения тригонометрического уравнения, что в конечном счете приведет к потере значимых баллов на ЕГЭ по математике. Из учащихся, которые справились с заданиями по отбору корней 35 % выбрали способ отбора корней с помощью решения неравенств, 65 % - способ отбора по единичной окружности, графический способ и способ перебора целых значений не выбрал никто.

Выводы: продолжить работу по закреплению навыков отбора корней в тригонометрических уравнениях, применяя при этом способы, которые являются предпочтительнее для обучающихся, на этапе устного счета в каждый урок включать работу с тригонометрической окружностью, решение двойных неравенств, работу с обыкновенными дробями.

Работу выполнила Бокарева Ольга Сергеевна учитель математики ГБОУ Школа № 2083 СП «Ерино» г. Москва