- Преподавателю
- Математика
- Урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений по теме Решение уравнений
Урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений по теме Решение уравнений
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Гришина Г.И. |
| Дата | 20.03.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
тема «Решение уравнений»
тип урока: урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений
методы: методы стимулирования и мотивации, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности учащихся, методы контроля и самоконтроля.
цели и задачи урока: в процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему более высокому, сделав для себя открытия в этой теме; умения самостоятельно решать проблемы, преодолевать трудности в учении; реализовать развитие интеллекта, внимания, речи, памяти, воли, самостоятельности, познавательных интересов учащихся.
формы: индивидуальная, групповая, коллективная
основные этапы деятельности: мотивационный, операционно-познавательный и рефлексивно-оценочный
конспект занятия
Основной этап: мотивационный
-
Организационный момент: обсуждение
С учащимися обсуждаем, почему и для чего необходимо повторить данную тему. Даем оценку своих возможностей и составляем план предстоящей работы.
Мотивация учащихся: готовимся к выпускному экзамену, расширяем и углубляем знания по теме.
План:
- повторить тему за шесть уроков
- повторить тему «Общие сведения об уравнениях»
- обратить внимание на виды уравнений
- повторить теоремы о равносильности уравнений
- повторить способы решения уравнений (способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках усваиваются достаточно хорошо, поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по математике).
2. Творческая работа: первая стадия математической деятельности - накопление фактов с помощью наблюдения, опыта, обобщения
Учащимся предлагается задание:
подобрать уравнения, которые выходят за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьном учебнике.
Организация:
индивидуальная работа (каждый работает с различными источниками, записывает в тетрадь уравнения, которые хотел бы прорешать и выносит на обсуждение)
Обсуждение:
осуществляем отбор заданий коллективно
Результат коллективной и индивидуальной работ: решили рассмотреть четырнадцать уравнений:
-
х
-
-
-
-
-
log
-
1+2
-
-
-
-
-
-
x
-
Основной этап: оперативно - познавательный
-
повторение: вторая стадия математической деятельности - логическая организация математического материала.
Учащимся предлагается задание:
используя шаблоны провести классификацию уравнений по виду и по методам решения.
Организация:
групповая форма работы (быстро создаем группы)
Обсуждение:
разбивают уравнения по видам и по методам решения используя шаблоны
Результат групповой работы:
демонстрируют представители групп свой результат (на слайдах или другой форме).
Итоговый результат после проверки
Классификация уравнений по виду
уравнения
трансцендентные
алгебраические
показательные
№ 2,3
целые
№ 1,4,5
логарифмические
№ 6
дробные
№ 8
тригонометрические
№ 7,12,14
иррациональные
№ 13
смешанные
№ 9,10,11
Классификация уравнений по методам решения
Методы решения уравнений
разложением на множители
заменой переменной
как однородные уравнения
с помощью свойств функций
№ 1,4,5
№ 1,4,7,10,13
№ 2,5,8,11,13,14
№ 3,6,9,12
Основной этап: рефлексивно - оценочный
-
Проверочная работа: третья стадия математической деятельности - применение математической теории.
Учащимся предлагается задание:
решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор).
Организация:
индивидуальная, парная, групповая (ребята сами выбирают, как будут работать, быстро организуются и приступают к работе)
Обсуждение:
рассматриваем уравнения, решение которых вызывает большой интерес.
Результат работы:
идет демонстрация решений у доски
На доске
Уравнение №1
х
Ребята предложили решить двумя способами:
1 способ
2 способ
Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, значит можно разложить левую часть на множители.
х=-1 и х=3 удовлетворяют уравнению.
Имеем: х
(х+1)(х-3)(х
+6х-3)=0
х+1=0 х-3=0 х+6х-3=0
х=-1 х=3 х = -3
Ответ: -1;3; -3
Убеждаемся, что х=0 не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на х
0,получим: х
(
Обозначим 
=к, тогда х
. Имеем уравнение 
, корни которого к = -6 и
к = 2 . Получим х -
=-6 или х - =2
х = -3или х =-1; 3
При решении уравнения №4
ребята рассуждали так. Скобки я раскрывать умею, приведу подобные слагаемые, получу целое алгебраическое уравнение четвертой степени и , если среди делителей свободного члена есть корни, то левую часть разложу на множители и найду все корни, их не более четырех.
Другие ребята предложили решить способом замены переменной. Пусть х-4х-9=к, тогда х- 6х -9 = к - 2х. Получим уравнение к
. Решим его как квадратное относительно к (это было ОКРЫТИЕМ для некоторых учеников). Получим к = 4х и к = х. Исходное уравнение распадается на два уравнения х- 4х -9 = 4х или х- 4х -9 = х.
Решим их, корни х = -1 и х = 9 или х = 
.
Конечно, второй способ по сравнению с первым более рациональный.
Рассмотрим уравнение №5
Ребята предложили способ решения: привели его к виду х
и нашли корни х = 1 и х = 3. Каково было удивление, когда они увидели в нем однородное алгебраическое уравнение.
Интересные рассуждения привели учащиеся при решении уравнения № 8
Обозначили 
,получили уравнение 
. И сразу сделали ОТКРЫТИЕ, оно однородное относительно а и в, а такие уравнения мы решать умеем.
Так как в = 0 не является решением уравнением, разделим обе части на 
. Получим 
= 1 или = - 
или 
где 
. Первое уравнение дает решение х=0, а второе в области действительных чисел решений не имеет.
Ответ: 0
После полученного ответа класс замер. И последовал вопрос: «А можно было угадать корень?»
Ответ: «Можно, но тогда надо доказать, что других корней нет»
Уравнение №13
x
Ребята решили, используя способы: замена переменной и как однородное
1 способ
2 способ
, получим 
.Учитываем ,что х -3 и к0, решая получим , что к = 
или к = -
. Уравнение х+3 = 
,если х0 имеет корни х = 6 и х = -2, а уравнение х+3 = 
, если -3 х 0 имеет корни х = 
. Учитывая условия получим, что уравнение имеет корни х = 6 или х = 
Данное уравнение справедливо при х -3 и является однородным относительно х и 
Решаем 
или
Корнями уравнений являются х=6; х =
Уравнение №10
кроме показательной функции содержит линейную. Но можно заметить, что 2
оно является квадратным.
; корни уравнения к =
или к = 3-х. Решаем уравнения 
корнем является х = -log
3; Решаем уравнение 
, где х 3 ; х = 1 является корнем уравнения. Функция у =
возрастающая, а (х)= 3-х убывающая, значит графики этих функций пересекаются только в одной точке с абсциссой х = 1
Ответ: 1; -log3
После решения этого уравнения отпала необходимость детального рассмотрения решений уравнений № 0 и № 6, ребята справились с ними самостоятельно.
Уравнение №3
Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других корней нет. Каждая из функций является возрастающей, поэтому их сумма - тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х 2 она больше 34,при х 2 она меньше 34. Итак, уравнение имеет один корень 2.
Уравнение № 12
В левой части уравнения - разность тригонометрических функций. Решаем уравнение, используя ограниченность синуса и косинуса.
Так как 
и 
имеем систему равнений 
и cos6x= -1
и 6х =
,корни 
к- целое и х = 
- целое
Общее решение найдем с помощью тригонометрического круга. Решение первого уравнения системы обозначим звездочкой, а второго - точкой и найдем их общее решение
Ответ: к - целое.
Ребята анализируют свою собственную деятельность, оценивают ее, сопоставляя результаты своей работы с результатами товарищей.
5. Поведение итогов занятия и рефлексия
Каждый из учащихся заполняет оценочный индивидуальный лист по теме «Решение уравнений» (класс 20 чел. на «4 - 5»учатся 14 человек)
Первый этап
Второй этап Третий этап
повторение
Творческая работа
Работа в группах
выступление
Количество решенных уравнений
Интерес и новое
+
+
+
+++
14
+
+
+
+
+
10
+
+
+
+
+
4
+
+
+
+
+++
14
+
+
+
+
++
10
+
+
+
+
+
6
+
+
+
+
+
10
+
+
+
+
+
6
+
+
++
+
+
6
+
+
+
+
+
4
+
+
++
+
+
4
+
+
++
+
10
+
+
+
+
10
+
+
+
+
12
+
+
+
+
+
11
+
+
+
+
+
11
+
+
+
+
+
11
+
+
+
+
+
3
+
+
+
+
+++
14
+
+
+
+
+
12
+
Анализ усвоения материала и интереса к теме
В результате проделанной работы ученики испытали радость победы над трудностями, преодоленными ими, познали новые (для них) приемы решений уравнений, дали самооценку своей деятельности убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию глубокого познавательного интереса к учебной деятельности.
Проведены уроки по темам «Решение неравенств и систем уравнений и неравенств»