Разработка открытого урока на тему Интерполяционный полином Лагранжа

Міністерство освіти і науки України

Державний вищий навчальний заклад

"Донецький технікум промислової автоматики"

Методична розробка

відкритого заняття

на тему: "Інтерполяційний поліном Лагранжа"

з дисципліни : "Числові методи"

спеціальності 5.080405 "Програмування для електронно-обчислювальної техніки і автоматизованих систем".

Підготувала викладач

Неліна Н.В.

Донецьк - 2009

План заняття.

Група: 1ПО-07

Спеціальність: 5.080405 "Програмування для електронно-обчислювальної техніки і автоматизованих систем".

Тема програми: Інтерполяція, екстраполяція та апроксимація функцій

Тема заняття: Інтерполяційний поліном Лагранжа.

Ціль заняття:

Дидактична: сформулювати теоретичні знання про вузли інтерполяції та цнтерполяційні поліноми.

Розвиваюча: розширювати знання зі спеціальності, розвивати логічне мислення, просторове уявлення, пам'ять.

Виховна: виховувати цілеспрямованість, здатність працювати в команді.

Методична: удосконалювати методику проведення лекційних занять з різноманітними формами вивчення нового матеріалу.

Тип заняття: Засвоєння нових знань.

Вид заняття: лекція.

Вид лекції: тематична.

Форма проведення заняття: інтеграційне заняття.

Міжпредметні зв'язки:

Забезпечуючи дисципліни: вища математика.

Забезпечувані дисципліни: "Об'єктно-орієнтоване програмування", «Математичні методи дослідження операцій»

Метод забезпечення: робоча програма, методична розробка заняття, лекція з теми: "Інтерполяційний поліном Лагранжа», комп'ютерна програма "Тест" з тестами, задачі.

Література:

Обов'язкова:

1. Бахвалов Н.С. Численные методы- М: Наука, 1973-632с.

2. Демидович Б.П. Основы вычислительной техники - М: Наука, 1970-664с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М: Наука, 1975-512с..

4. Крылов В.И. Вычислительные методы. М: Наука, 1976-304с

Хід заняття.

1. Організаційний момент.

• Перевірка підготовки аудиторії до заняття;

• Привітання та перелік студентів;

• Перевірка готовності студентів до заняття;

• Відповіді на запитання студентів.

2. Підготовка студентів до вивчення нового матеріалу.

• Ознайомлення студентів з темою та навчальними цілями заняття;

• Мотиваційний момент.

3. Актуалізація опорних знань студентів.

1) Робота з картками (4 студента пишуть відповіді, потім обмінюються листками з відповідями і перевіряють один одного).

2) Опитування з допомогою комп'ютерної програми "Тест" (6 студента).

3) Фронтальне опитування.

• Що таке похибка?

• Які методи розв'язання лінійних рівнянь Вам відомі?

• Чим відрізняються метод хорд та метод дотичних?

• Чи можна отримати точний корінь рівняння, якщо використовувати числові методи?

• Як називається метод, за допомогою якого можна відновити функцію?

• Чи можна, використовуючи метод чисельного дифференцюювання, отримати точне значення похідної?

• Як будується ітераційна послідовність?

• Чим відрізняється метод Жордана-Гаусса від методу ітерацій?

4. Викладання та вивчення нового матеріалу.

При викладанні та вивченні нового матеріалу використовується сполучення методів, прийомів і засобів навчання, контролю засвоєння знань, що сприяють активності студентів. Використовується опорний конспект. В ході лекції встановлюється контакт зі студентами, акцентується увага на зв'язок між новим навчальним матеріалом та здобутими знаннями та вміннями з попередніх тем.

Викладання нового матеріалу спонукає студентів до пізнавальної діяльності.

План.

1. Способи задання функції.

2. Математична постановка задачі інтерполювання.

3. Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

4. Похибка інтерполяційної формули Лагранжа

Способи задання функції.

В практичній діяльності постійно приходиться стикатися з необхідністю вияву форм зв'язків в процесах і явищах , а також необхідністю їх матиматичного опису.

Розглянемо такі форми зв'язку, для яких деяка величина У, що характеризує процес, залежить від сукупності незв'язаних між собою величин таким чином, що кожному набору ( ) відповідає єдине значення величини Y.

Така однозначна відповідність величини У сукупності незалежних змінних називається функціональною залежністю, а сама змінна величина У- функцією змінних величин .

Формально можна записати .

Якщо величина у є функцією одної незалежної величини х, то цей зв'язок можна представити відношенням

Наприклад. Якщо розглянути площу кола , то площа є функцією незалежного радіуса

Якщо розглянути об'єм фігури, то він буде функцією трьох вимірів

Із курсу матиматичного аналізу відомі три способи задання функціональних залежностей: - аналітичний, графічний, табличний.

Найбільш зручним способом задання функціональної залежності є аналітичний, тому що він прямо вказує дії і їх послідовність виконання над незалежною змінною х для отримання відповідного значення Y. Наприклад: зв'язок шляху із часом в рівноприскореному русі можна виразити

При аналітичному способі задання є можливість отримати значення Y для будь-якого фіксованого аргумента х з будь-якою точністю.

Але при цьому необхідно виконувати всю послідовність обчислень і сам спосіб не наглядний.

Ці недоліки відсутні у випадку графічного задання функції. Графіком називають геометричне місце точок площини хОу, координати яких задовольняють рівняння .

Табличний спосіб задання функції поширений в техніці, фізиці, економіці і він частіше виникає в результаті обробки результатів експерименту або випробувань.

Перевагою табличного способу задання функції являється те, що для кожного значення незалежної змінної, розміщеної в таблиці, можна зразу найти відповідне значення функції.

Математична постановка задачі інтерполювання.

При наявності заданих таблично функцій часто виникає необхідність обчислення значень функції в точках, які відрізняються від значень аргумента , зафіксованих в таблиці. Такі задачі практики формалізуються як математичні задачі інтерполювання .

Нехай на відрізку задана функція своїм n+1 значеннями

в точках , які називають вузлами інтерполяції. Необхідно знайти аналітичний вираз табульованої функції

y₀

y₁

y₂

y₃

… …

y_n

x₀

x ₁

x₂

x₃

…

x_n

яка співпадає у вузлах інтерполяції із значенням заданої функції, тобто

Процес обчислення значень функції в точках , які відрізняються від вузлів інтерполяції, називають інтерполюванням функції .

Якщо аргумент x, для якого визначається наближене значення функції, належить заданому відрізку , то задача обчислення наближеного значення функції називається інтерполюванням у вузькому розумінні. Якщо аргумент знаходиться за межами відрізка інтерполювання , то задача визначення функції в точці х називається екстраполяцією.

З геометричного погляду задача інтерполювання для функції однієї змінної полягає в знаходжені кривої певного класу, яка проходить через точки з координатами

М







ал.1. Геометричне пояснення інтерполяції.

З

x₂

x_n

x₁

x₀

y₀

y₁

y

x

мал.1. видно, що через дані точки можна провести багато кривих. Таким чином, задача пошуку функції по кінцевому числу її значень стає невизначеною.

Ця задача стає однозначною, якщо як інтерполюючою функцією для функції , що задана (n+1) своїми значеннями, вибрати многочлен степені не вище n, такий, що

Многочлен F_n(x), що задовольняє цим умовам, називають інтерполяційним многочленом, а відповідні формули - інтерполяційними формулами. Якщо функція F(x) належить класу степеневих функцій, то інтерполювання називається параболічним. Параболічне інтерполювання найзручніше, оскільки многочлени, які прості за формою і не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, диференціювати та інтегрувати. При інтерполюванні виникає ряд задач:

- вибір найбільш зручного способу побудови інтерполяційної функції для кожного випадку;

- оцінка похибки при заміні f(x) інтерполюючою функцією F(x) на відрізку [a, b];

- оптимальний вібір вузлів інтерполяції для отримання мінімальної похибки.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Розглядатимемо задачу параболічного інтерполювання, яку сформулюємо так: в n+1 різних точках задається функція і необхідно побудувати многочлен

(1)

степені n, що задовольняє умові

(i=0, 1, 2, …, n) (2)

При такій постановці вузли інтерполяції x₀, x₁, x₂,....., x_n можуть довільно відрізнятися один від одного на відрізу [a,b], тобто вузли інтерполяції нерівновіддалені, або h= x_i+1- x_iConst. (h-крок інтерполяції).

Для визначення коефіцієнтів многочлена (1), який задовольняє умові (2), запишемо систему () лінійних рівнянь виду:

Ця система має єдиний розв'язок, бо її визначник є визначником Вандермонда, який не дорівнює нулю, тому що вузли x_i (i=0, 1, 2, …, n) різні, тобто існує єдиний алгебраїчний многочлен виду (1), що задовольняє умові (2).

Многочлен , який задовольняє умові (2), називають інтерполяційним многочленом, наближену рівність - інтерполяційною формулою, а різницю - залишковим членом інтерполяційної формули.

Для умови (2) (коли шукатимемо інтерполяційний многочлен у такому вигляді:

(3)

де коефіцієнти (i=0, 1, 2, …, n) невідомі. Кожен доданок виразу (3) є многочленом степеня , причому при кожному з коефіцієнтів a_i(i=0, 1, 2, …, n) множника немає. Визначимо коефіцієнти a_i(i=0, 1, 2, …, n), використавши умову (2).

Поклавши в (3) , отримаємо

звідки

.

Якщо в (3) покласти , то

звідки

.

Анологічно обчислюємо

, (i=0, 1, 2, 3, …, n)

Підставивши ці значення коефіцієнтів в (3), отримаємо вираз інтерполяційного многочлена

(4)

Многочлен L_n(x) виду (4) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену рівність

(5)

інтерполяційною формулою Лагранжа.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна записити більш стисло. Для цього введемо многочлен степеня виду

(6)

Продиференціювавши по х цей добуток, отримаємо

Поклавши (i=0, 1, 2, …, n), матимемо

(7)

Підставивши ( 6 ) і ( 7 ) в ( 4 ), знайдемо

(8)

Вирази , що є коефіцієнтами при y_i у многочлені Лагранжа, називають коефіцієнтами Лагранжа.

Розглянемо два окремих випадки інтерполяційної формули Лагранжа (5).

Нехай , тобто значення функції задано в двох вузлаз та і вони дорівнюють та відповідно. З формули (4) отримаємо

(9)

Формулу (9) називають формулою лінійного інтерполювання. При лінійному інтерполюванні дуга кривої на відрізку замінюється відрізком прямої (9), що лежить між точками і .

Нехай n=2. Функцію f задано в трьох вузлах x_i (i=0, 1, 2) значенями y_i. У цьому разі формула (4) має вид

(10)

Формулу (10) називають формулою квадратичного інтерполювання. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої y=f(x) на відрзку [x₀, x₂] замінюється дугою параболи, що проходить через точки (х_і, y_i) (i=0, 1, 2).

Похибка інтерполяційної формули Лагранжа

Похибка інтерполяційної формули Лагранжа обчислюється за формулою

(11)

Якщо прийняти то для абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа дістанему таку оцінку:

(12)

Приклад. З якою точністю можливо обчислення за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа для функції при виборі вузлів інтерполяції x₀=100; x₁=121; x₂=144?

Рішення: Знайдемо ; ; . Звідси = при 100x144. Згідно з нерівністю (12) отримаємо

1,610^-3.

5. Питання для самоконтролю.

1. Що таке вузли інтерполювання?

2. Який вигляд має поліном Лагранжа?

3. Як обчислити похибку?

6. Відповіді на питання студентів.

7. Коментар роботи студентів.

8. Домашнє завдання.

Вивчити поняття та формули.

Розв'язати задачу:

0,68 0,80866 0,715

0,80 1,02964

0,88 1,20966

0,93 1,34087

0,99 1,52368

9. Підсумок заняття.

Завдання для оцінювання знань студентів.

Картки.

4. студента отримують картки з задачами, пишуть відповіді, потім обмінюються листками з відповідями і перевіряють один одного.

1. Обчислити інтеграл: Р=

х

0,23

0,12

0,9

у

1,345

2,071

1,9822. Знайти лінійну функцію:

Питання комп'ютерного тесту.

1 варіант

1. Какое число называется приближенным?

2. Какая формула называетмя эмперической?

3. Каким из предложенных методов можно решить линейное уравнение?

4. Чем отличается метод итерации от метода Жордана-Гуасса для решения систем уравнений?

5. Какая формула называется квадратурной?

6. Метод итерации считается законченым, когда ...

7. В каком методе необходимо делить отрезок пополам для нахождения корня?

8. Округлить число 2,4783904 до сотих.

9. Решите систему доступным вам методом

10. Методом наименьших квадратов найти коэффициент а для х=0,2;0,3;0,42 и у=0,4;1,5;2,3

11. Решить интеграл с помощью формулы левых прямоугольников (n=4)

2 варіант

1. Абсолютная погрешность - это ..

2. Что вычисляют формулы на рисунке?

3. Для использования метода хорд надо знать ...

4. Чем отличается метод итерации от метода Жордана-Гуасса для решения систем уравнений?

5. Формула на рисунке - это формула ...

6. Каким из предложенных методов можно решить линейное уравнение?

7. В методе половинного деления на концах отрезка функция должна принимать значения ...

8. Округлить число 46, 5680274 до сотих

9. Методом наименьших квадратов найти коэффициент а для х=0,1;0,3;0,4 и у=1,4;1,6;2,3

10. Решите систему доступным вам методом

11. Решить интеграл с помощью формулы левых прямоугольников (n=4)

3 варіант

1. Относительная погрешность - это ..

2. Из каких этапов состоит построение эмпирических формул?

3. Метод итерации считается законченым, когда ...

4. Чем отличается метод итерации от метода Жордана-Гуасса для решения систем уравнений?

5. Для какого метода эта формула находит погрешность?

6. Для использования метода касательных надо знать ...

7. В методе половинного деления до какого этапа надо делить отрезок?

8. Округлить число 3, 0957 до десятих

9. Методом наименьших квадратов найти коэффициент а для х=0,1;0,6;0,72 и у=0,9;3,5;2,3

10. Решите систему доступным вам методом

11. Решить интеграл с помощью формулы правых прямоугольников (n=4)

Ключ до тестів.

1 варіант

1. Число, которое отличается от точного числа А и заменяет его в расчетах

2. Ту, которую получают в результате исследований

3. Графическим

4. Нахождением итерационной последовательности

5. Приближенного интегрирования

6. Итерационная последовательность сходится

7. Метод половинного деления

8. 2, 48

9. x1=0, x2=1, x3=-1

10. 106

11. 0,012

2 варіант

1. Абсолютная величина разности между числом и его приближеним

2. Крэффициенты для метода наименьших квадратов

3. Знаки производных

4. Нахождением итерационной последовательности

5. Трапеций

6. Графическим

7. Разных знаков

8. 46, 57

9. 60

10. x1=1, x2=2, x3=3

11. 77,37

3 варіант

1. Отношение абсолютной погрешности к модулю точного числа

2. Восстановление общего вида функции и нахождение ее параметров

3. Итерационная последовательность сходится

4. Нахождением итерационной последовательности

5. Трапецій

6. Производные первого и второго порядка

7. Пока не будет достигнута заданная точность

8. 3,1

9. 29

10. x1=0, x2=-1, x3=-2

11. 0,6592

Критерії оцінювання.

11-9 правильних відповідей - "5".

8-6 -правильних відповідей - "4".

5-3 правильні відповіді - "3".

2 і менше правильних відповідей - оцінка "2".

9