- Преподавателю
- Математика
- Урок математики в 10 классе Исследование функций
Урок математики в 10 классе Исследование функций
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Бучилова Г.В. |
Дата | 21.02.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа
сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»
Тема: Исследование функций и построение их графиков.
Цели:
-
повторить алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и экстремумы;
-
используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;
-
способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.
Планируемый результат урока:
-
знать необходимые и достаточные условия экстремума;
-
знать схему построения графиков функций;
-
уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций.
Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».
Ход урока:
I. Организационный момент.
II. Устный счет.
III. Сообщение темы и цели урока.
Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.
Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.
Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.
IV. Изучение нового материала.
Повторение теоретического материала.
-
Как находить экстремумы функции?
Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума): Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Если f ´(х) = 0, то х0 - стационарная точка,
если f ´(х) не существует, то х0 - критическая точка.
Т5 (достаточное условие существования экстремума): Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда
а) x0 - точка max, если производная меняет знак с плюса на минус.
f '(x) + -
f (x) x0 x
б) x0 - точка min, если производная меняет знак с минуса на плюс.
f ' (x) + -
f (x) x
в) x0 - точка перегиба, если знаки производной слева и справа одинаковые.
f ' (x) - - f '(x) + + _________________ x0 ________________ x ________________ x0 __________________x
f (x) f(x)
V. Физминутка.
Это классическое упражнение. Оно расслабляет затылочную и плечевую мускулатуру и улучшает дыхание. В головной мозг поступает много кислорода, за счет чего улучшается еще и слух и зрение.
-
Положите руки на стол перед собой. Выдохните и позвольте своей голове медленно опуститься вниз. Почувствуйте, мускулы вашего затылка растянулись, полностью расслабьте плечи. Теперь снова медленно поднимите голову и при этом сделайте вдох. Дайте голове полностью откинуться назад, пока вам не покажется, что ваша грудная клетка распахнулась и наполнилась воздухом. Когда вы снова будете выдыхать, делайте это медленно и снова опустите голову вниз, пока подбородок вновь не ляжет на грудь. Подарите себе три таких особенных освежающих вдоха.
Это упражнение активизирует кровообращение ног.
-
Сядьте поудобнее, облокотитесь на спинку стула, вытяните перед собой ноги, вытяните на себя стопы. Почувствуйте, как растягиваются икроножные мышцы.
-
Теперь покрутите стопами сначала в одну сторону, затем в другую.
VI. Закрепление изученного материала.
Исследование функции по графику производной.
Задачи ЕГЭ (группа В)
Функция y = f (x) определена на промежутке [-6; 3]. График производной изображен на рисунке.
у y = f ' (x)
f ' (x) _ + _ + _
_______●______________●__________●______________●______________________
f (x) -5 -2 0 2
Задания для учащихся.
1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:
Как называются точки -5, -2, 0, 2 ? (Стационарные точки)
-
Ответить на вопросы:
-
Укажите число точек максимума. ( хmax = -2, хmin = 2). Ответ: 2.
-
Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.
-
Укажите число точек минимума функции. (xmin = -5, xmin = 0) Ответ: 2.
-
Укажите число промежутков возрастания функции. [-5; -2],[0; 2]. Ответ: 2.
-
Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. -5; -2; 0; 2 . Ответ: 4.
-
Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2; 0] Ответ: 2.
-
Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.
-
Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3 + 2 = 5) Ответ: 5.
-
Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.
Схема исследования свойств функции и построение графика функции.
Пример 1. а) Построить график функции y = 5x3 - 3x5
1). D (y) = (- ∞; +∞).
2). Функция нечетная.
3). Нули функции: у = 0 х3 (5 - 3х2) = 0,
х = 0, х = ±
4). Промежутки монотонности :
у ' = 15х2 - 15 х4 ,
у ' = 0, 15х2 (1 - х2) = 0
х = 0, х = ±1 - стационарные точки.
у '(х) - + + -
______________________________________________
у(х) -1 0 1 х
хmin = -1, xmax = 1, x = 0 -точка перегиба
уmin = у (-1)= - 5 + 3 = - 2
ymax = y (1) = 5 - 3 =2
y (0) = 0
5). Построим график функции:
Задачи централизованного тестирования.
1. Найдите количество точек экстремума функции у = 0,6х5 - 1,5х4 + х3 + 4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
у ' = 3х4 - 6х3 + 3х2 Решение:
у ' + + + х
3х2 (х2 - 2х + 1) = 0 __________________________
х2 (х - 1)2 = 0 у 0 1
Нет экстремумов
Ответ: 1
2. Найдите длину промежутка убывания функции у = 3х5 - 5х3 + 1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
Решение :
у ' =15х4 - 15х2
15х2 (х2 - 1) = 0
х = 0 - корень четной кратности
у ' + - - +
___________________________________
у - 1 0 1
х = ± 1
Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 - 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
Решение:
у ' =15х4 - 30х
15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +
х = 0, х = - точки экстремумов ___________________________________ х
у
Ответ: 3
4. Найдите значение функции у = 2х2 - в точке минимума.
Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0
Решение:
у ' = 4х -
=0, 8х3/2 - 1 =0, х > 0, х =
уmin = у () = 2 - = - = -
у ' - +
_________○________________●__________х
у 0
Ответ: 2
5. Найдите количество точек экстремума функции у = .
Ответы: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
Решение:
у = - +
у ' = - = 0
х = ± 1 - стационарная точка
х = 0 - критическая точка
у ' + - - +
_______________●______○______●_______ х хmax = -1, хmin = 1
у
-1 0 1
Ответ: 2
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 .
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5)
Решение:
у ' =2 (х -1) + ОДЗ. х > 0
=0; = 0;
5х2 - 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 = - стационарные точки, х = 0 - критическая точка
х > 0
у ' + - +
__________○________●________●________х хmin = 1
у 0 1
Ответ: 2
7. Найти количество точек экстремумов функции у = .
Ответы: 1) 2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
Решение:
у = - +
у ' = - , =0
х = ± 3 - стационарные точки
х = 0 - критическая точка четной кратности
у ' + - - +
____________●________○_________●_______ х хmax = -3, xmin = 3
у -3 0 3
Ответ: 1
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .
Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1
Решение:
у ' =4 (х - 1)3 + ; =0; =0
х = 1, х = - стационарные точки
х = 0 - критическая точка (х > 0)
у ' + - +
______○_________●_________●_________х хmax =
у 0 1
Ответ: 4
VII. Итог урока. Рефлексия.
-
Повторили условия существования экстремума.
-
По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.
-
По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.
-
Познакомились с заданиями централизованного тестирования.
-
Продолжи предложение:
-
Я узнал…
-
Я научился…
-
Мне понравилось…
-
Я затруднялся…
-
Моё настроение…
-
Материал урока мне был ….
VIII. Оценка работ.
-
На уроке я работал ….
-
Своей работой на уроке я ….
-
Урок для меня показался ….
-
За урок я ….
IX. Домашнее задание: страница 178 § 30, задания типа В9 (ЕГЭ)
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 - 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
4. Найдите значение функции у = 2х2 - в точке минимума.
Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0
5. Найдите количество точек экстремума функции у = .
Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 .
Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5)
7. Найти количество точек экстремумов функции у = .
Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .
Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1