Рабочая программа элективного курса Подготовка к ОГЭ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Моховская основная общеобразовательная школа»

УТВЕРЖДАЮ.

Директор школы:

____________ /Долотова В.В./

«_____» ____________ 2014г.

Рабочая программа

элективного курса

«Подготовка к ОГЭ по математике»

9 класс

Составитель:

Таратынова М.В.,

учитель математики

2014год

Пояснительная записка

В школе подготовка к экзаменам осуществляется на уроках, а также во внеурочное время.

Оптимальной формой подготовки к экзаменам являются элективные курсы, которые позволяют расширить и углубить изучаемый материал по школьному курсу. Учитывая новую форму сдачи государственных экзаменов в форме единого государственного экзамена, предлагается элективный курс для учащихся 9 общеобразовательного класса по математике: «Курс подготовки к ОГЭ (ГИА)».

Цель элективного курса: подготовить учащихся к сдаче ОГЭ в соответствии с требованиями, предъявляемыми образовательными стандартами.

Назначение данного элективного курса - повысить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников основной школы с целью их успешной подготовки к основным государственным экзаменам.

Нормативно - правовая база элективного курса. Содержание элективного курса определяется на основании кодификатора элементов содержания для проведения в 2015 году основного государственного экзамена по математике, подготовленного федеральным государственным бюджетным научным учреждением «Федеральный институт педагогических измерений». Кодификатор элементов содержания по математике составлен на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников основной школы (приказ Минобразования России от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента Государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего(полного) общего образования.

Рабочая программа разработана с учетом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, т.е. они должны овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности, научиться преобразованию знаний и его применению в учебных и внеучебных ситуациях, сформировать качества присущие математическому мышлению, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами.

Структура рабочей программы. Курс рассчитан на 34 занятия. Структура рабочей программы отвечает цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирование базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования; одновременного создания условий, способствующих получению учащимся подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения. С учетом изменений в ГИА задания, предусмотренные в ходе реализации рабочей программы подразделены на три модуля: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Модули «Алгебра» и «Геометрия» предполагают две части, соответствующие овладению математической компетентности на базовом и повышенном уровнях, модуль «Реальная математика» - одну часть, соответствующая овладению знаниями на базовом уровне. Проверка усвоения материала предполагает работу с тематическими тестами, выстроенными в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего; выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего и т. д.; При проверке базовой математической компетентности учащиеся должны продемонстрировать:

владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приемов решения задач), умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к простому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение - дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, составляющую потенциальный контингент профильных классов. Поэтому при прохождении модулей «Алгебра» и «Геометрия» предполагается рассматривать на занятиях задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Задания второй части модуля направлены на проверку таких качеств математической подготовки, как:

-уверенное владение формально- оперативным алгебраическим аппаратом;

-умение решать комплексную задачу, включающую в себя знания из различных тем курса алгебра;

-умение математически грамотно и ясно записывать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

-владение широким спектром приемов и способов рассуждений.

Ожидаемые результаты:

1. Овладеют общими универсальными приемами и подходами к решению заданий ОГЭ.

2. Усвоят основные приемы мыслительного поиска.

3. Выработают умения:

• контролировать время выполнения заданий;

• оценить трудность заданий и, соответственно, разумный выбор этих заданий;

Формы организации учебных занятий

Формы проведения занятий включают в себя лекции, практикумы и зачеты.

Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал дается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала проводится практикум по решению задач для закрепления изученного материала.

Занятия строятся с учётом цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе. Выполнение заданий на практикумах осуществляется в три этапа - по модулям. Каждое задание базового уровня характеризуется пятью параметрами: элемент содержания; проверяемое умение; категория познавательной области; уровень трудности и форма ответа. Предусмотрены следующие формы ответа: с выбором ответа из четырех предложенных вариантов, с кратким ответом на соответствие. Задания второй части требуют записи решения и ответа.

В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, рассчитанные на 5-10 минут, тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Такая форма работы обеспечивает эффективную обратную связь, позволяет учителю и ученикам корректировать свою деятельность.

Контроль и система оценивания

Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися зачетных работ. Для оценивания результатов выполнения зачетных работ выпускниками применяется такой количественный показатель, как общий балл.

Итоговый контроль реализуется в форме внутришкольного пробного ОГЭ (ГИА).

Календарно-тематическое планирование

№ п\п

Тема занятия

Количество часов

Формы проведения

Планируемые результаты освоения материала

всего

1

Натуральные, рациональные и действительные числа. Дроби.

1

Мини-лекция, практикум.

Выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с рациональными числами, сравнивать действительные числа. Вычислять значения числовых выражений, переходить от одной формы записи чисел к другой

2

Измерения, приближения, оценка

1

Практикум

Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и избытком выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений.

3-5

Алгебраические выражения

3

Мини-лекция, практикум

Выполнять разложение многочленов на множители

Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.

6

Свойства степени с целым показателем

1

Практикум, зачет

Выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями

7

Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях

1

Мини-лекция, практикум

Применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни

8-9

Уравнения

3

Мини-лекция, практикум, зачет

Научиться решать квадратные и рациональные уравнения, сводящиеся к ним системы двух линейных уравнений и несложные линейные системы Применять графическое представление при решении уравнений

10-11

Неравенства

2

Мини-лекция, практикум, зачет

Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы

12

Графическая интерпретация уравнений и неравенств с двумя переменными

1

Мини-лекция, практикум

Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств

13-16

Текстовые задачи

4

Мини-лекция, практикум,

зачет

Решать несложные практические расчетные задачи, связанные с процентами, интерпретировать результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов

Решать текстовые задачи, включая задачи, связанные отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами. Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи.

17-18

Числовые последовательности

2

Мини-лекция, практикум, тест

Решать элементарные задачи, связанные с числовыми последовательностями. Распознавать арифметические и геометрические прогрессии, решать задачи с применение формулы общего члена и суммы нескольких первых членов.

19-20

Числовые функции

3

Мини-лекция, практикум

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции, решать обратную задачу. Определять свойства функции по ее графику, строить графики изученных функций.

21-22

Декартовы координаты на плоскости

2

Мини-лекция, практикум

Определять координаты точки плоскости; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

23-24

Геометрические фигуры и их свойства. Треугольник, многоугольники, окружность и круг.

2

Мини-лекция, практикум

Распознавать геометрические фигуры на плоскости, различать их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи

25-27

Измерения геометрических величин

2

Мини-лекция, практикум, зачет

Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин.

28

Описательная статистика

1

Мини-лекция, практикум

Извлекать статистическую информацию , представленную в таблицах, на диаграммах, графиках

29

Вероятность

1

Мини-лекция, практикум

Находить вероятности случайных событий в простейших случаях

30

Комбинаторика

1

Мини-лекция, практикум

Решать комбинаторные задачи путем организованного перебора возможных вариантов , а также с использованием правила умножения

31-34

Внутришкольный пробный ГИА

1

Зачет

Решать задачи из контрольно-измерительных материалов для ГИА

Темы учебного курса

Тема 1. Натуральные, рациональные и действительные числа. Дроби.

Арифметические действия над натуральными, рациональными, действительными и дробными числами. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной. Сравнение чисел. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий. Понятие об иррациональном числе. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби.

Тема 2. Измерения, приближения, оценка.

Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире. Округление чисел, прикидка и оценка результатов вычисления. Выделение множителя - степени десяти в записи числа.

Тема 3. Алгебраические выражения.

Допустимые значения переменных, входящих в алгебраическое выражение. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных выражений , тождество. Преобразование выражений.

Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Степень и корень многочленов с одной переменной.

Тема 4. Свойства степени с целым показателем.

Основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями.

Тема 5. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

Применение свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни

Тема 6. Уравнения.

Уравнения с одной переменной, корень уравнения. Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней. Решение уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом разложения на множители. Уравнения с двумя переменными. Системы уравнений.

Тема 7. Неравенства.

Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной. Системы линейных неравенств. Квадратные неравенства.

Тема 8. Графическая интерпретация уравнений и неравенств с двумя переменными.

Использование графиков функций для решения уравнений и систем. Уравнение окружности.

Тема 9. Текстовые задачи.

Решение текстовых задач арифметическим способом. Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Практические расчетные задачи, связанные с процентами. Интерпретация результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых объектов.

Тема 10.Числовые последовательности.

Арифметическая и геометрическая последовательности. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессии. Формула суммы первых членов прогрессии.

Тема 11 Числовые функции.

Область определения и область значения функции. Графики функций, их свойства. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы.

Тема 12. Декартовы координаты на плоскости.

Координаты точки, координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых.

Тема 13. Геометрические фигуры и их свойства. Треугольник, многоугольники, окружность и круг.

Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренный, равносторонний, прямоугольный треугольники. Теорема Пифагора. Признаки равенства и признаки подобия. Решение прямоугольных треугольников. Многоугольники, их свойства и признаки. Центральный, вписанный угол. Касательная и секущая к окружности. Вписанные и описанные окружности.

Тема 14. Измерения геометрических величин.

Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длины дуги окружности. Площадь и ее свойства, формулы нахождения площади для различных фигур планиметрии.

Тема 15. Описательная статистика.

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Статистические характеристики.

Тема 16. Вероятность.

Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Тема 17. Комбинаторика.

Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, комбинаторное правило умножения.

Тема 18. Внутришкольный пробный ГИА (ОГЭ).

Решение задач из контрольно-измерительных материалов для ГИА (ОГЭ)

Практикум.

Тема1. Натуральные, рациональные и действительные числа. Дроби.

1. Найдите значение выражения (113−234)⋅26.

2. Найдите значение выражения (56+1110)⋅24.

3. Найдите значение выражения 225:(910−1514).

4. Найдите значение выражения 312:(1415+2910).

5. Какому из данных промежутков принадлежит число 2/9 ?

   1. [0,1; 0,2]

   2. [0,2; 0,3]

   3. [0,3; 0,4]

   4. [0,4; 0,5]

6. Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что x<0 , y>0 ?

1)

( x−y )y

2)

( y−x )x

3)

xy

4)

( x−y )x

7. Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что a>0 , b<0 ?

1)

( a−b )a

2)

ab

3)

( a−b )b

4)

( b−a )a

8. Известно, что a и b − отрицательные числа и a

1)

1/ a > 1 /b

2)

1/ a < 1/ b

3)

1/ a = 1/ b

4)

Сравнить невозможно

9. Известно, что a и b − отрицательные числа и a>b . Сравните 1/ a и 1 /b .

1)

1/ a > 1/ b

2)

1/ a < 1 /b

3)

1/ a = 1 /b

4)

Сравнить невозможно

10. Известно, что a и b − отрицательные числа и a>b . Сравните 2 a и 2 b .

1)

2 a > 2 b

2)

2 a < 2 b

3)

2 a = 2 b

4)

Сравнить невозможно

11. Известно, что a и b − положительные числа и a

1)

1/ a > 2/ b

2)

1/ a < 2 /b

3)

1 /a = 2/ b

4)

Сравнить невозможно

12. Известно, что a и b − положительные числа и a>b . Сравните 2 a и 2 b .

1)

2 a > 2 b

2)

2 a < 2 b

3)

2 a = 2 b

4)

Сравнить невозможно

13. Какое из данных чисел √0,36; √36; √3,6 является иррациональным?

1) √3,6; 2) √36; 3) √0,36; 4) ни одно из этих чисел

14. Значение, какого из выражений является числом иррациональным?

1) √ 18/⋅√8; 2) (√17−√18)⋅( √17+√18); 3) √8√18; 4) √45−√5

15. Значение, какого из выражений является числом иррациональным?

1) √3⋅√12; 2) (√19−√6)⋅(√19+√6); 3) √24/√6; 4) √8+√22

16. Значение, какого из выражений является числом иррациональным?

1) √20⋅√5; 2) (√24−√2)⋅( √24+√2); 3) √32/√18; 4) √18−√22

17. Найдите значение выражения 10⋅(− 0,1)^4​−3⋅(− 0,1)^2​−2,5.

18. Найдите значение выражения 4⋅10^− 1​+7⋅10^− 3​+9⋅10^− 4.

19. Найдите значение выражения (4,1⋅10^− 2)(9⋅10^− 2).

20. 1) 0,00369 2) 0,000369 3) 0,0369 4) 369000

21. Найдите значение выражения (7,6⋅10^− 3)(7⋅10^− 3).

22. 1) 0,000532 2) 53200000000 3) 0,0000532 4) 0,00000532

23. Найдите значение выражения 80+0,4⋅(− 10)³.

24. Найдите значение выражения 0,0005⋅5000⋅50000.

25. Найдите значение выражения (8⋅10²)²​⋅(3⋅10^− 2).

26. Найдите значение выражения (16⋅10^− 2)²​⋅(13⋅10⁴).

27. Найдите значение выражения 0,8⋅(− 10)^4​+3⋅(− 10)³​+78.

28. В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трёх магазинах:

Магазин

Шоколад

(за плитку)

Пастила

(за кг)

Кефир

(за литр)

«Теремок»

50

260

35

«Авоська»

52

255

36

«Фаворит»

49

250

34

Любовь Григорьевна хочет купить 2 шоколадки, 0,5 кг пастилы и 1 литр кефира. В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Авоське» проходит акция - скидка 10% на любые сладости, а в «Теремке» скидка 3% на весь ассортимент?

1)

В «Фаворите»

2)

B «Авоське»

3)

B «Теремке»

4)

Во всех магазинах стоимость покупки будет одинаковой.

29. В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России с 1 сентября 2013 года.

Превышение скорости, км/ч

21-40

41-60

61-80

81 и более

Размер штрафа, руб.

500

1000

2000

5000

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 77 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 40 км/ч?

1)

500 рублей

2)

1000 рублей

3)

2000 рублей

4)

5000 рублей

30. В таблице представлены налоговые ставки на автомобили в Москве с 1 января 2013 года.

Мощность автомобиля (в л.с.)

Налоговая ставка (в руб. за л.с. в год)

не более 70

0

71-100

12

101-125

25

126-150

35

151-175

45

176-200

50

201-225

65

226-250

75

свыше 250

150

Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 192 л.с. в качестве налога

за один год?

1)

12480

2)

9600

3)

65

4)

50

31. Какое из следующих чисел заключено между числами 5/14 и 7/16?

1)

0,2

2)

0,3

3)

0,4

4)

0,5

32. Какое из следующих чисел заключено между числами 3/8 и 4/9?

1)

0,4

2)

0,5

3)

0,6

4)

0,7

33. Расположите в порядке убывания числа √ 30 ,   4√ 2 и 6 .

1)

6,    4 √2 ,   √ 30

2)

√ 30 ,   4 √2 ,   6

3)

4 √2 ,   6,    √30

4)

√30 ,   6,    4 √2

34. Расположите в порядке возрастания числа √30 ,   2 √7 и 5.

1)

2 √7 ,   5,    √30

2)

√30 ,   5,   2√7

3)

5,    2√7 ,    √30

4)

√30 ,   2√7 ,   5

35. Какое из следующих чисел является наибольшим?

1)

4,9⋅ 10 −10

2)

1,9⋅ 10 20

3)

9,2⋅ 10 −20

4)

0,8⋅ 10 10

36. Какое из следующих чисел является наименьшим?

1)

6,2⋅ 10 −30

2)

5,3⋅ 10 30

3)

7,2⋅ 10 60

4)

5,9⋅ 10 −60

37. Найдите значение выражения 18/(2,5⋅2,4) .

38. Найдите значение выражения 0,7/(1+1/6).

39. Найдите значение выражения (17/15−1/12)⋅20/3.

Тема 2. Измерения, приближения, оценка.

1. Расстояние от Солнца до Нептуна свет проходит примерно за 252,95 минуты. Найдите приблизительно расстояние от Солнца до Нептуна, ответ округлите до миллионов км. Скорость света равна 300000 км/с.

2. Расстояние от Солнца до Юпитера свет проходит примерно за 43,3 минуты. Найдите приблизительно расстояние от Солнца до Юпитера, ответ округлите до миллионов км. Скорость света равна 300000 км/с.

3. Площадь территории России составляет 1,7⋅10⁷ км², а Норвегии - 3,2⋅10⁵ км². Во сколько раз площадь территории России больше площади территории Норвегии?

1) примерно в 1,9 раза

2) примерно в 5,3 раза

3) примерно в 53 раза

4) примерно в 530 раз

4. Население США составляет 3,2⋅108 человек, а площадь их территории равна 9,5⋅106 кв. км. Сколько в среднем приходится жителей на 1 кв. км?

1) примерно 29,6 человека

2)примерно 3,37 человека

3)примерно 33,7 человека

4)примерно 2,96 человека

5. В таблице приведена стоимость работ по покраске потолков.

Цвет
потолка

Цена в рублях за 1 м²
(в зависимости от площади помещения)

до 10 м²

от 11 до 30 м²

от 31 до 60 м²

cвыше 60 м²

белый

110

80

70

60

цветной

120

110

90

80

Пользуясь данными, представленными в таблице, определите, какова будет стоимость работ, если площадь потолка 25 м², потолок белый, и действует сезонная скидка в 10%. Ответ укажите в рублях.

Площадь территории Чехии составляет 79 тыс. км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет дальше всех от Солнца?

Тема 3. Алгебраические выражения.

1. Упростите выражение ( 6−c ) ² −c( c+3 ) и найдите его значение при c=− 1 15 . В ответ запишите полученное число.

2. Упростите выражение ( x−7 ) ² −x( 6+x ) и найдите его значение при x=− 1 20 . В ответ запишите полученное число.

3. Сократите дробь x³+3x²−4x−12/(x−2)(x+3).

4. Сократите дробь x³−2x²−9x+18/(x−2)(x+3).

5. Упростите выражение a/ (ab+ b ²) : a /(a ² − b ²) и найдите его значение при a=1,3 и b=0,2 . В ответ запишите полученное число.

6. Упростите выражение a /(ab− b ²) : a /(a ² − b ² ) и найдите его значение при a=0,7 и b=0,2 . В ответ запишите полученное число.

7. Упростите выражение (a+x)/a : (ax+ x)/ 2a² и найдите его значение при a=23 ; x=5 . В ответе запишите найденное значение.

8. Упростите выражение 4a/(a+b) ⋅ ab+ b² /16a и найдите его значение при a=9,2 ; b=18. В ответе запишите найденное значение.

9. Упростите выражение cd/( c−d) ⋅( d /c − c /d ) и найдите его значение при c= 2 , d=2^{− 2}. В ответе запишите найденное значение.

10. Упростите выражение xy /(x−y) ⋅( x/ y - y/ x ) и найдите его значение при x= √5 +1 , y=3−√ 5 . В ответе запишите найденное значение.

11. Квадратный трёхчлен разложен на множители: 5 x ² +33x+40=5( x+5 )( x−a ) . Найдите a.

12. Квадратный трёхчлен разложен на множители: 4 x ² +15x−4=4( x+4 )( x−a ) . Найдите a .

13. За 25 минут велосипедист проехал 8 километров. За сколько минут он проедет a километров, если будет ехать с той же скоростью? Запишите соответствующее выражение.

14. За 20 минут велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за t минут, если будет ехать с той же скоростью? Запишите соответствующее выражение.

15. За 5 минут пешеход прошёл a метров. За сколько минут он пройдёт 120 метров, если будет идти с той же скоростью? Запишите соответствующее выражение.

16. Автомобиль проехал 200 километров и израсходовал при этом a литров бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 километров при таких же условиях езды? Запишите соответствующее выражение.

17. Закон Кулона можно записать в виде F=k⋅ (q ₁ q ₂₎ /r ² , где F - сила взаимодействия зарядов (в ньютонах), q ₁ и q ₂ - величины зарядов (в кулонах), k - коэффициент пропорциональности (в Н ⋅ м ² /Кл ² ), а r - расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда q ₁ (в кулонах), если k=9⋅ 10 ⁹ Н ⋅ м ² /Кл ², q ₂ =0,004 Кл, r=3000 м, а F=0,016 Н.

18. Найдите f(7), если f(x+5)=24 − x.

19. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P=I²R, где I - сила тока (в амперах), R - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 96 Вт, а сила тока равна 4 А.

20. Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула F=1,8C+32, где C - градусы Цельсия, F - градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 60^∘ по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

21. Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s=nl, где n - число шагов, l - длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l=60 см, n=1200? Ответ выразите в километрах.

22. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия ( t^∘C) в шкалу Фаренгейта ( t^∘F) пользуются формулой F=1,8C+32, где C - градусы Цельсия, F - градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует −16∘ по шкале Цельсия?

23. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d₁d₂sinα², где d₁ и d₂ - длины диагоналей четырёхугольника, α - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁=7, sinα=6/11, a S=21.

24. Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P - давление (в паскалях), V - объём (в м ³), ν - количество вещества (в молях), T - температура (в градусах Кельвина), а R - универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К ⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите объём V (в м ³), если T=300 К, P=7479 Па, ν=15,3 моль.

25. Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле s=330t , где t - количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t=6 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.

26. Закон Джоуля-Ленца можно записать в виде Q=I²Rt, где Q - количество теплоты (в джоулях), I - сила тока (в амперах), R - сопротивление цепи (в омах), а t - время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q=288 Дж, I=3 A, R=4 Ом.

27. Закон всемирного тяготения можно записать в виде F=γm₁m_2/r², где F - сила притяжения между телами (в ньютонах), m₁ и m₂ - массы тел (в килограммах), r - расстояние между центрами масс тел (в метрах), а γ - гравитационная постоянная, равная 6,67⋅10⁻¹¹ Н ⋅м ²/кг ². Пользуясь этой формулой, найдите массу тела m₁ (в килограммах), если F=1000,5 Н, m₂=6⋅109 кг, а r=4 м.

28. Парабола проходит через точки A(0; - 4), B(- 1; - 11), C(4; 4). Найдите координаты её вершины.

29. Найдите значение выражения p(b)p(1/b), если p(b)=(b+2/b)(2/b+1/b).

30. Найдите значение выражения p(b)p(1/b), если p(b)=(b+6/b)(6/b+1/b).

Тема 4. Свойства степени с целым показателем.

1. Какое из следующих выражений равно произведению 4⋅2ⁿ?

1)2^n + 2 2) 2²ⁿ 3) 8ⁿ 4) 4ⁿ

2. Какое из следующих выражений равно произведению 16⋅2ⁿ?

1) 2^n + 4 2) 2⁴ⁿ 3) 3²ⁿ 4) 16ⁿ

3. Представьте выражение (m^− 10)⁸​⋅m¹⁵ в виде степени с основанием m.

1)m¹³ 2)m^− 95 3)m^− 17 4) m^− 65

4. Представьте выражение (m^− 3)^− 4​⋅m^− 10 в виде степени с основанием m.

1)m² 2)m^− 17 3) m³ 4) m²²

5. Найдите значение выражения 4^− 2⋅4^− 64^− 5.

1)64 2)− 164 3)164 4) − 64

6. Найдите значение выражения 5^− 6⋅5^− 65^− 10.

1)125 2)25 3) − 125 4)− 25

7. Представьте выражение 1/x⁴⋅1/x⁸ в виде степени с основанием x.

1) x³²; 2) x^− 32; 3) x^− 12 4) x¹²

8. Представьте выражение 1/x^− 7⋅1/x⁶ в виде степени с основанием x.

1) x⁴²; 2) x^− 42 3) x^− 1 4) x¹

9. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь (a^− 3)⁴/a^− 6?

1) a⁷ 2) a² 3) a^− 18 4) a^− 6

10. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь (x³)^− 4/x^− 3?

1) x^− 9 2) x^− 15 3) x⁴ 4) x²

11. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь (a^− 4)^− 3 /a^− 6?

1) a⁶ 2) a¹⁸ 3) a^− 2 4) a^− 1

12. Найдите f(2), если f(x−3)=9^7 − x.

13. Найдите f(2), если f(x−4)=6 ^8 − x.

14. Сравните: .

Тема 5. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

1. Сравните числа √52+√46 и 14.

2. Одно из чисел √5, √7, √11, √14 отмечено на прямой точкой A.

3. Одно из чисел √5, √8, √11, √14 отмечено на прямой точкой A.

4. Найдите значение выражения √30⋅72⋅80.

1)720; 2) 240√6; 3) 240√3; 4) 240√15

5. Найдите значение выражения √2⋅45⋅5.

1) 15√2; 2) 30; 3) 15√6; 4) 15√10

6. Найдите значение выражения √48⋅60⋅8.

1) 240√2; 2) 48√10; 3) 96√5; 4) 48√30

7. Сравните числа √67+√61 и 16.

8. Найдите значение выражения √11⋅2⁴⋅√11⋅3².

1) 1452 2) 132 3) 1584 4) 12√11

9. Найдите значение выражения √11⋅2²⋅√11⋅3⁴.

1) 198; 2) 18√11; 3) 3564 4) 2178

10. Найдите значение выражения √10⋅27⋅√90.

1)90√6 2) 270 3) 90√3 4) 90√15

11. Найдите значение выражения √8⋅75⋅√90.

1) 300√3 2) 60√15 3) 60√30 4) 180√5

12. Значение, какого из данных выражений является наибольшим?

1) √6,9 2) 2√1,8 3) √343/7 4) √13/5⋅√5/2

13. Значение, какого из данных выражений является наибольшим?

1) √2,6; 2) 3√0,3; 3) √27/3 4) √14/10⋅√10/5

14. Значение, какого из данных выражений является наибольшим?

1) √2,9 2) 2√0,7 3) √27/3 4) √5/7⋅√7/2

15. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]?

1) √6 2) √7 3) √35 4) √42

16. Значение, какого из следующих данных выражений является наибольшим?

1) √43 2) 6,5 3) 2√11 4) 3√5

17. Значение, какого из следующих данных выражений является наибольшим?

1)2√33; 2)3√17; 3) 11,5 4) 3√15

18. Между какими числами заключено число √42?

1)15 и 17 2) 3 и 4 3) 41 и 43 4) 6 и 7

19. Между какими числами заключено число √89?

1)4 и 5; 2) 29 и 31 3) 9 и 10 4) 88 и 90

20. Между какими числами заключено число √73?

1)8 и 9 2) 72 и 74 3) 24 и 26 4) 4 и 5

21. Между какими числами заключено число √67?

1)8 и 9 2) 22 и 24 3) 4 и 5 4) 66 и 68

22. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует
числу √61. Какая это точка?

1)точка A 2) точка B 3) точка C 4)точка D

23. Найдите значение выражения 2√2⋅√3⋅8√6.

1)576 2) 384 3) 24 4) 96

24. Найдите значение выражения 8√6⋅√2⋅2√3.

1) 576 2) 24 3) 96 4) 24

25. Найдите значение выражения √2⁴​⋅3²​⋅5⁴.

1)30 2)300 3) √300 4)90000

26. Найдите значение выражения √2⁶​⋅5²​⋅7².

1)78400 2)70 3)280 4) √280

27. Найдите значение выражения √2²​⋅3⁶​⋅7².

1)42 2) √378 3)142884 4)378

28. Найдите значение выражения √540⋅√120/√90.

29. Найдите значение выражения (√86+4)².

30. Вычислите: .

Тема 6. Уравнения

Линейные уравнения

Решите уравнение: 8−5(2x−3)=13−6x.

Решите уравнение: 1−7(4+2x)=−9−4x .

Решите уравнение: 5( x−6 )=2 .

Решите уравнение: (8x+2)/ 5 +5= 7x/ 4 .

При каком значении x значения выражений 2x−1 и 3x+9 равны?

При каком значении x значения выражений x−7 и 7x+2 равны?

Решите уравнение (x+3)² = (x+8)² .

Решите уравнение (x+8)² = (12−x)² .

Квадратные уравнения

Найдите корни уравнения: x²−5x−14=0.

Найдите корни уравнения: x²+4=5x.

Найдите корни уравнения: x²+3x−18=0.

Найдите корни уравнения: x²+3x=18.

Найдите корни уравнения: x²+6=5x.

Найдите корни уравнения: 5x²+20x=0.

Решите уравнение: 2x² −13x+33 = 6x ² −37x+60 .

Решите уравнение: 2x² −12x−45 = −10x ².

Решите уравнение: −5x² +3=3−10x .

Решите уравнение: x² +2x−15=0 .

Решите уравнение x²−3x+3−x=3−x+10.

Уравнения высших степеней

Решите уравнение: (2x−9)²(x−9)=(2x−9)(x−9)²

Решите уравнение: (x−2)(x−3)(x−5)=(x−2)(x−4)(x−5).

Решите уравнение: x³+2x²−9x−18=0.

Решите уравнение x³+5x²−4x−20=0.

Решите уравнение: x³=x²+20x.

Решите уравнение: (x+2)³=4(x+2).

Решите уравнение: (x+6)² + ( x−9)²=2x² .

Решите уравнение: x² −4x−8= − x² −2x+( −1+2 x)² .

Решите уравнение: 2x² −x−1= x² −5x−( −1− x)² .

Дробно-рациональные уравнения

Решите уравнение( x− 15)/ x =−2 .

Решите уравнение 14/( x−8) + 8 /(x−14) =2 .

Решите уравнение 2 /(x−5) + 5 /(x−2) =2 .

Решите уравнение (9x−13)/(x−5) = 13/ 21

Решите уравнение x/(x²+2x+1)=6/(x+1).

Решите уравнение (x−1)/(x²+6x+9)=5/(x+3).

Системы уравнений

Решите систему уравнений 3x+y=5,

(x+2)/5+y/2=−1.

Решите систему уравнений 3x−y=10,

x /3 + (y+1)/ 5 =1.

Решите систему уравнений x+y=2,

2 x ² +xy+ y ² =8.

Решите систему уравнений 3x+y=1,

(x+1)/ 3 − y /5 =2.

Решите систему уравнений 5x²+y=12,

9x²−y=2.

Решите систему уравнений x²+y=5,

6x²−y=2.

Решите систему уравнений y−2x=6,

x ²− xy+ y ² =12.

Тема 7. Неравенства.

1. О числах a и b известно, что a>b . Среди приведенных ниже неравенств выберите верные:

1) a−b>−11 2) b−a>15 3) b−a<4

1)

1 и 2

2)

2 и 3

3)

1, 2 и 3

4)

1 и 3

2. О числах a и c известно, что aневерно?

1)

− a /4 <− c /4

2)

a−34

3)

− a /23 < c /23

4)

a+8

3. О числах a и c известно, что aневерно?

1)

a+8

2)

− a /33 <− c/33

3)

a−2

4)

− a /33 < c /33

4. На каком из рисунков изображено решение неравенства 5x− x ² <0 ?

1)

2)

3)

4)

5. На каком из рисунков изображено решение неравенства 8x−x²≥0?

1)

2)

3)

4)

6. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1)

x²−2x−48>0

2)

x²−2x+48<0

3)

x²−2x−48<0

4)

x²−2x+48>0

7. При каких значениях x значения выражения 6x+9 больше значений выражения 9x−3?

1)

x>4

2)

x<−2

3)

x<4

4)

x>−2

8. При каких значениях x значения выражения 5x+2 меньше значений выражения 4x+8?

1)

x>10

2)

x>6

3)

x<10

4)

x<6

9. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x²−2x−3<0?

1)

2)

3)

4)

10. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x²−17x+72≥0?

1)

2)

3)

4)

11.Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

1)

x²−36≤0

2)

x²+36≥0

3)

x²−36≥0

4)

x²+36≤0

12. Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

1)

x²−25<0

2)

x²+25>0

3)

x²−25>0

4)

x²+25<0

13. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1)

x²−15<0

2)

x²+15<0

3)

x²+15>0

4)

x²−15>0

14. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1)

x²−56≥0

2)

x²+56≥0

3)

x²+56≤0

4)

x²−56≤0

15. Решите неравенство x ² −16≥0 .

1)

( −∞;−4 ]∪[ 4;+∞ )

2)

[ −4;4 ]

3)

( −∞;+∞ )

4)

∅

16. Решите неравенство x ²−25<0 .

1)

( −∞;+∞ )

2)

∅

3)

( −5;5 )

4)

( −∞;−5 )∪( 5;+∞ )

17. Решите неравенство 9x−4( x−7 )<−3 .

18. Решите неравенство 7x−4( 2x−1 )≥−7 .

19. Решите неравенство x²(− x²−16)≤16(− x²−16).

20. Решите неравенство x²(− x²−1)≤(− x²−1).

21. Решите неравенство (3x−5)²≥(5x−3)².

22. Решите неравенство 2 x ² −3x>0 .

23. Решите неравенство 14x²+2x−15≤0.

24. Решите неравенство − 14x²+2x−15≤0.

25. Решите неравенство − 14(x−5)²−2≥0

26. Решите неравенство (x−4)²<6(x−4).

27. Решите неравенство (x−8)²<3(x−8).

28. Решите неравенство (x−1)(3x−5)<1 .

29. Решите неравенство x ²/ 3 > (8x−9)/ 5 .

30. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

x ² −4x+3≥0 ?

1)

2)

3)

4)

31. На каком из рисунков изображено решение неравенства 25 x² <4 ?

1)

2)

3)

4)

32. При каких значениях a выражение 9a+8 принимает отрицательные значения?

1)

a<− 9 8

2)

a<− 8 9

3)

a>− 9 8

4)

a>− 8 9

33. При каких значениях a выражение 7a+4 принимает положительные значения?

1)

a<− 4 7

2)

a>− 4 7

3)

a>− 7 4

4)

a<− 7 4

34. Решите систему неравенств 4(9x+3)−9(4x+3)>3x,

(x−2)(x+9)<0.

35. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

6x+18≤0,

x+8≥2.

36. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

8x+16≤0,

x+7≥2.

37. Решите систему неравенств −35+5x<0,

6−3x>−18.

1)

2)

3)

4)

38. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

5x+15≤0,

x+5≥1.

Тема 8. Графическая интерпретация уравнений и неравенств с двумя переменными.

График какого уравнения с двумя переменными изображен на рисунке?

1) 2)

3) 4)

2.

График какого уравнения с двумя переменными изображен на рисунке?

1) 2)

3) 4)

3. Множество решений какого неравенства изображено на рисунке?

1) 2)

3) 4)

4. Множество решений какого неравенства изображено на рисунке?

1) 2)

3) 4)

4. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

5. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

Тема 9. Текстовые задачи. Проценты.

1. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Батон хлеба стоит в магазине 20 рублей, а пенсионер заплатил за него 19 рублей 40 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

2. Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2200 рублей. В мае он стал стоить 1980 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с февраля по май?

3. Магазин детских товаров закупает погремушку по оптовой цене 180 рублей за одну штуку и продаёт с 25-процентной наценкой. Сколько будут стоить 3 такие погремушки, купленные в этом магазине?

4. Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а малина - 200 рублей за килограмм. На сколько процентов вишня дешевле малины?

5. В начале года число абонентов телефонной компании «Запад» составляло 800 тыс. чел., а в конце года их стало 920 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

6. На счет в банке, доход по которому составляет 18% годовых, внесли 15 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

7. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Коля, равен 52 кг. Вес Коли составляет 125% среднего веса. Сколько килограммов весит Коля?

8. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 7:8. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 42 млн. р. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

9. Государству принадлежит 70% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 30 млн. р. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

10. Товар на распродаже уценили на 5%, при этом он стал стоить 570 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

11. Товар на распродаже уценили на 35%, при этом он стал стоить 520 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

12. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 35%, во второй - на 10%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 600 р.?

13. Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 1:4. Какой процент в фарше составляет свинина?

14. Для На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 189 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 2:7. Сколько голосов получил победитель?

15. Стоимость проезда в электричке составляет 163 рубля. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 8 взрослых и 5 школьников?

16. Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,54 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?

17. После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?

18. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 6,7%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.

19. Плата за телефон составляет 270 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 19%. Сколько придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

20. Городской бюджет составляет 27 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 30%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

21. Городской бюджет составляет 27 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 10%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

22. Расстояние от Солнца до Марса свет проходит примерно за 12,67 минут. Найдите приблизительно расстояние от Солнца до Марса, ответ округлите до миллионов км. Скорость света равна 300000 км/с.

23. Суточная норма потребления витамина С для взрослого человека составляет 60 мг. В 100 г грейпфрутового сока в среднем содержится 47 мг витамина С. Сколько процентов суточной нормы витамина С получил человек, выпивший 100 г грейпфрутового сока? Ответ округлите до целых.

24. Расстояние от Солнца до Урана равно 2877000000 км. Сколько времени идёт свет от Солнца до Урана? Скорость света равна 300000 км/с. Ответ дайте в минутах и округлите до десятых.

25. На счет в банке, доход по которому составляет 12% годовых, внесли 10 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

26. После уценки телевизора его новая цена составила 0,99 старой. На сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?

27. Спортивный магазин проводит акцию: «Любая футболка по цене 400 рублей. При покупке двух футболок - скидка на вторую 50%». Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?

28. На предприятии работало 240 сотрудников. После модернизации производства их число сократилось до 192. На сколько процентов сократилось число сотрудников предприятия?

29. В начале 2010 г. в поселке было 730 жителей, а в начале 2011 г. их стало 803. На сколько процентов увеличилось число жителей поселка за год?

30. Автомобиль проехал 17 километров за 15 минут. Сколько километров он проедет за 18 минут, если будет ехать с той же скоростью?

31. В таблице приведена стоимость работ по покраске потолков.

Цвет
потолка

Цена в рублях за 1 м²
(в зависимости от площади помещения)

до 10 м²

от 11 до 30 м²

от 31 до 60 м²

cвыше 60 м²

белый

110

80

70

60

цветной

120

110

90

80

Пользуясь данными, представленными в таблице, определите, какова будет стоимость работ, если площадь потолка 25 м², потолок белый, и действует сезонная скидка в 10%. Ответ укажите в рублях.

32. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные - 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?

33. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные - 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 80 кг высушенных фруктов?

34. Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

35. Магазин закупил на складе футболки и стал продавать их по цене на 60% больше закупочной. В конце года цена была снижена на 50%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил футболки, или их цена в конце года - и на сколько процентов?

36. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором - 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

37. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 30%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 45% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

38. Периметр прямоугольника равен 30 см, а его площадь - 50 см². Найдите стороны прямоугольника.

39. Диагональ прямоугольника равна 17 см, а его периметр равен 46 см. Найдите стороны прямоугольника.

40. Из А в В со скоростью 5 км/ч вышел турист. Велосипедист, отправившийся из В в А одновременно с туристом, встретился с ним через 1 ч 12 мин. Прибыв в А, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и догнал туриста в 20 км от В. Найдите расстояние АВ и скорость велосипедиста.

41. Бригада рабочих должна была убрать урожай картофеля в определенный срок. После того, как было убрано 60% всего картофеля, в помощь бригаде был направлен комбайн, и уборка была закончена за 5 дней до срока. Сколько дней убирала бы урожай бригада без помощи комбайна, если известно, что комбайн выполнил бы всю работу на 8 дней быстрее, чем бригада рабочих.

42. Два трактора разной мощности, работая одновременно, вспахали поле за 2 ч 40 мин. Если бы 1-й увеличил скорость вспашки в 2 раза, а 2-й - в 1,5 раза, то они вспахали бы поле за 1 ч 36 мин. За какое время вспахал бы его 1-й трактор, работая с первоначальной скоростью?

43. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется за 8 ч. После ремонта производительность 1-го увеличилась в 1,2 раза, а 2-го - в 1,6 раза, и при их одновременной работе бассейн стал заполняться за 6 ч. За какое время заполнится бассейн при работе только 1-го насоса после ремонта?

Тема 10. Числовые последовательности.

Арифметическая прогрессия

1. Дана арифметическая прогрессия: −3 ; 1; 5; … Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

2. Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями: a₁ =3 , a _n + 1 = a _n +4 . Найдите a ₁₀ .

   
   

3. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

4. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

5. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой

следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 16-й строке?

6. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна −2,5, a₁=−9,1. Найдите сумму первых 15 её членов.

7. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 2,5, a₁=8,7. Найдите a₉.

8. Арифметическая прогрессия задана условием a_n=3,8−5,7n. Найдите a₆.

9. Арифметическая прогрессия задана условием a_n=−0,6+8,6n. Найдите сумму первых 10 её членов.

10. Последовательность задана условиями c₁=−1, c_n+1=c_n−1. Найдите c₇.

11. Арифметическая прогрессия задана условиями a₁=48, a_n+1=a_n−17. Найдите сумму первых 17 её членов.

12. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; -9; x ; -13; -15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

13. В арифметической прогрессии (a_n) a₁₀=19, a₁₅=44. Найдите разность прогрессии.

14. Дана арифметическая прогрессия: 33 ; 25 ; 17 ; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

15. Дана арифметическая прогрессия: −39 ; −30 ; −21 ; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

16. Последовательность задана формулой a_n=40/(n+1). Сколько членов этой последовательности больше 2?

17. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 465?

Геометрическая прогрессия

1. Геометрическая прогрессия ( b _n ) задана условиями: b₁ = - 128, b_{n + 1} = 1/ 2 b_n. Найдите b₇.

2. Геометрическая прогрессия задана условием b_n=62,5⋅(2)ⁿ. Найдите сумму первых её 4 членов.

3. Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 3, b₁=71. Найдите b₄.

4. Геометрическая прогрессия задана условием b_n=64,5⋅(−2)ⁿ. Найдите b₆.

5. (bn) - геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен 5, b₁=25. Найдите сумму первых 6 её членов.

6. Дана геометрическая прогрессия 17, 68, 272, ... Какое число стоит в этой последовательности на 4-м месте?

7. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −256 ; 128 ; −64 ; … Найдите сумму первых 7 её членов.

8. Геометрическая прогрессия задана условиями b₁=−113, b_n+1=−3b_n. Найдите b₇.

9. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; 1,75 ; x ; 28 ; −112 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

10. В геометрической прогрессии (b_n) b₃=−67, b₄=6. Найдите знаменатель прогрессии.

11. В геометрической прогрессии (b_n) b₃=0,5, b₅=18. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что он отрицательный.

12. В геометрической прогрессии (b_n) b₄=3, b₆=108. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что он положительный.

Тема 11. Числовые функции.

1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А) Б) В)

ФОРМУЛЫ

1) y=1/x ; 2) y=12/x ; 3) y=2−x²; 4) y= √ x.

2. Установите соответствие между графиками функций и формулами,

которые их задают.

ГРАФИКИ

А) Б) В)

ФОРМУЛЫ: 1) y = x²​+2; 2) y =− 2x; 3) y=2x; 4) y =√x

3. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y=− x2​−x+5; Б) y=− 34x−1; В) y=− 12x

ГРАФИКИ

1. 2)

3) 4)

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А) Б) В)

ФОРМУЛЫ

1. y=2/x; 2) y=12/x; 3) y=− 2/x; 4) y=− 12/x

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А)Б)В)

ФОРМУЛЫ

1. y=10/x; 2) y=− 110/x; 3) y=− 10/x; 4) y=110/x.

3. На рисунке изображены графики функций вида y=ax²​+bx+c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

А) Б) В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) a<0,  c>0; 2) a>0,  c<0; 3) a>0,  c>0

3. На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) k<0, b<0; Б) k<0, b>0; В) k>0, b<0

ГРАФИКИ

1) 2) 3)

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

А)Б) В)

ФОРМУЛЫ

1) y=− /x2−1; 2) y=− x/2+1; 3) y=x/2+1

3. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = 3x2​+15x+16; Б) y = 3x2​−15x+16; В) y = − 3x2​+15x−16

ГРАФИКИ

1)2)3)

Тема 12. Декартовы координаты на плоскости.

1. На координатной прямой отмечено число a .

Расположите в порядке возрастания числа a−1 , 1 /a , a .

1)

a−1, 1/a, a

2)

a, 1/a, a−1

3)

a−1, a, 1/a

4)

a, a−1, 1/a

2. На координатной прямой отмечено число a.

Расположите в порядке возрастания числа a−1, 1/a, a.

1)

a−1, 1/a, a

2)

a, 1/a, a−1

3)

a−1, a, 1/a

4)

a, a−1, 1a

3. На координатной прямой отмечено число a .

Из следующих утверждений выберите верное:

1)

(a−5)²>1

2)

(a−6)²>1

3)

a²>25

4)

a²>36

4. На координатной прямой отмечены числа a и b .

Какое из следующих утверждений является верным?

1)

a+b>0

2)

ab>0

3)

a(a+b)>0

4)

b(a+b)>0

5. На координатной прямой отмечены числа a и b.

Какое из приведенных утверждений неверно?

1)

a b 2 <0

2)

a−b>0

3)

a+b<0

4)

ab<0

1

2

3

4

5

6

7

8

Тема 13. Геометрические фигуры и их свойства.

1. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС- равнобедренный.

2. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

3. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ=ВС) точки M, N, K - середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK - равнобедренный.

3. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АВ, если сторона АС равна 10.

3. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=13∘ и ∠ACB=143∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

3. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

3. В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC=13 и BC=BM. Найдите AH.

3. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС- равнобедренный.

3. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 163∘. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 150∘, угол ABC равен 127∘. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 152. Найдите стороны треугольника ABC.

3. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 15 м. Вычислите длину провода.

3. Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

3. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса.

3. Сторона ромба равна 60, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

3. Лестница соединяет точки A и B . Высота каждой ступени равна 20 см, а длина - 48 см. Расстояние между точками A и B составляет 26 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).

3. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

3. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 75°. Найдите величину угла OAB.

3. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо - 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

3. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

3. В треугольнике ABC DE - средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 8. Найдите площадь треугольника ABC.

3. Проектор полностью освещает экран A высотой 160 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии
   (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 80 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

3. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60° , а расстояние от точки А до точки О равно 6.

3. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так,

что угол ОАВ равен 60° . Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

3. Точка О - центр окружности, ∠AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

3. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP . Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP , равен 4, тангенс угла BAC равен 0,75 . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC .

3. Медиана BM треугольника ABC равна 3 и является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите диаметр описанной окружности треугольника ABC .

3. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О - центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 130° .

Тема 14. Измерения геометрических величин.

1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 16 см и 24 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 1140 см². Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

2. Площадь прямоугольного земельного участка равна 11 га, ширина участка равна 100 м. Найдите длину этого участка в метрах.

3. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

4. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

5. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

6. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

7. Периметр ромба равен 116, а один из углов равен 30∘. Найдите площадь ромба.

   
   

8. Площадь ромба равна 2, а периметр равен 8. Найдите высоту ромба.

9. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

10. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 7.

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

12. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°,сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.

13. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

14. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20, а площадь равна 50√2.

15. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

16. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 22, а угол, лежащий напротив него, равен 45∘. Найдите площадь треугольника.

17. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

18. Площадь равнобедренного треугольника равна 36√3. Угол, лежащий напротив основания, равен 120∘. Найдите длину боковой стороны.

    
    

19. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

20. В треугольнике ABC DE - средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC .

21. Периметр равнобедренного треугольника равен 162, а основание - 32. Найдите площадь треугольника.

Тема 15.Описательная статистика.

№

Текст задачи

1

2

3

4

5

1

6

1

7

2

8

1

9

4

10

3

11

3

12

1

Тема 16. Вероятность.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Тема 17. Комбинаторика.

Требования к уровню подготовки учащихся

должны знать:

• числа и вычисления;

• алгебраические выражения;

• уравнения и неравенства;

• числовые последовательности;

• функции;

• координаты на прямой и плоскости;

• геометрические фигуры и их свойства. Измерения геометрических величин;

• статистика и теория вероятностей.

должны уметь:

• выполнять вычисления и преобразования;

• выполнять преобразования алгебраических выражений;

• решать уравнения, неравенства, их системы;

• строить и читать графики функций;

• выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;

• работать со статистической информацией, находить частоту и вероятность случайного события;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели;

владеть компетенциями:

познавательной; информационной; коммуникативной; рефлексивной.

способны решать следующие жизненно-практические задачи:

самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях; аргументировать и отстаивать свою точку зрения, уметь слушать других; извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа объектов; самостоятельно действовать в ситуации неопределенности при решении актуальных для них проблем.

55