План-конспект урока. Теорема Виета (8 класс)

Тема урока: Теорема Виета.

Цели урока:

• «открыть зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения»; учить применять теорему Виета и обратную ей теорему для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях;

• Развивать логическое мышление, умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

1. Орг. момент. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация опорных знаний.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

• Уравнение какого вида называется квадратным?

• Как называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1? (Заслушиваются ответы учащихся).

• Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете? (Учащиеся называют известные им способы решения).

3. Изучение нового материала.

"Франсуа Виет".

Это имя великого французского математика. С этим именем связанна тема этого урока. Франсуа Виет - французский математик, живший в 16 веке. Он родился в 1540 году в небольшом городке на юге Франции. Он обладал огромной трудоспособностью, мог работать по трое суток без отдыха. Он был одним из первых, кто ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Многие его результаты и открытия достойны восхищения. Свою знаменитую теорему, которую мы рассмотрим сегодня, он доказал в 1591 году. Это теорема выражает интересную закономерность, существующую между суммой корней квадратного уравнения и его коэффициентами, между произведением корней квадратного уравнения и его коэффициентами.

Х²+6х-7=0

Чтобы увидеть эту закономерность, обратимся к уравнению,которое решено на доске учеником. Чему равна сумма корней.

Х₁+х₂= -7+1= -6

Давайте, сравним это число с коэффициентами уравнения! Вы видите, что оно равно второму коэффициенту уравнения 1,взятому с противоположным знаком.

Посмотрим, чему равно произведение корней?

Х₁*х₂= -7*1= -7

С каким коэффициентом уравнения его удобно сравнить?

Какой вывод можно сделать?

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Формулировка теоремы повторяется учениками.

Теперь рассмотрим теорему Виета для не приведенного квадратного уравнения.

ах²+bx+c=0.

Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение: х²+bx/a+c/a=0, которое имеет те же корни. Отсюда, х₁+х₂=-b/a; x₁*x₂=c/a.

Теорема Виета помогает найти корни квадратного уравнения устно, не прибегая к формуле корней.

Например, подберите корни уравнения х²-8х+15=0 (5;3). Решение квадратного уравнения путем подбора его корней основано на теореме, обратной теореме Виета.

Теорема: Если числа m и n таковы, что m+n=-p, a m*n=g, то эти числа являются корнями уравнения х²+рх+g=0.

Выразим через m и n: p=-(m+n) и g=m*n. Значит, уравнение можно записать в таком виде:

х²-(m+n)x+m*n=0.

4.Закрепление темы.

Теперь посмотрим, для чего нужна эта теорема, так ли она важна.

Упражнение 1. Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

Х²-37х+27=0

2х²-9х-10=0

5х²-12х+7=0

К доске вызываются ученики для решения этого упражнения. Чем можно воспользоваться для нахождения суммы и разности корней?

Упражнение 2. Найдем подбором корни уравнения.

Х²-9х+20=0

х²+11х-12=0

Упражнение 3. Составим уравнение, корнями которого являются числа -2 и 5.

Самостоятельно составить уравнение, корнями которого являются числа 3 и 7.

Теперь скажите, можно ли решить эти задания, не зная теоремы Виета? Нужна ли эта теорема?

Решить устно № 661, 662, письменно №667.

5.Самостоятельная работа.

Решить в парах №678.

6. Подведение итогов урока.

Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

7. Домашнее задание.

Выучить п.19, решить № 679, 666, 668.