Урок по теме Решение тригонометрических уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

г. Изобильного Ставропольского края

Открытый урок в 10 классе по теме

«Решение простейших тригонометрических уравнений»

Учитель Щербакова Н.М.

Урок в 10 классе по теме:

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тип: урок обобщения и систематизации знаний.

Вид: урок-практикум.

Задачи:

• обобщить и систематизировать умения и навык учащихся решения тригонометрических уравнений;

• продолжить формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений и; применять разнообразные тригонометрические формулы;

• продолжить формировать умения и навыки обоснованных ответов; анализа и самоконтроля;

• выявить степень усвоения основных знаний, умений и навыков изученных ранее.

Оформление класса:

1. «Мир математики - ни что иное, как отражение в нашем сознании реального мира» ( Гиппократ).

2. Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра. Сенека.

3. Геометрия приближает разум к истине. Платон.

4. Не будем спорить - будем вычислять. Г.Лейбниц.

5. О мир! Пойми! Певцом - во сне - открыты Закон звезды и формула цветка. Марина Цветаева.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Эпиграф урока: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель:

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в «Рабочую карту урока».

Она есть у каждого у вас. Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. Одну из оценок вы поставите себе сами, другую поставит вам сосед по парте, а одну - учитель, если сочтет необходимым.
В конце урока подведет итог своей работы и выставит себе средний балл на уроке, то есть за усвоение темы "Решение простейших тригонометрических уравнений".

II. Диктант

- Следующий этап нашего урока - диктант. Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете писать одно из слов: "да" или "нет".

1. Является ли убывающей функция y = sin x?
2. Является ли нечетной функция y = tg x?
3. Верно ли, что Cos²x + Sin²x = - 1?
4. Верно ли, что arccos (- ) = - ?
5. Абсцисса точки, лежащей на единичной окружности, называется косинусом?
6. Верно ли, что косинус 3 больше нуля?
7. Верно ли, что область значения функции котангенса есть отрезок [- 1; 1]?
8. Синус 90° равен ?
9. Отношение косинуса к синусу - это тангенс?

Ребята проверяют диктант вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока).

Фронтальный опрос учащихся по определениям. (Дать определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).

III. Проверочная работа на знание частных случаев решения тригонометрических уравнений и определений.

В а р и а н т 1.

В а р и а н т 2.

1. Каково будет решение уравнения при ?

2. При каком значении а уравнение имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ?

5. В каком промежутке находится ?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения ?

8. Каким будет решение уравнения ?

9. Каким будет решение уравнения ?

10. Чему равняется ?

11. В каком промежутке находится ?

12. Какой формулой выражается решение уравнения ?

1. Каково будет решение уравнения при ?

2. При каком значении а уравнение имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ?

5. В каком промежутке находится ?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения ?

8. Каким будет решение уравнения ?

9. Каким будет решение уравнения ?

10. Чему равняется ?

11. В каком промежутке находится ?

12. Какой формулой выражается решение уравнения ?

Проверка в парах по готовым ответам. Выставление оценок в «Рабочую карту урока»

Учитель :

Мы мало озвучиваем на уроках историю возникновения тех или иных терминов, разделов математики, которые изучаем. Поэтому давайте послушаем, откуда и почему возникла тригонометрия.

Из истории тригонометрии

Тригонометрические функции в природе.

Тригонометрические функции служат прежде всего для описания разнообразных периодических процессов, с которыми человек сталкивается повсюду. Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года. Биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы, заполненность городского транспорта, эпидемии гриппа, - в этих многообразных процессах можно найти общее: они периодичны, а, значит, их математические модели описываются тригонометрическими функциями. Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг себя и предметов которые нас окружают многочисленные синусоиды всевозможных видов. Ведь все эти явления: звук, электрический ток, радио и связанные представляют собой колебания различной частоты и амплитуды.

- Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Леонард Эйлер - швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являющийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал известные вам формулы приведения, выделил классы четных и нечетных функций.

Вопрос к ученикам:

1.Что общего у цветка и тригонометрических функций?

2. Что общего у цветка и тригонометрических уравненений?

IV. Решение тригонометрических уравнений

Учитель:

А. Эйнштейн говорил так: "Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно".

Как вы думаете, когда люди впервые столкнулись с тригонометрическими уравнениями?

Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x < П/2 и |a| < 1.

Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда - с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

Вот мы и займемся мы уравнениями.

Устная работа.

Учитель: «Исправьте ошибки на доске и подумайте об их причинах».

Уравнение

Ответ с ошибкой

Правильный ответ

Нет корней

ФИЗМИНУТКА.

Повторение теории.

повторение формул (на закрытой доске).

1. Sin x = а, |a|≤1

х = (-1)^к arcsin а + πк= arcsin а + 2πк

π-arcsin а + 2πк, к Є Z

2. Cos x = а, |a|≤1

х = +/- arccos a + 2 π n; n Є Z

3. tg x = a

х = arctg a + πn, n Є Z

4. ctg x = a

tg х = х = arcсtg a + πn = arctg + πn, n Є Z.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель: Рассмотрим и повторим решение простейших тригонометрических уравнений. Ученики работают с опорным конспектом на слайде.

Два ученика работают у доски по карточкам.

«П О Т Р Е Н И Р У Й С Я»

Дифференцированная самостоятельная работа

Слабым учащимся

Sin x =1∕2

Cos x = √3∕2

Sin x = √3∕2

Cos x = 1∕2

Sin x = -√2∕2

Cos x = 0

Sin x = 0

tg x = √3∕3

Sin x = 1

tg x = -1

Cos x = -1∕2

tg x = 0

Cos x = -√2∕2

сtg x = 0

сtg x = -√3

Проверка решения заданий:

Sin x = 1∕2 х = (-1)^кπ ∕6+πк, к Є Z

Cos x = √3∕2 х = +/- π∕6+ 2 π n; n Є Z

Sin x = √3∕2 х = (-1)^кπ∕3+πк, к Є Z

Cos x = 1∕2 х = +/- π∕3+ 2 π n; n Є Z

Sin x= -√2∕2 х = (-1)^п+1π∕4+πn, n Є Z

Cos x = 0 х = 2 π n; n Є Z

Sin x = 0 х = πn, n Є Z

tg x = √3∕3 х = π∕6 + πn, n Є Z

Sin x = 1 х = π∕2+2πn, n Є Z

tg x = -1 х = -π∕4+ π n; n Є Z

Cos x = -1∕2 х = +/- 2π∕3+ 2 π n; n Є Z

tg x = 0 х = π n; n Є Z

Cos x = -√2∕2 х = +/- 3π∕4+ 2 π n; n Є Z

сtg x = 0 х не существует

сtg x = -√3 х = 5π∕6+ π n; n Є Z

Сильным учащимся:

Вариант 1 Вариант 2

cos (4x-1)=0 cos(2x-)=/2

cos(П/3-3x)=1/2 sin (4x+3П/2)=0

-2cos x=0 cos(-x)= -1

-ctg =3 tg =1

Учитель:

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления - могучий источник желания знать; от удивления к знаниям - один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении задач, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

«Рабочие карты» сдаются на проверку, учитель выставляет оценку за самостоятельную работу, выводит среднюю оценку. Оценки за активную работу на уроке выставляются в дневники. Домашнее задание на доске: № 18.11, 18.13

«Мы знаем: время растяжимо
Оно зависит от того,
Какого рода содержимым
Вы наполняете его»