Конспект урока: Алгебраическая форма комплексного числа

Конспект урока разработан преподавателем ГБОУ СПО КИТ Савостьяновой Инессой Михайловной.

Тема: Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели: 1) Образовательная: познакомить студентов с еще одним множеством чисел - комплексные числа; дать представление о мнимой единице и ее степенях, алгебраической форме комплексного числа; научить выполнять различные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

2) Развивающая: развивать у студентов логическое мышление, умение обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнение, приводить примеры и делать необходимые выводы.

3) Воспитательная: воспитывать интерес к изучению математики, математическую культуру и речь; способствовать воспитанию высокой творческой активности.

План проведения урока:

1. Орг. момент. Постановка целей урока (3 мин)

2. Актуализация знаний (4 мин)

3. Объяснение нового материала (40 мин)

4. Первичное закрепление знаний (30 мин)

5. Постановка д/з (3 мин)

6. Рефлексия (10 мин)

Ход урока.

1. Орг. момент. Постановка целей урока.

2. Актуализация знаний.

В школьном курсе математики, встречаясь с квадратными уравнениями, дискриминант которых меньше нуля, мы утверждали, что уравнение не имеет решения. Простейшее такое уравнение имеет вид .

К необходимости рассматривать задачи, сводящиеся к извлечению корней из отрицательных чисел привел ряд задач математики, физики и других наук. Для решения таких задач действительных чисел оказалось недостаточно и пришлось расширить действительные числа до поля комплексных чисел.

3. Объяснение нового материала.

О.1. Комплексным числом называется число вида ,где - действительные числа, - символ называемый мнимой единицей.

О.2. Мнимая единица - это такое число, квадрат которого равен .

.

Степени мнимой единицы.

Вывод: значение степеней числа повторяются с периодом, равным 4.

Множество комплексных чисел обозначается буквой .

- алгебраическая форма комплексного числа, где - действительная часть, - мнимая часть, - коэффициент мнимой части.

Замечание. Знак "+" в алгебраической форме комплексного числа следует понимать не как знак операции сложения, а как некоторый формальный соединительный символ.

О.3. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты их мнимых частей, т.е. если

.

Примеры комплексных чисел в алгебраической форме:

.

Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение (вычитание).

Пусть . Тогда

. Найти .

Решение.

.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность

2. Ассоциативность

.

Умножение производится по обычному правилу умножения многочленов.

Пусть . Тогда

. Найти .

Умножение комплексных чисел обладает свойствами:

1. Коммутативность

2. Ассоциативность

3. Дистрибутивность

3. Умножение на сопряженное число

О.4. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга, только знаками перед мнимой частью.

Числа называются сопряженными.

Например, числа - сопряженные;

числа - сопряженные.

Произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному положительному числу, т.е.

4. Деление.

Пусть . Тогда

. Найти .

Решение.

Модуль комплексного числа. Его свойства.

О.5. Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число, равное

Например, для числа найти его модуль.

Свойства модуля комплексного числа:

4. Первичное закрепление знаний.

Даны числа: и . Назовите для них сопряженные и выполните сложение, вычитание, умножение и деление. В получившихся числа назвать действительную и мнумую части. Посчитать модули этих чисел.

5. Постановка домашнего задания.

Выучить тему «Комплексные числа»; для чисел и выполнить сложение, вычитание, умножение, деление. Найти модуль этих чисел.

6. Рефлексия.

- Какие числа называются комплексными?

- Что такое мнимая единица?

- С каким периодом повторяются степени мнимой единицы?

- Какой буквой обозначается множество комплексных чисел?

- Как выполняется сложение комплексных чисел?

- По какому правилу производится умножение комплексных чисел?

- Какие комплексные числа называются сопряженными?

- Как выполнить деление комплексных чисел?

- Что такое модуль комплексного числа?