Основные понятия комбинаторики. Соединения.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Кто и зачем занимается выбором объектов и расположением их в том или ином порядке:

• Конструктор - при разработке новой модели механизма,

• Ученый-агроном - при планировании распределения посевов на нескольких полях

• химик - при изучении строения органических молекул

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

(в связи с необходимостью продумывать возможные комбинации)

Факториал

Факториал числа - это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число)

Обозначается факториал восклицательным знаком «!».

Примеры:

3! = 1 • 2 • 3 = 6

6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720

Факториал определён только для натуральных чисел и нуля.

Факториал нуля и единицы это 1.

• 0! = 1

• 1! = 1

Вычислите:

4! = 1∙2∙3∙4 = 24

5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 4!∙5 = 24∙5 = 120

Комбинаторные задачи

Пример. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били другруга?

Пусть даны несколько элементов (предметов, цифр, букв, людей и т.д.). Мы можем переставлять их различными способами:

Порядок неважен

Порядок важен

1

2

2

1

1

2

Комбинаторные конструкции

I Перестановки - порядок важен!!!!!

Перестановки из n элементов - это расположение их в определенном порядке. Различные перестановки соответствуют различным расположениям в том или ином порядке этих n элементов. Количество перестановок из n элементов обозначают P_n

Пример: Найдем количество всех возможных перестановок из трех элементов:

Pn = n!

Р₃ =3! = 1∙2∙3 =6

II Размещения

Пусть даны три элемента

Рассмотрим все возможные пары, состоящие из них, отличающиеся и элементами и порядком следования.

Каждая такая пара называется УПОРЯДОЧЕННАЯ ПАРА

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, составленный из данных n элементов.

Пример: Сколькими способами можно распределить два билета на разные кинофильмы между семью друзьями?

Решение:

Ответ: 42

III Сочетания

Порядок не важен

Даны три элемента:

Составим из этих элементов сочетания по два:

Пример. Выбрать из трех человек двух дежурных: Иванов, Петров, Сидоров (в один кабинет)

Иванов, Петров Петров, Сидоров Иванов, Сидоров

Число сочетаний из n элементов по k обозначают

Задачи

№ 1

Вычислить:

А) 6! Б) в)

Решение:

А) 6! =

Б)

В) …

№ 1.1.

А) Вычислить

Решение =

Б) Вычислить …

№ 2

Вычислить:

А) б) в)

Решение

А) =

Б) = …

В) …

№ 3

Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек для участия в конференции?

…

№ 4

Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев?

№ 5

Сколько семизначных чисел можно образовать с помощью семи различных цифр, отличных от нуля?