- Преподавателю
- Математика
- Квадратная функция
Квадратная функция
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Жакаева Э.Т. |
| Дата | 25.04.2014 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
ГУ «Средняя школа №13 города Рудного»
Опорные конспекты
для подготовки к экзаменам
по алгебре.
Квадратная функция
Работу выполнил: Мальцев А.,
ученик 9 «а» класса
Учитель: Колесниченко А.М.
г. Рудный, 2014 год
Квадратное уравнение
a
+bx+c=0 , a≠0
D
=
-4ac
D>0D=0 D<0
=
x=-
не имеет решения
Приведённое квадратное уравнение
+px+q=0
Теорема Виета
(
, 
- корни уравнения 
+px+q=0)
Квадратный трёхчлен
a+bx+c,a≠0
Разложение квадратного трёхчлена на множители
a+bx+c=a(x-
)(x-
)
(
,
-корни квадратного трёхчлена)
Виды квадратного уравнения
Значение дискриминанта
Корни квадратного уравнения
Неполные квадратные уравнения
a=0
(b=c=0)
-
=0
=0
a+bx=0
(c=0)
-
=0
=-
a+c=0
(b=0)
=±
При -
<0
Полные квадратные уравнения
Общий случай
a+bx+c=0
D=-4ac
D>0
=-
D=0
x=-
D<0
Уравнение не имеет решения
b=2n,b-чётное
a+bx+c=0
D=
-ac
D>0
=
D=0
x=-
D<0
Уравнение не имеет решения
Приведённое квадратное уравнение ,a=1
+px+q=0,где p=2k
D=
-q,p-чётное
D>0
=-k
D=0
x=-k
D<0
Уравнение не имеет решения
Особые случаи решения квадратного уравнения
a+bx+c=0 , a≠0, D>0
a)a+b+c=0 , =1,=
б)a+(-b)+c=0 , =-1 ,=-
в)Если c=1,то уравнение +bx+a=0 имеет корни 
и 
Пример. Решить уравнение
8-6x+1=0, заменить уравнением
-6x+8=0 по Теореме Виета =2,=4
Тогда корни данного уравнения 
и 
,
Вывод: Корни двух данных уравнений взаимно обратные числа.
a
D
a>0
a<0
D>0
D=0
=-
=-
D<0
Корней нет
Корней нет
Рассмотрим решение квадратных неравенств методом параболы, т.е решаем неравенство, используя график квадратичной функции.
Для решения квадратных неравенств необходимо знать, как изменяется знак квадратного трёхчленаa+bx+c, представляющего левую часть неравенства (правая часть равна нулю).
То есть для решения квадратных неравенств используем геометрические иллюстрации.
Проследим за тем, как изменяется знак трёхчлена a+bx+c, когда аргумент x принимаетлюбое действительное значение.
Для наглядности и простоты воспользуемся графиками квадратичных функций в зависимости от знаков его первого коэффициента и дискриминанта соответствующего трёхчлена:D=-4ac.
СлучайI. 1)a>0 и D>0.
Трёхчлен имеет два действительных и различных корня и
График квадратичной функции, т.е параболаy=a+bx+cпересекает ось абсцисс в точках и , а ветви параболы направлены вверх. Для определённости полагаем, что <.
По графику устанавливаем, что a+bx+c>0 при x< (рис.25.1) и a+bx+c<0 при <x<(рис.25.2).
2)a<0 и D>0.
Здесь так же, как и в первом пункте, квадратный трёхчлен имеет два различных корня, но ветви параболы направленны вниз. По графику видно, что a+bx+c<0 при x<и x> (рис.26.1) и a+bx+c>0 при <x<(рис.26.2).
Итак, если квадратный трёхчлен имеет два действительных и различных корня и (>),то при всех значениях х вне промежутка (;) знак трёхчлена совпадает со знаком первого коэффициента а; при любом х из промежутка (;) знак трёхчлена противоположен знаку коэффициента а.
Случай II. 1)a>0, D=0
Корни трёхчлена одинаковы:==
. Парабола y=a+bx+cкасается своей вершиной оси абсцисс в точке x=-и расположена выше оси Оx. Следовательно, a+bx+c>0 при любом значении x, кроме x=- (рис.27).А неравенство , a+bx+c<0 не имеет решения.
2)a<0 и D=0
Парабола y=a+bx+cкасается своей вершиной оси абсцмсс в точке x=-и расположена ниже оси Ox. Таким образом,a+bx+c<0 при любом значении x, кроме x=- (рис.28).
А неравенство a+bx+c>0 не имеет решения.
Итак, если корни трёхчлена действительны и равны между собой (==), то при любом x≠- знак трёхчлена совпадает со знаком первого коэффициента a.
СлучайIII. 1)a>0 и D<0.
Трёхчлен не имеет действительных корней и парабола y=a+bx+cне пересекает ось абсцисс, она расположена выше оси Ox(рис.29),т.е. a+bx+c>0 при любом значении x. Неравенство a+bx+c>0 не имеет решений.
2)a<0 и D<0
Трёхчлен не имеет действительных корней и парабола целиком расположена под осью абсцисс,т.е все её ординатыотрицательны (рис.30).
a
+bx+c<0 при любом значении x. Неравенство a+bx+c>0
не имеет решений.
D
=-4ac
Неравенства
D>0
D=0
D<0
a+bx+c>0
a>0
(-∞;
)
(
;∞)
(-∞;
)(;∞)
=-
(-∞;∞)
x- любое
a+bx+c>0
a<0
(;)
Нет решения
Нет решения
a+bx+c<0
a>0
(;)
Нет решения
Нет решения
a+bx+c>0
a<0
(-∞;)(;∞)
(-∞;∞)кроме
x=
(-∞;∞)
x- любое