Конспект урока алгебры в 8 классе по теме Теорема Виета

Тема урока. Теорема Виета

Цели урока:

обучающая: установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; формировать умения применять теорему Виета (обратную теорему) для решения квадратных уравнений и составления квадратных уравнений по заданным корням;

развивающая: развивать исследовательские навыки, умения выдвигать гипотезы, обобщать изучаемые факты, формулировать выводы;

воспитательная: воспитывать целеустремленность, стремление к успеху; формировать навыки сотрудничества.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, экран

Ход урока

І. Организационный момент

ІІ. Актуализация опорных знаний и умений

1. Выполнение устных упражнений.

1. Назовите коэффициенты квадратных уравнений:

а) х² + 4х - 1 = 0;

б) х² - 3 = 0;

в) 2х² - 5х = 0;

г) 3 - 2у² - у = 0;

д) 3т² = 0;

2. Решите уравнения:

а) х² - 25 = 0;

б) п² - 5п = 0;

в) т² + 9 = 0;

г) у² - 19 = 0;

д) 5х² = 0,2.

2. Выполнение самостоятельной работы с последующей самопроверкой.

Вариант 1

Решить уравнения:

а) х² - 4х + 21 = 0;

б) х² - х - 72 = 0;

в) 2х² - х - 6 = 0;

г) -4х² + 3х + 1 = 0.

Вариант 2

Решить уравнения:

а) х² - 6х - 7 = 0;

б) х² + х - 56 = 0;

в) 3х² - 4х - 20 = 0;

г) -6х² - 7х - 1 = 0.

3. Выполнение опережающего задания-исследования.

1. Найдите суммы и произведения корней для каждого из уравнений.

2. Сравните полученные ответы с коэффициентами соответствующих уравнений.

3. Выполните преобразование двух последних уравнений в приведенные и сравните коэффициенты приведеннях уравнений с суммой и произведением корней.

4. Выскажите предположение о том, как связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения.

ІІІ. Формулировка темы, целей и задач урока

Выслушать предложения учащихся, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

IV. Формирование знаний

1. Формулировка и доказательство теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.

(Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)

Гипотеза (скорректированная):

Если x₁ и x₂ - корни уравнения x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = -р, x₁· x₂ = q.

Для проверки правильности гипотезы предлагается одному из учащихся найти корни уравнения x² + px + q = 0 по формуле корней с помощью дискриминанта, затем вычислить сумму и произведение корней.

Вывод: мы сформулировали и доказали теорему Виета.

Учитель сообщает, что теорема о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения носит имя великого французского математика, дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности Ф. Виета, вкладе ученого в развитие алгебры.

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к. любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому)

2. Формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Один из возможных вариантов ответов:

Условие: х₁ + х₂ = - р, х₁· х₂ = q.

Заключение: х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Формулируется обратная теорема.

Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂- корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

- Доказательство теоремы рассмотрите самостоятельно в учебнике (с . 135), составьте план доказательства.

3. Разбор примеров по учебнику

( Примеры 1-3, с. 136.)

V. Формирование умений

1. Выполнение устных упражнений

1. Составьте квадратное уравнение, в котором сумма р и произведение q его корней равняются:

а) р =-5, q=4;

б) р =15, q=- 6;

в) р =-5, q=0;

г) р =0, q=-2.

2. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х² + 6х - 32 =0;

б) х² - 10х + 4 = 0;

в) 2х² - 6х + 3 = 0;

г) 10х² + 42х + 25 =0.

2. Выполнение письменных упражнений из учебника

№№ 581, 583, 585, 586 ( на доске и в тетрадях).

(Содержание заданий:

- найти корни квадратного уравнения при помощи дискриминанта и выполнить проверку, пользуясь теоремой Виета;

- найти корни квадратного уравнения подбором, используя теорему, обратную теореме Виета;

- найти неизвестный корень и неизвестный коэффициент квадратного уравнения по известным коэффициентам и второму корню).

3. Работа в парах

Определите знаки его корней уравнения, не решая его:

а) х² + 6х - 42 =0;

б) х² - 12х + 14 = 0;

в) х² - 7х - 30 = 0;

г) х² + 16х + 10 =0.

1. сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней;

2. распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г) и выполните их;

3. проверьте друг у друга правильность ответов, исправьте допущенные ошибки.

4. «Мозговой штурм»

х₁, х₂ - корни уравнения х² + 5х + т =0. При каком значении т сумма квадратов корней равна 35?

VI. Домашнее задание

Выучить формулировку и схему доказательства теоремы Виета и обратной теоремы.

Выполнить задания №№ 582, 584, 587 из учебника.

Творческое задание (необязательное): подготовить сообщение или электронную презентацию об ученых, имена которых связаны с теорией уравнений.

VII. Рефлексия

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Составьте синквейн к понятию «теорема Виета».