Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Практическая работа № 1. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

Покажем операцию умножения матриц на примере

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

5. Возведение в степень

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

Свойства операций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λA)'=λ(A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

6. Единичная матрица: m=n и

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A

Например,

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса

10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)

Пример.

Методические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса Ясно, A'=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãiiji - комплексно - сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)

ПримерМетодические рекомендации по математике на тему Матрицы. Действия с матрицами для 2 курса



© 2010-2022