Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников образовательных учреждений среднего профессионального образования по специальности «Судовождение»

Министерство образования и науки Республики Татарстан

ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж»

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов - заочников образовательных учреждений

среднего профессионального образования

по специальности «Судовождение»

Чистополь

2013

Содержание

1. Пояснительная записка

   1. Методические указания к выполнению контрольной работы

   2. Требования к выполнению контрольной работы

2. Тематический план учебной дисциплины

3. Перечень рекомендуемой литературы

4. Рабочая программа учебной дисциплины, методическими указаниями по каждой теме программы и вопросы для самоконтроля

5. Задания для контрольной работы

1. Пояснительная записка

В соответствии с Федеральным государственным образовательным

стандартом в образовательных учреждениях среднего профессионального образования базисным учебным планом предусмотрено изучение дисциплины ЕН.01 «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению самостоятельной внеаудиторной и контрольной работы по дисциплине ЕН.01 «Элементы высшей математики» предназначены для студентов 1 курса специальности 180403 Судовождение на базе среднего образования.

Внеаудиторная самостоятельная и контрольная работа проводятся с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;

- развития познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности;

- формирование самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, совершенствованию и самоорганизации;

- формирования общих и профессиональных компетенций - развитию исследовательских умений.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По дисциплине «Элементы высшей математики» используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

- работа с учебной и справочной литературой;

- работа с конспектами лекций;

- выполнение индивидуального задания по решению задач.

Перед выполнением студентами внеаудиторной самостоятельной работы преподаватель проводит инструктаж по выполнению задания, который включает цель задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются зачеты, тестирование, доклады, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- уровень умения активно использовать электронные образовательные ресурсы, находить требующуюся информацию, изучать ее и применять на практике;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями;

- уровень умения четко сформулировать проблему, предложив ее решение, критически оценить решение и его последствия;

- уровень умения сформулировать собственную позицию, оценку и аргументировать ее.

В результате изучения учебной дисциплины студент должен:

знать:

основные понятия и методы математического анализа, основы теории вероятностей и математической статистики, основы теории дифференциальных уравнений;

уметь:

решать простые дифференциальные уравнения, применять основные численные методы для решения прикладных задач;

На изучение дисциплины «Элементы высшей математики» учебным планом отводится 60 часов, при этом для заочной формы обучения большая часть содержания отводится на самостоятельное изучение в количестве 51 часа, на аудиторные занятия - 9 часов.

При работе над изучением курса ЕН.01 «Элементы высшей математики» рекомендуется в следующем порядке:

1. самостоятельно изучить по рекомендуемой литературе теоретические вопросы курса в соответствии с методическими указаниями;

2. ответить на вопросы самоконтроля;

3. выполнить контрольную работу.

Согласно учебному плану студенты заочной формы обучения должны

выполнить одну комплексную контрольную работу по дисциплине ЕН.01 «Элементы высшей математики».

1.1. Методические указания к выполнению контрольной работы

Данное пособие ставит своей целью оказание помощи студентам в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.

Эта работа требует не только большого упорства, но и умения, без которого затрата сил и времени не дает должного эффекта. Читать, понимать прочитанное и применять его практически - вот в чем суть умения работать с учебными пособиями.

Некоторые практические советы. Прежде всего, необходимо ознакомиться с содержанием программы. Затем следует выбрать в учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса, так как замена учебника может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами.

Конспекты по математике главным образом должны содержать определения, чертежи и выводы основных формул. Записи должны быть аккуратными. Они делаются для того, чтобы впоследствии ими пользоваться.

Учитесь самоконтролю. Для заочника это важнейшая форма проверки правильности понимания и усвоения материала.

Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается - понимание никогда; повторение - важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо выработать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену дает слабые и поверхностные знания.

О решении задач.

Решение задач является лучшим способом закрепления материала. Конечно, общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, рекомендуется придерживаться следующих советов:

1. Величины, данные в условии задачи, необходимо перевести в одну систему единиц; нарушение этого правила является распространенным источником ошибок у студентов.

2. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.

3. Не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения.

4. Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен.

5. Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестные, и т.п.

6. Попробуйте разбить данную задачу на серию простых задач, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.

7. Найдя план решения, выполните его, убедитесь в необходимости и правильности каждого шага, произведите попытку решения и, если нужно, его исследование.

8. Подумайте, нельзя ли было решить задачу иначе; известно, что одна и та же задача может иметь несколько решений, поэтому следует выделить наиболее рациональное.

9. Если решить задачу не удается, отыщите в учебной литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно это «готовое» решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи.

Контрольные работы следует выполнять самостоятельно и лишь после того, как проработан соответствующий теоретический материал и решен необходимый минимум задач. Так как к каждой теме соответствует задача или упражнение, то контрольную работу следует выполнять постепенно по мере изучения материала.

При решении задач следует обосновывать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формулы, которые не входят в программу. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

1.2. Требования к выполнению и оформлению контрольной работы

1.Каждая работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2.На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца или аккуратно записаны все данные титульного листа: шифр, специальность, если она не отражена в шифре, фамилия, имя, отчество студента, предмет и номер работы.

3.Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

4.Каждую задачу надо начинать с новой страницы.

5.Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании, номера задач следует указывать перед условием.

6. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь; геометрическим задачам, кроме того, дается установленная краткая запись условия.

7. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения:

• студенты должны соблюдать абзацы, всякую новую мысль следует начинать с красной строки;

• важные формулы, равенства, определения нужно выделять в отдельные строки, чтобы сделать их более обозримыми;

• при описании решения задачи краткая запись условия отделяется от решения и в конце решения ставится ответ;

• серьезное внимание следует уделять правильному написанию сокращенных единиц, величин;

• необходимо правильно употреблять математические символы.

8. Решение задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

9. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов, соблюдая масштаб.

10. В конце работы следует указать литературу, которой вы пользовались, проставить дату выполнения работы и подпись.

11.Если в работе допущены недочеты и ошибки, то студент должен вы

полнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

12.Контрольные работы должны быть выполнены в срок (в соответствии с учебным планом-графиком).

13.Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без оценки.

14.Студенты, не имеющие зачета по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

15.Во время экзамена зачетные контрольные работы представляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

2. Тематический план учебной дисциплины

№

темы

Наименование тем и разделов программы

Всего часов по программе

Распределение учебного времени на занятия

Обзорные

лекции

Практические

занятия

Самостоятельная работа

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа

1.1

1.2

Функции.

Пределы и непрерывность

12

1

1

10

Раздел 2. Дифференциальные и интегральные исчисления

2.1

2.2

2.3

Производная функции

Приложения производной

Интегральные исчисления

19

1

1

5

4

8

Раздел 3. Основы теории дифференциальных уравнений

3.1

Дифференциальные уравнения.

10

1

1

8

Раздел 4. Основы теории вероятности и математическая статистика

4.1

4.2

Теория вероятности

Элементы математической статистики

19

1

2

16

Всего

60

4

5

51

3. Перечень рекомендуемой литературы

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред.проф. образования/ 5-е изд. стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2008.

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. - М.: Издательский центр «Академия», 2010.

4. Рабочая программа учебной дисциплины с перечнем рекомендуемой литературы, методическими указаниями по каждой теме программы и вопросы для самоконтроля

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа.

1.1. Функции.

Цели:

студенты должны знать: понятия функции, области определения и значений, четности и периода функции;

уметь:определять область определения и значений, четности и периода функции; строить графики функций.

Методические указания

Сначала изучите темы в данных учебниках. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Если задано числовое множество Х и каждому числу х€Х сопоставлено по правилу fчисло у, то это сопоставление называется функцией одной переменной х с областью определения Х. Множество всех значенийу, которое обозначим У, называется областью значений этой функции.

Обычно произвольные функции обозначают буквой f, точнее у= f(х), чтобы подчеркнуть, что значение у€Уопределяется значением х€Х. При этом переменная величина х называется аргументом, а область определения обозначаютD(f).

Чаще всего функции задаются какой-нибудь формулой, при этом предполагается, что область определения функции - множество чисел, для которых написанная формула имеет смысл. Например, для функции область определения , а для функции у=1/х область определения

Графиком функции у= f(х)с область определенияD(f)называется множество точек плоскости ХОУ с координатами (х;f(х)), где х€D(f).

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого х€D(f)выполняется равенство f(-x)=f(x).График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого х€D(f)выполняется равенство f(-x)=-f(x).График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функции у= f(х)называется функцией общего вида, если она не является ни четной, ни нечетной.

Функция у= f(х)называется периодической, если существует число Т> 0 такое, что если х€D(f), то и выполняется равенство В этом случае само число Т называется периодом.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

6. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

7. Каковы основные способы задания функции?

8. Какая функция называется периодической?

9. Какая функция называется сложной?

10. Какие функции называются элементарными?

11. Как, зная график функции , можно построить графики функций ?

12. Найдите область определения функции, выясните, является ли она четной, нечетной или общего вида, нарисуйте ее график:

1) у=х; 2) у=-х; 3) у=х+2; 4) ; 5); 6); 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

13. Найдите область определения функции, выясните, является ли она четной, нечетной или общего вида, определите наименьший период и нарисуйте ее график:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7)

1.2. Пределы и непрерывность

Число A называется пределом функции в точке a (), если такое, что , условию , выполняется неравенство .

Обозначение: , или .

Если существует предел вида , который обозначается также , или , то он называется пределом слева функции в точке a.

Аналогично, если существует предел вида , в другой записи

, или , то он называется пределом справа функции в точке a. Пределы слева и справа называются односторонними.

Функция называется бесконечно малой (бесконечно большой), если .

Для сравнения двух бесконечно малых функций и находят предел их отношения.

Если , то бесконечно малые функции и при значении называются эквивалентными (равносильными).

Обозначение: .

Например, .

Если , , то предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией

. (3.1)

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке: .

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1. сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2. деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов );

3. применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функций;

4. использование двух замечательных пределов

. (3.2)

Отметим также, что если , если ;

если ;

если .

Пример 1. Вычислить .

▲ Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при значении . Если корень многочлена, то этот многочлен делится на двучлен без остатка. По теореме Безу в этом случае каждый многочлен (в числителе и знаменателе) может быть представлен в виде произведения на некоторый многочлен. Таким образом, нахождение предела сводится, прежде всего, к выделению в числителе и знаменателе множителя , незримое присутствие которого и создает неопределенность . Практически это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на множители, например, делением «уголком».

Теперь искомый предел можно представить в виде

.

Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим

. ▼

Раскрытие неопределенностей

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела отношения многочленов , нужно

1. определить тип неопределенности,

2. если неопределенность вида , то поделить числитель и знаменатель на двучлен .

▲ При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида используется рассмотренный выше прием, но только после предварительных алгебраических преобразований. Умножим числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

▼

Пример 3. Найти .

▲ В данном примере теорема о пределе частного (дроби) неприменима, так как пределы числителя и знаменателя дроби не существуют. При значении и числитель, и знаменатель дроби функции бесконечно большие. Значит, мы имеем дело с отношением двух бесконечно больших функций.

Чтобы найти предел, преобразуем данную дробь, разделив ее числитель и знаменатель на величину , т.е. на старшую степень x. Пользуясь свойствами пределов, получим

,

так как величина бесконечно малая. Поэтому и величины бесконечно малые и пределы этих величин равны нулю, когда x. После деления числителя и знаменателя оказалось возможным применить теорему о пределе частного, так как теперь и числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные соответственно 2 и 3, и предел знаменателя не равен нулю.

▼

Раскрытие неопределенностей вида

Если предел отношения двух алгебраических функций при значении дает неопределенность вида , то нужно числитель и знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.

Раскрытие неопределенностей вида и 0

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида, необходимо с помощью алгебраических действий (приведение к общему знаменателю, освобождение от иррациональности) свести ее к неопределенности вида или .

Пример 4. Найти .

▲ На основании первой из формул (3.2) получаем

. ▼

Пределы тригонометрических функций

Пределы тригонометрических функций находятся с помощью первого замечательного предела , алгебраических и тригонометрических преобразований.

Пример 5. Найти .

▲

. ▼

Пример 6. Найти .

▲ . Обозначим , тогда и при . ▼

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную, а из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Пример 7. Найти .

▲ ; обозначим , тогда при

▲

Пределы, связанные с числом

Второй замечательный предел принято писать в одном из ниже указанных видов:.

Если во втором замечательном пределе непосредственно подставить предел аргумента, то получится неопределенность вида ; поэтому, если функция дает неопределенность вида , то предел этой функции связан с числом e.

Пример 8. Найти .

▲ . Таким путем из дроби выделяется бесконечно малая функция

. ▼

Пример 9. Найти пределы функции слева и справа в точках , .

Узнать, является ли функция непрерывной в этих точках.

▲ Исследуем точку .

вместо переменной подставляем его предельное

значение в символах; ,.

В точке предел справа не существует, и функция терпит бесконечный разрыв.

Исследуем точку .

Итак, предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке. Следовательно, непрерывна при . ▼

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения: а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.

2. Какая последовательность называется: а) сходящейся; б) расходящейся?

3. Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной последовательности, если:

а) из нее удалить конечное число членов, а оставшиеся заново перенумеровать в порядке их следования?

б) к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены последовательности в порядке их следования?

в) в ней изменить произвольным образом конечное число членов?

4. Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.

5. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

6. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

7. Каковы основные способы задания функции?

8. Какая функция называется периодической?

9. Какая функция называется сложной?

10. Какие функции называются элементарными?

11. Как, зная график функции , можно построить графики функций ?

12. Сформулируйте определение предела функции в точке.

13. Дана функция . Определена ли функция в точке ? Существует ли ?

14. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

15. Существует ли , если ? Существует ли ?

16. При каких условиях из существования односторонних пределов следует существование предела функции.

17. Какая функция называется бесконечно малой, и каковы ее основные свойства?

18. Сформулируйте определение и приведите примеры бесконечно малой функции а) одного порядка с функцией в точке a;

б) эквивалентной функции в точке a;

в) более высокого порядка , чем .

Что означает символическая запись ?

19. Дайте определение бесконечно большой функции и назовите её связь с бесконечно малой?

20. Докажите основные теоремы о пределах функций.

21. Что означает такая краткая запись:?

22. В чем состоит геометрический смысл предела функции?

23. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.

24. Покажите, что бесконечно малые , попарно эквивалентны.

25. Пусть . При каком значении a бесконечно малые величины эквивалентны?

26. Перечислите известные вам эквивалентные бесконечно малой величины.

27. Какие свойства эквивалентных бесконечно малых величин используются при отыскании пределов?

28. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида , где − многочлены.

29. Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида , если нужно найти , − любые алгебраические функции.

30. Как раскрыть неопределенности ?

31. Что устанавливает первый замечательный предел?

32. Какими пределами можно заменить число e?

33. Как и когда применяется замена переменных при отыскании пределов от тригонометрических функций и пределов, связанных с числом e?

34. Усвоили ли вы, как быстро, в уме найти ?

Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисления

2.1. Производная функции

Цели:

студенты должны знать:определения производной функции в точке, дифференциала, точек максимума и минимума функции, формулы производных основных элементарных функций, геометрический и физический смысл производной и дифференциала функции, основные правила дифференцирования функций, основные теоремы дифференциального исчисления; уметь:находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования; дифференцировать сложную функцию; применять производную при исследовании функции на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции, наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.

Методические указания

Изучите данную тему. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи, как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции в точке x и обозначается одним из следующих символов: .

Таким образом, по определению

. (3.4)

Приращением функции называется разность , где приращение аргумента.

Если указанный в формуле (3.4) предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения производной дифференцированием.

Физический смысл производной.

Производная − это скорость изменения функции в точке (иными словами, скорость изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной x в точке ). В частности, если x − время, − координата точки, движущейся по прямой линии, в момент x, то − мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрически величина производной представляет тангенс угла наклона касательной в точке , к графику функции .

Уравнение касательной к графику функции в точке

. (3.5)

Уравнение нормали(перпендикуляра) к кривой в точке :

. (3.6)

Производная обратной функции.

Теорема 1. Если функциястрого монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки, имеет производную в точкеи, то существует обратная функция, которая определена в некоторой окрестности точкии имеет производную в точке, причем. (3.7)

Физическая интерпретация формулы (3.7): производная есть скорость изменения переменной x по отношению к изменению переменной y, а − скорость изменения переменной y по отношению к изменению переменной x. Ясно, что эти величины являются взаимно обратными.

Производная сложной функции.

Теорема 2. Если функцияимеет в точкепроизводную, а функция имеет в точкепроизводную, то сложная функцияимеет производную в точке, причем

. (3.8)

Физическая интерпретация формулы (3.8): производная есть скорость изменения переменной u по отношению к изменению переменной x, а производная − скорость изменения переменной y по отношению к изменению переменной u. Ясно, что скорость изменения переменной y по отношению к переменной x равна произведению скоростей и . (Если u движется быстрее x в k раз, а y − быстрее u в l раз, то y движется быстрее x в kl раз.)

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функции (3.9)

определены на некотором промежутке изменения переменной t, которую назовем параметром. Пусть функция является строго монотонной на этом промежутке. Тогда существует обратная функция , подставляя которую в уравнение получим

.

Таким образом, переменная y является сложной функцией переменной x. Задание функции с помощью уравнений (3.9) называется параметрическим.

Уравнения (3.9) можно интерпретировать как зависимость координат точки, движущейся на плоскости (x; y), от времени t. При такой интерпретации график функции представляет собой траекторию точки.

Если функции имеют производные , то функция также имеет производную, причем. (3.10)

Существование производной определенного знака является достаточным условием строгой монотонности функции и, следовательно, существования функции , заданной параметрически.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде, (3.11)

где A − некоторое число, а α − функция аргумента , бесконечно малая и непрерывная в точке (т.е. ).

Теорема 3. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная.

Отметим, что при этом .

Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции в точке (дифференцируемой в этой точке) называется функция аргумента : .

Если , то дифференциал является главной (линейной относительно ) частью приращения функции в точке .

Дифференциалом независимой переменнойx называется приращение этой переменной: . Таким образом, дифференциал функции в точке имеет вид

, (3.12)

откуда,

т.е. производная функциив точке равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной.

Дифференциал равен приращению линейной функции, графиком которой является касательная MP.

у

N

P

M

O х

Рис. 3

Если x − время, а − координата точки на прямой линии в момент x, то дифференциал равен тому изменению координаты, которое получила бы точка за время , если бы скорость точки на отрезке времени была постоянной и равной .

Таблица формул дифференцирования:

с ^/ = 0, где с - const

x ^/ = 1

( u ± v ) ^/ = u^/ ± y ^/

( uv )^/ = uv^/ + vu ^/

( cu )^/ = cu ^/

u ^/ = vu ^/- uv ^/

v v ²

( log _au) ^/ =_u^' , где u > 0

u ln a

( sin u) ^/ = cos u ∙ u ^/

( u ⁿ) = nu ^n-1 u ^/

( √u) ^/ = u ^/

2√u

(a^u) ^/ = a^uln a ∙u ^/

( e^u) ^/ = e^ulneu^/ = e^u u ^/

( ln u) ^/ = u ^/, где u > 0

u

(arcsin u) ^/ = _u^/

√ 1 - u ²

(cos u) ^/ = ─ sin u ∙ u ^/

( tg u) ^/ = u_^/ = sec² u ∙ u ^/

cos² u

(сtg u) ^/ = ─ u_^/ = ─ cosec²и

sin²x

19. ( arcos u) ^/ = ─ u^/

√ 1 - u²

20. ( arctg u) ^/ = _u^/

1 + u²

21. ( arcctg u) ^/ = ─ __u_^/

1 + u²

Здесь и иv - дифференцируемые функции от х, а с- постоянная величина.

Пример 10. Найти производную функции .

▲. ▼

Порядок дифференцирования обратный порядку вычисления значения функции в точке. Вычисление значения функции начинается справа налево, а дифференцирование наоборот - слева направо.

Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы последней - это самое главное!

2. Приложения производной

Использование дифференциала для приближенных вычислений.

Так как при малых значениях , т.е. , то

. (3.13)

Эта формула позволяет находить приближенные значения при малых значениях , если известны и . При этом погрешность при замене правой частью формулы (3.13) тем меньше, чем меньше , и, более того, эта погрешность при значении является бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Быстрота протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции y = f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:

v(x) = y^/ = lim ∆y .

^{∆x →0} ∆x

Пример 11. Закон движения точки по прямой задан формулой s = t³ - 3t² +3t + 5. В какие моменты времени t скорость движения точки равна нулю?

Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производной пути s по времени t:

v(t) = s^/ = 3t² - 6t +3; v(t) = 0, 3t² - 6t +3 = 0, t² - 2t + 1 = 0,

(t - 1)² = 0, откуда t = 1.

Пример 12. Точка движется по прямой по закону s = t³ - 5t² +8t +2.(s - в метрах, t - в секундах). Найти ускорение движения точки в конце второй секунды.

Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t:

s ^/ = 3t² - 10t +8.

Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t:

a(t) = s ^// = 6t - 10, a(2) = 6 ∙2 - 10 = 12 - 10 = 2.

Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с².

Дифференцируемая функция у = f(х) возрастает на промежутке [а,b], если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция у = f (x) убывает на промежутке [а;b],если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = х₁ , если для всех значений х, достаточно близких к х₁, выполняется неравенство f (x) < f (x₁); х = х₁ - точка максимума; у_max = f (x₁)- максимум функции.

Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х₂ , если для всех значений х, достаточно близких к х₂, выполняется неравенство f (x) > f (x₂); х = х₂ - точка минимума; у_min= f (x₂) - минимум функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремальными.

Точки, в которых производная функции обращается к нуль, называются критическими точками I рода..

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х = х₀ производная функции у = f(x) меняет знак, то х = х₀ - точка экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х₀ - точка максимума, а у_max = f(x₀). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х₀ - точка минимума, у_min= f(x₀).

Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х₀ первая производная функции у = f (x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х = х₀ - точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна

(f ^{/ /} (x₀) >0), то х = х₀ - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f ^{/ /}(x₀)<0), то х = х₀ - точка максимума.

Пример 13. Исследуйте и постройте график функции: y = x³ - 3x.

Решение:

1.Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. х = К.

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:

Ox: y = 0, y = 0, y = 0, y = 0, Oy: x = 0,

x³ - 3x = 0; x(x² - 3) = 0; x₁ = 0; x_2,3 = ±√3; y = 0.

3. Находим экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную у^/ = 3х² - 3 . Затем найдем критические точки I рода: у^/ = 0, 3х² - 3 = 0, х² = 1, х₁ = 1 , х₂ = -1. Отметим эти точки на числовой прямой (рис.2). Исследуем знак производной в каждом интервале; у^/ (-2)>0, у^/ (0)<0, у^/ (2) >0. Функция возрастает при x_€ [-∞, -1] U [1, +∞ ] и убывает при х_€ [-1, 1 ].Итак, х = - 1 - точка максимума; у_max=у(-1)=(-1)³-3(-1) = -1 + 3 = 2; х = 1 - точка минимума; у_min= у(1) = 1³ - 3 ∙ 1 = 1 - 3 = -2.

4. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную у^п = 6х, а затем критические точки II рода: у^п = 0, 6х = 0, х = 0.Отметим эту точку на числовой прямой (рис.3). Исследуем знак второй производной в каждом интервале: у^п = (-1) < 0, у^п (1) > 0.

Таким образом, график является выпуклым при х_€ [ -∞ , 0 ] и вогнутым при х_€ [ 0 , + ∞ ] ; х = 0 - абсцисса точки перегиба, у _т.п. = у (0) = 0 ; О (0 ,0) - точка перегиба графика функции.

Отметим все полученные точки в системе координат и соединим их плавной кривой

Для уточнения графика функции можно найти дополнительные точки, используя уравнение функции: у (-2) = -2, у (2) = 2.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется приращением функции в точке ?

2. От какого аргумента зависит разностное отношение ? Какова область определения функции ?

3. Дайте определение производной функции в точке .

4. Каков физический смысл производной функции в точке ?

5. Каков геометрический смысл производной функции в точке ? Дайте определение касательной к графику функции в точке и напишите уравнение касательной.

6. Когда говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную? Приведите пример функции, график которой имеет в некоторой точке вертикальную касательную.

7. Что такое односторонние производные функции в точке? Какова связь между односторонними производными и производной функции в точке? Приведите пример функции, у которой существуют односторонние производные в некоторой точке, но не существует производная в этой точке.

8. Выведите формулы для производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.

9. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Какова физическая интерпретация формулы для производной \обратной функции?

10. Что называется сложной функцией?

11. Как сложную функцию записать в виде цепочки простых функций?

12. Сформулируйте теорему о производной сложной функции. Какова физическая интерпретация формулы для производной сложной функции?

13. Запишите правило дифференцирования сложной функции.

14. Каков порядок дифференцирования сложной функции?

15. В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?

16. Что такое параметрическое задание функций?

17. Дайте определение дифференцируемости функции в точке.

18. Сформулируйте теорему о связи между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке производной.

19. Что такое дифференциал функции в данной точке? От какого аргумента он зависит?

20. Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?

21. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

22. Каков геометрический смысл дифференциала?

23. Каков физический смысл дифференциала?

24. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

25. Дайте определение второй производной функции.

26. В чем состоит физический смысл второй производной?

27. Напишите все формулы дифференцирования.

28. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?

29. Как найти точки экстремума и экстремумы функции?

30. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой?

31. Как найти точки перегиба кривой?

2.3. Интегральные исчисления

Цели:

студенты должны знать: понятия и обозначения неопределенного и определенного интеграла, первообразной; формулы и основные свойства первообразных;

уметь: определять виды интегралов; применять свойства при вычислении определенных и неопределенных интегралов, площади и объема криволинейной трапеции.

Методические указания

Сначала изучите данную тему. Затем ознакомьтесь с методическими

указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции

находится ее производная или дифференциал.

Например, если F(x) = x¹⁰, то F ^/ (x) = 10x⁹, dF (x) = 10x⁹dx.

Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью

интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция.

Например, если F^/x = 7x⁶ ,то F (x) = x⁷, так как (х⁷)^/ = 7х⁶.

Дифференцируемая функция F (x), х_€ [а; b] называется первообразной для функции f (x) на интервале [а; b ], если F^/ (x) = f (x) для каждого х_€ [а; b].

Так для функции f(x) = 1/cos²x первообразной служит функция F(x) = tg x, поскольку (tg x)^/ = 1/cos²x.

Совокупность всех первообразных функций f (x) на интервале [ а; b ] называют неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и пишут ∫ f(x) dx = F(x) +C. Здесь f (x) dx - подынтегральное выражение; f (x) - подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; С - произвольная постоянная.

Например, ∫ 5x⁴dx = x⁵ + C, так как (x⁵ +C)^/ = 5x⁴.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d∫ f(x)dx = f(x)

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е. ∫ dF(x) = F(x) + C.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

∫ af(x)dx = a∫ f(x)dx.

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

∫ (f₁(x) ± f₂(x))dx = ∫ f₁(x)dx ± ∫ f₂(x)dx.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

∫ dx = x+C.

∫ xⁿdx = xⁿ⁺¹ +C(n≠ - 1).

n+1

∫ x ^-1dx =∫ dx = ln|x|+C.

x

∫ e^xdx = e^x+C.

∫ a^xdx = a^x__ +C.

ln a

∫ sin xdx = - cosx+C.

∫ cosxdx = sin x +C.

∫ __dx___ = tg x +C.

cos² x

∫ _dx___ = - ctg x + C.

sin² x

∫ _dx___ = arcsin x + C.

√ 1 - x²

∫ __dx__ = arctg x + C.

1 + x²

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример 9. Найти ∫ __xdx__ .

√ 2 - 3x²

Решение. Произведем подстановку 2 - 3х² = t; тогда

- 6xdx = dt, xdx = - (1/6)dt. Далее, получаем

∫ __xdx__ = ∫ __- (1/6)dt = - 1 ∫ t ^-1/2dt = - 1 ∙ _t ^-1/2+1 + C = - 1 ∙ t^1/2_ + C =

√ 2 - 3x² √t 6 6 - 1/2+1 6 1/2

= - 1√t + C = - 1 √2 - 3x² + C

3 3

Пример 10. Найти ∫ (2 + cosx)²sinxdx.

Решение. Сначала положим 2 + cosx = t; тогда - sinxdx = dt, откуда sinxdx = - dt. Далее, получаем

∫ (2 + cosx)²sinxdx = ∫ t² (-dt) = - ∫ t²dt = - t²⁺¹_ + C = - 1t³ + C =

2+1 3

= - 1 (2 + cosx)³ + C.

3

Пример 11. Найти ∫ sin10xdx.

Решение. Положим 10x = t; тогда 10dx = dt, откуда dx = (1/10)dt.

Далее, получаем

∫ sin10xdx = ∫ sint ∙1_dt = 1_∫ sintdt = 1_( - cost) + C = - 1_cost + C =

10 10 10 10

= - 1_cos 10x + C.

10

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k≠ 0, n ≠ 0 - постоянные):

∫ e^kxdx = 1e^kx + C.

k

∫ a^kxdx = 1a^kx_ + C.

k ln a

∫ coskxdx = 1 sin kx + C.

k

∫ sinkxdx = - 1 cos kx + C.

k

∫ __dx__ = 1 tg kx + C.

cos²kxk

∫ __dx__ = - 1 ctg kx + C.

sin²kx k

∫ __dx____ = 1_ arctg n x + C.

k² + n²k²nk k

∫ ___dx____ = 1arcsin n x + C.

√ k² - n²k² n k

Так, при нахождении ∫ sin10xdx можно использовать формулу ∫ sinkxdx =

= - 1coskx + C, где k = 10. Тогда ∫ sin10xdx = - (1/10) cos 10x + C.

k

Определенный интеграл

Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона - Лейбница: ∫ f(x)dx = F(x) │ = F(b) - F(a),

где а - нижний предел, b - верхний предел, F(x) -первообразная функции f(x).

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла: 1) находят одну из первообразных F(x) данной функции; 2) находят значения F(x) при x = a и x= b; 3) вычисляют разность F(b) - F(a) .

Пример 1. Вычислить интеграл ∫ _dx_ .

³√ x²

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

∫ _dx_ = ∫ x ^-2/3dx = x^1/3 │ = 3³√x │ 3(³ √8 - ³√1) = 3(2 - 1) = 3.

³√ x²

Основные свойства определенного интеграла.

При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный:

∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx.

отрезок интегрирования можно разбивать на части:

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

∫(f₁(x) ± f₂(x))dx = ∫ f₁(x)dx ± ∫ f₂(x)dx.

Пример 2. Вычислить интеграл ∫ _x²dx_.

(x³+2)²

Решение: 1) Произведем подстановку x³+2 = t; тогда 3x²dx = dt, x²dx = 1dt.

3

2) Определим пределы интегрирования для переменной t. При х =1 получаем

t_н= 1³+2 = 3, при х=2 получаем t_в =2³+2 = 10.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

∫ _x²dx_ = ∫ _1/3dt_ = 1 ∫ t ^-2dt = 1 ∙ t^-1 │= - 1 ∙ 1 │ = - 1 (1_ - 1) = - 1 ∙ 3 - 10 =

(x³+2)²t² 3 3 -1 3 t 3 10 3 3 30

= - 1 ∙ ( - 7_) = 7_.

3 30 90

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции aАВb, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x), где x € [a; b], отрезком [a;b] оси Ox, отрезками прямых x = a иx = b, вычисляется по формуле

S = | I |, где I = ∫ f(x)dx. ( 1)

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x², прямымиx = - 1, x = 2 и осью абсцисс.

Решение. Применяя формулу (1), получаем

2

I = ∫ x²dx = 1x³ │ = 1 (8 - (-1)) = 1 ∙ 9 = 3, т. е. S = 3кв. ед.

-1 3 3 3

Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aАВb, ограниченной непрерывной кривой y = f(x), где x € [a; b], отрезком [a;b] оси Ox, отрезками прямых x = a иx = b, вычисляется по формуле

V = π ∫ f ²(x)dx. (3)

Пример 6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболой y² = 2x, прямой x = 3 и осью Ox.

Решение. Применяя формулу (3), находим искомый объем:

V = π ∫ 2xdx = 2 π ∙ x²│ πx² │ = π (9 - 0) = 9π (куб. ед.).

2

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции аАВb, ограниченной непрерывной кривой х = f(у), где у €[а,b] отрезком [а,b] оси Оу, отрезкам прямыху = а и у = b (рис 1) , вычисляется по формуле: V =π ∫ f ²(y) dy. (4)

Пример 7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у = х² и прямой у = 4 .

Решение. Применяя формулу (4), находим искомый объем:

V =π ∫ ydy = π ∙ y² │ = π (16 - 0) = 8π(куб. ед.).

2 2

Путь, пройденный точкой.

Если точка движется прямолинейно и ее скорость v = f(x) есть известная функция времени

t,то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t₁, t₂] , вычисляется по формуле

S = ∫ f (t) dt.

Пример 8. Тело движется прямолинейно со скоростью v = 0,1 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за первые 10 с.

Решение:Применяя формулу (5), находим искомый путь:

S = ∫ 0,1t ³dt = 1_ ∙ t⁴ │ = 1_ ∙ 10⁴ = 250 (м).

10 4 40

Работа сил.

Если переменная сила F = F (x) действует в направлении оси Ох , то работа силы на отрезке [a, b ] вычисляется по формуле

А = ∫ F(x) dx.

Пример 9. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0,01 м?

Решение. Согласно закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х м, равна F = kx, где k - коэффициент пропорциональности.

Из условия следует 1 = k ∙ 0,01, т.е. k = 100, и, следовательно, F = 100 х.

Искомую работу находим по формуле (6):

A = ∫ 100xdx = 100 ∙ x²│ = 50 ∙ 0,0036 = 0,18 (Дж).

2

Пример 10. Сила 196,2 Н растягивает пружину на 18 см. Какую работу она производит?

Решение. По закону Гука F = kx, откуда k = F|x = 196,2/0,18 = 1090. Значит, F = 1090 х. Находим искомую работу:

A = ∫ 1090xdx = 1090x²│ ≈ 545 ∙ 0,0324 ≈ 17,7 (Дж).

2

Давление жидкости.

Сила давления р жидкости плотности ρ на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле

p = pg ∫ Sdx, (7)

где g = 9,81 м\с² - ускорение свободного падения, S- площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от а к b.

Пример 11. Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

Решение. Шлюз имеет форму прямоугольника, поэтому S = 18 x, где x € [ 0 , 6 ]. Плотность воды равна 1000 кг/м³ . тогда сила давления воды на шлюз составляет

p = 1000 ∙ 9,81 ∫ 18 xdx = 9810 ∙ 9x² │ = 9810 ∙ 324 = 3178440 (H).

Пример 12. вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3м и радиусом основания 1м.

Решение. Площадь поверхности стенки цилиндрического бака S = 2πRx = 2πx, где х€ [ 0 , 3 ]. Плотность бензина есть 800 кг/м³. Тогда сила давления бензина на стенки бака составляет

p = 800 ∙ 9,81 ∫ 2 πxdx = 7848 ∙ 2π ∙ x² │ = 7848 ∙ π ∙ 9 ≈ 220000(H).

2

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1.Дайте определение определенного интеграла.

2.Перечислите основные свойства определенного интеграла.

3.В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4.Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

5.По каким формулам находится объем тела вращения?

напишите формулы для вычисления пути, пройденного телом.

6.Напишите формулу для вычисления работы переменной силы.

7.По какой формуле вычисляется сила давления жидкости на пластинку?

Раздел 3. Основы теории дифференциальных уравнений

1. Дифференциальные уравнения

Цели:

студенты должны знать: понятие общего решения дифференциального уравнения; виды и алгоритм решения дифференциальных уравнений;

уметь: определять виды дифференциальных уравнений; использовать алгоритм при решении дифференциальных уравнений.

Методические указания

Сначала изучите данную тему. Затем ознакомьтесь с методическими

указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется дифференцированная функция , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения при определенном значении произвольной постоянной С, называется частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям при (другая запись ), называется задачей Коши.

График всякого решения данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости хОу, называется интегральной кривой этого уравнения.

Уравнение вида называется линейным. Если , то уравнение называется однородным; если - неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной постоянной интегрирования С.

Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены , где u, v - две неизвестные функции.

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид .

Задача нахождения решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям ; ; …; , называется задачей Коши.

Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция : а) непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области D их изменения; б) имеет ограниченные в области D частные производные по аргументам , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условиям ; ; …; , где значения ; ;; …; содержится в области D.

Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n-го порядка можно только в некоторых частных случаях.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где а₀, а₁, а₂ - числа, причём . Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным, а если - неоднородным.

Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения . Пусть - дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие случаи:

1) - общим решением уравнения является функция (k₁ и k₂ - корни характеристического уравнения);

2) - общим решением служит функция (k - корень характеристического уравнения);

3) - общим решением служит функция (k₁ = + i, k₂ = - i - корни характеристического уравнения).

7. Решение линейного неоднократного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.

Теорема. Если y* - некоторое частное решение неоднократного уравнения и Y - общее решение соответствующего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

1. Пусть ; тогда:

а) , если нуль не является корнем характеристического уравнения;

б) , если нуль является простым корнем характеристического уравнения;

в) , если нуль является двукратным корнем характеристического уравнения.

2. Пусть ; тогда:

а) , если число не является корнем характеристического уравнения;

б) , если число является корнем характеристического уравнения;

в) , если число является двукратным корнем характеристического уравнения.

3. Пусть ; тогда:

а) , если число не является корнем характеристического уравнения;

б) , если число является корнем характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1) = 2.

Решение. Перепишем данное уравнение так: - и рассмотрим однородное уравнение . Так как (значение х = 0 не является решением неоднородного уравнения), то

общее решение однородного уравнения.

Применяем далее метод вариации произвольной С. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде ; . Поставив значения y и в неоднородное уравнение, получим

Так как , то

Подставив это значение С(х) в общее решение неоднородного уравнения, получим - общее решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения подставим значения х = 1, у = 2 в общее решение: . Значит, - частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Пусть . Имеем

. но

. Следовательно, - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для у, и значение х = 1.

Из системы уравнений находим . Значит, искомое частное решение имеет вид

Пример 3. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при х = 0.

Решение. Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно, общее решение однородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Имеем

Подставим эти выражения в неоднородное уравнение

и получим систему для вычисления коэффициентов А и В:

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

а общее решение неоднородного уравнения - вид

Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

;

Искомое частное решение таково:

Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

2. В чем заключается задача Коши?

3. Чем отличаются дифференциальные уравнения первого и второго порядка?

4. Какие уравнения называются уравнениями с разделенными переменными?

5. Какие уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

Раздел 4. Основы теории вероятности и математическая статистика.

4.1. Теория вероятности

4.2. Элементы математической статистики

Цели:

студенты должны знать: определение и виды случайных событий; определение вероятности события, размещения, сочетания и перестановки.

уметь: решать простейшие задачи по теории вероятности.

Методические указания

Сначала изучите данную тему. Затем ознакомьтесь с методическими

указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Случайные события. Вероятность события. Теория вероятностей - это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.

Например, бросание монеты - испытание; появление герба или цифры - события.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Слово "случайное" для краткости часто опускают и говорят просто "событие". Например, выстрел по цели - это опыт, случайные события в этом опыте - попадания в цель или промах.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, а невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости - достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости - невозможное событие.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появится вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле - это несовместные события.

Несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий.

События называются равновозможными, если не одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа - события одинаково возможные.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Численная мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначаетсяР(А).

Пусть из системы п несовместных равновозможных исходов испытания т исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение т числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов данного испытания:

Р (А) = т| п

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Если В - достоверное событие, то т = п и т = п и Р (В) = 1; если С - невозможное событие, то т = 0 и Р (С) = 0; если А - случайное событие, то т ≤ п и Р (А) ≤ 1.

Таким образом, вероятность события заключена в следующих пределах: 0 ≤ Р (А) ≤ 1

Пример 1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность событий: А - появление четного числа очков; В - появление не менее пяти очков; С - появление не более пяти очков.

Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему.

Событию А благоприятствуют три исхода (выпадение двух, четырех и шести очков), поэтому Р (А) = 3/6 = 1/2; событию С - пять исходов (выпадение одного, двух, трех, четырех и пяти очков), поэтому Р (С) = 5/6.

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.

Основные понятия комбинаторики. Размещения. Пусть имеется множество, содержащее п элементов. Каждое ее упорядоченное подмножество, содержащее т элементов, называется размещением из п элементов по т элементов.

Из определения вытекает, что 0 ≤ т ≤ пи что размещения из п элементов по т - это все т-элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.

Число размещений из п элементов по т элементов в каждом обозначают А^т_пи вычисляют по формуле: A^m = n(n - 1)(n -2) …(n - m + 1).

Число размещений из п элементов по т элементов в каждом равно произведению т последовательно убывающих натуральных чисел, из которых большее есть п.

Для краткости произведение первых п натуральных чисел принято обозначать п! (п - факториал): 1 ∙ 2 ∙ 3… п = п !.

Условились считать, что 0! = 1.

Тогда формулу числа размещений из п элементов по т элементов

можно записать и в другом виде: А^т_п = п

(п-т)!

Пример 2. Сколькими способами собрание, состоящее из 30 человек, может выбрать из присутствующих президиум в составе председателя, секретаря и члена президиума?

Решение. Состав президиума собрания является упорядоченным множеством из 30 элементов по три элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по три элемента в каждом:

A³₃₀ = 30 * 29*28 = 24360, A³ = 30!_ = 30*29*28 = 24360.

27!

Перестановки. Размещения из п элементов по п элементов называются перестановками из п элементов.

Из определения следует, что перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все п элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Число перестановок из п элементов данного множества обозначают Рпи вычисляют по формуле : P_n = 1 2*3…n = n!.

Пример 3. Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?

Решение. По условию дано множество из четырех элементов, которые требуется расположить в определенном порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырех элементов:

Рп = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24,

т.е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без повторений цифр).

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из п элементов. Каждое его подмножество, содержащее т элементов, называется сочетанием из п элементов по т элементов.

Таким образом, сочетание из п элементов по т элементов - это все т-элементные подмножества, которые имеют одинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными.

Число подмножеств по т элементов в каждом, содержащихся во множестве изпэлементов, т.е. число сочетаний из п элементов по т элементов в каждом, обозначают С^т и вычисляют по форму С^m = A^mC^m = __n!_____.

P_mm!(n - m)!

Число сочетаний С ^т_побладает свойством С ^т = С ^п-т (0 ≤ т ≤ п) . Так,

C⁷ = C^10-7 = C³= (10*9*8)/(1*2*3) = 120.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 4. В урне находится 6 белых и 5 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)?

Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов

составляет n = C² = (11*10)/(1*2) = 55. Событию А благоприятствует

C² = (6*5) / (1*2) = 15 исходов. Следовательно,P(A) = 15/55 = 3/11.

Вопросы для самопроверки

1.Какое событие называется невозможным, достоверным?

2.Какие события называются несовместными, равновозможными?

3.Какие события образуют полную систему событий?

4.Что понимается под вероятностью события?

5.Дайте классическое определение вероятности события.

Контрольная работа

Вариант 1

Задание 1. Вычислить пределы функций:

1) 2) 3)

Задание 2.

1) Найдите производную функции:

2) Найдите производную третьего порядка функции:

3) Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Задание 3. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Задание 4.

1)Найдите неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

.

2) Вычислите определенный интеграл: .

3) Является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание 5. Даны матрицы:

2 3 0 -1 0 3

А = -2 1 8 иВ = 2 4 1

2 4 3 1 3 0

1) Найти матрицуС = А + 3В.

2) Найти произведение матриц.

3) Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера.

x + 2y - z = 1,

2x - y + z = 5,

3x + 2y +z = 7.

Задание 6.

1) Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

2) Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

а) завтра будет хорошая погода;

б) в январе в городе пойдет снег;

в) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

г) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;

д) круглая отличница получит двойку;

е) камень, брошенный в воду утонет.

3) Вычислите.

Контрольная работа

Вариант 2

Задание 1. Вычислить пределы функций:

1), 2) , 3) .

Задание 2.

1) Найдите производную функции: .

2) Найдите производную третьего порядка функции: .

3) Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Задание 3. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Задание 4.

1)Найдите неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

.

2) Вычислите определенный интеграл:.

3) Является ли функция решением дифференциального уравнения

Задание 5. Даны матрицы:

2 4 0 -1 0 3

А = -2 1 8 иВ = 2 4 1

2 -2 3 1 3 0

1) Найти матрицуС = А + 3В.

2) Найти произведение матриц.

3) Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Задание 6.

1) Из корзины, в которой находятся 5 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

2) Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

а) завтра будет плохая погода;

б) в феврале в городе пойдет снег;

в) в 11 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

г) на день рождения вам подарят говорящего пингвина;

д) круглая отличница получит тройку;

е) камень, брошенный в воду не утонет.

3) Вычислите.

Контрольная работа

Вариант 3

Задание 1. Вычислить пределы функций:

1), 2), 3) .

Задание 2.

1) Найдите производную функции:.

2) Найдите производную третьего порядка функции:.

3) Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Задание 3. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Задание 4.

1)Найдите неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

.

2) Вычислите определенный интеграл:.

3) Является ли функция решением дифференциального уравнения ?

Задание 5. Даны матрицы:

2 4 1 -7 0 3

А = -2 1 8 и В = 2 4 1

0 2 3 1 -1 0

1) Найти матрицуС = А + 3В.

2) Найти произведение матриц.

3) Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Задание 6.

1) Из корзины, в которой находятся 7 белых и 9 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

2) Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

а) завтра будет дождливая погода;

б) в июле в городе Чистополе пойдет снег;

в) в 11 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

г) на день рождения вам подарят говорящего кота;

д) круглая отличница получит четверку;

е) камень, подброшенный вверх, упадет.

3) Вычислите.

Контрольная работа

Вариант 4

Задание 1. Вычислить пределы функций:

1), 2), 3) .

Задание 2.

1) Найдите производную функции:.

2) Найдите производную третьего порядка функции:.

3) Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Задание 3. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Задание 4.

1)Найдите неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

.

2) Вычислите определенный интеграл:.

3) Решите дифференциальное уравнение .

Задание 5. Даны матрицы:

3 4 1 7 0 3

А = -2 2 8 иВ = 2 4 1

0 2 0 1 -1 -6

1) Найти матрицуС = А + 3В.

2) Найти произведение матриц.

3) Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Задание 6.

1) Из корзины, в которой находятся 8 белых и 6 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

2) Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

а) завтра будет дождливая погода;

б) в июле в городе Чистополе будет жарко;

в) в 11 часов в городе идет дождь, а через 12 часов будет светить солнце;

г) на день рождения вам подарят говорящего попугая;

д) круглая отличница получит пятерку;

е) камень, подброшенный вверх, взлетит.

3) Вычислите.