Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Раздел Математика
Класс 5 класс
Тип Рабочие программы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Абсолютная величина числа. Основные свойства (1ч).

Определение абсолютной величины числа или модуля. Аналитическая запись определения. Геометрический смысл. Основные свойства. Историческая справка.

Основная цель - систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме "Абсолютная величина", полученные ими в 6 и 8 классах; рассмотреть геометрический смысл абсолютной величины и основные свойства; дать историческую справку о введении термина "модуль" и "знак модуля"; рассмотреть примеры, решение которых основано на определении модуля.

Решение уравнений с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных уравнений с модулями, а также уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель - геометрическая интерпретация выражения Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАи использование ее для решения уравнений вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА; рассмотреть решение линейных уравнений, основанных на определении модуля; решение квадратных уравнений, содержащих знак абсолютной величины, а также графическое решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Решение неравенств с модулями (3ч).

Решение линейных, квадратных неравенств с модулями, а также неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Основная цель - выработать умения решать линейные неравенства с модулем различными способами (используя геометрический смысл, возведение неравенства в квадрат, с помощью двойного неравенства); квадратные неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя схематический набросок графика квадратной функции, а также метод интервалов; дать представление о решении неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Метод интервалов (2ч).

Решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, методом интервалов.

Основная цель - научить школьников решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину, методом интервалов; сформулировать теорему, на которой основано отыскание интервалов знакопостоянства; нахождение нулей модуля.

Неравенства вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, решаемые посредством равносильных переходов (2ч).

Решение неравенства вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАпосредством равносильных переходов к совокупности неравенств Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, а неравенства Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА- к системе неравенств Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Основная цель - закрепить понятие равносильности, известное учащимся из 8 класса; сформулировать (а в "сильном" классе доказать) свойство равносильного перехода от неравенства Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАк совокупности Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАи от неравенства Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАк системе Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств (1ч).

Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины.

Основная цель - повторить при необходимости основные свойства модуля; научить обучающихся решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины; показать графические приемы при записи ответа; расширить класс уравнений с модулем (рассмотреть уравнение с двумя переменными).

Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (1ч).

Решение линейных уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Основная цель - повторить формулу расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой; научить обучающихся решению уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

Модуль и преобразование корней (1ч).

Применение понятия модуля при оперировании арифметическими корнями. Преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

Основная цель - выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратный корень, при которых используется модуль.

Модуль и иррациональные уравнения (2ч).

Решение иррациональных уравнений с использованием метода выделения полного квадрата или введения новой переменной.

Основная цель - повторить известное обучающимся из 8 класса определение иррациональных уравнений; показать на примерах решение иррациональных уравнений, связанных с необходимостью использования модуля.

Учебно-тематический план

№ п/п

Тема

Количество часов

Форма проведения занятий

Форма контроля

Наименование образовательного продукта

1

Абсолютная величина числа. Основные свойства.

2

лекция

-

-

2

3

4

Решение уравнений с модулями:

-линейных;

-квадратных;

-с параметрами.

2

2

2

практикум

практикум

изучение нового материала

решение контрольных заданий

решение контрольных заданий

проверка рабочих тетрадей

-

5

6

7

Решение неравенств с модулями:

-линейных;

-квадратных;

-с параметрами.

2

2

2

практикум

семинар

изучение нового материала

проверка домашнего задания

ответы на вопросы

проверка рабочих тетрадей

-

8

9

Метод интервалов.

2

2

комбинированный урок

урок-соревнование

ответы на вопросы

урок взаимопроверки

-

10

11

Решение неравенств вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, решаемые посредством равносильных переходов.

2

2

изучение нового материала

закрепление изученного материала

проверка конспектов

математический диктант

-

12

Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.

2

обобщение и систематизация знаний

устный опрос

-

13

Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

2

обобщение и систематизация знаний

самостоятельная работа

-

14

Модуль и преобразование корней.

2

практикум

работа в группах

-

15

16

Модуль и иррациональные уравнения.

2

проверка и коррекция ЗУН

консультация

домашняя контрольная работа

ответы на вопросы

-

17

Зачет.

1

контрольная или тестовая работа

-

составление опорного конспекта

Всего -34 часа





Список литературы для учителя



  • Голубев В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих ВУЗов страны).- Львов: Квантор, 1991.

  • Голубев В. Эффективные методы решения задач по теме "Абсолютная величина".- М.: Чистые пруды, 2006.

  • Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике.- М.: 5 за знания, 2006.

  • Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике "Выпускной, вступительный, ЕГЭ на 5+".- М.: ВАКО, 2006.

  • Смыкалова Е.В. Математика (модули, параметры, многочлены), предпрофильная подготовка, 8-9 кл.- Санкт-Петербург: СМИО-Пресс, 2006.

Список литературы для обучающихся

  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1988.

  • Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по Математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1973.

  • Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа,1974.

  • Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной сложности по алгебре и началам анализа.- М.: Просвещение, 1990.

  • Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издательство "Наука", главная редакция физико-математической литературы.- М.: Наука, 1975.

  • Круликовский Н.Н. Математические задачи для абтуриентов.- Томск: изд. Томского Университета, 1973.

  • Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике.- М.: Наука, 1986.

  • Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов, Москва, "Дрофа", 1995.

Методические материалы

Занятие №1: Определение абсолютной величины числа (модуля числа), его геометрический смысл и основные свойства.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Модуль числа а обозначается так:Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Модулем числа называется также расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. В этом состоит геометрический смысл модуля. Т.о. используются термины "модуль", "абсолютная величина" или "абсолютное значение" числа. В соответствии с приведенным определением Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= 5, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= 3, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=0. Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и - а.

Историческая справка: термин "модуль" (от лат.modulus - мера) ввел английский математик Р. Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897), в 1841 г.

Основные свойства модуля:

  1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0.

  2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАаЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

  3. Если число a Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0 и для числа х справедливо одно из неравенств хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа или хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа, удовлетворяет одному из неравенств хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа или хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-а.

  4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству -аЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАхЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа, то модуль числа х удовлетворяет неравенству Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа. Если Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа, то справедливо неравенство:-аЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАхЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа.

  5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

  6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

  7. Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

  8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА:Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

  9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАn=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА причем если п= - четное число, то Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=а.

  10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=p(а,в). Из этого свойства следует важное равенство: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. В частности, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

  11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю.

  12. Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

  13. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАКвадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Рассмотрим примеры, решение которых основано на определении модуля.

№ 1. Решить уравнение Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=4.

По определению модуля; х=4 или х =-4.

№ 2. Решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=3.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Откуда: х1 =2 и х 2=-1.

№ 3. Решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=-2.

По свойству 1: модуль любого действительного числа есть число неотрицательное, делаем вывод, что решения нет.

№ 4. Решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=х-5.

По этому же свойству 1: х-5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА5.

№ 5. Решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+х=0.

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=- х, хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0.

№ 6. Решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=х+2.

В отличие от предыдущего примера в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что х +2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0,т.е. хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-2. Тогда имеем:

2х+1= х +2 или

2х+1 = - х - 2.

Т.о. при х Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-2, имеем:

х = 1,

х = - 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

  1. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=х-3,

  2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=х+2,

  3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

  4. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-2=3,

  5. 2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=3х+1,

  6. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+х=9,

  7. х+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА =11,

  8. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+ х+2=6,

  9. х-4-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=-2,

  10. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=3,

  11. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+х+3=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

  12. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=6х-1,

  13. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+3х=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-18,

  14. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+3х=2.

Занятие №2. Решение линейных уравнений с модулями.

При решении линейных уравнений используется или геометрический смысл модуля числа или раскрытие знака модуля. Рассмотрим на примере: решить уравнение

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА = 7.

а) Используем геометрический смысл модуля числа. Запишем уравнение в виде: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=7. Тогда d=х-5 - расстояние от точки х до точки 5 на числовой прямой, f =х-(-2) - расстояние от точки х до точки (-2) .По условию задачи сумма этих расстояний d+f=7. Нанесем точки 5 и -2 на числовую прямую. Легко проверить, что для любого числа из отрезка [-2;5] сумма расстояний d+f равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х<2 или х>5 сумма расстояний d+f>7. Поэтому решением уравнения является интервал Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.

В интервале 1 (х<-2) получаем: -(х-5)-(х+2)=7 или -х+5-х-2=7 или -2х+3=7, откуда получаем: х=-2. Но эта точка в рассматриваемый промежуток не входит. Поэтому х=-2 не является решением.

В интервале 2: хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА получаем: -(х-5)+(х+2)=7 или 7=7. Так как получилось верное равенство, то любая точка из этого промежутка является решением данного уравнения.

В интервале 3 (х>5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7, откуда х=5. Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.

Итак, решение данного уравнения: -2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАхЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

1. х=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=2,

3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=2х+4,

4. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=11,

5. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=0.

Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.

Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:

№1. Решить уравнение

х2 -6Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+8=0.

Введем замену Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=у, тогда при у Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0 уравнение принимает вид:

y2-6у+8=0, откуда у1=2 и у2=4. а х=2 или -2; 4 или -4.

№2. Решить уравнение:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+ Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= 0.

Уравнение равносильно системе: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАОткуда х=1.

№3. Решить уравнение:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= 2х - 1.

Уравнение имеет решение при условии, что 2х-1Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, а равенство возможно при условии: значения выражений х2-1 и 2х-1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0,5. Составим уравнения: х2-1=2х-1 или х2+х-1=-(2х-1); решая которые, получим

Ответ: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

№4. Найти корни уравнения: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Представим данное уравнение в виде: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= х 2 - 1, откуда:

х2 - 1Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

х - 1 = х2 - 1,

или х - 1 = - (х2 - 1).

х2 - 1 Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАпри х Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА- 1 и х Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1.Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1, из второго: х=-2 и х=1.

Ответ: х=1; х=-2.

№5. Найти целые корни уравнения: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х-х2-1 и 2х+3-х2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.

№6. Решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=2х2-3х+1.

Обозначим выражение 3х-1-2х2 буквой а. Тогда данное уравнение примет вид: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=-а. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х-1-2х2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, решая которое, получим ответ: хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0,5 и хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1.

Упражнения для самостоятельной работы.

Решить уравнение:

1.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2+ х-20.

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+ 3х -5=0,

3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=(х-1)(х+1),

4. х2-6Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+5=0,

5. х2+8Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=9,

6.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2 -6х+6,

7. х Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=-8.

Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром

3-х=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Построим графики функций у=3-х и у=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. График у=3-х фиксирован и от параметра не зависит. График у=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАполучается из графика фукции у=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, зависит от параметра а. Поэтому рассмотрим 3 случая:

Этот случай, как видно из рисунка, будет при а<3. Графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А равен углу В и равен 450, проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС - равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д х =(а + 3)/2.

Этот случай имеет место при а=3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х<3.

В этом случае а>3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

1.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=а,

2. аЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=3,

3. (а-2)Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=а-2,

4. а2х2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=0.

Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:

№1.Решить неравенство:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>4.

Первый способ: Имеем: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>4,

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>4,

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>2.

Геометрически выражение Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАозначает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.

Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат:Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2>42 .

(2х-5)2>42,

(2х-5)2-16>0,

(2х-5-4)(2х-5+4)>0,

2(х-4,5) 2(х-0,5)>0,

(х-4,5)(х-0,5)>0.

Применив метод интервалов, получим: х<0,5 и х>4,5.

Третий способ: Выражение 2х-5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Откуда: х<0,5 и х>4,5.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №2.Решить неравенство: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<3.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Из первой системы получаем 2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАх<5, из второй -1<х<2. Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5.

Пример №3. Решить неравенство: 3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАх+3.

Данное неравенство равносильно двойному неравенству -х-3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА3х-3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАх+3 или системе Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Имеем: 0Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАхЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА3.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<3х+1,

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>2,

3. -Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-2.

Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.

Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+х-2<0.

Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАравносильно системе неравенств: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, а неравенство Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАравносильно совокупности неравенств Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Поэтому наше неравенство равносильно системе неравенств: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАрешая которые, получим: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Запишем ответ: (1-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА;2-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА).

Пример №2. Найти целые решения неравенства: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2х-х2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1; хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2.

из второго: 2-5х+2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, или 0,5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАхЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.

Т.о. 0,5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАхЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1 и х=2. Это решение первой системы.

Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2, из второго: -(х2 -3х+2)Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2х-х2, или - х2+3х-2-2х+ х2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, или хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2. Это решение второй системы.

Объединив найденные решения систем неравенств 0,5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАxЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1; х=2; 1, получаем: 0,5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАxЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2 и т.о. целыми решениями будут х=1 и х=2.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства:

1. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<6,

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<х,

3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<3х-3,

4. х2-3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+2>0,

5. х2-х<3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

6. х2-6х+7-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<0,

7. 3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2-7>0,

8. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Занятие № 7. Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах2+4Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+а+3<0?

При хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0 имеем ах2+4х+а+3<0. Старший коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант - меньше нуля.

а<0, Д=16-4а(а+3)<0; 16-4а2-12а<0; а2+3а-4>0; а<-4 и а>1;

абсцисса вершины параболы х0=-в/2а=- 4/2а=-2/аЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА 0, откуда а<-4.

При х<0 имеем ах2-4х+а+3<0. Рассуждая аналогично, получим: а<-4.

Ответ: при а<-4 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства с параметрами:

1.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>-а,

2. (х-а)Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<0,

3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах2>2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+5 не имеет решений?

Занятия №8 - 9. Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=х+2.

Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

х+1=0, х=-1; х=0; х-1=0, х=1; х-2=0, х=2.

Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений

х+1, х, х-1, х-2 на этих интервалах:

Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Последняя совокупность приводится к виду:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА2.

Использованный прием называется методом интервалов. Он применяется и при решении неравенств.

Решить неравенство: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+х-2<0.

1) Найдем нули выражения: х2-3х.

х1=0, х2=3.

2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х2-3х на каждом интервале:

3) Раскроем модуль: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Решение первой системы: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, решение второй Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. Решение данного неравенства: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Упражнения для самостоятельной работы:

1Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

3Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Занятие №10 - 11. Решение неравенств вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАпосредством равносильных переходов.

Рассмотрим неравенства вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАи Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАравносильно системе неравенств Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАа неравенство Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАравносильно совокупности неравенств Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Рассмотрим пример: решить неравенство:Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>х+2.

Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Система Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАи неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является хЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<6,

2.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1,

3.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА>х+3,

4. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<х+3.

Занятие № 12. Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.

При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).

Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.

Пример №1: решить уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=1.

Заметим, что Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=1, значит, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. Следовательно, по свойству 5: 3-1)(2-х3)Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, решением которого является числовой отрезок Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Пример №2. Решите систему уравнений: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Заметим, что Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАСледовательно, по свойству 5 хуЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0, т.е. х и у принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАили Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, (0,5; 0,5), (1/6; 5/6).Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна - 1. Например, (0,8;-0,2).

Пример №3.Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел а, в, с, d отлично от нуля.

Ответ: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Пример №4. Дано: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<1,Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<10, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<10.

Докажите неравенство: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<20.

Доказательство:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА10=20.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. Решите систему: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

2. При каких значениях х справедливы равенства:

а) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА,

б)Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

3. Найдите числа х и у такие, что Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=0;

4. Найдите наименьшее значение суммы:

а) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

б) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

5. Решите уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Занятие № 13. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

При изучении расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=в, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<в, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, а также уравнения и неравенства, к ним приводимые.

Рассмотрим примеры.

№1. Решите уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=1.

Переводя запись данного уравнения на "язык расстояний", получим предложение "расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1". Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1.

Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

№2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА= 3.

Приводя данное уравнение к виду Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=1,5, используем формулу расстояния:

Ответ: - 2; 1.

№3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

Запишем данное уравнение в виде: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА. Исходя из геометрических представлений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и - 2, т.е. число - 0,5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения и неравенства:

1. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=0,4;

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=0,7;

3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<0,5;

4. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА<7;

5.Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

6. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

7. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

8. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Занятие №14. Модуль и преобразование корней.

Понятие модуля находит применение при оперировании арифметическими корнями. Так как арифметический квадратный корень из числа может принимать лишь неотрицательные значения, то при записи этих значений используется модуль. Так, например,

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

В общем случае справедливо тождество: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Приведем примеры заданий на преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

№1. Упростить выражение:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

при в>0, вЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0 получим:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

№2. Вычислите значение выражения:

А=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА при х=0,5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, где а>0, в>0.

1) Преобразуем выражение для х:

х=0,5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

2) Вычислим значение корня:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

3) Вычислим значение знаменателя:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА.

4) Вычислим значение выражения А:

А=Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Упражнения для самостоятельной работы:

Упростить:

1. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА;

3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА;

4. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Занятие № 15-16. Модуль и иррациональные уравнения.

Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении иррациональных уравнений.

Решите уравнение: Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА+Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=1.

Обозначим Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАчерез у, где у Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА0.

Тогда х+1=у2; х+5=у2+4; х+10=у2+9.

Данное уравнение примет вид:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАили Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, решая которое методом интервалов получим совокупность:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАили Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Т.о., 2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАуЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА3, т.е. 2Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНАЭлективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА3, откуда х принадлежат отрезку [3;8].

Упражнения для самостоятельной работы:

При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используйте модуль.

1. х2-5Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА-6=0,

2. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=10,

3. Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

В качестве домашнего задания обучающимся можно предложить домашнюю контрольную работу. Приведем примерный вариант такой работы:

1. Решите уравнение:

а) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА=2(3-х);

б) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

2. Решите неравенство:

а) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

б) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

3. Упростить выражение:

а) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

б) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

4. Решите уравнение:

а) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

б) Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

5. Решите систему уравнений:

Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Занятие №17. Зачет.


© 2010-2018