Рабочая тетрадь по математике

Кировское областное государственное

образовательное бюджетное учреждение

среднего профессионального образования

«Кировский авиационный техникум»

МАТЕМАТИКА

Рабочая тетрадь

для студентов 2 курса очной формы обучения

по специальности

140446 «Электрические машины и аппараты»

среднего профессионального образования

Студент группы ___________

__________________________

__________________________

Киров

2014

Печатается по решению Методического совета

КОГОБУ СПО «Кировский авиационный техникум»

(протокол №___ от _______201_ г.)

Рабочая тетрадь по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для студентов 2 курса очной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины, одобренной цикловой комиссией естественноматематических дисциплин

Протокол №___ от «____»_________2014г.

Председатель цикловой комиссии

естественноматематических дисциплин _______________ Т.Н.Мелехина

Составитель: Т.А. Боброва - преподаватель Кировского авиационного техникума

Рецензент: Т.Н. Мелехина - преподаватель Кировского авиационного техникума

Редактор: С.И. Арасланова - Зав. ИМС Кировского авиационного техникума

Дисциплина «Математика» [Текст]: рабочая тетрадь для студентов очной формы обучения по специальности 140446 - «Электрические машины и аппараты» / Т.А. Боброва; ред. С.И. Арасланова; КОГОБУ СПО «Кировский авиационный техникум». - Киров: КАТ, 2014. - 48 с.

Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначены для работы студентов очной формы обучения на занятии как самостоятельно, так и под руководством преподавателя. Содержит основной теоретический материал и список заданий для решения по всему курсу дисциплины.

Может быть полезна студентам, обучающимся в системе среднего профессионального образования, как для самостоятельного изучения материала, так и для систематизации знаний и умений по курсу.

© КАТ, 2014

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………………............

5

Раздел 1. Линейная алгебра.................................................................................

7

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в степень …………………….....................................................................

7

Определитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица. Матричные уравнения.........................................................

10

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса..............

13

Раздел 2. Математический анализ...................................................................

15

Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики..............................................................................

15

Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы...........................................................

18

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва первого и второго рода..............................................................................

22

Раздел 3. Дифференциальное исчисление.........................................................

23

Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.....

23

Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции......................................................................................

27

Раздел 4. Интегральное исчисление.............................................................

29

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной..............................................................................

29

Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, значений геометрических величин...........

32

Раздел 5. Комплексные числа .........................................................................

35

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами........................................................................

35

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика................

38

Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки, сочетания. Формула Ньютона. Случайные события. Вероятность события. Простейшие свойства вероятности......................................

38

Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд...

40

Список вопросов для самоконтроля..................................................................

43

Справочные материалы................................................................................

45

Список литературы..............................................................................................

48

1. Пояснительная записка

Рабочая тетрадь полностью включает материал, предусмотренный программой по "Математике" для средних специальных учебных заведений. В нем найдут много полезного для себя студенты 2 курса технических специальностей.

Мысль о том, что по рабочей тетради можно учиться, не вызывает сомнения. Данная тетрадь содержит основной материал всех разделов курса: математические понятия, определения, теоремы, формулы, свойства и т.д. В рабочей тетради весь материал, относящийся к какому-либо понятию, помещен компактно. Это поможет вам быстро получить все необходимые сведения об интересующем вас понятии.

Эта тетрадь поможет систематизировать знания, быстро и полно повторить основные моменты той или иной темы, найти нужные сведения.

Кроме теоретических сведений в рабочей тетради содержится перечень основных задач по темам курса для аудиторной и внеаудиторной работы.

Студент может:

• дополнять теоретические сведения в рабочую тетрадь;

• быстро найти нужную информацию о той или иной формуле, теореме, понятии и т.п.;

• при подготовке к устному ответу или к контрольной работе прочитать и обдумать соответствующий материал по теме;

• при решении задач использовать соответствующий теоретический материал;

• при подготовке к устному экзамену теоретический материал рабочей тетради взять за основу при чтении учебников.

Учитель может:

• при объяснении нового материала использовать "открытые" опорные конспекты, имеющиеся в рабочей тетради;

• избавить себя от утомительной процедуры «надиктовывания» план-конспектов, формул и т.п.

• проводить письменный или устный опрос по материалам рабочей тетради;

• использовать теоретические сведения из рабочей тетради при решении задач, во время проведения самостоятельных работ;

• проводить по данной тетради комплексное или тематическое повторение;

Автор надеется, что рабочая тетрадь принесет пользу всем, кто будет использовать её при освоении математики!

Раздел 1. Линейная алгебра

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в степень.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Записывается матрица в виде:

.

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i элемента обозначает номер строки, а второй j - номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Если у матрицы m строк и n столбцов, то, по определению, она имеет размерность .

Матрицы A и B называются равными, если все

Типы матриц

Тип матрицы

Пример

1) Если матрица состоит из одной строки, то она называется матрицей-строкой

2) Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрицей-столбцом

3) Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы образуют главную диагональ матрицы

4) Матрица E с элементами называется единичной матрицей n-го порядка

5) Если все элементы матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной

6) Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой

7) Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической

Действия над матрицами

Действия

Пример

1) Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij b_ij

С = А + В = В + А.

Замечание: Главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера

А = ; B =

А+В=

А-В=

2) Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

А =

2А=

3) Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

.

Замечание: Главным свойством этой операции является то, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Замечание: Если надо умножить несколько матриц, то необходимо производить умножение последовательно слева направо.

А=, В =

АВ=

А = и В = .

АВ =

4) Возведение матрицы А в натуральную степень n определяется как произведение n матриц, каждая из которых равна А.

А =

=

=

5) Матрицу В называют транспониро-ванной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А= А^Т=

другими словами, b_ji = a_ij.

1.1 Выполните операции с матрицами:

1. Найдите сумму и разность матриц С и D

2. Найдите произведение матрицы А на число 4

3. Найти матрицу , если

4. Найти матрицу , если

5. Составьте транспонированную матрицу, полученную из А:

6. Найдите произведение матриц

7. Найдите матрицу

8. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно).

а)

б) ,

в) .

9. Решите задачу:

Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В=(10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида?

Определитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица. Матричные уравнения.

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка называется число .

Обозначается: .

Правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка, схематически можно изобразить следующим образом:

или

Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число .

Обозначается:

1 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод треугольников):

2 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод Саррюса):

+ + + - - -

3 способ вычисления определителя (разложение определителя по элементам строки или столбца):

Минором элемента называется определитель (n1)-го порядка , полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством .

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁, … ,i_s, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Свойства определителей:

Обратная матрица

Матрица называется обратной для квадратной матрицы, если .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1.2 Найти определитель

1.3 Найти определитель тремя способами

1) 2) 3)

1.4 Вычислите определители второго порядка

а) б) в) г) д)

1.5 Вычислите определители третьего порядка первым способом (а, б), вторым способом (в, г)

а) б) в) г)

1.6 Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы:

1.7 Вычислите определители третьим способом, используя разложение по строке, либо по столбцу.

а) б) в)

1.8 Найти обратную матрицу для матрицы

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x₁, x₂, x₃ имеет вид:

где коэффициенты системы; свободные члены.

Система

Условие

совместная

несовместная

определенная

неопределенная

однородная

К элементарным преобразованиям относятся:

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = _i/, где

= det A, а _i - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

_i =

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Система из n уравнений с n неизвестными

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1AX = A^-1B,

т.к. А^-1А = Е, то ЕХ = А^-1В Х = А^-1В

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:

Прямой ход: Путем последовательного исключения переменных система уравнений сводится к ступенчатому виду, т.е. к системе, в которой каждое последующее уравнение содержит меньшее число переменных, чем предыдущее.

Последовательное исключение переменных можно осуществить с помощью элементарных преобразований:

1. Умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число;

2. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.

Замечание: Перестановка уравнений не изменяет систему, т.е. ее решение остается прежним.

Обратный ход: Из последнего уравнения непосредственно определяется неизвестная х₃, затем подставляется во второе уравнение и находится х₂, после чего найденные значения подставляются в первое уравнение и находится х₁.

1.10 Найти решение системы уравнений методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса:

а) б) в)

г) д)

Раздел 2. Математический анализ

Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Свойства функции

1. Область определения

2. Множество значений

3. Нули функции

4. Четность, нечетность

5. Периодичность

6. Монотонность

7. Экстремумы

Заполните второй столбик таблицы:

Функция, её график

Свойства функции

Линейная функция

Степенная функция

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функция

Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.

Числовая последовательность и её предел

Числовая последовательность - _________________________________________________

______________________________________________________________________________

Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n ^{стремитсякa при,ипишут}

Предел функции

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой последовательности аргументов , сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого существует такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Обозначается

П

Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)редел функции в точке

y f(x)

A +

A

A -

0 a - a a + x

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:

y y

A A

0 х 0 х

y y

A A

0 х 0 х

Основные теоремы о пределах

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха, то

Теорема 1. , где С = const.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5.

Теорема 6.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

Функция называется бесконечно большой при ха, где а - число или одна из величин , + или -, если , где А - число или одна из величин , + или -.

Обратная бесконечно малой величины является бесконечно большой величиной и наоборот.

Табличные пределы

1.

3.

2.

4.

Методы вычисления пределов

1) Метод непосредственного вычисления

2) Раскрытие неопределенностей вида

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела отношения многочленов , нужно

1. определить тип неопределенности,

2. если неопределенность вида , то поделить числитель и знаменатель на двучлен .

Замечание: При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида используется рассмотренный выше прием, но предварительно умножают числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

3) Раскрытие неопределенностей вида

Если предел отношения двух алгебраических функций при значении дает неопределенность вида , то нужно числитель и знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.

4) Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел: или

5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции

При sin x~ х

tg x ~ х

arcsin x~ х

arctg x ~ х

ln(1+x) ~ х

e^x-1~ х

a^x-1~ х ln a

6. Вычислите пределы функций указанным методом:

1) Метод непосредственного вычисления

2) Раскрытие неопределенностей вида

а) б)

3) Раскрытие неопределенностей вида

4) Замечательные пределы

а) б) в) г)

д) е) ж).

5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

а) б)

0. Вычислите пределы функций:

з)и)

к) л) м)

н) о)п)

р) с) т)

у) ф)

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва первого и второго рода.

1. Односторонние пределы

Пределом функции слева (справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что х стремится к , оставаясь всё время меньше (больше) .

- предел функции слева - предел функции справа

Пределы слева и справа называются односторонними.

у у

0 х 0 х

2. Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если:

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

3. Классификация точек разрыва

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности (не выполняется хотя бы одно из этих условий непрерывности функции в точке), называется точками разрыва этой функции.

Пусть х₀ - точка разрыва функции .

Тип точки разрыва

Условие

Рисунок

Точка устранимого разрыва

• 

• односторонние пределы -конечные

• f(х₀) не существует

Точка разрыва первого рода

• 

• односторонние пределы -конечные

Точка разрыва второго рода

• или

не существует

• или

не существует

0. Найдите точки разрыва функции

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.

Определение производной

Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x₀.

- приращением аргумента

- приращением функции

Производной функции f(x) в точке x₀ называется

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

Дифференцирование ___________________________________________________________

Правила дифференцирования

Пусть U,V - дифференцируемые функции независимой переменной х, С-константа; тогда:

1)

2)

3)

4)

5) Если у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

Формулы дифференцирования

№

Производная элементарной функции

Производная сложной функции

1

Степенная функция

2

3

4

5

Показательная функция

6

7

Логарифмическая функция

8

9

10

Тригонометрическая функция

11

12

13

14

Обратная тригонометрическая функция

15

16

17

18

Замечание: __________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы последней - это самое главное!

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой:

.

Физический смысл производной

Производная функции показывает _________________________________ функции.

Физический смысл производной функции s(t), где t - время, а s(t) - закон движения (изменения координат) -______________________________________движения.

Вторая производная функции -. _____________________

Производная высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка, или первой производной. Тогда производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и обозначается , , .

Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) - порядка;

, ,

Дифференциал функции

или

Использование дифференциала для приближенных вычислений

.

3.1 Найти производную функции:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л) y=

м)

н)

о)

п)

р)

с)

т)

у)

ф)

х)

ц)

ч)

ш)

3.2 Найти дифференциалы функции:

а) f(x) = 2 - 3x + x³

б) f(t) = t² + cos3t - 5

в)

3.3 Найти n-производную функции:

a)

б)

в)

г)

д)

Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Алгоритм исследования функции:

Заполните первый столбик в таблице:

Этап

Комментарии

Совокупность всех тех значений, которые принимает независимая переменная х функции y=f(x)

1. D(y) симметрична относительно 0

2. f(-x)= f(x) - функция четная (график симметричен относительно оси Оу)

f(-x)= - f(x) - функция нечетная (график симметричен относительно начала координат)

Асимптота - это прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальная асимптота

если: или

Горизонтальная асимптота

если: или

Наклонная асимптота

если: или

- с осью ОХ (у = 0)

- с осью ОУ (х = 0)

Найти производную f (х) данной функции f(х).

Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых производная функции f (х) равна нулю или не существует).

Критические точки разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

Определить знак производной на каждом из интервалов монотонности.

• Если f (х) 0, то f(х) возрастает на этом промежутке.

• Если f (х) 0, то f(х) убывает на этом промежутке.

Исследовать знак производной f (х) в окрестности точки х₀.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х₀ с «-» на «+», то в этой точке функция f(х) имеет минимум.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х₀ с «+» на «-», то в этой точке функция f(х) имеет максимум.

Если f (х) не меняет знак при переходе через точку х₀ , то в этой точке функция f(х) не имеет экстремумов.

1. Найти вторую производную f (х) данной функции f(х).

2. Найти критические точки второго рода (внутренние точки области определения, в которых вторая производная функции f (х) равна нулю или не существует).

3. Критические точки второго рода разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами выпуклости.

4. Определить знак второй производной на каждом из интервалов выпуклости.

• Если f (х)> 0, то график функции f(х) выпуклый вниз.

• Если f (х)< 0, то график функции f(х) выпуклый вверх.

• Если f (х) меняет знак при переходе через критическую точку второго рода, то эта точка будет точкой перегиба графика функции.

Совокупность всех тех значений, которые принимает зависимая переменная у

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Если функция f(x) дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке [а; b], то для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке [а; b] нужно:

3.4 Исследовать функцию и построить её график:

а) y = 2 - 3x + x³ б)в)

г) д)

Раздел 4. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной.

Первообразная функция

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x).

Основное свойство первообразной: Функция f(х) имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают:

где - знак интеграла,

f(x) dx - подынтегральное выражение,

F(x) - первообразная функции f(x),

С - константа.

Свойства неопределенного интеграла

1.

2. где f(x), g(x) - некоторые функции от х.

3.

Таблица неопределенных интегралов

Методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование

4.1 Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

1.

5.

2.

6.

3.

7.

4.

8.

2) Метод введения новой переменной (метод подстановки)

Алгоритм

4.2 Найдите неопределенные интегралы методом подстановки:

1.

6.

11.

2.

7.

12.

3.

8.

13.

4.

9.

14.

5.

10.

15.

3) Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле:

где u, v - непрерывно-дифференцируемые функции от х.

Алгоритм

Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы:

Интеграл вида:

Замена

Замечание

Интегрируют по частям столько раз, какова степень многочлена f(x)

Интегрируют по частям два раза

где f(x) - степенная функция

4.3 Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, значений геометрических величин

Формула Ньютона - Лейбница:

Методы вычисления определенных интегралов

1) Метод непосредственного интегрирования

4.4 Найдите определенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

1.

2.

3.

2) Метод подстановки

Особенностью является только то, что, заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

4.5 Найдите определенные интегралы методом подстановки:

1.

2.

3.

3) Метод интегрирования по частям

4.6 Найдите определенные интегралы методом интегрирования по частям:

1.

2.

Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной:

• прямыми x = а, х = b;

• осью Ох (у = 0);

• частью графика y = f(x) непрерывной и неотрицательной функции.

Основные случаи расположения плоской фигуры

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Алгоритм решения задач на вычисление площадей плоских фигур

4.7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б) y = x, y = x², x = 2

Объем тел вращения

4.8 Найти объем тела, полученного вращением

а) вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми х = 1, х = 4 и осью Ох

б) вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х² = 4у, у = 4, х = 0.

Раздел 5. Комплексные числа

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел.

Действия над комплексными числами

Комплексным числом z называется выражение , где a и b - действительные числа, i - мнимая единица, которая определяется соотношением:

a - действительная часть числа z (a = Re z),

b - мнимая часть числа z (b = Im z).

Комплексное число

Условие

чисто мнимое

действительное

комплексно - сопряженные

равные

равно нулю

Геометрическая интерпретация -

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

у

b A(a, b)

0 a x

Форма записи комплексного числа

Вид

Операции

Алгебраическая

, где

a = Re z - действительная часть

b = Im z - мнимая часть

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Тригонометрическая

, где

- модуль

- аргумент

1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Умножение

Деление

Возведение в степень

- формула Муавра

Извлечение корня

корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при

Показательная

, где

- модуль

- аргумент

Умножение

Деление

Возведение в степень

Извлечение корня

корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при

5.1 Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

, , , ,

, , ,

5.2 Выполнить операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

а) Сложить два комплексных числа

б) Найти разности комплексных чисел , если

в) Найти произведение комплексных чисел

г) Даны комплексные числа . Найти частное .

5.3 Решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом:

5.4 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:

5.5 Дано комплексное число , найти . Ответ запишите в тригонометрической форме.

5.6 Найти , если . Ответ запишите в тригонометрической форме. Изобразите найденные корни на комплексной плоскости.

5.7 Найти их сумму, разность, произведение и частное чисел:

, .

5.8 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: ,

5.9 Представить в алгебраической и показательной форме комплексные числа: ,

5.10 Найти , если , Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

5.12 Для числа найти:

а) тригонометрическую форму,

б) найти z²⁰,

в) найти , изобразите найденные корни на комплексной плоскости.

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки, сочетания. Формула Ньютона. Случайные события.

Вероятность события. Простейшие свойства вероятности

Комбинаторика

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности события

, где

- число элементарных исходов;

- число исходов благоприятствующих появлению события .

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий

Сумма вероятностей противоположных событий

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий

Условная вероятность

Вероятность произведения двух зависимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий

Формула полной вероятности

Формула Байеса

,

где к=1,2,…n, Р(А) находится по формуле полной вероятности

Формула Бернулли

6.1 Решите комбинаторные задачи:

1. Сколько различных рейтингов можно составить для 8 человек?

2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любым из 5 языков на любой другой (русский, английский, французский, немецкий, итальянский)

3. Сколько различных хорд можно провести через 6 точек, лежащих на окружности.

6.2 Решите задачу по классическому определению вероятности:

В ящике находится 10 деталей: 8 стандартных и 2 нестандартных. Наудачу вынимаем три детали. Какова вероятность того, что среди этих трех деталей 2 окажутся бракованными?

6.3 Решить задачи на сумму и произведение вероятностей

1. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

2. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза подряд. Найти вероятности хотя бы одного выстрела.

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

4. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

5. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

6. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.

6.4 Решить задачу по формуле Бернулли:

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд

Случайной величиной _________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Случайные величины можно разделить на две категории.

ДСВ

НСВ

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину у которой функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Множество может быть как конечным, так и бесконечным

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно

Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью

Пример: рост студентов - рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений - бесконечно.

Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически

При табличном задании (ряд распределения ДСВ) - первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

x₁

x₂

. . .

х_n

р

p₁

p₂

. . .

p_n

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Функция называется функцией распределения случайной величины Х.

Для дискретной случайной величины

где x_i - значения, принимаемые случайной величиной Х;

P(x_i) - значения вероятностей при X = x_i;

х - некоторое фиксированное значение Х.

График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой разрывную ступенчатую линию, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b) вычисляется по формуле:

1 способ: .

2 способ:

Плотностью распределения вероятности НСВ Х называют функцию - первую производную от функции распределения : .

Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения

Числовые характеристики ДСВ:

1. Математическое ожидание:

(среднее арифметическое значений случайной величины)

2. Дисперсия:

или

(мера разброса случайной величины)

3. Среднее квадратическое отклонение:

(стандартное отклонение случайной величины)

Числовые характеристики НСВ:

1. Математическим ожиданием:

2. Дисперсия:

или

3. Среднее квадратическое отклонение:

6.5 Решите задачи математической статистики:

1. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X

0

1

2

p

0,0625

0,375

0,5625

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

2. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,5; p₄=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов, построить многоугольник распределения.

3. Задана ДСВ Х

x_i

2

5

9

p_i

0.3

0.4

0.3

Найти: 1) Функцию распределения F(х) ДСВ и построить ее график.

2. M(x), D(x),б(x).

4. Определить функцию распределения числа гербов при четырех подбрасываниях монеты.

5. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X

0

1

2

p

0,0625

0,375

0,5625

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

2. Постройте многоугольник распределения.

3. Составьте функцию распределения.

4. Постройте график функции распределения.

Список вопросов для самоконтроля

Раздел 1. Линейная алгебра

1. Сформулируйте понятие матрицы.

2. Какие бывают типы матриц.

3. Назовите действия над матрицами.

4. Что такое определитель квадратной матрицы.

5. Дайте определения определителей 2-го, 3-го порядков.

6. Сформулируйте свойства определителей.

7. Что такое обратная матрица, когда она существует.

8. Как решаются матричные уравнения.

9. Назовите общий вид системы линейных уравнений с 3-я переменными.

10. Сформулируйте суть решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

11. Сформулируйте суть решения системы линейных уравнений матричным методом.

12. Сформулируйте суть решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Раздел 2. Математический анализ

1. Дайте определение следующим понятиям: аргумент и функция, область определения и область значений функции.

2. Назовите основные свойства функции.

3. Что такое числовая последовательность и ее предел.

4. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

5. Назовите первый и второй замечательные пределы.

6. Дайте определение непрерывности функции в точке и на промежутке.

7. Дайте классификацию точек разрыва функции.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

1. Дайте определение производной.

2. Сформулируйте геометрический и механический смысл производной.

3. Назовите правила дифференцирования.

4. Назовите формулы дифференцирования.

5. Как дифференцируют сложные функции.

6. Как можно исследовать функцию с помощью производной.

7. Как найти асимптоты.

8. Сформулируйте алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Раздел 4. Интегральное исчисление

1. Что такое первообразная и неопределенный интеграл.

2. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

3. Назовите таблица интегралов.

4. Какие бывают методы интегрирования. В чем их суть?

5. В чем состоит задача о площади криволинейной трапеции.

6. Дайте понятие определенного интеграла.

7. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

8. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.

9. Как вычислить площадь плоских фигур, значений геометрических величин.

Раздел 5. Комплексные числа

1. Дайте определение комплексного числа.

2. В чем состоит геометрическая интерпретация комплексных чисел.

3. Назовите формы записи комплексных чисел. Как выполнять действия над ними.

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

1. Дайте определения: размещения, перестановки, сочетания.

2. Что такое случайные события, вероятность события.

3. Назовите основные формулы теории вероятностей.

4. Сформулируйте задачи математической статистики.

Справочные материалы

Таблица квадратов двузначных чисел

десятки

единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

Формулы сокращенного умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a - b)(a + b)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ =a³ - 3a²b + 3ab² - b³

a³ + b³ = (a+b)(a² -ab + b²)

a³ - b³ = (a - b )(a² + ab + b²)

Квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0, где a, b, cR, а0, х - неизвестное

Дискриминант D = b² - 4ac

• Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

• Если D=0, то уравнение имеет два равных корня равные

• Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: x_­1­=, x₂=

Степень с натуральным показателем

, где а - любое действительное число, n >1.

При n =1 считают по определению = а.

Для любых а и b и любых натуральных m и n:

1.

1. 

2. , если , n>m

3. 

4. , если

5. 

6. 

7. 

8. если

9. если , то

10. если , то

если , то

Степень с нулевым показателем

, 0⁰ - не имеет смысла

Степень с отрицательным целым показателем

, - не имеет смысла

Степень с рациональным показателем

, где m - целое, n - натуральное

Арифметический корень n-степени

Для любых а>0 и b>0 и любых натуральных m и n:

1. 

2. 

3. , если

4. 

5. 

|a|, если n2 - чётное натуральное число

6. ⁿ=

а, если n3 - нечётное натуральное число

Логарифм числа

Логарифмом числа с по основанию а (при а>0, ) называется показатель степени в, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число с.

Т.е. если , то можно записать

Основное логарифмическое тождество

Основные свойства логарифмов ()

1. Отрицательные числа и нуль не имеют логарифма

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию:

Тригонометрия

О

yпределение тригонометрических функций действительного числа

Sin xОрдината точки , полученной при вращении точки А на радиан вокруг начала координат называется синусом числа .

Абсцисса точки , полученной при вращении точки А на радиан вокруг начала координат называется косинусом числа .

Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к его косинусу.

Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к его синусу.

Значение тригонометрических функций в основных углах

0⁰

30⁰

45⁰

60⁰

90⁰

180⁰

270⁰

360⁰

0

Sin

0

1

0

-1

0

Cos

1

0

-1

0

1

Tg

0

1

-

0

-

0

Ctg

-

1

0

-

0

-

Т

у

ригонометрический круг

Ось котангенсов

1

-1

-

Ось косинусов

х

-1

0

1

-1

Ось тангенсов

-

Ось синусов

Список литературы

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб.: - Издательство «Лань», 2011 - 464 с.

2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. 3-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2010 - 304 с.