Урок геометрии Нахождение объёма тел вращения. Теорема Гульдена (11 класс)

План-конспект урока по геометрии по теме «Объём тел вращения. Теорема Гульдена»

Ход урока

Этапы проведения урока

Время

(45 мин)

Работа учителя и учащихся

1.Организационный момент

1 мин

Приветствие класса. Создание психологической комфортной атмосферы для работы на уроке.

2.Устная разминка

6 мин

Устное решение задач на готовых чертежах.

Обсуждение идей задач . (Приложение 1)

3.Презентация групп по теме «Объёмы тел вращения»

10 мин

Учащиеся представляют электронную версию по изучаемой теме.

Критериальное оценивание групп. Сбор бланков критериального оценивания.

4.Закрепление.

Решение задач у доски.

10 мин

Задачи на готовых чертежах.

Краткая запись решения после обсуждения идей с классом.(Приложение 2)

5.Работа в группах.

Решение задач на нахождение объёмов тел вращения.

15 мин

Обработка в группах знаний учащихся, применения формулы объёма тел вращения, применения рациональных приёмов решения задач путем непрерывного обсуждения этапов решения.

(Приложение 3)

6. Подведение итогов урока. Рефлексия

2 мин

Обмен мнениями. Рефлексия.

7. Задание на дом

1 мин

Инструктаж домашнего задания.

Э.Н.Балаян «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ». (по 8 задач на карточках)

Нижеприведенные теоремы Гульдена- Паппа, содержащие формулы для вычисления площади поверхности и объёма тела вращения, были изучены в курсе математического анализа(Тема: «Применение интегралов»). Здесь уместно напомнить учащимся эти теоремы.

Гульдена-Паппа теоремы

Теоремы, содержащие формулы для вычисления площади поверхности (1-я теорема) и объёма (2-я теорема) тела вращения. Они были найдены Паппом Алексанлрийским и переоткрыты швейцарским математиком П.Гульденом (Paul Guldin, 1577-1643).

1. Пусть плоская кривая лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда площадь поверхности, получаемой при вращении этой кривой вокруг оси a, равна произведению длины кривой на длину окружности, пробегаемой ее центром масс:

S = 2πrL,

где L - длина кривой, а r - расстояние от ее центра масс до оси.

2. Пусть плоская фигура лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда объём тела, получаемого при вращении этой фигуры вокруг оси a, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой ее центром масс:

V = 2πRS,

где S - площадь фигуры, а R - расстояние от ее центра масс до оси.

Например, для конуса с образующей длины l и радиусом основания r расстояние от центра масс образующей (т.е. от ее середины) до оси равно r/2, поэтому площадь боковой поверхности конуса равна 2π(r/2)l = πrl. Другой простой и интересный пример - тор.

Задачи для устной разминки:

Опишите алгоритм нахождения объёмов тел вращения.

Задачи для разбора у доски с комментариями:

1. Найдите объём тела, полученного вращением ромба АВСD со сторонами, равными 1. И острым углом А в 30, вокруг стороны ВС .

2. Прямоугольник, диагональ которого равна 1, а угол между диагоналями равен 15, вращается вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Найдите объём тела вращения.

Задачи на готовых чертежах для решения в группах:

1.Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника АВСD со сторонами АВ=2, ВС=1 вокруг перпендикуляра к диагонали ВD, проведенного через его конец.

2.Найдите объём тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF со стороной, равной 1, вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы.

3. Найдите объём тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF со стороной, равной 1, вокруг оси, проходящей через его вершину С перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту вершину.

4.Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ФИС с катетами 15 и 20 вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла В.

5.Ромб со стороной 7 и острым углом в 60 вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определите объём тела вращения.

6.Правильный треугольник со стороной, равной 1. Вращается вокруг прямой. Проходящей через вершину треугольника и составляющей со стороной угол в 45объём полученного тела вращения.

Ответы для взаимоконтроля:

1. 2

2. 9

3. 3

4. 3400

5. 1029

6. ()