- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»
Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»
| Раздел | Математика |
| Класс | 9 класс |
| Тип | Рабочие программы |
| Автор | Елфимова Н.И. |
| Дата | 05.10.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
| Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №58 » |
| Программа курса: |
| «Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса» |
|
Подготовила: учитель математики |
| Елфимова Н.И. |
|
|
г. Магнитогорск, 2010
«Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»
Елфимова Н.И.
г. Магнитогорск, МОУ СОШ №58
Высшее назначение математики…
состоит в том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе,
который нас окружает
Винер Н.
Пояснительная записка
Разработанный курс составлен для учащихся 9 класса и рассчитан на 10 часов.
Понятие модуля, решение простейших уравнений и неравенств изучается в курсе математики 6-9 классов фрагментарно, вводятся основные понятия по данной теме.
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель - создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Анализ результатов экзаменов показывает, что при решении уравнений и неравенств с модулем учащиеся испытывают определенные трудности. Это обусловлено тем, что общеобразовательные стандарты по математике предусматривают решение заданий базового уровня, поэтому учащиеся слабо владеют одним из основных способов решения задач: анализ через синтез; редко могут ответить для себя на вопрос какого рода должны быть взаимосвязи между рассматриваемыми компонентами. Не всегда могут разбить задачу на подзадачи, чтобы прийти к цели, теряются при виде уравнения и неравенства с модулем.
Предлагаемый курс предполагает научить решать уравнений и неравенства с модулем, в том числе использовать логические приемы решения уравнений и неравенств.
Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
.
Основой проведения занятий может служить технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс
самостоятельного построения им нового знания и позволяет проводить разноуровневое обучение.Желательно использовать такие формы, как выступления с докладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой работы.
Цель курса: Создание целостного представления о теме "Модуль», подготовить учащихся к успешному решению уравнений и неравенств с модулем, содержащих в заданиях ЕГЭ
Задачи курса:
Систематизировать ранее полученные знания о модуле.
Расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Научить оценивать свои возможности по математике, и более осознано выбирать профиль дальнейшего обучения.
Совершенствовать и развивать математические знания и умения, повышать интерес к математике.
Общие требования к уровню усвоения содержания курса.
В результате изучения данного курса учащиеся должны
Знать: методы решения уравнений и неравенств с модулем;
Уметь: решать уравнения, содержащие один или несколько модулей; неравенства, содержащие модуль; выполнять построение графиков, содержащих модуль, а также расширить свои знания по теме "Модуль и его применение".
Содержание курса состоит из теоретического материала, а также набора заданий различных уровней сложности, поэтому предполагает работу с различными источниками математической литературы.
Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.
Формой итогового контроля может стать самостоятельная работа, тестовая работа, собеседование, доклад, защита проекта и т.д.
На изучение элективного курса выделено 10 часов.
Тематическое планирование
№
Тема
Количество часов
1
Модуль числа (понятие, определение, применение в других областях науки и техники). Простейшие уравнения с модулем (решение уравнений по определению)
1 ч
2
Решение уравнений с модулем (продолжение). Уравнения, содержащие два модуля
1 ч
3
Уравнения, содержащие два модуля и более модуля
2 ч
4
Неравенства с модулем
1 ч
5
Графики функций, содержащие модуль
1 ч
6
Простейшие системы уравнений и неравенств с модулем
2 ч
7
Решение простейших уравнений и неравенств с модулем
2 ч
Содержание.
Тема 1. Модуль числа (понятие, определение, применение в других областях науки и техники). Простейшие уравнения с модулем (решение уравнений по определению). Решение простейших уравнений с модулем вида:
Определение: абсолютной величиной (или модулем) 
числа, а называется:
Пример 1. Решить уравнение: 
Решение. По определению имеем: 
Ответ: -7,2; 7,2.
Пример 2. . Решить уравнение: |
Решение. 
Ответ: 1,5.
Пример 3. Решить уравнение: 
Решение. По свойству модуля выражение 
| неотрицательно, поэтому это выражение, никогда не может быть равно (-20).
Уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 4. Решить уравнение: 
Решение. 1). Найдем значения переменной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль
2
). 
разбивает область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее под знаком модуля, сохраняет знак.
- +
-1х
3). На каждом из найденных промежутков решаем уравнение без знака модуля. а).
б). 
система не имеет решений, т.к. 
не входит в рассматриваемый промежуток 
.
4). Совокупность (объединение) решений и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Ответ: 0,5.
Задачи для самостоятельной работы.
Решите уравнения, используя определение модуля.
.
.
.
.
Решите уравнение.
|
.
.
.
Свойства модуля действительного числа.
.
Тема 2. Решение уравнений с модулем (продолжение).
Уравнения, содержащие два модуля. Решение уравнений вида 
При решении уравнений вида традиционным способом, в несложных случаях можно возвести обе части уравнения в квадрат, избавившись от модуля и получив равносильное уравнение
Пример 1. Решить уравнение: 
.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат
. Получим квадратное уравнение 
, 
Ответ:
Задачи для самостоятельной работы.
Решите уравнение.
.
.
2
Решите уравнение 
Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе запишите их сумму.
Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнем уравнения 
.
Тема 3 . Уравнения, содержащие два модуля и более. Решение уравнений вида:
(уравнения с "вложенными" модулями), 
При решении уравнений, содержащих два или более модулей можно использовать, кроме обычных способов, метод интервалов.
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. 1. Найдем значения переменной, при которых подмодульные выражения обращаются в нуль: 
Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках:
- - + - + +
3 х
3. Оба модуля раскрываются со знаком «+» 
Первый модуль раскрываем со знаком «+», а второй - со знаком «-»
система не имеет решений.
Оба модуля раскрываются со знаком «-» 
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение 
Решение. 1. Раскрываем внутренний модуль со знаком «+» 
или 
. 
Раскрываем внутренний модуль со знаком «-» 
или 
система не имеет решений. 
система не имеет решений.
Задачи для самостоятельной работы.
Решите уравнение
Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнем уравнения 
.
Решите уравнение
Найдите сумму корней уравнения 
5.Решите уравнение 
Тема 4. Неравенства, содержащие модуль.
Решение неравенств вида:
.
Принцип решения неравенств, содержащих модули, аналогичен решению соответствующих уравнений. Отличие состоит в том, что при решении уравнений широко используется проверка, а при решении неравенств это часто вызывает затруднения. Следовательно, при решении неравенств необходимо использовать равносильные переходы, некоторые неравенства решаются с помощью замены переменной. Но более рационально - перейти к двойному неравенству или к равносильной системе двух неравенств 
а также переходя к равносильной совокупности двух неравенств 
Пример 1. Решить неравенство: 
Решение. Так как 
, то 
. Обозначим 
Получим квадратное неравенство относительно 
: 
решив которое получим 
. 
, а т.к. модуль всегда неотрицателен, то левая часть этого двойного неравенства выполняется при всех значениях 
, поэтому надо решить 
Ответ: (-2;2).
Пример 2. Решить неравенство: 
< 7.
Решение. 1. 
; 
.
2. - - 
- + 
+ +
-1 4 x
В результате раскрытия модулей получаем три системы:
которые необходимо решить.
Ответ: (-2;5).
Пример 3. Решить неравенство: 2
.
Решение. 2
Ответ: 
Задачи для самостоятельной работы.
Решитe неравенство и для каждого укажите наименьшее положительное число
1). 
2). 
3). 
4). 
2. Решитe неравенство
1). 
2). 
Тема 5. Построение графиков функций 
Построение графика функции 
части графика функции 
лежащие выше оси ОХ и на оси ОХ, остаются без изменения, а лежащие ниже оси ОХ - симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание: функция неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).
Построение графика функции часть графика функции лежащая левее оси ОУ, удаляется, а часть, лежащая правее оси ОУ - остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси ОУ (влево). Точка графика, лежащая на оси ОУ, остается неизменной.
Замечание: функция четная (её график симметричен относительно оси ОУ).
Пример 1. Построить график функции у = 
Построение. 1. Построим график функции у = 2х.
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
х
-1
-2
-3
Построим график функции, у =
: часть графика функции 
лежащая выше оси Ох и на оси Ох, остается без изменения, а лежащая ниже оси Ох - симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
х
-1
-2
-3
Пример 2. Построить график функции у =
Построение. 1. Построим график функции у =
. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: (2;-1). Найдем координаты точек пересечения с осями координат: (1;0), (3;0), (0;3).
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у =
: части графика функции,
лежащие выше оси Ох и на оси Ох, остаются без изменения, а лежащие ниже оси Ох - симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
Пример 3. Построить график функции у =
Построение. 1. Построим график функции у = 
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: (-1;9).Найдем координаты точек пересечения с осями координат: (-4;0), (2;0), (0;8).
у
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у =
: части графика функции,лежащие выше оси Ох и на оси Ох, остаются без изменения, а лежащие ниже оси Ох - симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
-
у
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-
6 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
Построение графика функции
: часть графика функции 
, лежащая левее оси Оу, удаляется, а часть, лежащая правее оси Оу - остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси Оу (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
Замечание: функция четная (ее график симметричен относительно оси Оу).
Пример 1. Построить график функции у = 
-3
Построение. 1. Построим график функции у = х-3 - графиком функции является прямая.
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у = -3: часть графика, лежащая левее оси у, удаляется, а лежащая на оси у и правее оси у - остается без изменения, и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево).
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
Пример 2. Построить график функции у =
.
Построение. 1. Построим график функции у =
. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: (2;-1.) Найдем координаты точек пересечения с осями координат: (1;0), (3;0), (0;3).
-
у
3
2
1
-
3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у =
: часть графика функции , лежащая левее оси у, удаляется, а часть, лежащая правее оси у - остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
-
у
3
2
1
-
6 -5
-4
-
3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
Задачи для самостоятельной работы.
Построить график функции:
у =
.
у =
у =
.
у =
у =
.
у =
у = 
.
Тема 6. Простейшие системы уравнений и неравенств с модулем.
Система уравнений и неравенств с модулем решаются традиционным способом. Часто решение "одиночных" уравнений сводится к решению равносильных им систем, содержащих как уравнения, так и неравенства при этом может использоваться и графический метод решения систем уравнений и неравенств.
Пример 1. Решить систему двух неравенств с одной переменной 
Решение. 
.
Ответ: (-4;4).
Пример 2. Решить систему 
Решение. 
Ответ: (1;-2).
Часто решение «одиночных» уравнений сводится к решению равносильных им систем, содержащих как уравнения, так и неравенства при этом может использоваться и графический метод решения систем уравнений и неравенств.
Пример 3. Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение 
графически; 
Построим графики функций 
и 
. 1. 
- четная функция, график функции симметричен относительно прямой 
X
0
1
Y
1
2
2.
- нечетная функция, график функции симметричен относительно начала координат, графиком функции является гипербола.
X
0,5
1
2
4
Y
4
2
1
0,5
у
5
4
3
2
1
-6
-5
-
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
-4
Координаты точки пересечения графиков функций (1;2), корень уравнения 
Ответ: 1.
Задачи для самостоятельной работы.
Решите систему уравнений.
Решите систему неравенств.
Решите уравнение графически.
Тема 7. Решение простейших уравнений и неравенств с модулем (итоговое повторение)
Пример 1: Решить уравнение |2х+1|=3
2х+1=-3
Решение:
|2х+1|=3 [ 2х+1=3 [ 2х=2 [ х=1
2х+1=-3 2х=-4 х=-2
Ответ: -2; 1
Пример 2: Решить уравнение
[ 
[ 
[ 
[ 
[ 
Ответ: -2; -1; 0; ½
Пример 3: Решить уравнение
Решение:
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
х=2
Ответ: 2
Пример 4: Решить уравнение:
Решение:
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
{ 
х=3 х=3/2.
Ответ: 3/2; 3
Пример 5: Решить неравенство
|х-3|<7
Решение:
|х-3|<7{ 
{ 
{ 
EMBED Equation.3
{ 
Ответ: 
Задачи для самостоятельной работы.
Решить уравнение:
1. |3х+2|=1 7. |х-4х|=3х-6
2. |4х-1|=1 8. |х-8х+12|=3х-12
3. |5х-2|=2 9. |х-2х-8|=8х-8
4. 3х-5 = 1 10. |х+8х|=6х+24
|х-1|-4
5. |х-2|+1 = -1
2х+1 11. |х-2х-3|=3х-3
6. 7+ 3 х = -1
|х+1|-6 12. |х-3х|=4х-6
Решить неравенство:
-
|х-1|>3
-
|2х+1|<5
-
|3х-2|<4
-
(х-1)|х|-2х+2≤0
-
х-3|х-1|-1≤0
-
(х+4)|х|-3х-6>0
-
х-2|х|-3≥0
-
3х|2х-3|+7х-8<0
-
х-|5х+1|+5>0
Литература
А.Я.Симонов, Д.С. Бакаев и др. "Система тренировочных задач и упражнений по математике". Москва, "Просвещение", 1991 г.
М.Л.Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. "Сборник задач по алгебре для 8-9 классов". Учебное пособие для учащихся с углубленным изучением курса математики. Москва, "Просвещение", 1992 г.
М.Л.Галицкий и др. Сборник задач по алгебре 8-9 кл.- М.: Просвещение, 1995г
О.Ю.Черкасов, А.Я.Якушев. "Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. Полный курс подготовки к выпускным вступительным экзаменам". Москва, "АСТ-ПРЕСС", 2001
Л.Э. Генденштейн, А.П.Ершова, А.С. Ершова. "Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами". ИЛЕКСА. Москва, 2001 г.
Е.В.Смекалова. "Математика. Модули, параметры, многочлены. Предпрофильная подготовка". С-Петербург, СМИО Пресс, 2007 г.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. "Алгебра 9 класс. Тематические тесты для подготовки к государственной итоговой аттестации 2010", издательство "Легион-М", Ростов-на-Дону, 2009 г.
М.Ф. Шарыгин. "Факультативный курс по математике. Решение задач". Москва, "Просвещение", 1991 г.
Ю.Н.Макарычев и др. "Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса". Москва, "Просвещение", 2003 г.
Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9-м классе. Москва, "Просвещение", 2009 г.
А.Г. Мордкович. Алгебра. 8 кл.- М.: Мнемозина, 2000г